A nodal solution of the scalar field equation at the second minimax level
证明了在势接近无穷远的慢衰减条件下，标量场方程本征值问题在第二极小极大水平上的变号本征函数的存在性。证明涉及到构建一个由符号变化函数组成的集合，该集合与第二个极大极小类是对偶的。当势为径向势时，我们还得到了该能级上的非径向变号本征函数。
2014-02-11 math.AP
Nonlinear scalar field equation with competing nonlocal terms
我们发现径向和非径向的解决方案，以下非局部问题$$-Δu +ωu= \big(I_α\ast F(u)\big)f(u)-\big(I_β\ast G(u)\big)g(u) \text{ in } \mathbb{R}^N$$的一般假设下，在Berestycki和狮子的精神，施加在$f$和$g$，其中$N\geq 3$，$0\leq β\leq α<N$，$ω\geq 0$，$f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$是连续的功能与相应的原语$F,G$，和$I_α,I_β$的Riesz潜力。如果$β>0$，那么我们处理两个竞争的非局部项建模吸引和排斥的相互作用势。
2021-06-21 math.AP
Ground states to bi-harmonic nonlinear Schrödinger equations with competing dispersion
Université Bourgogne Europe, CNRS, IMB UMR 5584（勃艮第欧洲大学）；Institut Universitaire de France（法国高等研究院）；Department of Mathematics & Statistics Florida International University（佛罗里达国际大学数学与统计系）
本文研究具有竞争色散的双调和非线性薛定谔方程基态，建立商-质量关系推导小参数下质量渐近速率，数值验证三次与四次非线性分支行为，并揭示最小作用与归一化基态的径向性差异。
2026-09-15 cs.NA math.AP math.NA
Multiple normalized standing-waves solutions to the scalar non-linear Klein-Gordon equation with two competing powers
本文证明了一维标量非线性Klein-Gordon方程驻波解的存在性和基态的稳定性，基态是包含所有能量极小值的集合，这些能量极小值被约束在共享一个固定电荷的状态的流形上.对于两个相互竞争的功率的组合的非线性，我们证明了驻波在基态是轨道稳定的。我们还证明了存在一个退化的最小值和存在两个积极的和径向对称的最小值具有相同的电荷。
2019-10-14 math.AP
Normalized solutions for the nonlinear Schrödinger equation with potentials
本文研究带势的非线性薛定谔方程的归一化解，通过约束下最小化能量泛函构造解，用分裂引理解决非径向项带来的紧性难题，还证明径向势下对任意$a>0$存在径向解且$μ\to0^+$时收敛于极限问题基态解。
2025-07-31 math.AP
Normalized solutions for fractional nonlinear scalar field equations via Lagrangian formulation
本文通过拉格朗日形式化与极小极大结构，证明了分数非线性标量场方程在 L^2 次临界增长下存在给定质量的弱解，并在奇函数条件下得到无穷多个归一化解。
2021-05-29 math.AP
General class of optimal Sobolev inequalities and nonlinear scalar field equations
我们找到了一类最优Sobolev不等式$$\Big(\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2\, dx\Big)^{\frac{N}{N-2}}\geq C_{N,G}\int_{\mathbb{R}^N}G(u)\, dx, \quad u\in\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N), N\geq 3,$$，其中类$\mathcal{C}^1$的非线性函数$G:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$满足Berestycki和Lions的基本工作的精神中的一般增长假设.我们承认，然而，更广泛的一类问题，涉及零，积极的和无限的质量情况下，以及$G$不需要甚至。我们表明，任何极小是径向的平移，此外，到膨胀，它是一个最低的能量解决方案的非线性标量场方程$$-Δu = g(u)\quad \hbox{in }\mathbb{R}^N,\quad\hbox{with }g=G'.$$特别是，如果$G(u)=u^2\log |u|$，那么尖锐的常数是$C_{N,G}:=2^*(\frac{N}{2})^{2^*}e^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(π)^{\frac{N}{N-2}}$和$u_λ(x)=e^{\frac{N-1}{2}-\frac{λ^2}{2}|x|^2}$与$λ>0$构成了整个家庭的极小的平移。最优不等式基于…
2021-02-08 math-ph math.AP math.MP
A natural constraint approach to normalized solutions of nonlinear Schrödinger equations and systems
证明了对于任意给定的$μ_1,μ_2,a_1,a_2>0$和$β<0$，\[ \begin{cases} -Δu - λ_1 u = μ_1 u^3+ βu v^2 & \text{in $\mathbb{R}^3$} -Δv- λ_2 v = μ_2 v^3 +βu^2 v & \text{in $\mathbb{R}^3$}\int_{\mathbb{R}^3} u^2 = a_1^2 \quad \text{and} \quad \int_{\mathbb{R}^3} v^2 = a_2^2 \end{cases} \]的正规解的存在性.该方法是基于一个自然约束的问题相关联的介绍。我们的方法可以适用于具有归一化约束的标量NLS方程，并导致替代和简化的证明已经在文献中的一些结果。
2017-02-01 math.AP
A mass supercritical problem revisited
在任意维$N\geq1$中，对于给定的质量$m>0$，我们重新讨论了具有$L^2$约束的非线性标量场方程：$$ -Δu=f(u)-μu, \quad u \in H^1(\mathbb{R}^N) \quad \text{with} \quad \|u\|^2_{L^2(\mathbb{R}^N)}=m. $$，其中$μ\in\mathbb{R}$将作为拉格朗日乘子出现。仅假设非线性$f$是连续的，满足弱质量超临界条件，我们证明了基态的存在，并揭示了基态能量$E_m$随$m>0$变化的基本行为.特别是，为了克服紧凑性问题时，寻找基态，我们开发了强大的参数，我们相信这将允许治疗其他$L^2$约束的问题，在一般质量超临界设置。在同样的假设下，我们还得到了任意$N\geq2$的无穷多个径向解，并建立了当$N\geq4$ .最后，我们提出了两个开放的问题。
2020-03-29 math.AP
Multiple normalized solutions for a competing system of Schrödinger equations
本文证明了非线性薛定谔方程组\[ \begin{cases} -Δu - λ_1 u = μu^3+ βu v^2 & \text{in $\mathbb{R}^3$} -Δv- λ_2 v = μv^3 +βu^2 v & \text{in $\mathbb{R}^3$} u,v>0 & \text{in $\mathbb{R}^3$} \int_{\mathbb{R}^3} u^2 = a^2 \quad \text{and} \quad \int_{\mathbb{R}^3} v^2 = a^2, \end{cases} \]的无穷多个解$λ_1, λ_2 \in \mathbb{R}$，$u,v \in H^1(\mathbb{R}^3)$的存在性，其中$a,μ>0$和$β\le -μ$是已知的.我们的解满足$u\ne v$，因此它们不是来自标量方程。
2017-11-22 math.AP
Classification of solutions to the Liouville equation with a nonlinear Robin boundary condition on the unit disk
School of Mathematics and Statistics, Shaanxi Normal University（陕西师范大学数学与统计学院）
本文研究单位圆盘上带非线性Robin边界条件的Liouville方程，通过Hardy-Wronskian边界刚性方法，对$0<\lambda\le2$给出光滑解完全分类，对$2<\lambda\leq3$证明径向与非径向解的二分性。
2026-09-14 math.AP
On blow-up for the supercritical defocusing nonlinear scalar wave equation
Academy of Mathematics & Systems Science and Hua Loo-Keng Center for Mathematical Sciences, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院和华罗庚数学中心）；School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
本文研究超临界散焦非线性标量波动方程的有限时间爆破，通过假设相对论欧拉系统的自相似内爆剖面存在，验证四维、五维下大奇数p的相关条件，得到与维度无关的p0阈值，结合归一化公式等方法完成证明。
2026-10-15 math.AP
Normalized solution to the nonlinear p-Laplacian equation with an L^2 constrain: mass supercritical case
本文研究了具有$L^2$约束的某维$N\geq3$中以下p-Laplacian方程基态解的存在性：\begin{equation*} \begin{cases} -Δ_{p}u+{\vert u\vert}^{p-2}u=f(u)-μu \quad \text{ in } \mathbb{R}^N,\\ {\Vert u\Vert}^2_{L^2(\mathbb{R}^N)}=m,\\ u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^N)\cap L^2(\mathbb{R}^N), \end{cases} \end{equation*}，其中$-Δ_{p}u=div\left( {\vert\nabla u\vert}^{p-2}\nabla u \right)$、$2\leq p<N$、$f\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$、$m>0$、$μ\in\mathbb{R}$将表现为拉格朗日乘子，并且连续非线性$f$满足质量超临界条件。我们主要研究基态能量$E_m$随$m>0$在一定范围内变化的行为，目的是推广非线性标量场方程当$p=2$变化时的情形，降低非线性$f$的约束条件。
2022-11-02 math.AP
Infinitely many positive solutions to nonlinear scalar field equation with nonsmooth nonlinearity
Institute of Applied Physics and Computational Mathematics（应用物理与计算数学研究所）；Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文利用非光滑临界点理论和局部变分方法，证明了非光滑非线性标量场方程存在无限多个正解。
2025-12-29 math.AP
Correlation function of a random scalar field evolving with a rapidly fluctuating Gaussian process
我们考虑一个由平流-扩散方程（或更一般的发展方程）控制的具有快速起伏的高斯分布随机系数的标量场。在白噪声极限下，我们用三种不同的策略导出了随机标量场系综平均的封闭发展方程，Feynman-Kac公式，Ornstein-Uhlenbeck过程的极限，以及计算传播子在$n$ -单纯形上的簇展开。本文从系综平均的发展方程出发，研究了两种不同类型的流（随机周期流和随机应变流）的被动标量输运问题。对于周期性流动，利用均匀化方法，我们证明了随机标量场的$N$点相关函数在长时间内满足有效的扩散方程。对于应变流，我们显式地计算了随机标量场的平均值，并证明了随机标量场的统计量与几何布朗运动的时间积分有联系。有趣的是，所有归一化矩（例如，偏斜度，峰度标量场在长时间内发散，这意味着标量在其衰减期间变得越来越间歇。
2022-02-22 math.AP physics.flu-dyn
