不可约循环码与广义Paley图之间的谱关系
The spectral relation between irreducible cyclic codes and generalized Paley graphs
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中文总结 AI 辅助
本文建立了不可约循环码重量分布与广义Paley图谱之间的闭式联系，并显式给出了相关谱及重量枚举器。
中文摘要 AI 辅助
设 $p$ 为素数，$\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_r$ 为有限域扩张，其中 $q=p^m$ 且 $r=p^s$。对于任意 $k\mid q-1$，我们考虑形如 $C(k,q/r) = \{(Tr_{q/r}(\gamma \omega^{ik})_{i=0}^{n-1})\}_{\gamma \in \mathbb{F}_r}$ 的 $r$ 元不可约循环码（ICC），其中 $\omega$ 是 $\mathbb{F}_q$ 的本原元，$n= \tfrac{q-1}{k}$，以及广义Paley（GP）图 $\Gamma(k,q) = Cay(\mathbb{F}_q, \{ x^k: x \in \mathbb{F}_q^* \})$。我们证明存在一个简单的闭式公式，将 $C(k,q/r)$ 的重量分布与 $\Gamma(k_r,q)$ 的谱联系起来，其中 $k_r=\gcd(k, \frac{q-1}{r-1})$。然后，我们针对半本原和例外情形下与不可约2重量循环码相关的图，显式给出 $Spec(\Gamma(k,q))$。最后，我们给出与Hamming GP-图相关的不可约循环码的重量枚举器。
英文摘要
Let $p$ be a prime and $\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_r$ a finite field extension with $q=p^m$ and $r=p^s$. For any $k\mid q-1$, we consider $r$-ary irreducible cyclic codes (ICC) of the form $C(k,q/r) = \{(Tr_{q/r}(γω^{ik})_{i=0}^{n-1})\}_{γ\in \mathbb{F}_r}$, with $ω$ a primitive element of $\mathbb{F}_q$ and $ n= \tfrac{q-1}{k}$, and generalized Paley (GP) graphs $Γ(k,q) = Cay(\mathbb{F}_q, \{ x^k : x \in \mathbb{F}_q^* \})$. We show that there is a simple closed formula relating the weight distribution of $C(k,q/r)$ with the spectrum of $Γ(k_r,q)$, where $k_r=\gcd(k, \frac{q-1}{r-1})$. Then, we give $Spec(Γ(k,q))$ explicitly for those graphs associated with irreducible 2-weight cyclic codes in the semiprimitive and exceptional cases. Finally, we give the weight enumerators of irreducible cyclic codes associated with Hamming GP-graphs.
发表机构
- Universidad Nacional de Córdoba（科尔多瓦国立大学）
- FaMAF – CIEM (CONICET)（FaMAF – CIEM（阿根廷国家科学研究委员会））
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
