用于非负子模和XOS函数最大化的通用集合族
Universal set families for maximization of nonnegative submodular and XOS functions
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中文总结 AI 辅助
本文研究通用集合族对非负子模和XOS函数最大化的近似保证，给出次多项式和对数大小族的近似下界，并证明多项式大小族对可表示子类可达到常数因子，对绝对XOS函数有紧的近似界。
中文摘要 AI 辅助
我们考虑设计一个通用集合族 $F \subset 2^{[n]}$ 的问题，使得对于某个类别中的任意函数 $f:2^{[n]} \to R_{\geq 0}$，我们有 $$\max_{S \in F} f(S) \geq c(n) \cdot \max_{S \subset [n]} f(S).$$ 我们证明存在一个次多项式大小的集合族，使得对于任何非负子模函数，$c(n) = \Omega(\frac{\log \log n}{\log n})$，并且存在一个对数大小的集合族，使得 $c(n) = \Omega(\frac{1}{\log n})$。我们还证明，两两独立性（对于图割函数可实现常数因子）甚至 $k$-wise 独立性，对于子模函数并不能给出优于 $O(\frac{1}{\sqrt{\log n}})$ 的界。另一方面，我们证明对于任何多项式可表示的非负子模函数子类（例如在 $F_q$ 上可表示的子模函数的拟阵连通性函数），总是存在一个多项式大小的常数因子通用集合族。对于绝对 XOS 函数（我们引入的一个类别，形式为 $f(S) = \max_i |\sum_{j \in S} w_{ij} + c_i|$，其中 $w_{ij}, c_i \in R$），我们设计了一个多项式大小的集合族，使得 $c(n) \geq \sqrt{\frac{\log n}{n}}$，并证明不存在多项式大小的集合族能达到优于 $O(\sqrt{\frac{\log n}{n}})$ 的因子。
英文摘要
We consider the question of designing a universal family of sets $F \subset 2^{[n]}$ such that for any function $f:2^{[n]} \to R_{\geq 0}$ in a certain class, we have $$\max_{S \in F} f(S) \geq c(n) \cdot \max_{S \subset [n]} f(S).$$ We prove that there is a family of subpolynomial size such that for any nonnegative submodular function, $c(n) = Ω(\frac{\log \log n}{\log n})$, and there is a family of logarithmic size such that $c(n) = Ω(\frac{1}{\log n})$. We also prove that pairwise independence (which achieves a constant factor for graph cut functions), or even $k$-wise independence, does not imply a bound better than $O(\frac{1}{\sqrt{\log n}})$ for submodular functions. On the other hand, we prove that for any polynomially representable subclass of nonnegative submodular functions (such as the matroid connectivity functions for matroid representable over $F_q$), a constant-factor universal family of polynomial size always exists. For absolute XOS functions (a class that we introduce, in the form $f(S) = \max_i |\sum_{j \in S} w_{ij} + c_i|$ where $w_{ij}, c_i \in R$), we design a family of polynomial size such that $c(n) \geq \sqrt{\frac{\log n}{n}}$, and prove that there is no polynomial-size family achieving a factor better than $O(\sqrt{\frac{\log n}{n}})$.
发表机构
- Stanford University（斯坦福大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
