Improved randomized algorithm for $k$-submodular function maximization
子模性是组合优化中最重要的性质之一，$k$ -子模性是子模性的推广。$k$ -次模函数的最大化需要指数数量的值Oracle查询，并且已经研究了近似算法。对于无约束$k$ -次模极大化，Iwata等人给出了单调函数的随机$k/(2k-1)$ -近似算法和非单调函数的随机$1/2$ -近似算法.本文给出了非单调函数的改进随机算法。我们的算法给出了$k\geq 3$的$\frac{k^2+1}{2k^2+1}$ -逼近。我们还给出了$k=3$的随机$\frac{\sqrt{17}-3}{2}$ -近似算法。我们使用岩田等人和Ward和Wavennovich中使用的相同框架，但概率不同。
2019-07-27 cs.DM cs.DS
Deterministic Algorithms for Submodular Maximization Problems
随机化是在计算机科学的许多理论和实践领域中使用的基本工具。我们在这里研究的作用，随机化在该地区的次模函数最大化。在这个领域中，大多数算法是随机的，并且在几乎所有情况下，由当前随机算法获得的近似比优于由已知的确定性算法获得的最佳结果。一般次模函数最大化算法的去随机化似乎很难，因为对函数的访问是通过值预言完成的。例如，这使得应用标准的去随机化技术（如条件期望）变得困难。因此，在这一领域的一个有趣的基本问题是随机化是否本质上是必要的，以获得良好的近似比。在这项工作中，我们给出的证据表明，随机化是没有必要获得良好的算法，提出了一种新的技术去随机化的子模函数最大化的算法。我们的高层次的想法是保持明确的（小）分布在算法的状态，并仔细更新它使用的边缘值从一个合适的线性公式的极值点解决方案。我们在无约束子模最大化和最大化受基数约束的子模函数的两个最新算法上展示了我们的技术。特别是，对于无约束的子模最大化，我们得到了一个最佳的确定性$1/2$ -近似随机化是不必要的，以获得最佳的结果，这种设置。
2015-08-10 cs.DS
Regularized Unconstrained Weakly Submodular Maximization
本文针对单调非负弱子模函数与模函数差值的最大化问题，提出一种低预言机调用次数的确定性近似算法，理论近似比更优且支持近似预言机，经真实场景实验验证可高效生成高质量解。
2024-08-19 cs.DS
A polynomial lower bound on adaptive complexity of submodular maximization
在大数据应用中，需要设计具有高度并行化的算法。在子模块优化的背景下，自适应复杂度已经成为算法“序列性”的广泛使用的度量。自适应模型中的算法在轮中进行，并且可以在每轮中向函数$f$发出多项式多个查询。每轮中的查询必须是独立的，由仅依赖于前一轮中获得的查询结果的计算产生。在这项工作中，我们研究了自适应复杂性模型中的子模块最大化的两个基本变体：基数约束单调最大化和无约束非单调最大化。我们的主要结果是，对于任何$r < n^c$（其中$c>0$是某个常数），用于基数约束单调最大化的$r$轮算法无法获得比$1 - 1/e - Ω(\min \{ \frac{1}{r}, \frac{\log^2 n}{r^3} \})$更好的逼近因子。这是第一个结果表明，轮数必须炸毁多项式大，因为我们接近最佳因子的$1-1/e$。对于无约束非单调最大化问题，我们给出了一个肯定的结果：对于每个实例和每个$δ>0$，我们要么在$1$轮中得到$(1/2-δ)$ -近似，要么在$O(1/δ^2)$轮中得到$(1/2+Ω(δ^2))$ -近似.特别是（与基数约束的情况相反），不可能有这样的情况：（i）无论轮数如何，都不可能实现比$1/2$更好的近似因子，以及（ii）需要$r$轮数来实现因子$1/2-O(1/r)$。
2020-04-20 cs.DC cs.DS
A Threshold Greedy Algorithm for Noisy Submodular Maximization
针对噪声查询下的次模最大化，本文提出自适应阈值采样子程序，并据此设计基数、拟阵约束及无约束情形的样本高效算法，逼近值预言机近似保证且经实验验证。
2024-04-09 cs.DS
Interior-point methods for unconstrained geometric programming and scaling problems
我们提供了一个基于条件的分析两个内点点的方法无约束几何规划，一类凸规划，自然出现在应用程序，包括矩阵缩放，矩阵平衡，熵最大化。我们的条件数是与几何规划的牛顿多面体相关联的自然几何量，并导致近似极小值的直径界。我们还提供了有效的界限上的条件数在一般情况下和组合假设下的牛顿多面体。通过这种方式，我们推广了最近的内点方法的矩阵缩放和矩阵平衡的迭代复杂性。最近，有很多关于李群上某些最优化问题的算法的工作，称为容量和缩放问题。对于交换群，这些问题减少到无约束的几何规划，这是我们工作的一个特别的动力来源。
2020-08-27 cs.DS math.OC
On maximizing a monotone k-submodular function subject to a matroid constraint
$k$ -次模函数是次模函数的扩展，因为其输入由$k$不相交子集而不是单个子集给出。对于无约束的非负$k$ -次模极大化问题，Ward和Yakiivnikov提出了一个常数因子近似算法，Iwata，Tanigawa和Yoshida最近提出了一个$1/2$ -近似算法。Iwata等人也给出了单调$k$ -次模最大化的一个$k/(2k-1)$ -近似算法，并证明了它的近似比是渐近紧的.最近，Ohnik和Yoshida提出了单调$k$的常数因子算法-具有几个大小约束的子模最大化。然而，虽然子模最大化与各种约束已被广泛研究，没有近似算法已开发的约束$k$ -子模最大化，除了大小约束的情况下。在本文中，我们证明了一个贪心算法输出的$1/2$ -近似解单调$k$ -子模极大化与拟阵约束。该算法在$O(M|E|(\text{MO} + k\text{EO}))$时间内运行，其中$M$是极大最优解的大小，$|E|$是基集的大小，$\text{MO}, \text{EO}$分别表示拟阵的成员预言和$k$ -子模函数的求值预言的时间.
2016-08-22 cs.DM cs.DS math.OC
Online Submodular Maximization with Preemption
近年来，在各种约束条件和模型下，子模函数极大化问题得到了广泛的研究。这个问题在各个学科中都起着重要的作用。我们研究了这个问题的一个自然的在线变体，其中元素一个接一个地到达，并且算法必须始终保持一个遵守某些约束的解决方案。当一个元素到达时，算法必须决定是否将该元素接受到其解中，并可能抢占先前选择的元素。目标是最大化解决方案中元素集合上的子模块函数。我们研究了这个一般问题的两种特殊情况，并推导出竞争比的上界和下界。具体来说，我们设计了一个$1/e$竞争算法的无约束的情况下，该算法可以保持任何子集的元素，和恒定的竞争比算法的情况下，该算法可以保持在最多$k$元素在其解决方案。
2015-01-23 cs.DS
Fast Semidifferential-based Submodular Function Optimization
University of Washington（华盛顿大学）；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
我们提出了一个实用的和强大的新框架，无约束和有约束的子模函数优化的基础上离散半微分（次和超微分）。由此产生的算法，重复计算，然后有效地优化次模半梯度，提供新的和推广许多旧的方法，次模优化。此外，我们的方法，采取措施，提供一个统一的范式，适用于子模块最小化和最大化，历史上已经处理的问题相当明显。我们的算法的实用性是很重要的，因为在子模块化的兴趣，由于其自然和广泛的适用性，最近在机器学习内的优势。我们分析了我们的算法的理论性质的最小化和最大化，并表明，许多国家的最先进的最大化算法的特殊情况。最后，我们补充我们的理论分析与支持实证实验。
2013-08-05 cs.DM cs.DS cs.LG
On Maximizing Sums of Non-monotone Submodular and Linear Functions
我们研究了Bodek和Feldman [BF 22]定义的正则无约束子模最大化（RegularizedUSM）问题。在这个问题中，给定一个非单调非负子模函数$f:2^{\mathcal N}\to \mathbb R_{\ge 0}$和一个线性函数$\ell:2^{\mathcal N}\to \mathbb R$在同一个基集$\mathcal N$上，目标是输出一个集合$T\subseteq \mathcal N$，近似地使和$f(T)+\ell(T)$最大化。具体地，如果算法输出一组$T$使得$\mathbb E[f(T)+\ell(T)]\ge \max_{S\subseteq \mathcal N}[α\cdot f(S)+β\cdot \ell(S)]$，则该算法被称为为RegularizedUSM提供$(α,β)$近似。我们还研究了$S$和$T$受到拟阵约束的设置，我们称之为正则化约束子模块最大化（RegularizedCSM）。对于RegularizedUSM和RegularizedCSM，我们为非正$\ell$、非负$\ell$和无约束$\ell$的情况提供了改进的$(α,β)$近似算法。特别是，对于无约束的$\ell$的情况下，我们是第一个提供非平凡的$(α,β)$ -RegularizedCSM的近似，和$α$，我们得到的RegularizedUSM优于[BF …
2022-05-31 cs.DS
On Unconstrained Quasi-Submodular Function Optimization
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文提出两种算法用于无约束拟子模函数的最小化和最大化，通过单次子交叉性质，在O(n)次迭代内返回缩减格，并保证目标函数值在每次迭代后严格单调变化。
2014-11-13 cs.DS cs.NA math.NA
Regularized Non-monotone Submodular Maximization
在本文中，我们提出了一个彻底的研究最大化正则非单调子模函数受到各种约束，即，$\max \{ g(A) - \ell(A) : A \in \mathcal{F} \}$，其中$g \colon 2^Ω\to \mathbb{R}_+$是非单调子模函数，$\ell \colon 2^Ω\to \mathbb{R}_+$是归一化模函数，并且$\mathcal{F}$是约束集。虽然目标函数$f := g - \ell$仍然是次模的，但$f$可能潜在地呈现负值的事实阻止了用于次模最大化的现有方法为正则化的次模最大化问题提供恒定的近似比。为了克服这个障碍，我们提出了几个算法，可以提供一个相对较弱的近似保证最大化正则非单调子模函数。更具体地说，我们提出了一个连续的贪婪算法放松最大化$g - \ell$的拟阵约束。然后，管道舍入过程可以产生积分解$S$，使得$\mathbb{E} [g(S) - \ell(S)] \geq e^{-1}g(OPT) - \ell(OPT) - O(ε)$。此外，我们提出了一种更快的算法，用于在基数约束下最大化$g - \ell$，该算法可以使用$O(\frac{n}{ε^2} \ln \frac 1ε)$值Oracle查询输出带有$\mathbb{E} [g(S) - \ell(S)] \geq (e^{-1} - ε) g(OPT) - \ell(OPT)$…
2021-03-18 cs.DS
Breaking the Logarithmic Barrier for Truthful Combinatorial Auctions with Submodular Bidders
本文研究了组合拍卖机制设计中的一个核心问题：在子模块投标者参与的组合拍卖中构造真实的福利最大化机制。Dobzinski、Nisan和Schapira提供了第一个保证$O(\log^2 m)$的非平凡近似比的机制[STOC'06]，其中$m$是项目数。随后将其改进为$O(\log m\log \log m)$ [Dobzinski，APPROX'07]，然后改进为$O(\log m)$ [Kenda和Vocking，ICALP'12]。在本文中，我们开发的第一个机制，打破了对数的障碍。具体地，该机制提供了$O(\sqrt {\log m})$的近似比。与以前的构造类似，我们的机制使用多项式的许多值和需求查询，实际上为更大的XOS类（也称为XOS）提供了相同的近似比。分数次可加性）估值。我们还开发了一个计算效率的实施机制，预算添加剂投标人的组合拍卖。虽然在一般情况下，计算需求查询是NP-难的预算附加估值，我们观察到，我们的机制使用的特定形式的需求查询，可以有效地计算时，投标人的预算附加。
2017-08-14 cs.DS cs.GT
A Unified Approach to Submodular Maximization Under Noise
Google Mountain View, CA（谷歌山景城）；Yale University（耶鲁大学）；Harvard University（哈佛大学）
本文提出了一种统一方法，在噪声环境下实现子模函数最大化，通过 meta 算法将稳健算法转换为噪声环境下的算法，获得不同约束下的近似结果。
2025-12-31 cs.CC cs.DM cs.DS
Chasing Submodular Objectives, and Submodular Maximization via Cutting Planes
Tel Aviv University（特拉维夫大学）；Technion — Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文提出子模目标追踪问题，设计基于割平面的approximate-or-separate元算法，在基数与划分拟阵约束下实现最优近似比与竞争回溯成本，拓展了割平面方法的应用场景。
2025-11-17 cs.DS
A General Coreset-Based Approach to Diversity Maximization under Matroid Constraints
多样性最大化是网络搜索和数据采掘中的一个基本问题。对于$n$元素的给定数据集$S$，该问题需要确定包含$k\ll n$“代表”的$S$的子集，其最小化以成对距离表示的某些多样性函数，其中距离模型不相似。该问题的一个重要变体规定解满足额外的正交要求，其可以被指定为拟阵约束（即，可行解必须是给定拟阵的大小为$k$的独立集）。虽然无约束的多样性最大化承认有效的基于核心集的策略，几个多样性函数，已知的方法处理额外的拟阵约束仅适用于一个多样性函数（距离的总和），并基于一个昂贵的，固有的顺序，局部搜索在整个输入数据集。我们设计了第一个基于核心集的算法，在拟阵约束下的各种多样性函数的多样性最大化，连同有效的顺序，MapReduce和流实现。从技术上讲，我们的算法依赖于一个小的coreset，也就是说，一个子集的$S$包含一个可行的解决方案，这是不超过一个因素$1-ε$远离$S$的最佳解决方案。虽然我们的算法是完全通用的，对于分区和横向拟阵，如果$ε$是一个常数在$(0,1)$和$S$有界加倍的尺寸，coreset大小是独立的$n$，它是足够小，以提供一个缓慢的顺序算法执行提取一个最终的，准确的，在合理的时间内解决方案。大量的实验表明，我们的算法是准确的，快速和可扩展的，因此，他们能够处理大数据场景中典型的大输入实例。
2020-02-08 cs.DC cs.DS
Reconfiguration Problems on Submodular Functions
重构问题需要在特定问题的一对可行解之间找到一个逐步的转换。理论计算机科学的主要关注点是揭示经典问题的计算复杂性。本文对子模函数的重构问题进行了初步研究，该问题更具有数据挖掘的特点。我们的子模块重构问题要求找到一个解决方案序列连接两个输入的解决方案，使每个解决方案有一个目标值以上的子模块功能$f: 2^{[n]} \to \mathbb{R}_+$的阈值，并从前一个通过应用一个简单的转换规则。我们制定了三个重构问题：单调子模块重构（MSReco），适用于影响力最大化，和两个版本的无约束子模块重构（USReco），适用于决定点过程。本文的主要工作如下：1.我们证明MSReco和USReco都是$\mathsf{PSPACE}$ -完全的。2.我们为MSReco设计了一个$\frac{1}{2}$ -近似算法，为USReco设计了一个$\frac{1}{n}$ -近似算法。3.我们设计的inapproximability的结果，近似的最佳值MSReco内的$(1-\frac{1+ε}{n^2})$ -因素是$\mathsf{PSPACE}$ -硬，我们不能找到一个$(\frac{5}{6}+ε)$ -近似USReco。4.我们使用真实世界的社会网络和电影评级数据进行数值研究的重新配置版本的影响力最大化和决定点过程。
2021-11-28 cs.DM cs.DS
Fair Diversity Maximization via Local Search
Sharif University of Technology（谢里夫理工大学）
针对公平多样性最大化问题，提出局部搜索框架，实现与组数无关的常数因子近似（任意常数组成4近似，两组达2近似且最优），改进此前线性依赖。
2026-10-06 cs.CG cs.DS
Submodular Maximization Beyond Non-negativity: Guarantees, Fast Algorithms, and Applications
Yale University（耶鲁大学）；Open University of Israel（以色列开放大学）；Queen Mary University of London（伦敦玛丽女王大学）
一般认为，次模函数--以及更一般的$γ$类--弱次模函数--只能在非负性假设$f(S) \geq 0$下优化。在本文中，我们表明，一旦函数表示为差$f = g - c$，其中$g$是单调的，非负的，和$γ$-弱次模和$c$是非负模，那么强逼近保证可能会得到。我们提出了一个在$k$基数约束下最大化$g - c$的算法，该算法产生一个随机可行集$S$，使得运行时间为$O (\frac{n}ε \log^2 \frac{1}ε)$的$\mathbb{E} \left[ g(S) - c(S) \right] \geq (1 - e^{-γ} - ε) g(OPT) - c(OPT)$，即，独立于$k$。我们将这些结果扩展到无约束的设置，通过描述具有相同的近似保证和更快的$O(\frac{n}ε \log\frac{1}ε)$运行时的算法。我们的算法的主要技术是双重的：使用一个代理目标，不同的$g$和$c$之间的相对重要性在整个算法，和几何扫描可能的$γ$值。我们的算法保证补充了硬度的结果表明，没有多项式时间的算法访问$g$通过一个值Oracle可以做得更好。我们经验证明我们的算法的成功，将它们应用到波士顿住房数据集的实验设计和有向顶点覆盖的电子邮件欧盟数据集。
2019-04-19 cs.DS cs.LG math.OC
Maximizing Symmetric Submodular Functions
对称次模函数是一类重要的次模函数，它涵盖了图和超图的割函数等许多有趣的情形。这类函数的最大化受到各种约束很少受到关注，目前的研究，不像类似的最小化问题已被广泛研究。在这项工作中，我们确定了几个次模最大化问题，其中一个可以得到一个更好的近似对称目标比一般次模函数的最先进的近似。我们首先考虑最大化一个非负对称次模函数$f\colon 2^\mathcal{N} \to \mathbb{R}^+$服从下单调可解多面体$\mathcal{P} \subseteq [0, 1]^\mathcal{N}$的问题。对于这个问题，我们描述了一个算法产生的分数值至少$0.432 \cdot f(OPT)$，其中$OPT$是最佳的积分解决方案的解决方案。我们的第二个结果考虑了非负对称次模函数$f\colon 2^\mathcal{N} \to \mathbb{R}^+$的问题$\max \{f(S) : |S| = k\}$。对于这个问题，我们给出了一个近似比，它依赖于值$k / |\mathcal{N}|$，并且总是至少为$0.432$。我们的方法也可以适用于非负非对称次模函数，在这种情况下，它产生$1/e - o(1)$近似，改善了最好的已知结果为这个问题。对于无约束最大化的非负对称子模函数，我们描述了一个确定性的线性时间$1/2$近似算法。最后，我们给出了一个$[1 - (1 - 1/k)^{k…
2016-04-17 cs.DS
Algorithmically Fair Maximization of Multiple Submodular Objective Functions and Implications to Constrained Fair Division
Athens University of Economics and Business（雅典经济与商业大学）；Archimedes, Athena Research Center（阿尔基米德，阿瑞纳研究中心）；University of Liverpool（利物浦大学）；Sapienza University of Rome（罗马第一大学）；University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）
本文研究多个智能体在共同基集上最大化各自子模目标函数的问题，提出并分析了一种简单的轮询协议，证明了贪婪策略在单调和非单调目标下具有近似最优性及公平性保证。
2026-06-02 cs.DS cs.GT math.OC
Greedy MAXCUT Algorithms and their Information Content
MAXCUT定义了一个经典的NP-困难的图划分问题，它是对称非单调无约束次模极大化（USM）问题的一个典型例子。MAXCUT在机器学习、计算机视觉和统计物理学中有着广泛的应用。近似求解MAXCUT的贪心算法依赖于贪婪顶点标记或边收缩策略。这些算法已被研究，通过测量它们的近似比在最坏的情况下设置，但很少有人知道他们的鲁棒性的平均情况下的输入数据的噪声污染的特征。采用近似集编码的框架，提出了一种精确度量五种贪婪MAXCUT算法近似集基数的方法。它们的信息内容探索两种不同的噪声模型产生的图形实例：边缘反转模型和高斯边缘权重模型。研究结果为MAXCUT算法中不同贪婪算法和技术的鲁棒性提供了参考，可用于一般USM问题的算法设计。
2016-09-03 cs.DM cs.DS cs.IT
A Memoization Framework for Scaling Submodular Optimization to Large Scale Problems
Microsoft Corporation（微软公司）；University of Washington（华盛顿大学）
我们的动机是大规模的次模块优化问题，其中标准算法，治疗的次模块功能的\emph{value oracle model}不规模。在本文中，我们提出了一个称为\emph{precomputational complexity model}的模型，以及一个统一的memoization为基础的框架，它着眼于特定形式的子模块功能。在这个框架中的一个关键成分是一个\emph{precomputed statistic}的概念，这是保持在算法的过程中。我们表明，我们可以很容易地集成到一个大类的子模块优化问题，包括约束和无约束的子模块最大化，最小化，子模块优化的差异，优化与子模块约束和其他几个相关的优化问题。此外，memoization可以集成在离散和连续松弛口味的算法，这些问题。我们证明了这一想法的几个常见的子模块化功能，并显示如何预计算模型提供了显着的加速比的值Oracle模型。最后，我们经验证明这是大规模的机器学习问题的数据子集的选择和总结。
2019-02-26 cs.AI cs.DS cs.LG
Submodular + Concave
Yale University（耶鲁大学）；University of Haifa（海法大学）
一阶最优化方法可以收敛到凹函数的最大目标值，并为（非凸/非凹）连续次模函数提供常数因子逼近保证。在这项工作中，我们开始研究的形式$F(x) = G(x) +C(x)$在可解凸体$P$，其中$G$是一个光滑的DR-次模函数和$C$是一个光滑的凹函数的函数的最大化。这类函数是凹的和连续的DR-次模函数的严格扩展，对于这些次模函数没有理论保证。我们提供了一套Frank-Wolfe风格的算法，根据目标函数的性质（即，如果$G$和$C$是单调的或非单调的，以及非负的或非负的）以及集合$P$的性质（即，无论是否向下闭合），提供$1-1/e$、$1/e$或$1/2$近似保证。然后，我们使用我们的算法得到一个框架，从一个给定的地面集（对应于一个决定性的点过程的模式），并选择一组聚集的元素（对应于一个合适的凹函数的最大值）选择不同的元素之间平滑插值。此外，我们将我们的算法应用于上述类（DR-次模+凹）中的各种函数，在约束和无约束的设置，并表明我们的算法始终优于自然基线。
2021-06-09 cs.DS cs.LG math.OC
