Weakly Submodular Function Maximization Using Local Submodularity Ratio
弱次模是报酬递减性质的一种自然松弛，与次模等价。弱子模性已经被用来证明，许多在实践中出现的（单调）函数可以有效地最大化与可证明的保证。在这项工作中，我们介绍了两个自然推广的弱次模的非单调函数。我们表明，一个有效的随机贪心算法具有可证明的近似保证最大化这些功能的基数约束。然后，我们提供了更精确的分析，该分析考虑到弱子模块性参数可能会在算法执行过程中发生变化（有时会改善）。这导致在某些设置中改进的近似保证。我们提供应用程序的单调和非单调最大化问题的结果。
2020-09-23 cs.DS
A $(k + 3)/2$-approximation algorithm for monotone submodular maximization over a $k$-exchange system
研究了$k$ -交换系统中单调次模函数的最大化问题.这些系统由Feldman等人引入，将拟阵k-奇偶问题推广到更广泛的拟阵类中，并捕获了许多其他组合优化问题。Feldman等人证明了一种简单的非遗忘局部搜索算法可以获得$(k + 1)/2$近似比，用于求解$k$ -交换系统中的线性最大化问题。在这里，我们扩展这种方法的情况下，单调的子模目标函数。对于$k$ -交换系统中的单调子模函数最大化问题，给出了一个确定的非遗忘局部搜索算法，该算法的逼近比为$(k + 3)/2$.
2011-09-28 cs.DS
Non-monotone DR-Submodular Function Maximization
我们考虑非单调DR-子模函数最大化，其中DR-子模性（递减返回子模性）是基于递减返回性质概念的整数格上函数的子模性的扩展。最大化非单调DR-次模函数在机器学习中有许多应用，这些应用不能被次模集函数捕获。在本文中，我们提出了一个$\frac{1}{2+ε}$ -近似算法的运行时间约为$O(\frac{n}ε\log^2 B)$，其中$n$是基集的大小，$B$是坐标的最大值，和$ε> 0$是一个参数。近似比几乎是紧的，并且运行时间对$B$的依赖性指数小于朴素的贪心算法。在合成数据集和真实数据集上的实验表明，与其他基线算法相比，我们的算法输出几乎是最好的解决方案，而其运行时间快了几个数量级。
2016-12-03 cs.DS
Maximizing Non-Monotone Submodular Functions over Small Subsets: Beyond $1/2$-Approximation
在这项工作中，我们给出了两个新的算法，使用类似的技术（非单调）submodular函数最大化的基数约束。第一个是一个离线的固定参数易处理的算法，保证了$0.539$的所有非负的子模函数的近似。第二种算法适用于随机顺序流模型。它保证了一个$(1/2+c)$近似对称函数，我们补充它表明，没有空间有效的算法可以击败$1/2$的非对称功能。据我们所知，这是第一个可证明的对称和非对称子模函数最大化之间的分离。
2022-04-23 cs.DS
Guarantees of Stochastic Greedy Algorithms for Non-monotone Submodular Maximization with Cardinality Constraint
具有基数约束的次模最大化可以建模各种问题，并且这些问题在实践中通常非常大。对于目标函数单调的情况，已经开发了许多快速近似算法。随机贪心算法（SG）就是这样一种算法，由于其简单、高效和高经验性能而被广泛使用。然而，它的近似保证已被证明只为单调的目标函数。对于非单调目标函数，现有的近似算法相对于针对单调目标函数的快速算法效率较低。在本文中，我们证明了SG（稍加修改）可以实现几乎$1/4$ -近似保证的期望在线性时间，即使目标函数是非单调的。我们的结果提供了一个常数因子的近似算法与最少的预言查询的非单调子模极大化基数约束。实验验证了改进SG的性能。
2020-01-10 cs.DS
Optimal approximation for unconstrained non-submodular minimization
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
子模函数极小化问题已经得到了很好的研究，现有的算法可以精确地解决它，或者可以达到任意的精度。然而，在许多应用中，例如结构化稀疏学习或批量贝叶斯优化，目标函数不是精确的子模，而是接近的。在这种情况下，不存在理论上的保证。事实上，次模最小化算法依赖于次模性和凸性之间的复杂联系。我们展示了如何将这些关系扩展到最小化非次模函数的近似保证，其特征在于函数是如何接近次模的。我们还将这一结果扩展到噪声函数的评价。我们的近似结果是第一次最小化非次模函数，是最佳的，我们的匹配下界建立。
2022-03-09 cs.DM cs.DS cs.LG
Maximizing Monotone Submodular Functions over the Integer Lattice
在一定约束下极大化非负单调次模函数的问题是近十年来研究的热点。在本文中，我们解决的问题，定义在整数格上的函数。假设一个非负单调子模函数$f:\mathbb{Z}_+^n \to \mathbb{R}_+$是通过求值预言机给出的.进一步假设$f$满足收益递减性质，当域是整数格时，这不是子模块性的直接结果。鉴于此，我们设计多项式时间$(1-1/e-ε)$ -近似算法的基数约束，一个多拟阵约束，和背包约束。对于基数约束，我们还提供了一个$(1-1/e-ε)$ -近似算法稍差的时间复杂度，不依赖于收益递减属性。
2016-05-10 cs.DS
Non-monotone Submodular Maximization in Exponentially Fewer Iterations
在本文中，我们考虑并行化的应用程序，其目标可以表示为最大化的基数约束下的非单调子模函数。我们的主要结果是一个算法，其近似是任意接近$1/2e$在$O(\log^2 n)$自适应轮，其中$n$是地面集的大小。这是一个指数加速并行运行时间超过任何以前研究的算法约束非单调子模最大化。除了其可证明的保证，该算法在实践中表现良好。具体来说，流量监测和个性化数据汇总应用程序的实验表明，该算法找到的解决方案，其值是竞争力的最先进的算法，同时运行在指数级更少的并行迭代。
2018-07-30 cs.DS
Maximizing Non-monotone Submodular Set Functions Subject to Different Constraints: Combined Algorithms
研究了约束非单调次模函数的最大化问题，并给出了近似算法，改进了现有算法中的近似因子和简单性.我们的算法结合了现有的局部搜索和贪婪算法。不同的约束，我们研究的确切基数和多背包约束。对于多背包约束，我们实现了一个$(0.25-2ε)$ -因子算法。我们还表明，作为我们的主要贡献，如何使用连续的贪婪过程的非单调函数，因此，获得一个$0.13$因子近似算法最大化任何可解的下单调多面体。连续贪婪过程已被用于最大化下单调多面体\cite{CCPV08}上的光滑单调子模函数。这意味着几个离散问题的0.13近似，如最大化非负子模函数受到拟阵约束和/或多个背包约束。
2016-02-29 cs.DS
Efficient Algorithms for Monotone Non-Submodular Maximization with Partition Matroid Constraint
本文研究了带分划拟阵约束的单调非次模极大化问题。虽然在文献中已经研究了这个问题的推广，我们的工作重点是利用分割拟阵约束的性质（1）提出具有理论界和有效查询复杂度的算法;（2）提供更好的分析理论性能保证的一些现有技术。我们进一步研究了这些算法在两个应用中的性能：提升影响传播和视频摘要。实验表明，我们的算法返回比较结果的国家的最先进的算法，而采取更少的查询。
2022-04-29 cs.DS
The Incremental Knapsack Problem with Monotone Submodular All-or-Nothing Profits
本文研究全有或全无单调次模利润下的增量背包问题，证明其近似难度不高于已知模增量背包问题，并指出更一般次模扩展存在 APX-hard 性。
2023-04-25 cs.DS math.OC
Maximizing a Monotone Submodular Function with a Bounded Curvature under a Knapsack Constraint
考虑了背包约束下单调次模函数的极大化问题。我们表明，对于任何固定的$ε> 0$，存在一个多项式时间算法的近似比$1-c/e-ε$，其中$c \in [0,1]$是（总）曲率的输入函数。对于任何$c \in [0,1]$，该近似比接近$ε$。据我们所知，这是第一个结果的背包约束，结合曲率，以获得比$1-1/e$，这是紧一般的次模函数的近似比。作为我们的结果的应用，我们提出了一个多项式时间算法的预算分配问题的改进的近似比。
2016-07-15 cs.DS
An Almost Optimal Approximation Algorithm for Monotone Submodular Multiple Knapsack
研究了多背包约束下单调次模函数的极大化问题。输入是一组项目$I$，每个项目具有非负权重，以及一组任意容量的箱。此外，我们给出了一个子模，单调和非负的功能$f$的子集的项目。目标是找到箱子中的项目子集$A \subseteq I$的包装，使得$f(A)$最大化。我们的主要结果是一个几乎最优的多项式时间$(1-e^{-1}-\varepsilon)$ -近似算法的问题，任何$\varepsilon>0$。该算法依赖于一种结构化技术，该技术将一般的多背包约束转换为一个约束，在该约束中，箱被划分成指数增加的基数组，每个组由均匀容量的箱组成。我们得出的结果，结合结构的子模块优化技术的背包约束的精细分析。
2021-04-16 cs.DS
Multiple Knapsack-Constrained Monotone DR-Submodular Maximization on Distributive Lattice --- Continuous Greedy Algorithm on Median Complex ---
考虑分配格上多阶一致背包约束下单调DR-次模函数的极大化问题。由于分配格是用来表示依赖约束，该问题可以表示一个依赖约束版本的子模最大化问题的集合。我们提出了一个$1 - 1/e$近似算法。为了实现这个结果，我们将连续贪心算法推广到分配格：本文选择一个中值复形作为分配格的连续松弛，定义了它的多重线性扩张，证明了中值复形存在一条特殊的曲线，称为一致线性运动，使得DR-次模函数的多重线性扩张沿正的一致线性运动是凹的，这是连续贪心算法的关键属性。
2019-07-09 cs.DS
Partial-Monotone Adaptive Submodular Maximization
University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校）；University of North Texas（北德克萨斯大学）
许多序列决策问题，包括基于池的主动学习和自适应病毒式营销，可以制定为一个自适应子模块最大化问题。现有的自适应次模优化问题的研究大多集中在单调和非单调两种情况。具体地说，如果效用函数是单调的和自适应的子模，\cite{golovin2011adaptive}开发了一个贪婪的政策，达到$(1-1/e)$近似比服从基数约束。如果效用函数是非单调的和自适应的子模，\cite{tang2021beyond}表明，一个随机贪婪的政策达到$1/e$近似比服从基数约束。在这项工作中，我们的目标是推广上述结果通过研究部分单调自适应次模极大化问题。为此，我们引入自适应单调性比$m\in[0,1]$的符号来衡量一个函数的单调性程度。我们的主要结果是表明，一个随机贪婪的政策，实现了$m(1-1/e)+(1-m)(1/e)$的近似比，如果效用函数是$m$ -自适应单调和自适应子模。值得注意的是，当分别为$m = 0$和$m = 1$时，该结果恢复了上述$(1-1/e)$和$1/e$近似比。我们进一步扩展我们的结果考虑背包约束。我们表明，基于采样的政策实现了$(m+1)/10$的近似比，如果效用函数是$m$ -自适应单调和自适应子模块。我们的结果的一个重要含义是，即使是一个非单调的效用函数，我们仍然可以实现一个近似比接近$(1-1/e)$，如果这个功能是“接近”的单调函数。这导致许多机器学习应用程序的性能边界…
2022-12-11 cs.DS cs.LG
Fast and Private Submodular and $k$-Submodular Functions Maximization with Matroid Constraints
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）；National Institute of Informatics（信息科学研究所）
在过去的十年中，极大化非负单调次模函数的问题得到了广泛的研究，并提出了一系列有效的近似算法。许多机器学习问题，包括数据摘要和影响力最大化，可以很自然地建模为最大化单调子模函数的问题。然而，当此类应用程序涉及有关个人的敏感数据时，应解决其隐私问题。本文在差分隐私框架下研究了拟阵约束下的单调次模函数的最大化问题。我们提供了$(1-\frac{1}{\mathrm{e}})$ -近似算法，它改进了以前的结果在近似保证。在我们的算法中，这几乎是用立方数量的函数求值来完成的。此外，我们研究了$k$ -子模块性，子模块性的一个自然推广。我们给第一个$\frac{1}{2}$近似算法，保持差分隐私最大化单调$k$ -子模函数拟阵约束。近似比是渐近紧的，并获得了几乎线性数量的功能评估。
2020-06-28 cs.CR cs.DM cs.DS
Maximizing Non-Monotone DR-Submodular Functions with Cardinality Constraints
考虑基数约束下非单调DR-次模函数的极大化问题。收益递减（DR）子模是定义在整数格上的函数的收益递减性质的推广。这种推广可以用来解决许多机器学习或组合优化问题，如最优预算分配，收入最大化等，在这项工作中，我们提出了第一个多项式时间非单调约束最大化的近似算法。我们实现我们的算法的收入最大化问题与现实世界的数据集，以检查其效率和性能。
2017-09-03 cs.AI cs.DS
Robust Monotone Submodular Function Maximization
我们考虑了Krause等人（2008）提出的经典基数约束单调次模函数最大化问题的鲁棒公式，并给出了第一常数因子逼近结果.考虑的稳健性为w.r.t.对抗性地从所选集合中移除最多$τ$元素。对于$τ=1$的基本情况，我们给出了一个确定性的$(1-1/e)-1/Θ(m)$近似算法，其中$m$是一个输入参数和查询的数量规模为$O(n^{m+1})$。在这个过程中，我们开发了一个确定性的$(1-1/e)-1/Θ(m)$近似贪婪算法的双目标最大化的（两个）单调子模函数。推广这些想法并使用Chekuri等人（2010）的结果，我们展示了常数$τ$和$ε\leq \frac{1}{\tildeΩ(τ)}$的随机$(1-1/e)-ε$近似，进行$O(n^{1/ε^3})$查询。进一步，对于$τ\ll \sqrt{k}$，我们给出了一个快速实用的0.387算法.最后，我们还给出了一个黑盒结果的更一般的设置鲁棒最大化的独立系统。
2017-11-15 cs.DM cs.DS math.OC
Diverse Approximations for Monotone Submodular Maximization Problems with a Matroid Constraint
本文研究拟阵约束下单调子模最大化的多样化解问题，提出两种带权衡参数的贪心算法，并给出目标值与多样性的参数化近似保证。
2023-07-14 cs.DS
Beyond Pointwise Submodularity: Non-Monotone Adaptive Submodular Maximization subject to Knapsack and $k$-System Constraints
The University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校）
本文研究了带有背包和$k$ -系统约束的非单调自适应次模极大化问题。我们的问题的输入是一组项目，其中每个项目都有一个特定的状态，从一个已知的先验分布。然而，一个项目的状态最初是未知的，必须选择一个项目，以揭示该项目的状态。有一个效用函数是定义在项目和状态上的。我们的目标是顺序选择一组项目，以最大化预期效用。虽然基数约束非单调自适应次模极大化问题在文献中得到了很好的研究，但背包约束或$k$ -系统约束的自适应次模极大化问题是否存在常数近似解仍然是一个悬而未决的问题.事实上，它只解决了点态子模性的额外假设。在本文中，我们删除了点态子模性的共同假设，并提出了第一常数近似解决方案的两种情况。最近的两项研究的启发，非单调自适应子模块最大化，我们开发了一个基于采样的随机算法，实现了一个背包约束的情况下的$\frac{1}{10}$近似，并实现了$\frac{1}{2k+4}$近似比的情况下的$k$系统约束。
2021-09-28 cs.DS cs.LG
Bounds on Double-Sided Myopic Algorithms for Unconstrained Non-monotone Submodular Maximization
无约束子模最大化捕获了许多NP难的组合优化问题，包括最大割、最大迪割和设施定位问题的变体。最近，Buchbinder等人提出了一种令人惊讶的简单线性时间随机化贪婪式在线算法，该算法实现了1/2的恒定近似比，最佳匹配Feige等人的硬度结果。受Buchbinder等人算法的启发，我们引入一种称为双侧近视算法的精确算法模型。我们表明，虽然Buchbinder等人的算法。可以实现为一个随机的在线双侧近视算法，没有这样的确定性算法，即使自适应排序，可以达到相同的近似比。关于最大-迪-切问题，我们与Buchbinder等人的算法和我们的近视框架的在线算法和inapproximation的Bar-Noy和Lampis。
2014-04-24 cs.DS
Non-monotone submodular maximization under matroid and knapsack constraints
次模函数最大化是组合优化中的一个中心问题，它概括了许多重要的问题，包括有向/无向图和超图中的最大割、某些约束满足问题、最大熵抽样和最大设施位置问题。与次模最小化不同，次模最大化是NP-难的。对于最大化非单调次模函数的问题，Feige、Mirrokni和Vondrák最近开发了一个$2\over 5$ -近似算法\cite{FMV07}，然而，他们的算法不处理边约束。本文给出了求多个拟阵或背包约束下非负次模函数最大值的第一个常因子逼近算法。我们强调，我们的结果是对{ \em非单调}次模函数。特别是，对于任何常数$k$，我们提出了一个$({1\over k+2+{1\over k}+ε})$ -近似的子模极大化问题下的$k$拟阵约束，和$({1\over 5}-ε)$ -近似算法，这个问题受到$k$背包约束（$ε>0$是任何常数）。对于$k\ge 2$划分拟阵的约束，我们将算法的近似保证改进为${1\over k+1+{1\over k-1}+ε}$.这个想法也给出了一个$({1\over k+ε})$ -近似最大化的{ \em单调}子模函数的$k\ge 2$分区拟阵，这改善了以前最好的已知的保证$\frac{1}{k+1}$。
2009-02-02 cs.CC cs.DS
Unconstrained Submodular Maximization with Constant Adaptive Complexity
Yale Institute for Network Science, Yale University（耶鲁大学耶鲁网络科学研究所）；The Open University of Israel（以色列开放大学）
本文研究了无约束次模极大化问题。我们提出了这个问题，实现了紧密的$(1/2-\varepsilon)$近似保证使用$\tilde{O}(\varepsilon^{-1})$自适应轮和线性数量的函数评估的第一个算法。对于这个问题，没有先前已知的算法使用少于$Ω(n)$轮的自适应性来实现比$1/3$更好的近似比，其中$n$是基集的大小。此外，我们的算法很容易扩展到最大化的非负连续DR-子模函数的框约束，并实现了紧密的$(1/2-\varepsilon)$近似保证这个问题，同时保持相同的自适应和查询的复杂性。
2018-11-19 cs.DS cs.LG
Regularized Non-monotone Submodular Maximization
在本文中，我们提出了一个彻底的研究最大化正则非单调子模函数受到各种约束，即，$\max \{ g(A) - \ell(A) : A \in \mathcal{F} \}$，其中$g \colon 2^Ω\to \mathbb{R}_+$是非单调子模函数，$\ell \colon 2^Ω\to \mathbb{R}_+$是归一化模函数，并且$\mathcal{F}$是约束集。虽然目标函数$f := g - \ell$仍然是次模的，但$f$可能潜在地呈现负值的事实阻止了用于次模最大化的现有方法为正则化的次模最大化问题提供恒定的近似比。为了克服这个障碍，我们提出了几个算法，可以提供一个相对较弱的近似保证最大化正则非单调子模函数。更具体地说，我们提出了一个连续的贪婪算法放松最大化$g - \ell$的拟阵约束。然后，管道舍入过程可以产生积分解$S$，使得$\mathbb{E} [g(S) - \ell(S)] \geq e^{-1}g(OPT) - \ell(OPT) - O(ε)$。此外，我们提出了一种更快的算法，用于在基数约束下最大化$g - \ell$，该算法可以使用$O(\frac{n}{ε^2} \ln \frac 1ε)$值Oracle查询输出带有$\mathbb{E} [g(S) - \ell(S)] \geq (e^{-1} - ε) g(OPT) - \ell(OPT)$…
2021-03-18 cs.DS
Making a Sieve Random: Improved Semi-Streaming Algorithm for Submodular Maximization under a Cardinality Constraint
在本文中，我们考虑的问题，最大化一个非负的子模函数的基数约束下的数据流模型。以前，用于该问题的最公知算法是基于局部搜索技术的$5.828$近似半流算法（Feldman等人，2018年）。对于目标函数也是单调的这个问题的特殊情况，最先进的半流算法是一种称为Sieve-Streaming的算法，它基于不同的技术（Badanidiyuru，2014）。适应技术的筛流的非单调目标函数已被证明是一个具有挑战性的任务，这迄今为止阻止了改进的本地搜索基于$5.828$-近似。在本文中，我们克服了上述挑战，通过引入"恰到好处"的随机性，使Sieve-Streaming算法适应于非单调目标函数，从而得到了一个半流多项式时间$4.282$-近似算法。此外，如果允许我们的算法在超多项式时间内运行，那么它的逼近比可以进一步提高到$3 + \varepsilon$。
2019-06-26 cs.DM cs.DS
Streaming Non-monotone Submodular Maximization: Personalized Video Summarization on the Fly
需要对快速产生的数据流进行实时的分析（例如，视频和图像流）激发了流算法的设计，该流算法可以有效地从“动态”的大量数据中提取和总结有用的信息。此类问题通常可以简化为在各种约束下最大化子模集函数。虽然最近已经开发了用于单调子模最大化的高效流传输方法，但是在诸如视频摘要的广泛应用中，底层效用函数是非单调的，并且通常存在对优化问题施加的各种约束以考虑隐私或个性化。我们开发的第一个有效的单通流算法，流本地搜索，任何流单调子模块最大化算法与近似保证$α$下的独立系统${\cal I}$的集合，提供了一个恒定的$1/\big(1+2/\sqrtα+1/α+2d(1+\sqrtα)\big)$近似保证最大化的非单调子模块功能下的交集${\cal I}$和$d$背包约束。我们的实验表明，对于视频摘要，我们的方法运行速度比以前的工作快1700倍以上，同时保持几乎相同的性能。
2017-12-26 cs.DS cs.IR
Stochastic Monotone Submodular Maximization with Queries
我们研究了单调次模极大化问题的一个随机变体。我们给出了一个单调的子模函数作为目标函数和一个可行域定义在有限集上，我们的目标是找到一个可行的解决方案，最大化的目标函数。这个问题的一个特殊部分是，有限集中的每个元素都有一个随机的隐藏状态，活跃或不活跃，只有活跃的元素对目标值有贡献，我们可以对元素进行查询以揭示其隐藏状态。其目标是通过进行少量的查询来获得具有大的目标值的可行解。这是第一次尝试考虑在这样一个随机模型的非线性目标函数。我们证明了问题承认一个很好的查询策略，如果可行域具有一致的交换属性。这一结果推广了Blum et al.的结果和Behnezhad和Reyhani的结果的加权匹配问题的目标函数和可行域。
2020-06-26 cs.DS
Constrained Non-Monotone Submodular Maximization: Offline and Secretary Algorithms
约束次模极大化问题已经研究了很长时间，当次模函数单调时，在各种约束下都有接近最优的结果。非单调次模最大化的情况较少被理解：Feige等人（FOCS '07）给出了甚至对于无约束设置的第一近似算法。最近，Lee等人（STOC '09，APPROX '09）展示了当约束由p个拟阵约束的交集给出时，如何近似最大化非单调子模函数;他们的算法基于考虑p-交换的局部搜索过程，因此运行时间可能是n^Omega（p），这意味着他们的算法只对常数多个拟阵是多项式时间的。在本文中，我们给出的算法，工作的p-独立系统（推广的约束，由p拟阵的交集），其中的运行时间是poly（n，p）。我们的算法基本上减少了非单调最大化问题，以前在单调的情况下使用的贪心算法多次运行。我们的想法，使用现有的算法单调函数来解决非单调的情况下，也适用于最大化的次模函数的背包约束：我们得到一个简单的基于贪婪的常数因子近似这个问题。有了这些更简单的算法，我们能够适应我们的方法，约束非单调子模最大化的（在线）秘书设置，其中元素到达一个随机顺序的时间，算法必须作出不可撤销的决定是否选择每个元素，因为它到达。我们给常数近似在这个秘书设置时，该算法受到约束的一致拟阵或分区拟阵，并给出了O（log k）近似时，它是由一个一般的拟阵秩k的约束。
2010-10-06 cs.DS cs.GT
On Unconstrained Quasi-Submodular Function Optimization
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文提出两种算法用于无约束拟子模函数的最小化和最大化，通过单次子交叉性质，在O(n)次迭代内返回缩减格，并保证目标函数值在每次迭代后严格单调变化。
2014-11-13 cs.DS cs.NA math.NA
Semi-Streaming Algorithms for Submodular Function Maximization Under b-Matching, Matroid, and Matchoid Constraints
在半流模型下，研究了在$b$ -匹配约束下极大化非负子模函数的问题。当函数是线性的、单调的和非单调的时，我们分别得到了$2+\varepsilon$、$3 + 2 \sqrt{2} \approx 5.828$和$4 + 2 \sqrt{3} \approx 7.464$的逼近比。我们还考虑了一个广义的问题，其中一个$k$ -均匀超图，以及一个额外的拟阵或$k'$ -拟阵约束施加在边缘上，具有相同的目标，找到一个$b$ -匹配，最大化的子模块功能。当额外约束为拟阵时，我们分别得到了$k + 1 + \varepsilon$、$k + 2\sqrt{k+1} + 2$和$k + 2\sqrt{k + 2} + 3$对线性、单调和非单调次模函数的逼近比.当附加约束为$k'$ -拟线时，得到了一般次模函数的逼近比$\frac{8}{3}k+ \frac{64}{9}k' + O(1)$.
2022-01-10 cs.DS
Maximizing Submodular or Monotone Approximately Submodular Functions by Multi-objective Evolutionary Algorithms
Nanjing University（南京大学）；Southern University of Science and Technology（南方科技大学）
进化算法是一种受自然启发的通用优化算法，在解决各种实际优化问题中表现出了良好的性能。在过去的二十年中，有希望的结果上的运行时间分析（一个重要的理论方面）的EA已经获得，而他们中的大多数集中在孤立的组合优化问题，这并不反映通用的性质EA。为了对进化算法的行为提供一个一般的理论解释，我们需要研究它们在一般组合优化问题上的性能。据我们所知，唯一的结果朝着这个方向是可证明的良好的近似保证EA的最大化单调次模函数与拟阵约束的问题类。这项工作的目的是促进这一研究路线。考虑到许多组合优化问题涉及非单调或非次模目标函数，本文研究了一般问题类：带/不带尺寸约束的最大化次模函数和带尺寸约束的最大化单调近似次模函数。我们证明了一个名为GSEMO-C的简单多目标EA通常可以在多项式预期运行时间内实现良好的逼近保证。
2022-11-28 cs.AI cs.CC cs.DS
Dynamic Non-monotone Submodular Maximization
University of Maryland（马里兰大学）；TU Eindhoven（埃因霍温理工大学）
该研究通过将基数约束下非单调子模最大化归约为单调子模最大化，给出首个该问题的动态算法，实现(8+ε)近似，并在真实数据集验证了其在视频摘要等任务中的有效性。
2023-11-07 cs.DS cs.LG
A Primal-Dual Analysis of Monotone Submodular Maximization
本文提出一种新的原始-对偶算法，用于基数约束下的单调子模最大化，达到最优近似比(1-1/e)，并提供对偶证书以证明更强的实例级保证。
2023-11-13 cs.DS
A New Approximation Guarantee for Monotone Submodular Function Maximization via Discrete Convexity
在单调次模函数最大化中，基于目标函数曲率的逼近保证在文献中得到了广泛的研究。然而，曲率的概念往往是悲观的，我们很少得到改进的近似保证，即使是非常简单的目标函数。本文通过从目标函数$f:2^E \to \mathbb R_+$中提取一个M $^\natural$ -凹函数$h:2^E \to \mathbb R_+$（离散凸分析中的一个概念），提供了一种新的逼近保证.我们引入的概念$h$ -曲率，这措施有多少$f$偏离$h$，并表明，我们可以得到一个$(1-γ/e-ε)$ -近似的问题，最大化$f$下的基数约束在多项式时间内的任何常数$ε> 0$。然后，我们表明，我们可以获得非平凡的近似保证各种问题，通过应用所提出的算法。
2017-09-09 cs.DS
Algorithmic Meta-Theorems for Monotone Submodular Maximization
考虑了一个单调次模极大化问题，其约束条件由图上的逻辑公式描述。形式上，我们证明了以下三个`算法的元定理。（1）如果约束由有界树宽图上的一元二阶逻辑指定，则问题在$n^{O(1)}$时间内求解，近似因子为$O(\log n)$。(2)如果约束是由一阶逻辑指定的低度图，问题是解决在$O(n^{1 + ε})$时间为任何$ε> 0$与近似因子$2$。(3)如果约束由有界扩展图上的一阶逻辑指定，则问题在$n^{O(\log k)}$时间内求解，近似因子为$O(\log k)$，其中$k$是变量的数量，而$O(\cdot)$仅抑制与$k$无关的常数。
2018-07-12 cs.DS
Online Risk-Averse Submodular Maximization
提出了一种多项式时间在线算法，用于最大化单调随机次模函数的条件风险价值（CVaR）。给予$T$ i.i.d.样本从一个潜在的分布到达在线，我们的算法产生一个序列的解决方案，收敛到（$1-1/e$）-近似解决方案的收敛速度为$O(T^{-1/4})$单调连续DR-次模函数。与以往离线算法需要$Ω(T)$空间相比，我们的在线算法只需要$O(\sqrt{T})$空间.我们扩展我们的在线算法投资组合优化的单调子模集函数下拟阵约束。在真实数据集上进行的实验表明，我们的算法可以快速实现CVaR是由现有的离线算法所获得的。
2021-05-20 cs.DS
Non-monotone DR-submodular Maximization: Approximation and Regret Guarantees
Sorbonne Université（索邦大学）；Univ Évry, Université Paris-Saclay（埃夫里大学，巴黎-萨克雷大学）
子模优化是一个重要的研究领域，在机器学习、经济学和通信系统中有着广泛的应用。它捕获了非凸优化的一个子类，提供了实践和理论上的保证。本文研究了下闭和一般凸集上非单调DR-次模函数的最大化问题。首先，我们表明，离线最大化非单调DR-次模函数在一般的凸集上，Frank-Wolfe算法实现的近似保证依赖于凸集。其次，我们证明了随机梯度上升算法实现了1/4的近似比与遗憾的$O(1/\sqrt{T})$的最大化问题的非单调DR-子模函数的下闭凸集。这些是相应设置中的第一近似保证。最后，我们基准这些算法在机器学习领域与现实世界的数据集出现的问题。
2019-05-23 cs.DS cs.LG math.OC
Data Summarization beyond Monotonicity: Non-monotone Two-Stage Submodular Maximization
Naveen Jindal School of Management, The University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校纳文·金达尔管理学院）
针对两阶段子模最大化中现有方法依赖单调性假设的局限，本文将其扩展到非单调子模函数，并提出首批常数因子近似算法。
2023-11-02 cs.AI cs.DS cs.LG
Non-monotone Submodular Maximization with Nearly Optimal Adaptivity and Query Complexity
针对非单调次模最大化问题，本文提出首个在基数约束下兼具低自适应轮数与低查询复杂度的常数因子近似算法，实验证明其在减少资源消耗的同时能找到具竞争力的解。
2023-04-07 cs.DS
If it is Good Then Drop it -- a Spiteful Poisson Process for Submodular Maximization
H. Milton Stewart School of Industrial and Systems Engineering, Georgia Tech（乔治亚理工学院 H. 米尔顿·斯图尔特工业与系统工程学）
本文针对拟阵独立性约束下的次模最大化问题，提出一种恶意泊松过程混合算法，适用于非单调与单调次模函数，分别达到1/e和1-1/e的近似比，还得到相关快速近似算法。
2026-08-06 cs.DS
Profit Maximization in Social Networks and Non-monotone DR-submodular Maximization
本文研究了整数格上非单调DR-子模函数极大化问题。定义了整数格上的函数的次模性质，类似于集合函数的次模性。DR-次模是整数格上函数的进一步扩展的次模概念，它捕获了收益递减性质。这样的函数在机器学习、社交网络、无线网络等中有许多应用。用于子模集函数最大化的技术可以应用于DR-子模函数最大化，例如，双贪心算法具有$1/2$ -近似比，其运行时间为$O(nB)$，其中$n$是基集的大小，$B$是坐标的整数界。在我们的研究中，我们设计了一个$1/2$ -近似二分搜索双贪心算法，我们证明了它的时间复杂度为$O(n\log B)$，显著提高了运行时间。具体地，我们考虑了它在社交网络中的应用，该问题是一个二部模型，目标是最大化产品促销活动的净利润，即影响力收益与促销成本之差。我们证明了目标函数是整数格上的DR-子模。将二分查找双贪心算法应用于该问题，并验证了其有效性。
2022-12-13 cs.DS cs.SI
Faster Guarantees of Evolutionary Algorithms for Maximization of Monotone Submodular Functions
研究了单调次模极大化问题。SM是从大小为$n$的论域中找到大小为$κ$的子集，该子集最大化单调子模目标函数$f$。我们表明，使用一种新的分析，帕累托优化算法实现了$(1-ε)(1-1/e)$的最坏情况下的比率，在期望的每个基数约束$κ< P$，其中$P\leq n+1$是一个输入，在$O(nP\ln(1/ε))$查询$f$。此外，一种新的进化算法，称为偏Pareto优化算法，提出了实现最坏情况下的比例$(1-ε)(1-1/e)$的期望为每个基数约束$κ< P$在$O(n\ln(P)\ln(1/ε))$查询$f$。此外，可以修改偏置帕累托优化算法，以便在$f$的$O(n\ln(1/ε))$查询中实现基数约束$κ$的期望中的最差情况比率$(1-ε)(1-1/e)$。经验评估证实了我们的理论分析的算法，因为算法超过随机贪婪的解决方案的值大致时，我们的分析的基础上预期。
2021-07-05 cs.DS
Online Submodular Maximization with Free Disposal: Randomization Beats 0.25 for Partition Matroids
研究了拟阵约束下带自由处理的在线次模极大化问题。来自某个基集的元素在轮中一个接一个地到达，并且该算法保持在底层拟阵中独立的可行集。在每一轮中，当一个新的元素到达时，算法可以接受新的元素到它的可行集合中，并可能从它中删除元素，前提是得到的集合仍然是独立的。目标是在某个单调子模函数下最大化最终可行集的值，该算法具有预言机访问权限。对于$k$ -一致拟阵，我们给出了一个确定性算法，其竞争比至少为$0.2959$，并且当$k$接近无穷大时，该比接近$\frac{1}{α_\infty} \approx 0.3178$，改进了Chakrabarti和Kale（IPCO 2014），Buchbinder et al.（SODA 2015）和Chekuri et al.（ICALP 2015）以前的最佳比$0.25$。我们还表明，我们的算法是最佳的一类确定性单调算法，接受一个新的到达元素，只有当目标是严格增加。此外，我们证明了没有确定性单调算法可以严格优于$0.25$ -竞争，甚至对于划分拟阵，$k$ -均匀拟阵的最适度推广，匹配Chakrabarti和Kale（IPCO 2014）和Chekuri等人的竞争比。有趣的是，我们表明，随机算法是严格更强大的（非单调）随机算法的比例$\frac{1}{α_\infty} \approx 0.3178$的分区拟阵。
2016-10-25 cs.DM cs.DS
Fast submodular maximization subject to k-extendible system constraints
随着数据集规模的迅速扩大，在一些应用场景中，已经做出越来越多的努力来开发快速子模最大化算法。本文提出了一个目前最有效的算法，最大化一般非负子模目标函数的$k$ -可扩展系统的约束。结合抽样过程和降低阈值策略，我们的算法抽样降低阈值贪婪算法（SDTGA）获得了对单调子模函数的（$p-ε$）和对非单调子模函数的（$p(1-p)-ε$）的期望近似保证，并且期望计算复杂度仅为$O(\frac{pn}ε\ln\frac{r}ε)$，其中$r$是可行解的最大大小，$0<p \leq \frac{1}{1+k}$是抽样概率，$0< ε< p$ .若将采样概率$p$固定为$\frac{1}{1+k}$，则得到单调和非单调子模函数的最佳逼近比分别为$(\frac{1}{1+k}-ε)$和$(\frac{k}{(1+k)^2}-ε)$.而$ε$参数的存在是为了在近似比和时间复杂度之间进行权衡。因此，我们的算法可以处理更大规模的子模最大化问题比现有的算法。
2018-11-19 cs.DS
Scalable Bicriteria Algorithms for Non-Monotone Submodular Cover
在本文中，我们考虑的优化问题\scpl（\scp），这是找到一个最小成本的基集$U$的子集，使一个子模函数$f$的值是高于阈值$τ$。与现有的大多数关于\scp的工作相反，没有假设$f$是单调的。给出了\scp的两个双准则近似算法，对于输入参数$0 < ε< 1$，给出了$O( 1 / ε^2 )$与最优代价的$O( 1 / ε^2 )$比，并保证函数$f$至少为$τ(1 - ε)/2$ .下界表明，在值查询模型下，没有多项式时间算法可以确保$f$大于$τ/2$。此外，所提出的算法可扩展到大数据集，处理流中的地面集。为\scp开发的类似算法也适用于\smpl（\smp）的相关优化问题。最后，在图切割和数据摘要功能的实验中，证明了算法的有效性。
2022-11-09 cs.DS
Group Fairness in Non-monotone Submodular Maximization
University of North Texas（北德克萨斯大学）；University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校）
最大化子模函数在机器学习和数据采掘中有着广泛的应用。一个这样的应用程序是数据汇总，其目标是从一个大的数据集中选择一小组有代表性的和不同的数据项。但是，数据项可能具有敏感属性，如种族或性别，在这种情况下，设计\emph{fairness-aware}算法以减轻可能导致特定组的过度或不足表示的潜在算法偏见非常重要。受此启发，我们提出并研究了经典的非单调子模最大化问题，新的组公平性约束。我们的目标是选择一组最大化非单调子模块函数的项目，同时确保从每个组中选择的项目的数量与其大小成比例，到决策者指定的程度。我们开发了第一个常数因子的近似算法为这个问题。我们还扩展了基本模型，将一个额外的全局大小约束的选定项目的总数。
2023-03-09 cs.DS cs.LG
Randomized Algorithms for Monotone Submodular Function Maximization on the Integer Lattice
University of Padova（帕多瓦大学）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
具有集合次模目标函数的优化问题有许多实际应用。在离散的情况下，同一个项目可以被选择一次以上，该域从一个2元集一般化到一个有界整数格。在这篇文章中，我们考虑了基数约束下有界整数格上单调子模函数的最大化问题。特别是，我们专注于最大化DR-子模函数，即，定义在整数格上的函数，这些函数表现出收益递减特性。对于任意的n> 0，我们给出了一个概率保证为O的随机算法（1 - 1/e -ε）近似，使用由Mirzasoleiman等人为集合次模函数开发的随机贪心算法启发的框架。然后，我们表明，在合成DR-次模函数上，将我们提出的算法应用于整数格上比替代方案更快，包括将目标问题简化到集合域，然后应用最快的已知集合子模最大化算法。
2021-11-19 cs.AI cs.DS cs.LG
Improved Deterministic Streaming Algorithms for Non-monotone Submodular Maximization
该研究针对非单调子模最大化流式算法在不同约束下近似比存在差距的问题，提出了首个基数约束确定性流式算法与首个d-背包约束流式算法，均取得更优近似比与明确的时空复杂度。
2023-11-07 cs.DS
Non-monotone Sequential Submodular Maximization
Naveen Jindal School of Management, The University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校纳文·金德尔管理学院）；Department of Computer Science and Engineering, The University of North Texas（北得克萨斯大学计算机科学与工程系）
本文率先研究非单调子模函数下的序列子模最大化问题，针对不同长度约束及效用函数相同的特殊情况给出有效解法，经视频推荐场景验证有效，可为推荐系统等领域提供参考。
2023-12-12 cs.DS cs.LG
Optimal Algorithms for Continuous Non-monotone Submodular and DR-Submodular Maximization
Stanford University（斯坦福大学）
在本文中，我们研究了极大化超立方体上的连续非单调子模函数的基本问题，包括有和没有坐标方向的限制。这类优化问题在机器学习、经济学和通信系统中有几个应用。我们的主要结果是第一个$\frac{1}{2}$ -近似算法连续次模函数最大化，这个近似因子的$\frac{1}{2}$是最好的算法，只查询目标函数在多项式多点。对于DR-次模最大化的特殊情况，即当次模函数沿所有坐标也是坐标方向凹时，我们提供了一个不同的$\frac{1}{2}$ -近似算法，它在准线性时间内运行。这两个结果都改进了先前的工作[Bian et al，2017，Soma and Yoshida，2017]。我们的第一个算法使用了新的想法，如减少保证近似问题，以分析每个坐标的零和游戏，并结合了这个零和游戏的几何形状，以固定在这个坐标的值。我们的第二个算法利用坐标明智的搜索，以确定一个单调的平衡条件足以得到所需的近似保证，并使用二进制搜索的平衡点狩猎。我们进一步运行实验来验证我们提出的算法在相关机器学习应用中的性能。
2018-05-24 cs.DS cs.GT cs.LG
Online Non-Monotone DR-submodular Maximization
IBISC；Univ. Evry（埃夫里大学）；University Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）
在本文中，我们研究最大化DR-子模连续函数，在机器学习，经济学，运筹学和通信系统领域的实际应用的基本问题。它捕获了非凸优化的一个子类，提供了理论和实践保证。在这里，我们专注于最小化遗憾的在线到达非单调DR-次模函数在不同类型的凸集：超立方体，下闭和一般凸集。首先，我们提出了一个在线算法，实现了$1/e$ -近似比与遗憾的$O(T^{2/3})$最大化DR-子模函数在任何下闭凸集。请注意，$1/e$的近似比与问题的离线版本的最佳保证匹配。此外，当凸集是超立方体时，我们提出了一个紧1/2近似算法，其遗憾界为$O(\sqrt{T})$。接下来，我们给出了一个在线算法，实现了近似保证（取决于搜索空间）的问题，最大化非单调连续DR-次模函数的\emph{general}凸集（不一定下闭）。据我们所知，没有事先的算法与近似保证已知的非单调DR-子模极大化在线设置。最后，我们运行实验来验证我们的算法在机器学习领域与现实世界的数据集出现的问题的性能。
2020-06-23 cs.DS cs.LG stat.ML
Submodular Maximization with Matroid and Packing Constraints in Parallel
我们考虑的问题，最大限度地提高多线性扩展的子模函数受一个单一的拟阵约束或多个包装约束与少量的自适应轮的评估查询。我们获得了第一个算法与低适应性的子模极大化与拟阵约束。我们的算法实现了$1-1/e-ε$近似的单调函数和$1/e-ε$近似的非单调函数，这几乎匹配的最佳保证已知的完全自适应设置。自适应轮数为$O(\log^2{n}/ε^3)$，这是一个指数加速比现有的算法。我们得到了第一个并行算法的非单调子模极大化包装约束。我们的算法实现了一个$1/e-ε$近似使用$O(\log(n/ε) \log(1/ε) \log(n+m)/ ε^2)$并行轮，这又是一个指数级的加速比在现有的算法的并行时间。对于单调函数，我们在$O(\log(n/ε)\log(m)/ε^2)$并行循环中得到了一个$1-1/e-ε$近似。我们的算法的并行轮数匹配的最先进的算法解决包装LP与线性目标。我们的结果适用于更普遍的问题，最大化的递减收益次模（DR-次模）功能。
2018-11-09 cs.DS
Locally Adaptive Optimization: Adaptive Seeding for Monotone Submodular Functions
自适应播种问题是社交网络中的影响力最大化所激发的算法挑战：人们试图在网络中的某些可访问节点中进行选择，然后在这些节点的邻居变得可访问时自适应地进行选择，以最大化全局目标函数。更一般地说，自适应播种是一个随机优化框架，其中第一阶段的选择影响第二阶段的实现，我们的目标是优化。我们的主要结果是一个$(1-1/e)^2$ -近似的自适应播种问题的任何单调子模函数。虽然自适应政策往往是通过非自适应政策近似，我们的算法是基于一种新的方法，我们称之为\emph{locally-adaptive}政策。这些策略结合了非自适应全局结构和局部自适应优化。该方法使一般单调子模函数的$(1-1/e)^2$ -近似，并规避了一些与非自适应策略相关的不可能性。我们还介绍了一个基本问题，在子模块优化，可能是独立的利益：给定一个地面设置的元素，每个元素出现一些小的概率，找到一组预期的大小最多$k$，具有最高的期望值超过实现的元素。我们得到了一个令人惊讶的结果：有一类单调子模函数（包括覆盖），当概率为零时，它们几乎可以最优地近似。对于一般单调次模函数，我们通过减少\textsc{Planted-Clique}，这个问题的近似是不可能获得的。这个优化问题是通过非自适应策略进行自适应播种的重要工具，它的难度促使我们在主要结果中使用的\emph{locally-adaptive}策略的引入。
2015-07-09 cs.DS cs.SI
Improved Deterministic Algorithms for Non-monotone Submodular Maximization
本文提出改进的确定性算法解决非单调次模最大化问题，在拟阵、背包和线性装箱约束下显著提升了近似比，缩小了与随机化算法的差距。
2023-03-31 cs.DS
