Measure and Dimension of Sums and Products
本文研究了$RY + Z, $形式的集合的勒贝格测度、豪斯多夫维数和Fourier维数，其中$R \subseteq (0,\infty)$和$Y, Z \subseteq \mathbb{R}^d$。证明了$RY+Z$的Lebesgue测度和豪斯多夫维数的一个定理，该定理是Wolff和Oberlin的一些定理的推广，其中$Y$是单位球面，但它的证明要简单得多.我们还证明了一个更深层次的存在定理：对于每个$α\in [0,1]$和每个非空紧集$R \subseteq (0,\infty)$，存在一个紧集$Y \subseteq [1,2]$使得$\dim_F(Y) = \dim_H(Y) = \overline{\dim_M}(Y) = α$和$\dim_F(RY) \geq \min\{ 1, \dim_F(R) + \dim_F(Y)\}$ .这个定理证明了一个更一般的猜想的弱形式，并且它可以用来从旧的Salem集产生新的Salem集。
2021-02-06 math.CA
Falconer's distance set problem via the wave equation
Falconer证明了存在豪斯多夫维数$n/2$的集合$E\subset \mathbb{R}^n$，其距离集合$\{|x-y| : x,y\in E\}$关于Lebesgue测度为零.这导致了猜想，距离集有积极的勒贝格措施，一旦豪斯多夫维数$E$是大于$n/2$。在这个方向上的最佳结果利用的估计，限制傅里叶变换的措施，$(n-1)$维领域。在这里，我们表明，这些估计可以取代的估计，限制傅里叶变换的措施，$n$维锥。这样的估计首先考虑沃尔夫在其伴随形式，使他们绑定的解决方案，以波动方程的初始数据。与法尔科纳的问题，结合法尔科纳的反例，提供了一个新的必要条件什么被认为是一个合理的猜想，这些估计。
2018-02-04 math.CA
Lower bounds on Bourgain's constant for harmonic measure
对于每个$n\geq 2$，Bourgain常数$b_n$是使得调和测度的（上）Hausdorff维数对于定义了调和测度的$\mathbb{R}^n$中的每个域至多为$n-b_n$的最大数。Jones和Wolff（1988）证明了$b_2=1$。当$n\geq 3$，Bourgain（1987）证明$b_n>0$和Wolff（1995）产生的例子显示$b_n<1$。精炼Bourgain的原始大纲，我们证明了\[ b_n\geq c\,n^{-2n(n-1)}/\ln(n)\]的所有$n\geq 3$，其中$c>0$是一个常数，是独立的$n$。我们进一步估计了$b_3\geq 1\times 10^{-15}$和$b_4\geq 2\times 10^{-26}$。
2022-11-10 math.AP math.CA
A note on topological dimension, Hausdorff measure, and rectifiability
本文的目的是对一般度量空间记录David Bate最近的一个结果的一个推论。证明了如下事实：设$X$是拓扑维数为$n$的紧度量空间.设$X$的$n$维Hausdorff测度$\mathcal H^n(X)$是有限的.进一步假设测度$\mathcal H^n$的低n-密度是正的，$\mathcal H^n$ -几乎在$X$中的任何地方。则$X$包含正$\mathcal H^n$ -测度的$n$ -可求长子集.此外，如果使用最近宣布的Csörnyei-Jones的结果，则不需要对较低密度的假设。
2018-07-07 math.CA math.MG
On the Hausdorff dimension of circular Furstenberg sets
本文定义了圆形 Furstenberg 集，并证明当 $0 \leq t \leq s \leq 1$ 时，此类集合的 Hausdorff 维数下界为 $s + t$，其中 $s=1$ 的情形由 Wolff 关于圆形 Kakeya 集的工作得出。
2024-12-19 math.CA math.MG
New bounds on the dimensions of planar distance sets
证明了平面集的距离集和钉扎距离集的维数的新界。在其他结果中，我们证明了，如果$A\subset\mathbb{R}^2$是一个Borel集的Hausdorff维数$s>1$，那么它的距离集的Hausdorff维数至少为$37/54\approx 0.685$。此外，如果$s\in (1,3/2]$，则在Hausdorff维数至多为$1$的例外$y$的集合之外，固定距离集合$\{ |x-y|:x\in A\}$具有Hausdorff维数$\ge \tfrac{2}{3}s$和至少为$ \tfrac{1}{4}(1+s+\sqrt{3s(2-s)}) \ge 0.933$的填充维数。这些估计改进了Bourgain，Wolff，Peres-Schlag和Iosevich-Liu对Hausdorff维数$>1$的估计.我们的证明使用了测量的多尺度分解，与以前的工作不同，我们能够选择受某些约束的尺度。这导致了一个组合问题，这是我们的方法的一个关键的新成分，我们完全解决了优化某些变化的Lipschitz函数。
2019-04-01 math.CA math.CO math.MG
An Analyst's Traveling Salesman Theorem for sets of dimension larger than one
在他1990年的Inventions论文中，P. Jones通过$β$数的多尺度和来描述平面上可求长曲线的子集。这些$β$ -数是几何量，测量给定集合在每个尺度和位置处偏离最佳拟合线的程度。琼斯的结果是一种定量的方式说，一条曲线是可求长的，当且仅当它几乎在每一点都有切线。此外，计算曲线的平方和将曲线的长度返回到乘法常数。K. Okikiolu延长他的结果从子集的飞机子集的欧几里得空间。G. David和S.塞姆斯在阿尔福斯正则性的假设下，使用琼斯的$β$数的一个变体，将讨论扩展到包括大于1的（整数）维集合。本文对欧几里得空间中的任意（整数）维集合给出了P. Jones定理的一个版本。我们用$β$型数的类似和来估计一个集合的$d$维Hausdorff测度.没有假设Ahlfors正则性，而是只有Hausdorff内容的下界。我们通过使用Choquet积分来重新定义Jones的$β$ -数，从而适应David和Semmes的版本。证明中的一个关键工具是G.大卫和T. Toro的参数化Reifenberg平坦集（与洞）。
2019-11-21 math.CA math.MG
The dimension of planar elliptic measures arising from Lipschitz matrices in Reifenberg flat domains
Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）；ICREA（加泰罗尼亚高级研究院）
该研究针对小常数平面Reifenberg平坦区域上实值一致椭圆Lipschitz系数散度型算子的椭圆测度，证明其Hausdorff维数不超过1，且存在满椭圆测度的σ-有限一维Hausdorff测度边界子集，推广了Wolff关于调和测度的结果。
2025-04-30 math.AP math.CA
A discretized Severi-type theorem with applications to harmonic analysis
在1901年，塞维里证明，如果$Z$是一个不可约超曲面在$\mathbb{P}^4(\mathbb{C})$，其中包含一个三维的一组线，那么$Z$是一个二次超曲面或涡卷的飞机。我们证明了一个离散化版本的超曲面在$\mathbb{R}^4$。作为应用，我们证明了$\mathbb{R}^4$中低次超曲面的$δ$ -邻域中至多包含$δ^{-2-\varepsilon}$方向分离的$δ$ -管.这一结果导致改进的限制和Kakeya问题在$\mathbb{R}^4$的界限。结合Guth和作者以前的工作，这个结果意味着在维数$3+1/28$上的Kakeya极大函数估计，这是对Wolff以前的$3$界的改进.证明了$\mathbb{R}^4$中的Besicovitch集的豪斯多夫维数至少为$3+1/28$ .最近，德米特表明，任何改进沃尔夫界的Kakeya极大函数产生新的界限上的限制问题的抛物面$\mathbb{R}^4$。
2021-01-22 math.AG math.CA
Falconer distance problem, additive energy and Cartesian products
一个著名的结果，由于沃尔夫说，如果$E$是一个紧凑的子集${\Bbb R}^2$，然后勒贝格测度的距离集$Δ(E)=\{|x-y|: x,y \in E \}$是积极的，如果豪斯多夫维数的$E$是大于$\frac{4}{3}$。在本文中，我们改进了$\frac{4}{3}$势垒的小指数为笛卡儿积。在更高的维度，也在笛卡儿积的上下文中，我们减少埃尔多安的$\frac{d}{2}+\frac{1}{3}$指数为$\frac{d^2}{2d-1}$。证明使用了傅里叶分析和加法组合的组合。
2015-11-28 math.CA math.CO
Dimension and measure of sums of planar sets and curves
两个平面集合的算术和的研究一直受到人们的关注。重点研究了当$A\subset \mathbb{R}^2$和$Γ$是分段$\mathcal{C}^2$曲线时，$A+Γ:=\left\{a+v:a\in A, v\in Γ\right\}$的测度和维数.假设$Γ$具有非零曲率，我们证明：（a）如果$\dim_{\rm H} A \leq 1$，则有$\dim_{\rm H} (A+Γ)=\dim_{\rm H} A +1$，其中$\dim_{\rm H}$表示Hausdorff维数;（b）如果$\dim_{\rm H} A>1$，则有$Leb_2(A+Γ)>0$，其中$Leb_2$表示$2$维Lebesgue测度;（c）如果$\dim_{\rm H} A=1$和$H^1(A) < \infty$，则有$Leb_2(A+Γ)=0$当且仅当$A$是一个不规则的（完全不可求长的）$1$ -集。这里，$H^1$表示$1$维Hausdorff测度。（a）和（b）项来自Wolff和Oberlin以前使用傅立叶分析的工作。在这篇文章中，我们开发了一种方法，使用非线性投影理论，它给出了新的证明（a）和（b）和（c）的第一个证明。第（c）项有许多结果：如果一个圆被随机扔到平面上，它几乎肯定不会与四角康托集相交。而且，不规则$1$ -集的钉扎距离集在几乎每个钉$t\in \mathbb{R}^2$处都有$…
2022-08-12 math.CA
Hausdorff content $A_p$ weights: weighted maximal inequalities and fundamental structural properties
本文研究了容积穆肯霍普特权重与Hardy-Littlewood极大算子的加权范数不等式，建立了新的权重类并验证了经典Muckenhoupt权重的若干性质。
2026-10-27 math.CA math.FA
On the Hausdorff dimension of Furstenberg sets and orthogonal projections in the plane
本文证明平面中(s,t)-Furstenberg集的Hausdorff维数至少为2s+ε，并改进Wolff(1999)与Kaufman(1968)的结果，ε仅依赖于s和t。
2023-09-05 math.CA math.CO math.MG
Multiscale analysis of 1-rectifiable measures: necessary conditions
我们重新利用定量可校正性理论中的工具来研究$\Bbb{R}^n$、$n\geq 2$中度量的定性可校正性。对于每一个局部有限的Borel测度$μ$，我们关联一个函数$\widetilde J_2(μ, x)$，该函数使用加权和来记录$μ$的质量如何紧密地集中在包含$x$的二元立方体的三元组中的一条线上。我们证明了$\widetilde J_2(μ, x) < \infty$ $μ$ -a. e.是$μ$对可数族可求长曲线赋予全质量的必要条件。这证实了彼得·琼斯在2000年提出的一个猜想。这个结果的一个新颖之处是，没有假设上的Hausdorff密度的措施。因此，我们能够分析与1维Hausdorff测度相互奇异的一般1-可求长测度。
2014-09-15 math.CA math.MG
Quantitative Reifenberg theorem for measures
本文研究基于Jones' $β$-数的$\u211d^n$中测度的Reifenberg定理推广，给出无密度假设下一般测度的有效界及密度假设下的全局结构，验证了结果尖锐性并给出相关应用。
2025-03-24 math.AP math.CA math.DG
Harmonic Measure and the Analyst's Traveling Salesman Theorem
研究了广义Jones $β$数与调和测度的关系.首先，我们推广了Garnett，Edgoglou和Tolsa的一个结果，证明了$\mathbb{R}^{d+1}$中以低$d$ -含量为边界的区域允许调和测度的正则Corona分解当且仅当广义Jones $β$ -数的平方和$β_{\partialΩ}$是有限的.其次，对于具有Ahlfors正则边界的半一致域，一致可求直性意味着半一致域的调和测度是$A_{\infty}$，而现在我们给出了一致可求直性常数对$A_{\infty}$ -常数的更明确的依赖关系.这是从一个更一般的估计，不假设边界是一致可求长。对于一般的半一致整环，我们也给出了如何用Hausdorff测度与该集合上的$β$ -数的平方和来定义子集的调和测度.在此基础上，我们给出了格林函数在一致区域上的涨落的$β$ -数估计。作为推论，对于有界NTA域，如果$B_Ω=B(x_Ω,c\mathrm{diam} Ω)$使得$2B_Ω\subseteq Ω$，则得到\[ (\mathrm{diam} \partialΩ)^{d} + \int_{Ω\backslash B_Ω} \ |\frac{\nabla^2 G_Ω(x_Ω,x)}{G_Ω(x_Ω,x)}\ |^{2} \mathrm{dist}(x,Ω^c)^{3} dx \sim \mathscr{H}^{d}(\part…
2019-11-21 math.AP math.CA math.MG
