Prime spectra of abelian 2-categories and categorifications of Richardson varieties
我们描述了一个一般的框架，素，完全素，半素，和本原理想的交换2-范畴。这提供了一个非交换版本的巴尔默素谱的张量三角范畴。这些概念是基于包含条件的厚子范畴的阿贝尔范畴和厚理想的阿贝尔2-范畴。我们证明了非交换素谱的主要性质的范畴类似物。类似的概念，开始与塞尔子范畴的阿贝尔范畴和塞尔理想的阿贝尔2范畴，开发。它们与$\mathbb{Z}_+$ -环的Serre素谱有关.作为应用，通过构造KLR代数的模的幺半范畴的Serre完全素理想，并对它们取Serre等价，构造了对称Kac-Moody群的开Richardson簇的量子化坐标环的范畴.
2018-09-20 math.CT math.RA math.RT
$\mathfrak{gl}_n$-webs, categorification and Khovanov-Rozansky homologies
Aarhus University（奥胡斯大学）
本文利用范畴化 q-skew Howe 对偶性，为 $\mathfrak{gl}_n$-web 代数 $H_n(\vec{k})$ 构造显式基，并应用于建立厚分圆 KLR 代数的幂等截断与 $H_n(\vec{k})$ 之间的同构，以及 $\mathfrak{gl}_n$-web 的 2-同态空间的显式分次细胞基，从而给出可计算的着色 Khovanov-Rozansky $\mathfrak{gl}_n$-链环同调。
2020-10-02 math.GT math.QA math.RT
Categorification of the elliptic Hall algebra
本文建立椭圆 Hall 代数泛中心扩张的中心荷 $k$ 约化与量子 Heisenberg 范畴迹之间的同构，并据此构造其大量表示。
2021-04-15 math.QA math.RT
Lie algebra actions on module categories for truncated shifted Yangians
本文发展抛物归纳与限制函子理论，定义对称Kac-Moody代数在截断移位Yangian的范畴O上的范畴作用，并通过新的带味道KLRW代数实现几何Satake对应的范畴化。
2023-10-13 hep-th math.RT
Modular Representation Theory of Symmetric Groups
综述了对称群及相关Hecke代数的模表示论的最新进展。本文讨论了群代数$FΣ_n$与Khovanov-Lauda-Rouquier代数的联系及其所揭示的群代数块上的分次，分次范畴与量子群和晶体基的联系，分次胞腔结构与分次Specht模，分次格腔结构与分次格腔结构之间的关系。仿射KLR代数的尖点系统和虚Schur-Weyl对偶，将这些代数的表示论与通常的小秩Schur代数联系起来.
2014-05-13 math.GR math.QA math.RT
The product of simple modules over KLR algebras and quiver Grassmannians
本文通过箭图格拉斯曼流形研究 KLR 代数上单模乘积，建立归纳函子与不可约分支的联系，给出乘积为单模的必要条件，并证明 Lapid-Minguez 猜想的部分情形。
2024-04-19 math.AG math.RA math.RT
Cyclotomic quiver Hecke algebras of type A
本章是基于我2013年4月在新加坡国立大学的一系列讲座。该说明调查的表示论的分圆Hecke代数的A型，重点是了解KLR分级和之间的连接“经典”ungraded表示论和迅速崛起的分级理论。他们是相当独立的，他们试图给一个悠闲地介绍这些代数，有许多例子和计算，没有出现在其他地方。我们广泛地利用了无等级和等级表示论之间的相互作用，并试图解释等级给我们带来了什么，我们以前没有。组合学和细胞代数技术被用于整个，与一些结果从几何和2-表示论被引用的文献。重点包括一个完整的描述的半单KLR代数的A型使用的KLR关系，广泛的讨论分次Specht模块，证明的Ariki-Brundan-Kleshchev分次分类定理的基础上的分次分支规则，细胞代数方法调整矩阵和（可能乐观）猜想的分次维度的简单模块。
2014-06-17 math.CO math.QA math.RA
A Categorification of Subword Complexes and Its Hall Algebra
Institut Camille Jordan UMR 5208, Université Jean Monnet, CNRS, Centrale Lyon, INSA Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1（卡米耶·乔丹研究所，圣艾蒂安大学，法国国家科学研究中心，里昂中央理工学院，里昂国立应用科学学院，里昂第一大学）；Universität Hamburg, Fachbereich Mathematik（汉堡大学数学系）
本文研究了子词复形的范畴化，展示了其霍尔代数与Bergeron-Ceballos的结构同构，并探讨了根无关对象的范畴性质及翻转与霍尔代数的关系。
2026-04-01 math.CO math.CT math.RT
A geometric approach to Hall algebras I: Higher Associativity
我们构造了一个几何系统，从中可以恢复霍尔代数。这个系统本质上满足更高的结合性条件，从而导致霍尔代数的分类。然后，我们建议如何使用这种方法来构建分类表示。
2016-11-28 math.CT math.RT
The Feigin Tetrahedron
本文的第一个目标是将著名的带量子群的Feigin同态推广到量子多项式代数。更确切地说，我们定义了广义Feigin同态从一个量子shuffle代数到量子多项式代数，它扩展了经典Feigin同态沿嵌入的量子群到所述量子shuffle代数。在Berenstein和作者最近的一项工作中，从一个有价值的代数的对偶Hall-Ringel代数到量子多项式代数的Feigin同态的类似扩展被定义。为了将这些构造联系起来，我们建立了一个同态，称为量子洗牌字符，从对偶Hall-Ringel代数到量子洗牌代数，其中涉及广义Feigin同态。这些构造可以用一个从量子群开始到量子多项式代数结束的映射的交换四面体来紧描述。这个项目的第二个目标是更好地理解可斜对称化量子团簇代数的对偶正则基猜想。在可对称化的类型中，已知对偶正则基元不需要具有正的乘法结构常数，而这仍然被怀疑适用于斜对称化的量子簇代数。我们对可对称化类型提出了另一个猜想：簇单项式应该对应于KLR代数的不可约特征标。事实上，本说明的主要猜想将建立这种“KLR猜想”的非循环斜对称量子簇代数：也就是说，我们猜想，刚性表示的图像下的量子洗牌字符给KLR代数的不可约字符。
2015-03-19 math.QA math.RT
Coherent categorification of quantum loop algebras : the $SL(2)$ case
我们构造了分次阿贝尔范畴的一个等价性，即从$A_1^{(1)}$型的Quiver-Hecke代数的表示范畴到$A$型的幂零锥上的等变反常凝聚层范畴.我们证明了这个等价是弱monoidal的。这给出了Schiffmann-Vasserot所考虑的预投射K-理论Hall代数的表示论范畴。利用这个分类，我们比较了Kang-Kashiwara-Kim-Oh-Park用箭图-Hecke代数对$A_1^{(1)}$型量子开单幂细胞的么半群分类和Cautis-Williams用仿射格拉斯曼代数上的等变反常相干层对它们的么半群分类.
2019-12-06 math.RT
McKay correspondence, cohomological Hall algebras and categorification
本文利用导出McKay对应建立了二维ADE型Kleinian奇点消解上层范畴的Hall代数与仿射预投影代数表示Hall代数之间的同构，并给出其范畴化解释及A型情形下的Yangian刻画。
2023-11-30 hep-th math.AG math.RT
On category $\mathcal{O}$ for affine Grassmannian slices and categorified tensor products
截断移位杨格代数是一类自然地在仿射格拉斯曼代数中截断切片的代数。这些代数依赖于李代数$\mathfrak{g}$的两个权重$λ$和$μ$的选择，我们假设它是简单的。在本文中，我们涉及到范畴$\mathcal{O}$截断移位杨氏范畴范畴的张量积：对于一般的整数选择的参数，范畴$\mathcal{O}$是等价于一个权重空间的范畴化的张量积的基本表示的第三作者使用KLRW代数。我们也给出了一个精确的描述范畴$\mathcal{O}$的任意参数使用一个新的代数，我们称之为奇偶KLRW代数。特别是，我们证实了作者的猜想，类别$\mathcal{O}$的最高权是在典型的双射与产品单项式晶体取决于参数的选择。这项工作也有有趣的应用经典表示论。特别地，它允许我们给出$U(\mathfrak{gl}_n)$的简单Gelfand-Tsetlin模及其相关的W-代数的分类.
2019-11-18 math.RA math.RT
Geometric categorifications of Verma modules: Grassmannian Quiver Hecke algebras
本文通过在 Borel-Moore 同调中引入 Grassmannian-Steinberg quiver flag 簇，将 Naisse-Vaz 扩展 KLR 代数几何实现为卷积代数，从而对 Verma 模进行几何范畴化，并为代数基定理提供了几何解释。
2024-07-25 math.RT
On generalized category $\mathcal{O}$ for a quiver variety
本文给出了将作者和合作者定义的广义范畴$\mathcal{O}$与显式双表示代数联系起来的方法，并将其应用于双表示簇.这使我们不仅可以组合地描述这些范畴$\mathcal{O}$的结构，而且还可以描述某些有趣的衍生等价族，洗牌和扭曲函子，如何作用于它们。在Nakajima簇的情况下，出现的代数是作者在早期工作中定义的加权KLR代数和它们的加权代数。特别是，这些给出了一个尺规作图法的标准基地简单表示，张量积和福克空间。如果用于定义范畴$\mathcal{O}$的$\mathbb{C}^*$ -作用是Nakajima意义下的“张量积作用”，那么我们得到了张量积的唯一的代数化;特别地，我们得到了作者在定义Reshetikhin-Turaev不变量的代数化时所使用的辫群作用的几何描述。类似地，在仿射类型A中，任意作用会导致与分圆Cherednik代数的范畴$\mathcal{O}$的块等价的图代数。这种方法也使我们能够证明这些范畴是Koszul，并理解它们的Koszul算符;特别地，我们可以证明ADE型中极小张量积的算符是Koszul。在仿射情形下，这表明我们的范畴$\mathcal{O}$是Koszul，它们的Koszul数由具有秩级对偶维数数据的范畴$\mathcal{O}$给出，并且这种对偶切换了洗牌和扭曲函子。
2016-08-22 math.AG math.RT
Cohomological Hall algebras, their categorification, and their representations via torsion pairs
Rutgers, The State University Of New Jersey（新泽西州立罗格斯大学）；The University of Tokyo（东京大学）
本文系统构造上同调、K-理论和范畴化 Hall 代数的表示，统一恢复并范畴化箭图 COHA 及层 COHA 的已知作用，并通过挠对给出新的正负算子作用，同时推广 Khan 的 motivic Borel-Moore 同调以产生新 COHA 例子。
2025-11-06 math.AG math.QA math.RT
Quiver Schur algebras and cohomological Hall algebras
我们建立了一个KLR代数的推广，称为Schur代数，和上同调霍尔代数Kontsevich和Soibelman之间的连接。更具体地说，我们实现的代数的乘法和余乘算子的CoHA，并重新解释的洗牌描述的CoHA的Demazure运营商。我们引入了与具有一个逆变对合的箭图相关联的“混合Schur代数”，并以类似的方式证明了它们与Young定义的上同调Hall模有关。我们还得到了修正的Schur代数的几何实现，它出现在Miemietz和Stroppel的仿射q-Schur代数的Brundan-Kleshchev-Rouquier同构的一个版本中。
2019-07-08 math-ph math.MP math.RT
Hall monoidal categories and categorical modules
我们构造了所谓的Hall幺半范畴（以及其上的Hall模），并将它们作为经典Hall代数和Hecke代数（以及其上的某些模）的范畴化来展示.（functorial！）的输入构造是满足$2$ -Segal条件（由Dyckerhoff和Kapranov引入）的单纯广群，主要例子来自Waldhausen的S-构造。为了处理模块的情况下，我们引入了一个相对版本的$2$ -Segal条件。此外，我们推广了一个经典的结果，对称群的表示论的情况下，圈积群：我们构建了一个monoidal等价类之间的复$G\wr S_n$ -表示（为一个固定的有限群$G$和变化的$n\in\mathbb N$）和范畴的“$G$ -等变”多项式函子;我们使用这个等价证明了一个版本的Schur-Weyl对偶圈积。
2017-02-16 math.CT math.RT
Weighted Khovanov-Lauda-Rouquier algebras
本文定义了Khovanov-Lauda-Rouquier代数的一个推广，称之为加权Khovanov-Lauda-Rouquier代数。我们发现，这些代数进行许多相同的结构，原来的Khovanov-Lauda-Rouquier代数，包括诱导和限制函子，诱导扭曲的双代数结构的Grothendieck群。我们还定义了这些代数的自然代数，这在一个重要的特殊情况下进行了相关的李代数的范畴作用。这些的特殊情况包括代数分类张量积和Fock空间定义的作者和Stroppel在过去的工作。对于对称的Cartan矩阵，加权KLR代数也有一个自然的几何解释卷积代数，推广了Varagnolo和Vasserot对原始KLR代数的解释;这个结果在晶体基理论中具有重要的正性后果。在这种情况下，我们也可以将Grothendieck群及其双代数结构与相关的群的Hall代数联系起来。
2017-03-20 math.AG math.RT
Knot invariants and higher representation theory
我们构造了纽结不变量，对量子群的所有表示的量子纽结变量进行了分类。我们证明了这些不变量与Khovanov对sl_2和sl_3定义的不变量以及Mazenuk-Stroppel和Sussan对sl_n定义的不变量相一致。我们的技巧是研究2-量子群的2-表示（在Rouquier和Khovanov-Lauda意义下），它们是不可约表示的张量积的分类。这些是某些有限维代数的表示范畴，具有明确的图解表示，推广了KLR代数的分圆商。当所考虑的李代数是$\mathfrak{sl}_n$时，我们证明了这些范畴对于gl_k与抛物范畴O的某些子范畴一致.我们还研究了这些范畴的更精细的结构：它们是标准分层的，并且满足关于它们的自对偶模的双中心化子性质。分层的标准模作为函子的测试对象起着重要的作用，就像Vermas在更经典的表示论中所做的那样。这些表象的存在对先前研究的结构有影响。它允许我们证明Khovanov和Lauda的2-范畴在所有可对称化类型中的非退化性（它的Hom空间具有期望维数），并且分圆的Hecke代数是对称的Frobenius。在Reshetikhin和Turaev的工作中，量子群的表示之间的编织和（共）评价映射被用来定义多项式结不变量。我们证明了张量积的代数化是通过函子对这些映射进行分类而实现的，从而可以构造双阶纽结同调，其阶化欧拉示性数是原多项式纽结不变量.
2015-08-12 math.GT math.QA math.RT
Categorical and K-theoretic Hall algebras for quivers with potential
Kontsevich-Soibelman给出了一个具有势$(Q,W)$的代数，构造了一个关于$(Q,W)$的表示栈的临界上同调的Hall代数.这种构造的特殊情况与中岛、瓦拉格诺洛、希夫曼-瓦瑟罗、莫里克-奥孔科夫、杨照等关于杨氏尺规作图法及其表示的工作有关;事实上，给定一个$Q$，存在一个关联对$\left(\widetilde{Q},\widetilde{W}\right)$，其CoHA实际上是莫里克-奥孔科夫杨氏$Y_{\text{MO}}(\mathfrak{g}_Q)$的正半部分。对于一个具有潜在$(Q,W)$的代数，我们遵循Kontsevich-Soibelman的建议，并研究了使用奇点范畴构造的上述代数的分类。它的Grothendieck群是带势箭图的K-理论Hall代数（KHA）。我们构造表示使用框架颤动，我们证明了一个跨墙定理KHAs。我们期望$\left(\widetilde{Q},\widetilde{W}\right)$的KHA能恢复Okounkov-Smirnov定义的量子仿射代数$U_q\left(\widehat{\mathfrak{g}_Q}\right)$的正部分.
2021-11-06 math.AG math.QA math.RT
Hall algebras and quantum symmetric pairs I: foundations
一个量子对称对由一个量子群$\mathbf U$和它的具有参数$\boldsymbolς$的共理想子代数${\mathbf U}^{\imath}_{\boldsymbolς}$组成（称为$\imath$量子群）。我们提出了一种Hall代数方法来分类$\imath$量子群。引入普适的$\imath$量子群$\widetilde{\mathbf U}^{\imath}$，并通过中心还原$\widetilde{\mathbf U}^{\imath}$得到${\mathbf U}^{\imath}_{\boldsymbolς}$.第一作者和Peng的半导Ringel-Hall代数与Gorsky的半导Hall代数密切相关，并受Bridgeland工作的启发，将其推广到1-Gorenstein代数的情形，如第一作者在附录A中所示.引入了一类新的1-Gorenstein代数（称为$\imath$代数），它是由具有对合的无圈箭图生成的.证明了Dynkin $\imath$代数的半导Ringel-Hall代数同构于有限型的泛拟分裂$\imath$量子群.构造了这些Hall代数和$\imath$量子群的单式基和PBW基.
2021-07-01 math.RT
Rouquier's conjecture and diagrammatic algebra
证明了Rouquier关于分圆有理Cherednik代数范畴$\mathcal{O}$中的分解数与高阶Fock空间的Uglov标准基之间的关系的一个猜想.独立证明这一猜想最近也给出了Rouquier，山，Varagnolo和Vasserot和Losev，使用不同的方法。我们的方法是开发两个图形模型，这一类$\mathcal{O}$，而几何的启发，这些都是纯粹的图解代数，我们相信是一些内在的利益。特别地，我们可以非常明确地描述Hecke代数的表示，在这种情况下，具有明确的基，它被来自Cherednik范畴$\mathcal{O}$的$\mathsf{KZ}$ -函子下的投射击中。这个代数有许多漂亮的结构，包括Fock空间许多方面的简化。它可以很明确地理解使用一个齐次细胞基，推广了这样的基础，由胡和Mathas的分圆KLR代数。因此，我们可以转移结果证明在这个图解形式主义的范畴$\mathcal{O}$的分圆合理的Cherednik代数，包括连接的分解数的标准基地上述，和一个行动的仿射辫群之间导出的不同块之间的等价。
2017-03-20 math.RT
Cohomological Donaldson-Thomas theory of a quiver with potential and quantum enveloping algebras
本文讨论了Jacobi代数的Donaldson-Thomas理论的上同调性质以及由Kontsevich和Soibelman引入的上同调Hall代数。证明了整性猜想和跨壁公式的Hodge理论范畴，并将这两个定理的同构实现为相应上同调Hall代数的Poincaré-Birkhoff-Witt同构.我们这样做，通过定义一个反常的过滤上同调霍尔代数，一个结果的“隐藏的适当性”的半简化映射从雅可比代数的半稳定表示的模栈粗模空间的多稳定表示。这使我们能够构建一个退化的上同调霍尔代数，一般的稳定性条件和固定的斜率，一个自由的超交换代数所产生的混合霍奇结构分类的BPS不变量。作为这个构造的推论，我们进一步得到了这个混合Hodge结构上的一个李代数结构--BPS不变量的李代数--对于这个结构，整个上同调Hall代数可以看作是一个Yangian型量子群的正部分。
2020-03-06 hep-th math.AG math.QA
Coherent sheaves and quantum Coulomb branches II: quiver gauge theories and knot homology
本文在箭图规范理论中利用 KLRW 代数的修正形式构造库仑分支的纯代数非交换消解，并由此建立 ADE 型微小子表示 Reshetikhin-Turaev 不变量的范畴化纽结同调，证明其与作者先前定义及 A 型 Khovanov-Rozansky 同调一致。
2024-09-04 math-ph math.AG math.MP
The Parity of Lusztig's Restriction Functor and Green's Formula
本文的研究基于三个重要结果。(1)在[12]中，Ringel引入了有限域上一个代数的表示的Hall代数，并证明了对应于简单表示的元素满足量子Serre关系。这就给出了量子群的幂零部分的一个实现，如果量子群是有限型的。(2)在[4]中，Green找到了Ringel Hall代数的表示范畴的同调公式，并给Ringel Hall代数配备了一个余乘。由简单表示生成的Hall代数的合成子代数的一般形式实现了任何类型的量子群的幂零部分。(3)在文献[9]中，Lusztig定义了旗簇上的常数层的直接象中出现的表示簇上的反常层的归纳函子和限制函子，并在他的归纳函子和限制函子之间找到了一个公式，该公式给出了量子群的代数同态的余乘。本文证明了这个公式对所有具有Weil结构的半单复形都成立。这就建立了格林公式的分类。
2022-12-23 math.QA math.RA math.RT
Two-dimensional categorified Hall algebras
本文引入了二维平滑曲线和光滑曲面的范畴化Hall代数。范畴化的霍尔代数是稳定的$\infty$ -范畴$\mathsf{Coh}^{\mathsf{b}}(\mathbb{R}\mathsf{M})$上的结合幺半群结构，该范畴是在导出的模栈$\mathbb{R}\mathsf{M}$上具有有界相干上同调的层的复形。在表面情况下，$\mathbb{R}\mathsf{M}$是表面上相干层的模量堆叠$\mathsf{M}$的适当导出增强。这种构造将Zhao和Kapranov-Vasserot曲面上凝聚层的K-理论和上同调Hall代数进行了分类。在曲线的情况下，我们定义了三个分类的霍尔代数与适当的导出增强的希格斯层的曲线$X$，平坦连接的向量丛的模栈$X$，和有限维局部系统的模栈$X$，分别增强。在希格斯层的情况下，我们得到了一个分类的K-理论和上同调霍尔代数的希格斯层的曲线上的Mingdom和Sala-Schiffmann，而在其他两种情况下，我们的建设收益率，通过传递到$\mathsf K_0$，新的K-理论霍尔代数，并通过传递到$\mathsf H_\ast^{\mathsf{BM}}$，新的上同调霍尔代数。最后，我们证明了Riemann-Hilbert和非交换Hodge对应可以提升到我们分类的曲线Hall代数的水平。
2022-11-21 hep-th math.AG math.AT
