非凸鲁棒低秩矩阵恢复

无不一致性的支持恢复：非凸正则化的一个例子

Support recovery without incoherence: A case for nonconvex regularization

我们证明了原始-对偶见证证明方法可以用来建立变量选择的一致性和$\ell_\infty$ -界稀疏回归问题，即使当损失函数和/或正则化是非凸的。使用这种方法，我们得到两个定理的支持恢复和$\ell_\infty$ -保证的回归估计在一般设置。我们的研究结果提供了严格的理论依据使用非凸正则化：对于某些非凸正则化与消失的衍生物远离原点，支持恢复一致性可以保证，而不需要典型的不相干条件存在于$\ell_1$为基础的方法。然后，我们推导出几个推论，说明我们的方法分析复合目标函数，涉及损失，如最小二乘，非凸修正最小二乘误差变量线性回归，负对数似然广义线性模型，和图形拉索的广泛适用性。最后，我们用实证研究来证实我们的理论预测。

A Unified Framework for Constructing Nonconvex Regularizations

Over the past decades, many individual nonconvex methods have been proposed to achieve better sparse recovery performance in various scenarios. However, how to construct a valid nonconvex regularization function remains open in practice. In this paper, we fill in this gap by presenting a unified framework for constructing the nonconvex regularization based on the probability density function. Meanwhile, a new nonconvex sparse recovery method constructed via the Weibull distribution is studied.

信号处理、统计学和机器学习中基于非凸正则化的稀疏和低秩恢复综述

A Survey on Nonconvex Regularization Based Sparse and Low-Rank Recovery in Signal Processing, Statistics, and Machine Learning

在过去的十年中，稀疏和低秩恢复在信号/图像处理、统计学、生物信息学和机器学习等领域引起了广泛的关注。为了实现稀疏性和/或低秩诱导，$\ell_1$范数和核范数由于其凸性而成为最流行的正则化惩罚。虽然$\ell_1$和核范数是方便的，因为相关的凸优化问题通常是易处理的，但在许多应用中已经表明，非凸惩罚可以产生显着更好的性能。近年来，基于非凸正则化的稀疏和低秩恢复引起了人们的极大兴趣，事实上，它是非凸和非光滑优化的最新进展的主要驱动力。本文综述了这一主题在信号处理、统计和机器学习的各个领域，包括压缩感知（CS）、稀疏回归和变量选择、稀疏信号分离、稀疏主成分分析（PCA）、大协方差和逆协方差矩阵估计、矩阵完备和鲁棒PCA。我们目前的非凸正则化为基础的稀疏和低秩恢复在这些领域的最新发展，解决问题的惩罚选择，应用和非凸算法的收敛性。代码可在https://github.com/FWen/ncreg.git上获得。

利用线性损失和非凸惩罚从饱和测量中快速恢复信号

Fast Signal Recovery from Saturated Measurements by Linear Loss and Nonconvex Penalties

符号信息是克服压缩感知系统中不可避免的饱和误差的关键，饱和误差会导致信息丢失，从而产生偏差。对于从饱和状态恢复稀疏信号，我们建议使用线性损失来提高现有方法的有效性，这些方法利用硬约束/铰链损失来实现符号一致性。由于线性损失的使用，得到了更新过程中的解析解，并且一些非凸惩罚是适用的，例如，最小最大凹罚、$\ell_0$范数和排序的$\ell_1$范数。理论分析表明，估计误差仍然是有界的。一般情况下，线性损失和非凸惩罚，恢复性能显着提高，并大大节省了计算时间，这是由数值实验验证。

基于中值截断梯度下降的任意野值非凸低秩矩阵恢复

Nonconvex Low-Rank Matrix Recovery with Arbitrary Outliers via Median-Truncated Gradient Descent

最近的工作已经证明了梯度下降的有效性，直接恢复低秩矩阵的随机线性测量的因素在一个全局收敛的方式时，适当的初始化。然而，现有的算法的性能是高度敏感的离群值，可能采取任意值的存在。本文提出了一种截断梯度下降算法来提高对离群值的鲁棒性，其中进行截断以在每次迭代中自适应地排除与测量残差的{ \em样本中位数}显着偏离的样本的贡献。我们证明，当初始化在一个盆地的吸引力接近地面真相，所提出的算法收敛到地面真相的高斯测量模型与一个接近最佳数量的测量，即使当一个恒定的分数的测量是任意损坏的线性速率。此外，我们提出了一个新的截断谱方法，确保初始化在盆地的吸引力在稍高的要求。我们最后提供了数值实验来验证所提出的方法的优越性能。

一类非凸非光滑问题的近似线性化迭代加权最小二乘

Proximal linearized iteratively reweighted least squares for a class of nonconvex and nonsmooth problems

针对一类非凸非光滑问题，提出了一种近似线性化迭代加权最小二乘（PL-IRLS）算法。我们先用光滑方法近似原问题，然后通过引入新的变量将近似问题转化为辅助问题。PL-IRLS是在求解辅助问题的基础上，利用近似线性化技术和迭代加权最小二乘（IRLS）方法，具有显著的计算优势。我们表明，PL-IRLS可以扩展到解决更一般的非凸和非光滑问题，通过调整广义参数，也可以解决非凸和非光滑问题的两个或两个以上的变量块。在理论上，借助于Kurdyka- Lojasiewicz性质，我们证明了PL-IRLS生成的每个有界序列全局收敛于逼近问题的一个临界点。据我们所知，这是第一个应用IRLS思想解决非凸非光滑问题的整体收敛结果。最后，我们将PL-IRLS应用于稀疏信号恢复和低秩矩阵恢复中三个典型的非凸非光滑问题，得到了新的全局收敛算法。

伪装的凸性：非凸低秩矩阵估计的理论框架

Convexity in Disguise: A Theoretical Framework for Nonconvex Low-Rank Matrix Estimation

本文提出了一种理论框架，揭示了非凸方法在低秩估计中的内在凸性机制，通过良性正则化器提供新的理论保证。

Sparse Recovery Analysis of Generalized $J$-Minimization with Results for Sparsity Promoting Functions with Monotonic Elasticity

In this paper we theoretically study exact recovery of sparse vectors from compressed measurements by minimizing a general nonconvex function that can be decomposed into the sum of single variable functions belonging to a class of smooth nonconvex sparsity promoting functions. Null space property (NSP) and restricted isometry property (RIP) are used as key theoretical tools. The notion of \emph{scale function} associated to a sparsity promoting function is introduced to generalize the state-of-the-art analysis technique of the $l_p$ minimization problem. The analysis is used to derive an upper…

二次测量的结构化信号恢复：通过非凸优化打破样本复杂性障碍

Structured signal recovery from quadratic measurements: Breaking sample complexity barriers via nonconvex optimization

本文研究从$r=1,2,...,m$的形式为$y_r=|<a_r,x>|^2$的$m$二次测量中恢复未知但结构化的信号$x \in R^n$的问题。我们专注于欠定设置的测量的数量是显着小于信号的尺寸（$m<<n$）。我们制定的恢复问题作为一个非凸的优化问题，通过约束的优化变量的信号的先验结构信息。我们证明了投影梯度下降，当初始化的期望信号的邻域中，以线性速度收敛到未知信号。这些结果适用于任何约束集（凸或非凸）提供收敛保证的全局最优，即使当目标函数和约束集是非凸的。此外，这些结果与测量的数量保持一致，所述测量的数量与唯一地识别未知信号所需的最小测量数量仅相差恒定因子。我们的研究结果提供了第一个可证明的易于处理的算法，这种数据贫乏的制度，打破了局部样本的复杂性障碍，出现在最近的文献。在配套文件中，我们展示了有利的性能的优化问题，可以使类似的结果继续持有更多的全球性（在整个环境空间）。总的来说，这两篇论文利用并开发了强大的工具，统一收敛的经验过程，可能有更广泛的影响，严格的理解约束非凸优化算法。本文中的数学结果还为新一代数据驱动的无相位成像系统铺平了道路，该系统可以利用先验信息显着减少采集时间并增强图像重建，从而以前所未有的速度和分辨率实现纳米级成像。

一类具有非凸惩罚的高分辨率DOA估计方法

A High-resolution DOA Estimation Method with a Family of Nonconvex Penalties

低秩矩阵重构（LRMR）方法被广泛应用于波达方向（DOA）估计。由于LRMR中的秩范数惩罚是NP难计算的，核范数（或半正定（PSD）矩阵的迹范数）经常被用作秩范数的凸松弛。然而，解决核范数凸问题可能导致原秩范数问题的次优解。在本文中，我们提出了一个家庭的非凸罚款的奇异值的协方差矩阵作为稀疏性度量近似的秩范数。特别是，我们制定了一个非凸最小化问题，并解决它使用局部收敛的迭代加权策略，以提高稀疏性和分辨率。每次迭代中的问题都是凸的，因此可以通过使用优化工具箱来解决。收敛性分析表明，新方法能够获得次优解。所提出的方法和稀疏信号重建（SSR）之间的连接进行了探讨，表明我们的方法可以被视为一个基于稀疏性的方法与采样网格的数量接近无穷大。为加快算法的收敛速度，在每次迭代过程中对凸问题给出了两种可行的实现算法，即求解对偶问题和推导简化问题的封闭解.大量的仿真研究表明，所提出的方法的优越性。

一种结构化稀疏学习的非凸方法

A Nonconvex Approach for Structured Sparse Learning

稀疏学习是机器学习、统计估计、信号处理等领域的一个重要研究课题。在本文中，我们专注于结构化稀疏学习的$\ell_q$分析优化问题（$0< q \leq 1$）。与以前的工作相比，我们建立了较弱的条件，精确恢复在无噪声的情况下和更严格的非渐近上界的估计误差在噪声的情况下。我们进一步证明了非凸的$\ell_q$分析优化可以做恢复与较低的样本复杂性和更广泛的范围内的cosparity比其凸对应。此外，我们发展了一个迭代重加权的方法来解决变分框架下的优化问题。理论分析表明，我们的方法是能够追求一个局部极小值接近全局极小值。初步计算实验的实验结果表明，我们的非凸方法优于其凸对应和其他国家的最先进的方法。

一种新型双参数罚函数：松弛度分析与稀疏信号恢复

A Novel Two-Parameter Penalty: Relaxation Degree Analysis and Sparse Signal Recovery

提出非凸双参数罚函数P_{a,p}及松弛度概念，建立P_{a,p}最小化框架用于稀疏信号恢复，推广了TL1模型，并在RIP条件下证明精确与稳定恢复，设计IRLSTLp算法求解。

平方损失邻近算子的渐近性质与非凸稀疏信号恢复的性能预测

Asymptotics of Proximity Operator for Squared Loss and Performance Prediction of Nonconvex Sparse Signal Recovery

本文分析平方损失邻近算子在大系统极限下的渐近性质，并将其用于预测压缩感知中 Douglas-Rachford 算法在 $\ell_{1}$ 及非凸 SCAD、MCP 正则化下的 MSE 性能。

秩一测度的非凸矩阵分解

Nonconvex Matrix Factorization from Rank-One Measurements

我们考虑从随机秩一测量中恢复低秩矩阵的问题，该问题跨越了许多应用，包括协方差绘制、相位恢复、量子态层析成像和学习浅多项式神经网络等。我们的方法是直接估计的低秩因子，通过香草梯度下降最小化非凸二次损失函数，定制的频谱初始化。当真秩较小时，该算法保证以接近最优的样本复杂度和计算复杂性收敛到地面真值（直到全局模糊度）。据我们所知，这是在两个指标中实现接近最优的第一个保证。特别地，接近最优计算保证的关键使能器是隐式正则化现象：在没有显式正则化的情况下，谱初始化和梯度下降迭代都自动地停留在与测量向量不相干的区域内。该特征允许采用与先前文献中建议的步长相比更积极的步长，而不需要样本分裂。

非凸鲁棒矩阵补全的一般阈值函数的留一法分析

Leave-One-Out Analysis for Nonconvex Robust Matrix Completion with General Thresholding Functions

本文针对鲁棒矩阵补全问题，提出一种交替投影梯度与阈值化的非凸方法，并通过留一法分析证明其对一般阈值函数线性收敛，且提升采样复杂度。

从3设计中稳定恢复低秩矩阵

Stable low-rank matrix recovery from 3-designs

本文研究了从3设计中稳定恢复低秩矩阵的方法，通过核范数最小化建立了与4设计相似的恢复保证，解决了3设计的恢复问题。

鲁棒低秩矩阵恢复的一个最优条件

An Optimal Condition of Robust Low-rank Matrices Recovery

本文研究了低秩矩阵核范数最小化的重构条件。我们得到了充分条件$δ_{tr}<t/(4-t)$与$0<t<4/3$，以保证鲁棒重建$(z\neq0)$或精确重建$(z=0)$的所有秩$r$矩阵$X\in\mathbb{R}^{m\times n}$从$b=\mathcal{A}(X)+z$通过核范数最小化。此外，我们不仅证明了当$t=1$时，$δ_r<1/3$的上界与蔡和张\cite{Cai and Zhang}的结果相同，而且证明了所得到的关于恢复误差的上界更好.此外，我们证明了限制等距性条件是尖锐的。此外，数值实验表明，核范数最小化方法对于恢复低秩矩阵是稳定和鲁棒的。

鲁棒主成分分析：受损低秩矩阵的精确恢复

Robust Principal Component Analysis: Exact Recovery of Corrupted Low-Rank Matrices

由于方程（71）附近的一个要害差错，该论文已被撤回。这个错误导致论文的整个论点崩溃。斯坦福大学的Emmanuel Candes发现了这个错误，并提出了一个正确的分析，这将在另一份出版物中报道。

利用对数和正则化与自适应平滑的稀疏信号恢复

Sparse Signal Recovery Using Log-Sum Regularization and Adaptive Smoothing

本文研究了利用非凸对数和正则化进行噪声线性观测下的稀疏信号恢复，通过自适应平滑策略提高稳定性，提出AMP算法并推导其状态演化递归，验证了在无噪声情况下精确恢复相变，并与ℓ1正则化比较显示其在低密度或高测量率下更具优势。

不完全观测值的低秩矩阵恢复综述

An overview of low-rank matrix recovery from incomplete observations

低秩矩阵在信号处理和机器学习的建模和计算方法中起着重要作用。在许多应用中，低秩矩阵的出现，这些矩阵不能完全采样或直接观察，和一个遇到的问题，恢复矩阵只给出不完整的和间接的意见。本文综述了利用低秩结构在这些环境中进行矩阵恢复的现代技术，并对这一快速发展领域的最新进展进行了综述。特别注意的是在实践中最常用的算法，现有的理论保证这些算法，并代表这些技术的实际应用。

用于稀疏恢复的统一分数阶正则化框架

A Unified Fractional Regularization Framework for Sparse Recovery

提出基于 ℓ1/ℓp^q 模型的统一分数阶正则化框架，通过参数 p 和 q 泛化多种稀疏正则化器，理论刻画了与 ℓ1-αℓp 模型的一阶驻点等价性，并建立了基于 RIP 的充分恢复条件，开发了 MM 算法并证明收敛性，实验表明在稀疏恢复和 MRI 重建中优于现有方法。

稳定矩阵恢复的最佳样本复杂度

Optimal Sample Complexity for Stable Matrix Recovery

人们在稀疏恢复和低秩矩阵恢复的理论和算法方面进行了大量的研究。本文填补了基质回收的理论空白：稳定回收的最佳样品复杂性没有常数或对数因子。我们对待稀疏性，低秩，并可能在同一框架内的其他吝啬的结构：约束集，有小的覆盖数或Minkowski尺寸。我们考虑三种类型的随机测量矩阵（非结构化，秩-1，和对称秩-1矩阵），满足一些温和的条件下的概率分布。在所有这些情况下，我们证明了一个基本的结果-恢复矩阵的简约结构，使用最佳（或接近最佳）的测量数，是稳定的概率很高。

On the robustness of noise-blind low-rank recovery from rank-one measurements

We prove new results about the robustness of well-known convex noise-blind optimization formulations for the reconstruction of low-rank matrices from underdetermined linear measurements. Our results are applicable for symmetric rank-one measurements as used in a formulation of the phase retrieval problem. We obtain these results by establishing that with high probability rank-one measurement operators defined by i.i.d. Gaussian vectors exhibit the so-called Schatten-1 quotient property, which corresponds to a lower bound for the inradius of their image of the nuclear norm (Schatten-1) unit bal…

Nonconvex Low-Rank Tensor Completion from Noisy Data

We study a noisy tensor completion problem of broad practical interest, namely, the reconstruction of a low-rank tensor from highly incomplete and randomly corrupted observations of its entries. While a variety of prior work has been dedicated to this problem, prior algorithms either are computationally too expensive for large-scale applications, or come with sub-optimal statistical guarantees. Focusing on "incoherent" and well-conditioned tensors of a constant CP rank, we propose a two-stage nonconvex algorithm -- (vanilla) gradient descent following a rough initialization -- that achieves th…

具有性能保证的分段常数信号的结构化低秩恢复

Structured low-rank recovery of piecewise constant signals with performance guarantees

我们推导出理论保证分段恒定的二维图像的精确恢复从最小数量的非均匀傅立叶样本使用凸矩阵完成算法。我们假设图像的不连续性被局部化到带限函数的零水平集，这在傅立叶域中引起一定的线性依赖性，使得从傅立叶数据构建的多重Toeplitz矩阵已知是低秩的。恢复算法将已知的傅立叶样本排列到结构化矩阵中，然后尝试通过最小化受到结构和数据约束的核范数来恢复丢失的傅立叶数据。这项工作适应陈和池的结果恢复孤立Diracs通过核范数最小化一个类似的多重汉克尔结构。我们表明，准确的恢复是可能的概率很高时，带限函数描述的边缘集满足不相干性。最后，我们展示了算法的恢复欠采样的MRI数据。

通过交替梯度下降与最小化实现高效联邦低秩矩阵恢复：一个简单的证明

Efficient Federated Low Rank Matrix Recovery via Alternating GD and Minimization: A Simple Proof

本文为使用AltGDmin算法解决低秩列向感知问题的样本复杂度保证提供了更简单、更短的证明，并给出了改进的保证。

稳定矩阵恢复的最佳样本复杂度

Optimal Sample Complexity for Stable Matrix Recovery

人们在稀疏恢复和低秩矩阵恢复的理论和算法方面进行了大量的研究。本文填补了基质回收的理论空白：稳定回收的最佳样品复杂性没有常数或对数因子。我们对待稀疏性，低秩，并可能在同一框架内的其他吝啬的结构：约束集，有小的覆盖数或Minkowski尺寸。我们考虑三种类型的随机测量矩阵（非结构化，秩-1，和对称秩-1矩阵），满足一些温和的条件下的概率分布。在所有这些情况下，我们证明了一个基本的结果-恢复矩阵的简约结构，使用最佳（或接近最佳）的测量数，是稳定的概率很高。

非凸优化与低秩矩阵分解

Nonconvex Optimization Meets Low-Rank Matrix Factorization: An Overview

近年来，在通过非凸优化来开发可证明准确和有效的低秩矩阵分解算法方面取得了实质性进展。虽然传统的智慧往往采取了非凸优化算法，由于他们的敏感性虚假的局部最小值，简单的迭代法，如梯度下降在实践中取得了显着的成功。然而，直到最近，理论基础在很大程度上仍然缺乏。在这个教程式的概述中，我们强调了统计模型在实现具有性能保证的高效非凸优化方面的重要作用。我们回顾了两种对比的方法：（1）两阶段算法，其中包括一个定制的初始化步骤，随后连续细化;和（2）全球景观分析和初始化免费算法。讨论了几个典型的矩阵分解问题，包括但不限于矩阵传感，相位恢复，矩阵完成，盲反卷积，鲁棒主成分分析，相位同步，和联合对准。特别注意说明他们的分析背后的关键技术见解。这篇文章证明了最优化和统计的综合考虑导致了丰硕的研究成果。

由稀疏信号恢复转化为低秩矩阵恢复的充分条件

Sufficient Conditions for Low-rank Matrix Recovery, Translated from Sparse Signal Recovery

低秩矩阵恢复（LMR）是一个线性等式约束下的秩最小化问题，它广泛存在于信号与图像处理、统计学、计算机视觉、系统辨识和控制等领域。这类优化问题是$\N¶$ -困难的，并且流行的方法用矩阵变量的核范数代替秩函数。在本文中，我们将稀疏信号恢复中的感知矩阵的$s$ -优度的概念（由Juditsky和Nemirovski [Math Program，2011]提出）扩展到LMR中的线性变换。然后，我们给出了LMR背景下的$s$ -优性的刻画。利用线性变换的两个特征$s$ -优度常数$γ_s$和$\hatγ_s$，我们不仅得到了线性变换是$s$ -优的充要条件，而且在温和的假设下，通过核范数极小化给出了精确稳定的$s$ -秩矩阵恢复的充分条件.此外，我们给出了可计算的上界之一的$s$ -善良的特点，从而导致可验证的充分条件，准确的低秩矩阵恢复。

张量一致性检验、低秩恢复与压缩感知

On Identity Testing of Tensors, Low-rank Recovery and Compressed Sensing

我们研究的问题，获得有效的，确定性的，黑盒多项式身份测试算法的深度3集多线性电路（在任意字段）。这类电路有一个有效的，确定性的，白盒多项式身份测试算法（由于Raz和Shpilka），但没有已知的黑盒算法。我们将这个问题重新定义为寻找一个低维子空间H，由秩为1的张量张成，使得对偶空间ker（H）中的任何非零张量都具有高秩。我们得到明确的结构，基本上最佳大小的击中2度张量（矩阵），并获得准多项式大小的击中任意张量（但这第二次击中集是不太明确）。我们还显示了连接到执行低秩恢复矩阵的任务，这是在压缩感知领域的研究。低秩恢复要求（比如说，在实数上）在保证M的秩<=r的情况下，从几个测量值中恢复矩阵M。我们还给出了低秩恢复和稀疏（向量）恢复任务之间的正式联系：任何稀疏恢复算法，精确恢复长度为n和稀疏度为2 r的向量，使用m个非自适应测量，产生一个低秩恢复方案，用于精确恢复秩<=r的nxn矩阵，进行2nm非自适应测量。此外，如果稀疏恢复算法在时间τ内运行，则低秩恢复算法在时间O（rn^2+nτ）内运行。我们使用线性代数技术获得这种减少，而不是使用凸优化，这是更常见的压缩感知算法。通过使用对偶Reed-Solomon码，我们能够（确定性地）构造在实数上进行4 nr次测量的低秩恢复方案，使得测量可以是所有秩1矩阵或所有稀疏矩阵。

Schatten- $p$拟范数极小化在恢复低秩矩阵中的性能保证

Performance Guarantees for Schatten-$p$ Quasi-Norm Minimization in Recovery of Low-Rank Matrices

我们解决了一些理论保证$p$准范数最小化（$p \in (0,1]$）在恢复低秩矩阵从压缩的线性测量。首先，利用测量算子的零空间性质，给出了低秩矩阵精确恢复的一个充分条件。这个条件保证了唯一的恢复矩阵的秩等于或大于核范数最小化所保证的。其次，这个充分条件导致了一个定理证明了所有基于限制等距性质（RIP）的$\ell_p$拟范数最小化的充分条件推广到Schatten- $p$拟范数最小化。基于这个定理，我们提供了一些基于RIP的恢复条件。

低秩矩阵恢复的贪婪算法

Greedy Approach for Low-Rank Matrix Recovery

我们描述了简单的贪婪矩阵完成算法提供了一个有效的方法，从不完整的损坏的条目恢复低秩矩阵。我们提供的数值证据表明，即使在最简单的实现，贪婪的方法可能会增加现有算法的恢复能力显着。

从错误和擦除中恢复低秩矩阵

Low-rank Matrix Recovery from Errors and Erasures

本文考虑从一个同时包含两个（a）擦除：大多数条目未被观察到，和（b）错误：（未知）位置的恒定分数的值被任意损坏的观察版本的低秩矩阵的恢复。我们提供了一个新的统一的性能保证时，最小化的秩加支持的自然凸松弛成功的精确恢复。我们的结果允许同时存在的随机和确定性的组件在错误和擦除模式。一方面，通过以不同的方式专门化这一单一结果而获得的推论恢复（直到多对数因子）矩阵完成以及稀疏和低秩矩阵恢复中的所有现有工作。另一方面，我们的结果也提供了第一个保证（a）恢复时，我们观察到一个消失的分数的条目损坏的矩阵，和（b）确定性矩阵完成。

联合稀疏和低秩矩阵的两步恢复：理论保证

Two step recovery of jointly sparse and low-rank matrices: theoretical guarantees

我们介绍了一个两步算法的理论保证，以恢复一个联合稀疏和低秩矩阵的欠采样测量其列。该算法首先使用列的一组公共测量来估计矩阵的行子空间。在第二步中，使用简单的最小二乘算法解决矩阵的子空间感知恢复。在从欠采样测量中恢复CINE数据的背景下验证了结果;当采样条件满足时，我们获得了良好的恢复。

基于秩1紧框架测量的低秩矩阵恢复

Low-rank matrix recovery via rank one tight frame measurements

从不完整的线性测量重构低秩矩阵的任务出现在诸如机器学习、量子状态层析成像和相位恢复问题的领域中。在本文中，我们研究的特殊设置，采取的测量相对于秩一矩阵构造的随机紧框架的元素。我们考虑一个凸优化方法，并显示两个鲁棒性的重建相对于噪声的测量以及稳定性，通过约低秩矩阵。这是通过建立相应测量图的零空间属性的版本来实现的。

最大熵低秩矩阵恢复

Maximum entropy low-rank matrix recovery

在本文中，我们提出了一种新的，信息理论的方法，称为MaxEnt，有效的数据采集低秩矩阵恢复。该方法在图像处理和文本索引等领域有着广泛的应用。我们的设计方法的基础是所谓的最大熵原理，该原理指出使观测熵最大化的测量掩码也使未知矩阵$\mathbf{X}$上的信息增益最大化。结合$\mathbf{X}$的低秩随机模型，这样的原理（i）揭示了信息理论采样和子空间填充之间的新联系，以及（ii）产生用于矩阵恢复的有效掩模构造算法，其显著优于随机测量。我们说明了MaxEnt在模拟实验中的有效性，并证明了它的实用性在两个现实世界中的应用程序的图像恢复和文本文档索引。

Scaling and Scalability: Provable Nonconvex Low-Rank Tensor Estimation from Incomplete Measurements

Tensors, which provide a powerful and flexible model for representing multi-attribute data and multi-way interactions, play an indispensable role in modern data science across various fields in science and engineering. A fundamental task is to faithfully recover the tensor from highly incomplete measurements in a statistically and computationally efficient manner. Harnessing the low-rank structure of tensors in the Tucker decomposition, this paper develops a scaled gradient descent (ScaledGD) algorithm to directly recover the tensor factors with tailored spectral initializations, and shows tha…

非相干流形上的信号恢复

Signal Recovery on Incoherent Manifolds

假设我们观察到一个未知信号的噪声线性测量，该信号可以被建模为两个分量信号的和，每个分量信号都来自高维环境空间的非线性子流形。我们介绍了SPIN，一个一阶投影梯度方法来恢复信号分量。尽管恢复问题的非凸性质和欠定测量的可能性，SPIN可证明恢复的信号分量，只要信号流形是不相干的，并且测量算子满足一定的限制等距属性。SPIN显著扩展了当前低维线性逆问题的恢复模型和算法的范围，并在性能方面匹配（或超过）当前的最新技术水平。

求子空间中的稀疏向量：理论、算法与应用

Finding the Sparsest Vectors in a Subspace: Theory, Algorithms, and Applications

在低维子空间中找到稀疏向量（方向）的问题可以被认为是稀疏恢复问题的齐次变体，其在鲁棒子空间恢复、字典学习、稀疏盲反卷积以及信号处理和机器学习中的许多其他问题中找到应用。然而，与经典的稀疏恢复问题相比，在子空间中寻找稀疏向量的最自然的公式通常是非凸的。在本文中，我们概述了最近的进展，解决这个问题的全局非凸优化理论，从几何分析的优化景观，有效的优化算法解决相关的非凸优化问题，在机器智能，表示学习，和成像科学的应用。最后，我们通过指出未来研究的几个有趣的开放问题来总结这篇评论。

基于特征零的Gabidulin码的低秩矩阵恢复

Low-Rank Matrix Recovery using Gabidulin Codes in Characteristic Zero

提出了一种基于Gabidulin码的低秩矩阵恢复新方法。由于LRMR的大多数应用处理无限域上的矩阵，我们使用最近推出的推广Gabidulin码的特征零的字段。我们表明，LRMR可以减少到Gabidulin码的解码，并讨论哪些字段扩展可以用于代码的建设。

低秩大语言模型中压缩后恢复的功能结构

The Functional Structure of Post-Compression Recovery in Low-Rank LLMs

本研究揭示低秩压缩大语言模型在恢复过程中的异质性源于可复现的压缩诱导功能结构（恢复压力），并开发了标准化表征方法，证明该结构演化与恢复响应相关，提供超越标量损失的互补视角。

球面II上的完全字典恢复：黎曼信赖域方法

Complete Dictionary Recovery over the Sphere II: Recovery by Riemannian Trust-region Method

我们考虑恢复完整的（即，平方和可逆的）矩阵$\mathbf A_0$，由$\mathbf Y \in \mathbb{R}^{n \times p}$和$\mathbf Y = \mathbf A_0 \mathbf X_0$构成，条件是$\mathbf X_0$足够稀疏。这个恢复问题是字典学习的理论理解的核心，字典学习寻求输入信号集合的稀疏表示，并在现代信号处理和机器学习中找到许多应用。我们给出了第一个有效的算法，可证明恢复$\mathbf A_0$时，$\mathbf X_0$有$O(n)$非零每列，在适当的概率模型$\mathbf X_0$。我们的算法流水线围绕解决具有球形约束的特定非凸优化问题，因此自然地用流形优化的语言来表达。在一篇配套论文（arXiv：1511.03607）中，我们已经证明了我们的非凸公式很可能没有“虚假”局部极小值，并且在任何鞍点周围目标函数都有负方向曲率。在本文中，我们利用特殊的几何结构，并描述了一个黎曼信赖域算法，可证明收敛到一个局部极小从任意初始化。这样的极小化器给出了对$\mathbf X_0$行的极好的近似。然后通过线性规划舍入和收缩来恢复行。

噪声矩阵完备化：通过非凸优化理解凸松弛的统计保证

Noisy Matrix Completion: Understanding Statistical Guarantees for Convex Relaxation via Nonconvex Optimization

本文研究了噪声低秩矩阵的完备化问题：给定一个大型低秩矩阵的部分和噪声元素，目标是忠实而有效地估计底层矩阵。可以说，解决这个问题的最流行的范例之一是凸松弛，它在实践中取得了显着的效果。然而，这种方法的理论支持在噪声环境中仍然远远不是最佳的，无法解释其经验上的成功。我们取得了进展，对神秘的凸松弛与随机噪声的实际效果。当未知矩阵的秩和条件数是由一个常数的范围内，我们证明了凸规划方法实现了近最佳的估计误差--在欧氏损失，entrywise损失，和频谱范数损失-在很宽的范围内的噪声水平。所有这些都是通过将凸松弛与非凸Burer-Monteiro方法连接起来实现的，这是一种看似独特的算法范例，可证明对噪声具有鲁棒性。更具体地说，我们表明，一个近似的临界点的非凸制定作为一个非常紧密的近似凸的解决方案，从而使我们能够转移所需的统计保证的非凸的方法，其凸对应。

通过缩放梯度下降法保证非凸低秩张量估计

Guaranteed Nonconvex Low-Rank Tensor Estimation via Scaled Gradient Descent

本文提出ScaledGD算法，通过缩放梯度下降法在t-SVD框架下实现低秩张量估计的线性收敛，克服了传统方法在条件数依赖上的限制。

低秩矩阵优化中非凸因子分解与流形公式几乎等价

Nonconvex Factorization and Manifold Formulations are Almost Equivalent in Low-rank Matrix Optimization

该研究建立低秩矩阵优化中流形与因子分解公式在平稳点、鞍点等上的几何等价性及谱夹心关系，可迁移几何性质、解决文献遗留问题并强化相关应用结论。

通过迭代硬阈值法进行低秩张量恢复

Low rank tensor recovery via iterative hard thresholding

本文研究了压缩感知和低秩矩阵恢复在高阶低秩张量恢复中的扩展，提出迭代硬阈值法在HOSVD、TT和HT分解中的应用，并证明了其收敛性及测量算子的张量受限等距性质。

多面体的稀疏表示及稀疏信号和低秩矩阵的恢复

Sparse Representation of a Polytope and Recovery of Sparse Signals and Low-rank Matrices

本文考虑压缩感知和仿射秩最小化在无噪和有噪情况下，并建立了尖锐的限制等距稀疏信号和低秩矩阵恢复条件。分析依赖于一个关键的技术工具，表示点的多面体的凸组合稀疏向量。该技术是基本的，但导致尖锐的结果。它示出，对于任何给定的常数$t\ge {4/3}$，在压缩感知$δ_{tk}^A < \sqrt{(t-1)/t}$保证精确恢复的所有$k$稀疏信号在无噪声的情况下，通过约束$\ell_1$最小化，并同样在仿射秩最小化$δ_{tr}^\mathcal{M}< \sqrt{(t-1)/t}$确保精确重建的所有矩阵的秩最多$r$在无噪声的情况下，通过约束核范数最小化。此外，对于任何$ε>0$，对于大的$k$，$δ_{tk}^A<\sqrt{\frac{t-1}{t}}+ε$不足以保证所有$k$稀疏信号的精确恢复。类似的结果也适用于基质回收。此外，条件$δ_{tk}^A < \sqrt{(t-1)/t}$和$δ_{tr}^\mathcal{M}< \sqrt{(t-1)/t}$也被证明是足够的，分别为稳定恢复的近似稀疏信号和低秩矩阵在噪声的情况下。

低秩矩阵恢复的景观：超越RIP及其在秩一测量中的应用

Low-rank matrix recovery landscapes beyond RIP with application to rank-one measurements

本文研究低秩矩阵恢复的非凸景观，提出在更弱的等距条件下（仅要求低秩切空间上的等距性）保证良性景观，并应用于秩一测量，获得统计上接近最优的样本复杂度和恢复误差。

低秩矩阵恢复核范数极小化的零空间充要条件

Necessary and Sufficient Null Space Condition for Nuclear Norm Minimization in Low-Rank Matrix Recovery

低秩矩阵恢复在机器学习、信号处理、协同滤波、系统辨识和欧几里得嵌入等科学和工程领域有着广泛的应用。但低秩矩阵恢复问题是一个NP难问题，因此具有挑战性。一种常用的启发式方法是核范数最小化。在文献[12，14，15]中，作者建立了核范数极小化的充要零空间条件（强零空间条件），以恢复所有可能的秩不超过r的低秩矩阵。此外，在[12]中，Oymak等人利用核范数最小化建立了一个成功恢复给定低秩矩阵的零空间条件（弱零空间条件），并导出了核范数最小化的相变。本文证明了文[12]中的弱零空间条件只是利用核范数极小化成功恢复矩阵的一个充分条件，而不是文[12]中所声称的必要条件。本文进一步给出了低秩矩阵恢复的一个弱零空间条件，它是核范数极小化成功的充要条件。在我们的推导的核心是一个不等式的特征块矩阵的核范数，并在该不等式的等式成立的条件。

球面上的完全字典恢复

Complete Dictionary Recovery over the Sphere

我们考虑恢复完整的（即，平方和可逆的）矩阵$\mathbf A_0$，由$\mathbf Y \in \mathbb R^{n \times p}$和$\mathbf Y = \mathbf A_0 \mathbf X_0$构成，条件是$\mathbf X_0$足够稀疏。这个恢复问题是字典学习的理论理解的核心，字典学习寻求输入信号集合的稀疏表示，并在现代信号处理和机器学习中找到许多应用。我们给出了第一个有效的算法，可证明恢复$\mathbf A_0$时，$\mathbf X_0$有$O(n)$非零每列，在适当的概率模型$\mathbf X_0$。相比之下，以前的结果的基础上有效的算法提供恢复保证时，$\mathbf X_0$只有$O(n^{1-δ})$非零每列的任何常数$δ\in (0, 1)$。我们的算法流水线围绕解决具有球形约束的特定非凸优化问题，因此自然地用流形优化的语言来表达。为了表明这个显然很难的问题是易于处理的，我们首先提供了一个几何表征的高维客观景观，这表明，有很高的概率没有“虚假”的局部极小值。这种特殊的几何结构，使我们能够设计一个黎曼信赖域算法在球证明收敛到一个局部极小与任意初始化，尽管存在鞍点。我们在这里开发的几何方法也可能揭示了结构化信号的非凸恢复所产生的其他问题。

Bridging Convex and Nonconvex Optimization in Robust PCA: Noise, Outliers, and Missing Data

This paper delivers improved theoretical guarantees for the convex programming approach in low-rank matrix estimation, in the presence of (1) random noise, (2) gross sparse outliers, and (3) missing data. This problem, often dubbed as robust principal component analysis (robust PCA), finds applications in various domains. Despite the wide applicability of convex relaxation, the available statistical support (particularly the stability analysis vis-à-vis random noise) remains highly suboptimal, which we strengthen in this paper. When the unknown matrix is well-conditioned, incoherent, and of co…

低秩矩阵恢复的唯一性条件

Unicity conditions for low-rank matrix recovery

本文研究了通过任意方法（包括不可行方法）恢复低秩矩阵所需的最少测量次数，给出了随机测量系综下保证秩最小化均匀恢复所有秩r矩阵的充分必要条件，并与核范数最小化的性能进行了比较。