Sard Property for the endpoint map on some Carnot groups
在Carnot-Caratheodory或次黎曼几何中，一个主要的开放问题是Sard定理的结论是否对端点映射成立，端点映射是从无限维道路空间到有限维流形的正则映射。端点图的临界值集也称为异常集，是离开基点的异常极值的端点集。我们证明了Sard性质的一个强版本对所有的第二步卡诺群和其他几类具有左不变分布的李群都成立。也就是说，我们证明了反常集位于一个真解析子簇中。在这样做的情况下，我们检查几个特征的异常集的李群。
2015-03-12 math.DG math.GR math.MG
Sub-Riemannian geodesics on the three-dimensional solvable non-nilpotent Lie group $SOLV^-$
本文描述了三维可解李群$SOLV^-$上左不变次黎曼度量的测地线。
2011-08-25 math.DG math.OC
Homogeneous geodesics in sub-Riemannian geometry
本文研究次黎曼流形的齐次测地线，提出基于初始动量的齐次性判据，证明弱交换齐性空间为测地线轨道，并刻画Carnot群步数限制及齐次测地线存在条件。
2022-02-18 math.DG math.OC
Left-invariant Sub-Riemannian Engel structures: abnormal geodesics and integrability
我们提供了第一个已知的家庭的例子，可积齐次黎曼结构承认严格异常测地线。这些例子是通过分析次黎曼恩格尔结构的等价问题得到的。利用次黎曼Engel流形上标准标架的结构函数和共轭时的估计，给出了严格反常的判别准则。
2018-05-02 math.DG math.OC
Derivatives of Sub-Riemannian Geodesics are $L_p$-Hölder Continuous
该研究解决了次黎曼测地线光滑性的长期难题，证明了次黎曼测地线的导数具有$L_p$-Hölder连续性，并推导了其在傅里叶系数、函数逼近、不等式推广和空间嵌入方面的四项重要推论。
2023-07-25 math.DG math.OC
Metabelian distributions and sub-Riemannian geodesics
本文刻画了 metabelian 分布的主丛结构，并证明其严格奇异轨迹的投影位于解析簇内，从而得出秩 2 情形下测地线的 $C^1$ 正则性。
2024-05-23 math.DG math.OC
Strongly geodesic preinvexity and Strongly Invariant η-Monotonicity on Riemannian Manifolds and its Application
本文给出了黎曼流形（RM）上的强测地预不变凸和RM上的m阶强η-不变凸.进一步，我们定义了RM上m阶强不变η-单调性.在条件C下，研究了这些函数的一个重要特征.我们构造了几个非平凡的例子来支持这些定义。其次，给出了MOP的m阶严格η-极小元（η-极小元）的一个重要而有意义的刻画，并给出了变分似不等式问题（VVLIP）的一个解.
2023-02-06 math.DG math.OC
On symmetries of a sub--Riemannian structure with growth vector $(4,7)$
研究了具有滤子$(4,7)$的特定左不变次黎曼结构的对称性及其对相应控制问题的次黎曼测地线的影响。我们证明了有两种非常不同类型的测地线，它们要么不与对称的不动点集相交，要么始终包含在这一集中。利用对称约化研究测地线的性质。
2022-08-03 math.DG math.OC
Short geodesics losing optimality in contact sub-Riemannian manifolds and stability of the 5-dimensional caustic
研究了维数大于等于5的流形上切触分布的次黎曼指数。我们计算近似的次黎曼哈密顿流，并表明，在这种情况下，共轭时间可以有重数2。我们得到的第一共轭轨迹的小半径的近似，并引入几何不变的接触分布的度量通常表现出一个原始的行为，从经典的3维的情况下不同。我们应用这些方法的情况下，5维接触流形。本文从拉格朗日的角度分析了次黎曼焦散线的稳定性，并对指数映射的奇点进行了分类。
2018-12-29 math.DG math.OC
Riemannian and Sub-Riemannian geodesic flows
本文证明了次黎曼度量的测地流与黎曼扩张的测地流可交换当且仅当扩张度量关于某个联络平行。这有助于我们描述次黎曼度量在全测地黎曼浸没上的测地流。因此，我们可以将次黎曼测地线刻画为黎曼测地线投影的水平提升。
2015-02-20 math.DG
Conjugate time in sub-Riemannian problem on Cartan group
Cartan群是秩为2且阶为3的自由幂零李群。本文研究了由李代数第一层的内积定义的Cartan群上的左不变子黎曼问题。这个问题给出了增长向量为$(2,3,5)$的任意次黎曼问题的幂零逼近。在以前的工作中，我们描述了一组对称的次黎曼问题的Cartan群，和相应的麦克斯韦时间-第一次当对称测地线彼此相交。已知测地线在麦克斯韦时间之后不是全局最优的。本文研究了Cartan群上测地线的局部最优性。证明了沿测地线的第一共轭时间不小于对称群对应的Maxwell时间。我们刻画了第一共轭时间等于第一麦克斯韦时间的测地线。此外，我们描述了第一共轭时间在无穷值附近的连续性。
2020-05-28 math.DG math.OC
Shortest and Straightest Geodesics in Sub-Riemannian Geometry
黎曼测地线有许多等价的定义。它们自然地推广到次黎曼流形，但变得不等价。综述了次黎曼流形测地线的不同定义及其相互关系。我们回顾三个变分定义的测地线（局部）最短的曲线（欧拉-拉格朗日，庞蒂亚金和汉密尔顿）和三个定义的测地线作为直曲线（达朗贝尔，列维-奇维塔-Schouten和Cartan-Tanaka），用于非完整力学，并讨论它们之间的相互关系。考虑了黎曼流形上与主丛相联系的一类大的次黎曼流形，其最短测地线与最直测地线重合。利用旗流形的几何性质，我们刻画了一类紧致齐次次黎曼流形（包括接触次黎曼流形和对称次黎曼流形），其中最直测地线与最短测地线重合.在这些情况下，测地线的构造简化为描述黎曼齐次流形的黎曼测地线或李群上的左不变度量。
2020-03-26 math.DG
Locally extremal geodesic loops on Riemannian manifold
本文证明了黎曼流形中任何局部极值非自共轭测地线环路都是闭测地线。因此，任何完备的不可收缩的黎曼流形，如果其内射半径沿发散序列发散，且没有与其自身共轭的点，则具有极小化的闭测地线。
2017-09-22 math.DG
On geodesic equivalence of Riemannian metrics and sub-Riemannian metrics on distributions of corank 1
本文主要研究一般corank 1分布上的黎曼度量和次黎曼度量的（局部）测地线等价问题。利用庞特里亚金最大值原理，统一处理了黎曼和次黎曼情形，得到了（次）黎曼度量测地线等价的代数必要条件.这样，我们首先得到了经典的Levi-Civita定理的一个新的初等证明，该定理是关于在所谓的正则（稳定）点w.r.t.的邻域内所有黎曼测地等价度量的分类.这些指标。其次，我们证明了接触分布上的次黎曼度量是测地线等价的当且仅当它们是常比例的。然后，我们描述所有测地线等价的亚黎曼度量的准接触分布。最后，我们对曲面上所有测地等价的黎曼度量对进行了分类，这些度量对在孤立点上成比例。这是最简单的情况，列维-奇维塔定理没有涵盖。
2004-06-07 math.DG
Riemannian geodesics of semi Riemannian warped metrics
设$(M_1,g_1)$和$(M_2,g_2)$是两个$C^\infty$ -可微连通的完备黎曼流形，$k:M_1\to\mathbb R$是一个$C^\infty$ -可微函数，对任意的$x\in M_1$和$g:=g_1-kg_2$都有$0<k_0<k(x)\leq K_0$，$g:=g_1-kg_2$是乘积流形$M:=M_1\times M_2$上的半黎曼度量.我们关联到$g$一个合适的家庭的黎曼度量$G_r+g_2$，与$r>-K_0^{-1}$，$M$上，我们呼吁黎曼测地线$g$的测地线$g$是测地线的前一个家庭的度量，通过适当的reparametrization。在这些测地线的性质，我们引用：对于任何$z_0=(x_0,y_0)\in M$和任何$y_1\in M_2$存在一个子集$A$的$M_1$，使所有的测地线$g$加入$z_0$与一个点$(x_1,y_1)$，与$x_1\in A$，是黎曼。$g$的黎曼测地线决定了$M$上测地线联络的一个“部分”性质。最后，我们确定了两个新的类半黎曼度量（其中之一包括一些FLRM度量），测地线连接的$g$的黎曼测地线。
2013-01-22 math.DG
Sub-Riemannian and almost-Riemannian geodesics on SO(3) and $S^2$
本文研究SO（3）上左不变次黎曼度量和$S^2$上几乎黎曼度量的测地线。这些结构相互连接，并且可以使用关于其中一个的信息来获得关于另一个的结果。给出SO（3）上次黎曼测地线的一个显式参数化，并利用它得到$S^2$上准黎曼测地线的一个参数化.我们利用指数映射的对称性得到了一些必要的最优性条件。我们给出了这两种情况下截时的一些上界，并描述了SO（3）上的周期测地线。
2014-09-04 math.DG
Legendre singularities of sub-Riemannian geodesics
设$M$是一个具有黎曼度量的曲面，$UM$是$M$上的单位切丛，其正则接触子黎曼结构是$UM$上的$D$.本文给出了$(UM, D)$的次黎曼测地线在$UM$ ~ $M$的Legendre纤维化下奇点的完全局部分类。对于从$UM$到$M$上的黎曼测地线空间的另一个勒让德纤维化，也对次黎曼测地线的勒让德奇点进行了完全分类.勒让德奇点的对偶性与单摆运动有关。
2022-12-15 math.DG
Spectral flow and iteration of closed semi-Riemannian geodesics
我们引入的概念，沿着周期性的半黎曼测地线的谱流，作为一个合适的替代的莫尔斯指数在黎曼的情况下。我们研究了谱流沿闭测地线的迭代增长，确定了其渐近行为。
2007-11-06 math.DG
Pseudo-Riemannian Submanifolds with 3-Planar Geodesics
本文研究了具有3-平面测地法截面的伪黎曼子流形，考虑了伪黎曼子流形上的W-曲线（螺旋线）。最后给出了伪黎曼子流形上的法截面是W-曲线的必要条件和充分条件。
2015-04-16 math.DG
Totally geodesic submanifolds in the tangent bundle of a Riemannian 2-manifold
给出了常曲率黎曼2-流形的切丛中全测地子流形的一个完整刻画，并在一般情况下给出了一类新的圆柱型全测地子流形。
2005-03-24 math.DG
Classification of Pseudo-Riemannian submersions with totally geodesic fibres from pseudo-hyperbolic spaces
本文对从实伪双曲空间到伪黎曼流形上的具有连通全测地纤维的伪黎曼浸入进行了分类。同时，我们还得到了从（仿）复伪双曲空间到伪黎曼流形上的具有（仿）复连通全测地纤维的伪黎曼浸入的分类.
2013-09-06 math.DG
Geodesic orbit Riemannian spaces with two isotropy summands. I
本文主要研究黎曼空间的测地线轨道，它可以用测地线是一个单参数等距群的轨道这一性质来刻画。主要结果是在各向同性表示下对具有两个不可约子模的紧致单连通测地轨道黎曼空间$G/H$进行了分类。
2017-04-06 math.DG
Geodesic Orbit Riemannian Structures on $\mathbf{R}^n$
测地线轨道流形是一个完备的黎曼流形，它的测地线都是单参数等距群的轨道。我们给出了与$\mathbf{R}^n$同构的测地轨道流形的几何和代数刻画。在此过程中，我们建立了更一般的测地轨道流形的各种结构性质。
2018-09-26 math.DG
On the structure of geodesic orbit Riemannian spaces
本文主要研究黎曼空间的测地线轨道，它可以用测地线是一个单参数等距群的轨道这一性质来刻画。特别地，我们讨论了一些重要的全测地子流形，它们继承了测地轨道的性质。对于给定的测地轨道黎曼空间，本文描述了等距群的李代数的零根和根的结构。在最后一部分，我们讨论了一些新的工具来研究测地轨道黎曼空间，涉及到紧李群表示与非平凡主各向同性代数。我们还讨论了一些新的例子测地轨道黎曼空间，新的方法来获得这样的例子，和一些未解决的问题。
2017-02-21 math.DG
A Riemannian plane with only two injective Geodesics
我们提出了一个例子，一个完整的黎曼平面，正好有两个内射测地线-重新参数化。这个例子是作为一个具有收缩端的旋转曲面的扰动而出现的。最后一节专门讨论开放问题。
2022-08-17 math.DG
Sub-Riemannian geodesics on the Heisenberg 3D nil-manifold
本文研究了3D Heisenberg群上次黎曼结构到Heisenberg 3D nil-manifold的投影，分析了测地流的动力学性质，并基于$G$中次黎曼球与距离的精确双边界估计了$M$中测地线的切割时间。
2024-11-17 math.DG math.DS math.OC
Sub-Riemannian geodesics in the affine-additive group
本文利用庞特里亚金最大值原理推导仿射加法群的次黎曼测地线，计算割时间，并构造Carnot-Carathéodory球面及烧瓶曲面，后者为海森堡群中Pansu球面的类似物。
2026-10-05 math.DG math.MG math.OC
Pseudo-Riemannian geodesic foliations by circles
研究了在什么样的假设下，由$S^1$作用生成的可定向的伪黎曼测地线叶理。我们构造的例子表明，相反的黎曼的情况下，它并不总是正确的。然而，我们证明了这样的作用总是存在时，叶理不包含lightlike叶，即伪黎曼Wadsley定理。作为应用，我们证明了所有类空/类时测地线都是闭的Lorentzian曲面都被$S^1\times \R$覆盖.由此可见，每个洛伦兹曲面都包含一条非闭测地线。
2012-03-24 math.DG
Sub-Riemannian Geometry and Geodesics in Banach Manifolds
本文定义并研究了巴拿赫流形上的次黎曼结构。我们得到的Chow-Rashevski定理的精确能控性的扩展，并给出的条件存在的Hamilton测测地流，尽管缺乏庞特里亚金最大值原理在无限维设置。
2016-01-05 math.DG
Some properties of geodesic $(α,E)$-preinvex functions on a Riemannian manifold
本文引入了\textit{geodesic $(α,E)$-invex set}的概念，并利用这一概念在黎曼流形上发展了\textit{geodesic $(α,E)$-preinvex functions}和\textit{geodesic $(α,E)$-invex functions}的概念。在此基础上，利用上述函数推导出了若干性质和结果。最后给出了一个例子来说明测地$(α,E)$ -不变凸集的定义.我们还建立了完备黎曼流形中测地$(α,E)$ -预不变凸函数与测地$(α,E)$ -不变凸函数之间的一个重要关系。
2019-08-02 math.DG
Weak geodesics on prox-regular subsets of Riemannian manifolds
本文给出了黎曼流形的弱正则子集上的弱测地线的定义。然后，在得到投影映射的一个合适的Lipschitz常数后，我们刻画了一个近正则集上的弱测地线，并指定端点作为能量泛函的粘性临界点.
2022-05-18 math.DG
On the Existence of a Codimension 1 Completely Integrable Totally Geodesic Distribution on a Pseudo-Riemannian Heisenberg Group
本文证明了具有左不变伪黎曼度量的海森堡群存在余维为1的完全可积全测地分布。这与T. Hangan
2010-02-28 math.DG
Totally geodesic submanifolds in Riemannian symmetric spaces
本文的第一部分总结了黎曼对称空间中全测地子流形的重要构造和分类结果。在第二部分中，我给出了秩为2的黎曼对称空间中全测地子流形的分类结果。
2008-10-24 math.DG
Full description of totally geodesic unit vector fields on 2-dimensional Riemannian manifolds
给出了黎曼2-流形上局部全测地单位向量场的完整几何描述，将其看作流形在Sasaki度量下到其单位切丛中的局部嵌入.
2005-03-24 math.DG
Minimal geodesics on GL(n) for left-invariant, right-O(n)-invariant Riemannian metrics
对于左不变且右不变的黎曼度量，我们给出了一般线性群GL（n）上测地线距离的一个简单的计算方法.基于变分法和经典分析，利用简单的方法，得到了测地线的参数化和长度极小测地线的整体存在性。对某些特殊情况下的测地距离进行了讨论，并指出了它在非线性弹性理论中的应用。
2016-02-17 math.DG
Geodesics and shortest arcs of special sub-Riemannian metric on the Lie group $SL(2)$
作者发现了李群$SL(2)$上的左不变子黎曼矩阵的测地线、最短弧、割轨迹和共轭集，$SL(2)$相对于李群$SO(2)\subset SL(2)$是右不变的（换句话说，对于弱对称空间$(SL(2)\times SO(2))/SO(2)$上的不变子黎曼度量）。
2015-07-26 math.DG
Existence of curves with constant geodesic curvature in a Riemannian 2-sphere
证明了在任意黎曼2-球面上，对几乎所有给定曲率，均存在常测地曲率的浸入闭曲线。为了实现这一点，我们开发了一个加权长度泛函的最小-最大方案。
2021-06-23 math.DG
Geodesic Convexity Types in Riemannian Manifolds
通常的集合凸性概念，在经典的欧几里德上下文中是有效的，在更一般的黎曼设置中变形为几种不同的凸性类型。通过反向研究这一现象，我们刻画了完备流形，其中某些凸性类型被假定为先验重合。
2016-11-26 math.DG
Sub-Riemannian geodesics on the 3-D sphere
单位球面$\mathbb S^3$可以用酉群SU（2）来标识。在这种标识下，单位球面可以被认为是一个非交换的李群。相应的李代数的向量场的对易关系定义了一个2步亚黎曼流形。利用Hamilton形式并求解相应的哈密顿系统，研究了次黎曼流形上的次黎曼测地线。
2008-06-03 math.DG
Geodesic mappings of (pseudo-) Riemannian manifolds preserve the class of differentiability
本文证明了（伪）黎曼流形的测地映射保持可微类\hbox{$(C^r, r\geq1)$}。另外，如果Einstein空间$V_n$允许一个非平凡的测地线映射到一个\hbox{(pseudo-)}黎曼流形$\bar V_n\in C^1$上，那么$\bar V_n$是Einstein空间。如果四维非常曲率Einstein空间在（伪）黎曼流形$\bar V_4\in C^1$上全局存在测地线映射，则该映射是仿射的;如果数量曲率不为零，则该映射是位似的，即$\bar g={\rm const}\cdot g$ .
2013-06-28 math.DG
Submersions and curves of constant geodesic curvature
考虑黎曼淹没，我们找到了次黎曼正规测地线投影到第一测地曲率不变或第二测地曲率不变且为零的曲线的充要条件.我们描述了次黎曼度量的一个典型扩张，并研究了所得到的黎曼流形的几何性质。这项工作包含几个例子说明的结果。
2017-07-17 math.DG
Branching of regular abnormal geodesics in sub-Riemannian manifolds of rank two
SISSA（的里雅斯特高等研究学院）；Sorbonne Université, Université Paris Cité, CNRS, Inria, Laboratoire Jacques Louis-Lions（索邦大学，巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，法国研究与数字发展署，雅克-路易· Lions 实验室）
该研究针对二阶次黎曼流形，探究正则异常测地线的分支问题，给出两类新现象的实例，丰富了次黎曼几何中测地线分支的相关研究。
2026-08-03 math.DG
Stochastic perturbation of geodesics on the manifold of Riemannian metrics
本文通过扩散过程研究黎曼度量流形上的随机扰动，推导出由 $L^2$ 随机动能泛函诱导的拉格朗日量演化方程。
2025-07-22 math.DG
On the Structure of Sub-Riemannian Geodesic Orbit Manifolds
Liaoning Normal University（辽宁师范大学）；Ningbo University（宁波大学）；Southeast University（东南大学）；Shandong University of Science and Technology（山东科技大学）
该研究探讨齐次次黎曼流形的结构，证明其满足Goh条件且无严格异常长度极小化器，并分类了特定紧致连通单连通次黎曼测地线轨道流形，推广了相关黎曼分类成果。
2026-10-09 math.DG
Counting closed geodesics on Riemannian manifolds
固定光滑闭流形$M$。令$R_M$表示所有对$(g,L)$的空间，使得$g$是$M$上的$C^3$黎曼度量，并且实数$L$不是任何闭$g$ -测地线的长度。构造了一个局部常数测地线计数函数$π_M:R_M\rightarrow Z$。为此，定义了闭$g$ -测地线空间的紧开子集的权，并研究了任意黎曼度量$g$的紧开子集的权.
2020-12-06 math.DG
On PSL(2,C) and on the space of geodesics of H^3 as Riemannian holomorphic manifolds
我们讨论了PSL（2，C）、SL（2，C）和H^3的测地线空间G的一些几何方面，该空间G具有一些适当的常截面曲率黎曼全纯流形的结构。我们还观察到G是群PSL（2，C）的对称空间，并利用它推导出它们的全纯黎曼度量之间的一些相关性。
2020-03-04 math.DG
Singularities of the geodesic flow on surfaces with pseudo-Riemannian metrics
我们考虑一个伪黎曼度量，改变签名沿表面上的平滑曲线，称为判别曲线。判别曲线将表面局部地分成黎曼域和洛伦兹域。我们研究的地方行为和性质的测地线在一个点上的判别式的各向同性方向是切线的判别曲线。
2015-05-25 math.DG
On the local and global properties of geodesics in pseudo-Riemannian metrics
本文研究二维伪黎曼度量中的测地线。首先，研究了一般抛物点邻域中测地线的局部性质。测地流的方程在这样的点上有奇点，这导致了一个奇怪的现象：测地线不能在任意切向上通过这样的点，而只能在某些被称为容许的方向上通过（容许方向的数目一般是1或3）。其次，我们研究了具有可微对称群的伪黎曼度量中测地线的整体性质。在文章的最后，考虑了两种特殊类型的不连续度量。
2014-06-19 math.DG
Sub-Riemannian Geodesics on $SL(2, \mathbb{R})$
我们明确地描述了长度最小化测地线的子黎曼结构的椭圆型定义在$SL(2, \mathbb{R})$。我们的方法使用了一个对称性约简，将问题转化为一个二维商空间上的黎曼问题，测地线的投影可以很容易地可视化。作为一个副产品，我们获得了一个替代的推导的特点，在\cite{BoscaRossi}中获得的切割轨迹。我们利用李群\cite{AGBD}，\cite{Biggs}，\cite{HB2}上三维右不变亚黎曼结构的分类结果来精确地识别我们的结果所适用的自守结构.
2022-03-09 math.DG
Invariants of Third Type Almost Geodesic Mappings of Generalized Riemannian Space
本文研究了第三类几乎测地线映射下Christoffel符号的变换规则。通过研究，我们得到了这类映射的一些新的不变量。这些不变量是Thomas投影参数和Weyl投影张量的类比。
2017-10-14 math.DG
Periodic geodesics for contact sub-Riemannian 3D manifolds
本文研究了三维切触流形上次黎曼度量的周期测地线，主要研究了两个相互独立的问题：1）一般度量的周期Reeb轨道周围螺旋的闭测地线的存在性; 2）SL 2（R）的商上右不变度量的周期测地线的精确研究。
2022-02-28 math.DG math.DS math.OC
Homogeneous spaces with geodesic orbit Riemannian metrics and with integrable invariant distributions
Sobolev Institute of Mathematics SB RAS（俄罗斯科学院西伯利亚分院索博列夫数学研究所）；Southern Mathematical Institute of VSC RAS（北高加索联邦共和国科学院南方数学研究所）
本文研究了具有可积不变分布和测地轨道度量的齐性空间，发现部分空间属于前者但不属于后者，并指出其中存在允许不变爱因斯坦度量的案例。
2026-10-14 math.DG
Bounded distance geodesic foliations in Riemannian planes
Burns和Schneeper的一个猜想是问一个2-平面，它的度量没有共轭点，而测地线的叶理的直线在有界的Hausdorff距离上，是否一定是平坦的。我们在两种情况下证明了这个猜想：假设平面允许全曲率，并在某点的能见度的假设。在此过程中，我们证明了黎曼2-平面上的所有测地线叶理必须同胚于标准的。
2020-12-17 math.DG
Geodesics on Riemannian stacks
最近引入了可微李群胚和可微堆叠，将流形和轨道折叠的黎曼几何扩展到更一般的奇异空间。在这里，我们继续这一理论，研究堆叠曲线的黎曼堆栈，测量其长度使用堆叠度量，并介绍堆叠测地线。我们的主要结果表明，Stacky曲线的长度度量轨道空间上的距离，将Stacky测地线刻画为局部极小曲线，并建立了Stacky形式的Hopf-Rinow定理.我们包括一个简洁的概述，绕过不必要的技术性，我们把重点放在轨道空间的等距行动和叶空间的黎曼叶的例子。
2019-10-23 math.DG
