$(q^\ell+1)$ 次幂的广义 Paley 图的谱及其应用
The spectra of generalized Paley graphs of $(q^\ell+1)$-th powers and applications
AI总结：
本文显式计算了一类以 $\mathbb{F}_{q^m}$ 中非零 $(q^\ell+1)$ 次幂为连接集的广义 Paley 图及其补图的谱和能量，证明了其强正则性，并应用于解决 Waring 问题和构造 Ramanujan 图。
摘要：
我们考虑有限域上一类特殊的广义 Paley 图，即顶点集为 $\mathbb{F}_{q^m}$ 且连接集为 $\mathbb{F}_{q^m}$ 中非零 $(q^\ell+1)$ 次幂的 Cayley 图，以及它们的补图。我们显式计算了这些图的谱和能量。作为推论，这些图（除平凡例外）被证明是简单的、连通的、非二部的、整的且强正则的，属于伪型或负拉丁方型。利用谱信息，我们计算了这些图的几个不变量。我们展示了无限多对等能非同谱图。作为应用，一方面我们解决了 $\mathbb{F}_q^m$ 上指数为 $q^\ell+1$ 的 Waring 问题，适用于每个 $q$ 以及无限多个 $\ell$ 和 $m$ 的值。我们得出 Waring 数 $g(q^\ell+1,q^m)=1$ 或 $2$，具体取决于 $m$ 和 $\ell$，从而解决了一些开放情况。另一方面，我们在所有特征中构造了 Ramanujan 图的无穷塔。最后，我们给出了这些图的 Ihara zeta 函数。
英文摘要：
We consider a special class of generalized Paley graphs over finite fields, namely the Cayley graphs with vertex set $\mathbb{F}_{q^m}$ and connection set the nonzero $(q^\ell+1)$-th powers in $\mathbb{F}_{q^m}$, as well as their complements. We explicitly compute the spectrum and the energy of these graphs. As a consequence, the graphs turn out to be (with trivial exceptions) simple, connected, non-bipartite, integral and strongly regular, of pseudo or negative Latin square type. By using the spectral information we compute several invariants of these graphs. We exhibit infinitely many pairs of equienergetic non-isospectral graphs. As applications, on the one hand we solve Waring's problem over $\mathbb{F}_q^m$ for the exponents $q^\ell+1$, for each $q$ and for infinitely many values of $\ell$ and $m$. We obtain that the Waring's number $g(q^\ell+1,q^m)=1$ or $2$, depending on $m$ and $\ell$, thus solving some open cases. On the other hand, we construct infinite towers of Ramanujan graphs in all characteristics. Finally, we give the Ihara zeta functions of these graphs.
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