Shortest Watchman Tours in Simple Polygons under Rotated Monotone Visibility
针对方向变化的单调可见性，本文提出 $O(nrG)$ 时间算法，动态维护简单多边形的最短看守者巡游并确定全局最优方向。
2020-07-16 cs.CG
Querying Two Boundary Points for Shortest Paths in a Polygonal Domain
考虑两点欧氏最短路径查询问题的一个变形：给定一个多边形区域，建立一个两点最短路径查询的数据结构，条件是查询点总是位于区域的边界上.作为主要结果，我们证明了在O~（n^5）的预处理时间和O（n^5）的空间内可以完成边界点间最短路径的查询，其中n是多边形域的角数，O~表示法抑制了多对数因子。这是实现通过观察达文波特-Schinzel序列和我们的问题在参数化空间之间的连接。我们还提供了空间和查询时间之间的折衷;次线性时间查询可能使用O（n^{3+ n}）空间。我们的方法还扩展到查询点应该位于一组给定的线段的情况下。
2009-11-26 cs.CG
Approximate Euclidean shortest paths in polygonal domains
给定一组$\mathcal{P}$的$h$成对不相交的简单多边形障碍物在$\mathbb{R}^2$定义的$n$顶点，我们计算的草图$Ω$的$\mathcal{P}$的大小是独立的$n$，只依赖于$h$和输入参数$ε$。我们利用$Ω$计算一个$(1+ε)$ -近似测地线最短路径之间的两个给定的点在$O(n + h((\lg{n}) + (\lg{h})^{1+δ} + (\frac{1}ε\lg{\frac{h}ε})))$时间。这里，$ε$是用户参数，$δ$是小的正常数（由使用\cite{journals/ijcga/Bar-YehudaC94}中的算法对$\cal P$的自由空间进行三角测量的时间产生）。此外，我们设计了一个$(2+ε)$近似算法来回答凸多边形障碍物的情况下的两点欧氏距离查询。
2019-09-16 cs.CG
On the Geodesic Centers of Polygonal Domains
本文研究了具有全部$n$顶点的多边形区域$\mathcal{P}$的欧氏测地中心的计算问题。我们发现了许多有趣的观察结果。给出了点是测地线中心的一个必要条件。我们证明了$\mathcal{P}$中所有具有拓扑等价最短路径映射的点之间至多存在一个测地线中心。这意味着测地线中心的总数由$\mathcal{P}$的最短路径映射等价分解的组合大小来限制，该最短路径映射等价分解已知为$O(n^{10})$。一个关键的观察是当点移动时关于最短路径长度的$π$ -范围属性。有了这些观察，我们提出了一个算法，计算所有的测地线中心在$O(n^{11}\log n)$时间。以前，对于任何$ε>0$，对于该问题已知$O(n^{12+ε})$时间的算法。
2016-07-20 cs.CG cs.DS
Weak Visibility Queries of Line Segments in Simple Polygons
给定平面上的一个简单多边形P，我们提出了一种新的算法和数据结构，用于从P中的任意查询线段计算弱可见性多边形。我们在O（n）时间和O（n）空间中建立了一个数据结构，可以在O（klog n）时间内计算任意查询线段s的可见性多边形，其中k是s的可见性多边形的大小，n是P的顶点数。我们建立了一个O（n^3）时间和O（n^3）空间的数据结构，可以在O（k + log n）时间内计算任何查询线段的可见性多边形。
2012-12-25 cs.CG cs.DS
Computing a rectilinear shortest path amid splinegons in plane
我们把样条域\calS中两个给定点s和t之间的直线最短路径的计算问题归结为多边形域中两个点之间的直线最短路径的计算问题。作为其中的一部分，我们定义了一个多边形域\calP从\calS和转换的直线最短路径计算\calP之间的s和t之间的路径之间的样条障碍\calS。当\calS由h个两两不相交的样条函数组成，总共有n个顶点时，不包括在\calP中计算多边形之间的直线最短路径的时间，我们的约简算法需要O（n + h \lg{n}）时间。对于\calS由凹进样条函数组成的特殊情况，我们设计了另一种算法，在该算法中，简化过程不依赖于算法中所使用的结构来计算多边形域中的直线最短路径。作为其中的一部分，我们的特点是一些性质的直线最短路径之间的样条，这可能是独立的利益。
2017-12-11 cs.CG
Computing Shortest Paths among Curved Obstacles in the Plane
计算几何中的一个基本问题是计算平面上两点之间的避障欧几里德最短路径。这个问题的多边形障碍的情况下，很好地研究。在本文中，我们考虑的问题版本弯曲的障碍，通常建模为样条。一个样条可以看作是用一个凸的曲线边代替多边形的每一条边（多边形是特殊的样条）。假设每个曲线边的复杂度为O（1）。给定平面上的两个点s和t以及一组$h$两两不相交的样条函数，它们的顶点总数为$n$，我们在$O(n+h\log^{1+ε}h+k)$时间内计算一条避开样条函数的最短s到t路径，其中k是对输入样条函数的结构敏感的参数，其上界为$O(h^2)$。特别地，当所有样条曲线都是凸的时，$k$与样条曲线之间的自由空间中的公共切线（称为“自由公共切线”）的数量成比例。我们开发的技术解决问题的一般（非凸）样条域，这也改善了以前的几个结果。特别是，我们的技术产生一个最佳的输出敏感算法的基本可见性问题的计算所有自由的公共切线之间的$h$成对不相交凸样条曲线与总的$n$顶点。我们的算法运行在$O(n+h\log h+k)$时间和$O(n)$空间，其中$k$是所有自由公共切线的数量。即使对于所有样条曲线都是凸多边形的特殊情况，以前最好的算法也需要$O(n+h^2\log n)$时间。
2015-04-24 cs.CG cs.DS
Geodesic diameter of a polygonal domain in O(n^4 log n) time
我们证明了n个顶点的多边形区域的测地直径可以通过考虑O（n^3）个候选直径端点来在O（n^4 log n）时间内计算;端点是从域的顶点的最短路径映射的覆盖的顶点的子集。
2011-05-31 cs.CG cs.DS
Canonical polygon Queries on the plane: a New Approach
点上的多边形检索问题是对平面上的一组$n$点进行预处理的问题，以便给定多边形查询，可以有效地报告位于其中的点的子集。它在计算机图形学、CAD应用、空间数据库和GIS开发任务等领域都有很大的兴趣。本文研究平面上的规范$k$ -顶点多边形查询问题。一个规范的$k$ -顶点多边形查询总是满足以下特定的属性：一个点检索查询可以转换成一个线性数量（相对于顶点的数量）的点检索正交对象，如矩形和三角形（在整个这项工作中，我们称三角形正交，如果它的两个边是轴平行的）。我们提出了两个新的算法，这个问题。第一个需要$O(n\log^2{n})$空间和$O(k\frac{log^3n}{loglogn}+A)$查询时间。第一种算法的一个简单的修改方案导致我们的第二种解决方案，它消耗$O(n^2)$空间和$O(k \frac{logn}{loglogn}+A)$查询时间，其中$A$表示答案的大小，$k$是顶点的数量。一般多边形检索问题的最佳先前解决方案使用$O(n^2)$空间，并在$O(k\log{n}+A)$时间内回答查询，其中$k$是顶点数。它也非常复杂，难以用标准命令式程序设计语言（如C或C++）实现。
2009-07-30 cs.CG cs.DS
Two-point Approximate Shortest Path Queries among Convex Polygonal Obstacles in the Plane
Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
针对平面含h个凸多边形障碍物、总顶点数n的多边形域，提出预处理算法生成数据结构，可快速查询两点间满足(1+ε)乘性与13ℓ加性伸展的近似最短路径。
2026-08-11 cs.CG
Towards Space Efficient Two-Point Shortest Path Queries in a Polygonal Domain
本文针对多边形域中两点最短路径查询问题，提出了空间复杂度显著优于已有工作的数据结构，并给出了时空权衡方案及边界受限情形下的进一步改进。
2024-02-21 cs.CG cs.DS
Quickest Visibility Queries in Polygonal Domains
令$s$是$h-1$洞和$n$顶点的多边形域$\mathcal{P}$中的点。我们考虑一个最快的可见性查询问题。给定$\mathcal{P}$中的一个查询点$q$，目标是在$\mathcal{P}$中找到一条最短路径，以便尽可能快地从$s$移动到$q$。此前，Arkin等人（SoCG 2015）构建了一个大小为$O(n^22^{α(n)}\log n)$的数据结构，可以在$O(K\log^2 n)$时间内回答每个查询，其中$α(n)$是逆Ackermann函数，$K$是$\mathcal{P}$中$q$的可见性多边形的大小（并且在最坏的情况下$K$可以是$Θ(n)$）。在本文中，我们提出了一个新的数据结构的大小$O(n\log h + h^2)$，可以回答每个查询在$O(h\log h\log n)$时间。当$h$相对较小时，我们的结果改进了以前的工作。特别地，如果$h$是常数，那么我们的结果甚至匹配简单多边形情况下的最佳结果（即，$h=1$），这是最佳的。作为一个副产品，我们也有一个新的算法的最短路径段查询问题。给定$\mathcal{P}$中的查询线段$τ$，查询寻找从$s$到$τ$的所有点的最短路径。以前，Arkin等人给出了一个大小为$O(n^22^{α(n)}\log n)$的数据结构，它可以在$O(\log^2 n)$时间内回答每个查询，另一个大小为$O(n^3\log…
2017-03-08 cs.CG cs.DS
Weak Visibility Queries of Line Segments in Simple Polygons and Polygonal Domains
在本文中，我们考虑的问题，计算弱可见多边形的任何查询线段$pq$（或$WVP(pq)$）内一个给定的多边形$P$。我们的第一个非平凡的算法运行在简单的多边形，并需要$O(n^3 \log n)$时间和$O(n^3)$空间在预处理阶段报告$WVP(pq)$的任何查询线段$pq$的时间$O(\log n + |WVP(pq)|)$。我们还给出了一个算法来计算一个查询线段的弱可见性多边形在一个非简单的多边形与$h$成对不相交的多边形障碍与$n$顶点总数。该算法在预处理阶段需要$O(n^2 \log n)$时间和$O(n^2)$空间，在查询时间为$O(n\hbar \log n + k)$时计算$WVP(pq)$，其中$\hbar$是至多$\min(h,k)$的输出敏感参数，$k = O(n^2h^2)$是输出大小.这是迄今为止关于这个问题的最佳查询时间结果。
2013-10-27 cs.CG
Near Optimal Line Segment Weak Visibility Queries in Simple Polygons
本文考虑了在给定的简单多边形P内计算任意查询线段pq（或WVP（pq））的弱可见性多边形（WVP）的问题。我们提出了一种算法，该算法对P进行预处理并创建一个数据结构，从该结构中以输出敏感的方式有效地报告WVP（pq）。我们的算法在预处理阶段需要O（n^2 log n）的时间和O（n^2）的空间来报告任何查询线段pq的WVP（pq），时间为O（log^2 n +| WVP（pq）|).我们提高了预处理时间和空间的当前结果为这个问题的代价更多的查询时间。
2013-09-30 cs.CG
Finding a Shortest Curve that Separates Few Objects from Many
University of Waterloo（滑铁卢大学）；LIGM, CNRS, Univ Gustave Eiffel（拉格朗日力学与计算机科学实验室，法国国家科学研究中心，古斯塔夫·埃菲尔大学）；Roma Tre University（罗马三大学）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文提出一种固定参数可处理算法，在$O(3^k n^3)$时间内找到分离$k$个必需多边形与其他多边形的最短曲线，并扩展至图版本，同时证明其下界。解决几何背包等问题。
2026-09-16 cs.CG
A Time-space Trade-off for Computing the Geodesic Center of a Simple Polygon
本文研究了工作空间有限时简单多边形测地线中心的计算问题。对于一个$n$ -顶点简单多边形，我们给出了一个时空权衡算法，找到测地线中心在$O(T(n, s) \log^2 n+ \frac{n^2}{s} \log n)$预期的时间，并使用$O(s)$额外的空间字，其中$s\in Ω(\log n) \cap O(n)$，和$T(n, s)$是所需的时间构造一个简单多边形内的一个给定的点的最短路径树，在深度优先顺序，与$O(s)$额外的空间。将Oh和Ahn（Mammica 2019）的最短路径树应用于当前已知的最佳时空权衡，我们的算法在$O(\frac{n^2}{s} \log^3 n)$预期时间内运行。
2019-08-29 cs.CG
Single-Point Visibility Constraint Minimum Link Paths in Simple Polygons
我们解决了以下问题：给定一个简单的多边形$P$的$n$顶点和两个点$s$和$t$内，找到它们之间的最小链接路径，使一个给定的目标点$q$是可见的至少一个点上的路径。该方法是基于划分的一部分$P$到一个源点等链接距离的面数。这种划分本质上是一种最短路径映射（SPM）。本文提出了一个具有$O(n)$时间界的最优算法，其时间复杂度与标准最小链路问题的时间复杂度相同。
2021-02-28 cs.CG cs.DS
Polygon Queries for Convex Hulls of Points
我们研究了如下的范围搜索问题：预处理一组$P$的$n$点在平面上相对于一组$\mathcal{O}$的$k$方向%，为常数，在平面上，以便给定一个$\mathcal{O}$导向的凸多边形$Q$，$P\cap Q$的凸包可以有效地计算，其中一个$\mathcal{O}$导向的多边形是一个多边形，其边缘具有方向在$\mathcal{O}$。我们提出了一个数据结构与$O(nk^3\log^2n)$空间和$O(nk^3\log^2n)$建设时间，和$O(h+s\log^2 n)$时间查询算法的任何查询$\mathcal{O}$ -面向凸$s$ -gon $Q$，其中$h$是凸包的复杂度。此外，我们可以计算周长或面积的凸包$P\cap Q$在$O(s\log^2n)$时间使用的数据结构。
2019-10-19 cs.CG
Memory-Constrained Algorithms for Simple Polygons
恒定工作空间算法对输入数组具有只读访问权限，并且只能使用O（1）个$O(\log n)$位的附加字，其中$n$是输入的大小。我们假设一个简单的$n$ -边形由它的顶点的有序序列给出。我们证明了我们可以在$O(n^2)$时间内找到平面直线图的三角剖分。我们还考虑预处理一个简单的多边形的最短路径查询时，空间约束放松，允许$s$字的工作空间。经过$O(n^2)$时间的预处理，我们能够在$O(n^2/s)$时间内解决多边形内任意两点之间的最短路径查询。
2012-06-29 cs.CG
A sufficient condition for visibility paths in simple polygons
本文给出了简单多边形中可见路径的一个充要条件的简单证明。可见性路径是一条曲线，使得简单多边形内的每个点都至少从路径上的一个点可见。这个结果对于寻找简单多边形内的最短守望者路线是必不可少的，特别是当路线被限制为曲线路径时。
2022-12-02 cs.CG
Self-approaching paths in simple polygons
我们研究包含在一个简单的多边形的自逼近路径。自接近路径是连接两个点的有向曲线，使得沿着该路径移动的点与任何未来位置之间的欧几里得距离不增加，即，对于沿着曲线$|ac| \ge |bc|$以该顺序出现的所有点$a$、$b$和$c$。我们分析的性质，并提出了最短的自逼近路径的一个特征。特别是，我们表明，一个最短的自我接近的路径连接两个点内的多边形可以被迫使用一般类的非代数曲线。虽然这使得它很难设计一个精确的算法，我们展示了如何找到一个自我接近的路径内的多边形连接两个点的计算模型下，假设我们可以计算渐开线曲线的高阶。最后，我们给出了一个算法来测试一个给定的简单多边形是否是自逼近的，也就是说，是否存在一个自逼近路径的任何两个点内的多边形。
2017-03-17 cs.CG
A New Balanced Subdivision of a Simple Polygon for Time-Space Trade-off Algorithms
我们有一个只读存储器用于输入，一个只写流用于输出。对于正整数参数s，s-工作空间算法是除了用于输入的存储器之外仅使用工作空间的$O(s)$字的算法。本文提出了一种$O(n^2/s)$ -时间$s$ -工作空间算法，用于将简单多边形细分为复杂度为$O(\max\{n/s,s\})$的$O(\min\{n/s,s\})$子多边形.作为细分的应用，对以下三个几何问题的时空权衡问题进行了改进：（1）计算简单$n$ -边形内两点间的最短路径，（2）计算简单$n$ -边形内一点的最短路径树，（3）计算简单$n$-边形的三角剖分.此外，我们进一步改进了第二个问题的算法。
2018-04-10 cs.CG
Shortest path problem in rectangular complexes of global nonpositive curvature
CAT（0）度量空间是欧氏空间、双曲空间和简单多边形的一个广泛的普遍推广：CAT（0）度量空间中的任意两点x和y通过唯一的最短路径γ（x，y）相连。本文提出了一个在CAT（0）矩形复形及其两个子类中回答两点距离查询的有效算法，这两个子类分别是分支直线多边形（CAT（0）矩形复形，其中所有顶点的连接都是二分图）和正方形图（CAT（0）矩形复形，其中所有内顶点的度都是\geq 4）。即，我们表明，对于具有n个顶点的CAT（0）矩形复形K，可以构造大小为$O(n^2)$的数据结构D，使得给定K中的任何两个点x、y，可以在O（d（p，q））时间内计算x和y之间的最短路径γ（x，y），其中p和q分别是包含点x和y的K的两个面的顶点，使得γ（x，y）包含在K（I（p，q））中q））和d（p，q）是K的基础图中p和q之间的距离。如果K是一个分歧的直线多边形，则可以构造一个最优大小为O（n）的数据结构D，并在O（d（p，q）logΔ）时间内回答两点最短路径查询，其中Δ是G（K）的顶点的最大度.最后，如果K是一个平方图，那么可以构造一个大小为O（nlogn）的数据结构D，并在O（d（p，q））时间内回答两点最短路径查询。
2012-03-27 cs.CG
Bicriteria Rectilinear Shortest Paths among Rectilinear Obstacles in the Plane
给定平面上$h$两两不相交的直线障碍物的直线区域$\mathcal{P}$，研究了在$\mathcal{P}$中计算两点$s$和$t$之间的双准则直线最短路问题.考虑了三种类型的双准则直线路径：最小连接最短路径、最短最小连接路径和最小代价路径，其中路径的代价是边数和路径长度的非减函数，还考虑了单点和两点路径查询。这些问题的算法以前已经给出。我们的贡献是三方面的。首先，我们发现一个关键错误，在所有以前的算法。其次，我们以一种不那么微不足道的方式纠正错误。第三，我们进一步改进的算法，使他们甚至比以前的（不正确的）算法时，$h$是相对较小的。例如，对于最小链路最短路径，我们得到以下结果。我们的算法在$O(n+h\log^{3/2} h)$时间内计算最小链路最短$s$ - $t$路径。对于单点查询，我们为源点$s$构建了一个在$O(n+h\log^{3/2} h)$时间内大小为$O(n+ h\log h)$的数据结构，使得给定任何查询点$t$，可以在$O(\log n)$时间内确定最小链路最短$s$ - $t$路径。对于两点查询，通过$O(n+h^2\log^2 h)$时间和空间预处理，可以在$O(\log n+\log^2 h)$时间内为任意两个查询点$s$和$t$确定一条最小链接最短$s$-$t$路径;或者，通过$O(n+h^2\cdot \log^{2} h \cdot 4^{\sq…
2017-06-23 cs.CG cs.DS
Segment Visibility Counting Queries in Polygons
令$P$为具有$n$顶点的简单多边形，并令$A$为$P$内的一组$m$点或线段。我们开发的数据结构，可以有效地计数从$A$是可见的查询点或查询段的对象的数量。我们的主要目标是获得快速的（$O(\mathop{\textrm{polylog}} nm$）查询时间，同时使用尽可能少的空间。如果查询是单个点，则简单的基于可行性多边形的解决方案使用$O(nm^2)$空间来实现$O(\log nm)$查询时间。在$A$也只包含点的情况下，我们提出了一个更小的，$O(n + m^{2 + \varepsilon}\log n)$空间，数据结构的基础上的多边形的层次分解。在这些结果的基础上，我们解决了查询是线段和$A$只包含点的情况。这里的主要复杂性在于，线段可能与多边形分解的多个区域相交，并且一个点可能看到多个这样的片段。尽管有这些问题，我们展示了如何实现$O(\log n\log nm)$查询时间只使用$O(nm^{2 + \varepsilon} + n^2)$空间。最后，我们表明，我们甚至可以处理的情况下，对象在$A$段具有相同的界限。
2022-01-10 cs.CG
Shortest Paths of Mutually Visible Robots
本文研究简单多边形内多个机器人保持相互可见的最短路径规划，提出不相交线段情形下O(mn)算法，并证明相交情形下无仅依赖n和m的单策略多项式算法。
2025-09-08 cs.CG
A Coreset for Approximate Furthest-Neighbor Queries in a Simple Polygon
本研究针对简单多边形内的近似最远邻查询问题，证明存在大小为O(1/ε²)的核集，可支持存储需求与点集规模无关的ε-近似查询，并给出了相应的核集构建时间复杂度。
2024-03-07 cs.CG
Two-Point $L_1$ Shortest Path Queries in the Plane
设$\mathcal{P}$是一组$h$成对不相交的多边形障碍物，其在平面中具有$n$顶点。我们考虑构建一个数据结构的问题，该数据结构可以快速计算任意两个查询点$s$和$t$之间的$L_1$最短避障路径。先前，在$O(n^2\log^2 n)$时间内构造大小为$O(n^2\log n)$的数据结构，其在$O(\log^2 n+k)$时间内回答每个两点查询，即，在$O(\log^2 n)$时间内报告最短路径长度，在附加的$O(k)$时间内报告实际路径，其中$k$是输出路径的边数.本文建立了一种新的数据结构，其大小为$O(n+h^2\cdot \log h \cdot 4^{\sqrt{\log h}})$ in $O(n+h^2\cdot \log^{2} h \cdot 4^{\sqrt{\log h}})$ time，在$O(\log n+k)$时间内回答每个查询.请注意，对于任何常数$ε>0$，$n+h^2\cdot \log^{2} h \cdot 4^{\sqrt{\log h}}=O(n+h^{2+ε})$。此外，我们将我们的技术扩展到加权直线版本，其中$\mathcal{P}$的“障碍”是具有“权重”的直线区域，并允许$L_1$路径以加权成本穿过它们。我们的算法在$O(\log n+k)$时间内回答每个查询，并在$O(n^2\cdot \log^{2} n\cdot 4…
2014-03-13 cs.CG cs.DS
Shortest Paths in Geodesic Unit-Disk Graphs
Kahlert School of Computing, University of Utah（犹他大学卡尔赫特计算机学院）
本文研究了在简单多边形中计算几何单位圆图中最短路径的问题，提出了两种子二次时间算法，分别适用于加权和非加权情况，并引入了新的数据结构以提高效率。
2026-03-25 cs.CG
Simple Wriggling is Hard unless You Are a Fat Hippo
我们证明了判定带洞的多边形区域中的两点能否用线连接是NP-困难的。这意味着，找到任何近似的最短路径的长蛇多边形障碍是NP-难。在积极的一面，我们表明，蛇的问题是“长度听话”：如果蛇是“胖”，即，它的长宽比小，最短路径可以在多项式时间内计算。
2010-05-28 cs.CG
Shortest Path Map Equivalence Decompositions and Applications
University of Utah（犹他大学）
研究平面多边形域\(P\)的最短路径图等价分解，证明不同条件下其组合复杂度上界，提出计算分解的新算法，还解决了包括两点最短路径查询等其他问题。
2026-07-07 cs.CG cs.DS
Shortest Paths in Portalgons
任何本质上是多面体的表面都可以用简单多边形（碎片）的集合来表示，这些多边形沿着成对的等长定向边粘合，其中每个碎片都被赋予由其欧几里得度量产生的测地线度量。我们把这样的表示称为portalgon，如果两个portalgon表示的曲面是等距的，我们称它们为等价的。我们分析了门户网站中最短路径的复杂性。我们称一个片段快乐，如果任何最短路径上的portalgon访问它在最多一个常数的次数。一个portalgon是快乐的，如果它的所有片段都是快乐的。我们提出了一个有效的算法来计算最短路径的快乐门户网站。最短路径访问片段的次数通常是无限的。我们对比这表明，任何多面体表面的内在德洛内三角剖分对应于一个快乐的portalgon。由于计算固有的德洛内三角剖分可能是低效的，我们提供了一个有效的算法来计算快乐的门户网站的一类限制门户网站。
2023-03-15 cs.CG cs.DS
An Algorithm for Computing Constrained Reflection Paths in Simple Polygon
设$s$为$P$内的源点，$t$为$n$ -顶点简单多边形内的目的点。$P$内部的$s$和$t$之间的欧氏最短路径和最小链路路径已经得到了很好的研究。这两种路径都是简单的分段凸路径。然而，在漫反射或镜面反射的情况下计算最佳路径似乎并不是一件容易的事情。从光源$s$到$P$内部的$t$的路径被称为漫反射路径，如果该路径的转向点位于$P$的边界边缘的内部。如果漫反射路径在$s$和$t$之间的所有漫反射路径中具有最小数量的转向点，则该漫反射路径被认为是最优的。最小漫反射路径可能并不简单。在低次多项式时间内计算最小漫反射路径的问题仍然是一个悬而未决的问题。在我们寻求理解的几何结构的最小漫反射路径与最短路径和最小链接路径，我们定义了一种新的漫反射路径称为约束漫反射路径，其中（i）的路径是简单的，（ii）它只相交的屋檐之间的欧几里德最短路径$s$和$t$，和（iii）它相交每个屋檐正好一次。为了计算从$s$到$t$的最小约束漫反射路径，提出了一种$O(n(n+β))$时间算法，其中$β=Θ(n^2)$是最坏情况下的时间算法。这里，$β$取决于多边形的形状。我们还建立了最小约束漫反射路径和最小漫反射路径的一些性质。本文介绍的约束漫反射路径提供了新的几何见解到迄今为止未知的结构和形状的最佳反射路径。
2014-05-01 cs.CG
On the Shortest Separating Cycle
根据Arkin~ \etal ~（2016）的一个结果，给定平面上的$n$点对，存在一个简单的多边形圈，将每对中的两个点分离到不同的边;此外，可以在多项式时间内计算关于最小长度的$O(\sqrt{n})$因子近似。本文得到了如下结果：（1）将问题推广到几何超图，得到了如下的可行性刻画。给定一个平面上点的几何超图，其超边的大小至少为$2$，存在一个简单的多边形圈，当且仅当超图是$2$ -可着色的。(II)~我们推广了长度测度下的$O(\sqrt{n})$ -因子近似：给定一个几何图$G=(V,E)$，一个分离圈（如果存在）可以在$O(m+ n\log{n})$时间内计算，其中$|V|=n$，$|E|=m$ .此外，还可以在多项式时间内找到最短分离圈的$O(\sqrt{n})$ -近似。给定$\mathbb{R}^3$中的一个几何图$G=(V,E)$，在$O(m+ n\log{n})$时间中可以找到一个分离多面体（如果存在），其中$|V|=n$，$|E|=m$。此外，还可以在多项式时间内找到最小周长的分离多面体的$O(n^{2/3})$ -近似。(III)给出了平面上凸位置上的一组$n$点对，证明了最短分离圈的$(1+\varepsilon)$ -逼近可以在时间上计算$n^{O(\varepsilon^{-1/2})}$ .在这方面，我们证明了一个引理凸多边形逼近是独立的利益。
2019-12-03 cs.CG math.CO
A New Algorithm for Euclidean Shortest Paths in the Plane
给定平面上一组成对不相交的多边形障碍物，寻找两点之间避障碍的欧几里得最短路径是计算几何中的经典问题，已得到广泛研究。此前，Hershberger和Suri [SIAM J. COMPUT. 1999]给出了$O(n\log n)$时间和$O(n\log n)$空间的算法，其中$n$是所有障碍物的顶点总数。最近，通过修改Hershberger和Suri的算法，Wang [SODA 2021]将空间减少到$O(n)$，而算法的运行时间仍然是$O(n\log n)$。本文提出了一种新的$O(n+h\log h)$时间和$O(n)$空间的算法，只要给定自由空间的三角剖分，其中$h$是障碍物的个数。该算法改进了以前的工作时，$h=o(n)$，是最佳的时间和空间的$Ω(n+h\log h)$是运行时的下限。我们的算法建立了一个最短路径映射的源点$s$，使任何查询点$t$，从$s$到$t$的最短路径长度可以计算在$O(\log n)$的时间和最短的$s$ - $t$路径可以产生在额外的时间线性的路径的边缘的数量。
2021-02-24 cs.CG cs.DS
Indexing Reverse Top-k Queries
我们考虑最近引入的单色反向top-k查询，给定一个新的元组q和一个数据集D，所有可能的top-k查询D union {q}，其中q在结果中。针对这个问题，我们专注于设计索引在两个维度的重复（或批量）查询，一个新颖的，但实际的考虑。我们提出的见解，通过将数据集表示为线的排列，一个关键的k-多边形可以被识别和专门用于响应反向top-k查询。我们构建了一个索引的基础上，这保证了最坏情况下的查询成本是对数的k-多边形的大小。我们实现我们的工作，并将其与相关方法进行比较，证明我们的索引在实践中是快速的。此外，我们通过实验证明，一个k-多边形是由一个小比例的原始数据，所以我们的索引结构消耗很少的磁盘空间。
2012-05-04 cs.CG cs.DB
The Geodesic Diameter of Polygonal Domains
本文研究了具有h个洞和n个角的多边形区域的测地直径。对于简单多边形（即，h = 0），测地线直径由给定多边形的一对角确定，并且可以在线性时间内计算，如Hershberger和Suri所知。然而，对于一般的多边形区域与h >= 1，没有算法计算测地线直径是已知的本文之前。在本文中，我们提出了第一个算法，计算一个给定的多边形域的测地直径在最坏情况下的时间O（n^7.73）或O（n^7（log n + h））。不同于简单多边形的情况下，主要的困难依赖于以下观察本文揭示：两个内部点可以确定测地直径，在这种情况下，存在至少五个不同的最短路径之间的两个。
2012-01-06 cs.CG
APX-Hardness of the Minimum Vision Points Problem
在多边形区域中的给定看守路线上放置最少数量的警卫被称为{ \em最小视点问题}。我们证明，寻找最短的守望者路线上的简单多边形的最小数目的视点是APX困难的。然后，我们延长证明类的直线多边形具有最多三个凹痕的方向。
2022-07-10 cs.CG
Geodesic-Preserving Polygon Simplification
多边形是计算几何中一种重要的数据结构。虽然许多简单多边形或带孔多边形算法的复杂性取决于输入多边形的大小，但这些算法解决的问题的内在复杂性通常与多边形的反射顶点有关。本文给出了一个易于描述的线性时间方法，用多边形$\mathcal{P}'$代替输入多边形$\mathcal{P}$，使得（1）$\mathcal{P}'$包含$\mathcal{P}$，（2）$\mathcal{P}'$的反射顶点与$\mathcal{P}$的位置相同，（3）$\mathcal{P}'$的顶点数与反射顶点数成线性关系.由于多边形上的许多问题（包括最短路径，测地线外壳，分离点集，和沃罗诺伊图）的解决方案是等价的$\mathcal{P}$和$\mathcal{P}'$，我们的算法可以被用来作为一个预处理步骤的几个算法，使其运行时间依赖于反射顶点的数量，而不是对$\mathcal{P}$的大小。
2013-09-16 cs.CG
Computing the $L_1$ Geodesic Diameter and Center of a Simple Polygon in Linear Time
本文证明了简单多边形的$L_1$测地直径和中心可以在线性时间内计算。为此，我们着重揭示了$L_1$测地球，即度量球关于$L_1$测地距离的基本几何性质。更具体地说，在本文中，我们证明了任何家庭的$L_1$测地球在任何简单的多边形有Helly数2，和$L_1$测地中心组成的最短路径之间的直径对的中点。这些性质对于我们的线性时间算法是至关重要的，并且不适用于欧几里德情况。
2015-01-12 cs.CG
Computing Nonsimple Polygons of Minimum Perimeter
我们提供精确和近似的方法来解决的几何松弛的旅行商问题（TSP），发生在曲线重建：对于一组给定的顶点在平面上，问题最小周长多边形（MPP）要求一个（不一定是简单连接）多边形与最短的可能的边界长度。即使找到一个最小的循环覆盖的密切相关的问题是多项式可解的匹配技术，我们证明了如何多边形的拓扑结构导致NP-难的MPP。在积极的一面，我们展示了如何实现一个常数因子近似。当试图通过整数规划来解决MPP实例以证明最优性时，与TSP相比，另一个困难是只有一个子环约束的子集是有效的，这不取决于组合学，而是取决于几何学。我们克服了这个困难，建立和利用额外的几何性质。这使我们能够在标准机器上在合理的时间内可靠地解决多达600个顶点的各种基准实例。我们还表明，使用基于自然几何的稀疏化产生的结果，平均在0.5%的最佳。
2016-03-23 cs.CG cs.DS
Dynamic Geodesic Nearest Neighbor Searching in a Simple Polygon
我们提出了一个有效的动态数据结构，支持测地线最近邻查询的一组点的网站$S$在一个静态的简单多边形$P$。我们的数据结构允许我们在$S$中插入一个新站点，从$S$中删除一个站点，并在$S$中请求最接近任意查询点$q \in P$的站点。所有距离都使用测地线距离测量，即完全包含在$P$中的最短路径的长度。我们的数据结构支持$O(\sqrt{n}\log n\log^2 m)$时间查询，其中$n$是$S$中当前的站点数，$m$是$P$的顶点数，并在$O(\sqrt{n}\log^3 m)$时间更新。空间使用率为$O(n\log m + m)$。如果只允许插入，我们可以支持最坏情况下的$O(\log^2 n\log^2 m)$时间查询，同时允许$O(\log n\log^3 m)$分摊时间插入。我们可以在插入和删除的情况下实现相同的运行时间，但是这些操作的顺序是预先知道的。
2017-07-10 cs.CG
Point Enclosure Problem for Homothetic Polygons
针对位似点包含问题，提出空间复杂度O(n log n)、查询时间O(log n + k)、预处理时间O(n log n)的解决方案，结果可推广到位似多边形。
2021-12-03 cs.CG cs.DS
Shortest Paths Among Obstacles in the Plane Revisited
给定平面上两两不相交的多边形障碍物，寻找两点间的避障欧氏最短路径是计算几何中的经典问题，并得到了广泛的研究。先前的最佳算法由Hershberger和Suri给出[FOCS 1993，SIAM J. Comput. 1999]并且该算法在$O(n\log n)$时间和$O(n\log n)$空间中运行，其中$n$是所有障碍物的顶点总数。该算法是时间最优的，因为$Ω(n\log n)$是一个下界。二十多年来，空间是否可以减少到$O(n)$一直是一个悬而未决的问题。在本文中，我们解决这个问题的解决方案是在$O(n\log n)$时间和$O(n)$空间，这是最佳的时间和空间，我们实现了这一点，通过修改的Hershberger和Suri的算法。像他们原来的算法一样，我们的新算法可以在$O(n\log n)$时间和$O(n)$空间中为源点$s$构建最短路径映射，这样给定任何查询点$t$，从$s$到$t$的最短路径的长度可以在$O(\log n)$时间内计算，并且可以在额外的时间内产生与路径的边数成线性的最短路径。
2021-05-29 cs.CG cs.DS
On Approximating the Weighted Region Problem in Square Tessellations
本文研究正方形细分下的加权区域最短路径问题，通过在网格中心定义顶点构建网格图求近似解，证明其近似比为 $(\sqrt{2}+1)$，改进了先前 $2\sqrt{2}$ 的结果。
2024-07-26 cs.CG cs.DS
The geodesic edge center of a simple polygon
多边形的测地边中心是多边形内的点c，它使c到多边形任何边的最大测地距离最小，其中测地距离是多边形内的最短路径距离。给出了一个求简单多边形测地线中心的线性时间算法。这改进了Lubiw和Naredla以前的O（n log n）时间算法[欧洲算法研讨会，2021]。该算法建立在Pollack、Sharir和Rote [离散和计算几何，1989年]提出的一种寻找简单多边形测地顶点中心的算法以及Ahn、Barba、Bose、De Carufel、Korman和Oh [离散和计算几何，2016年]对线性时间的改进之上。从多边形的测地线最远边沃罗诺伊图可以很容易地找到测地线的边中心。虽然测地线最近边沃罗诺伊图（中轴）可以在线性时间中找到，但在线性时间中找到沃罗诺伊图是一个悬而未决的问题。作为测地边中心算法的第一步，我们给出了一个线性时间算法来寻找限制在多边形边界上的测地最远边沃罗诺伊图。
2023-03-21 cs.CG
Flip Distance Between Triangulations of a Simple Polygon is NP-Complete
设T是一个简单多边形的三角剖分。翻转T是删除T的一条对角线并添加另一条对角线的操作，这样得到的图又是一个三角剖分。两个三角剖分之间的翻转距离是将一个三角剖分变换为另一个三角剖分所需的最小翻转次数。对于凸多边形的特殊情况，确定两个三角剖分之间的最短翻转距离的问题等价于确定两个二叉树之间的旋转距离，这是一个经过25年深入研究仍然开放的中心问题。我们证明了计算简单多边形的两个三角剖分之间的翻转距离是NP完全的。这补充了最近的结果，显示APX硬度确定平面点集的两个三角剖分之间的翻转距离。
2017-11-20 cs.CG
A Geometric Structure Associated with the Convex Polygon
提出了一种由任意凸多边形$P$诱导的几何结构，称为$Nest(P)$，它是由$Θ(n^2)$线段组成的一种排列，每个线段平行于$P$的一条边，其中$n$表示$P$的边数。然后，我们推导出六个非平凡性质的$Nest(P)$的凸性$P$和平行的线段在$Nest(P)$。其中，我们表明，$Nest(P)$是一个细分的外部$P$，其内部边界交错的边界$P$。它们表明$Nest(P)$与$P$的边界具有令人惊讶的良好相互作用。此外，我们还研究了$Nest(P)$上的一些计算问题。特别是，我们认为三种位置查询$Nest(P)$和回答他们中的每一个（摊销）$O(\log^2n)$时间。我们的算法回答这些查询避免了显式的$Nest(P)$，这将需要$Ω(n^2)$时间的建设。通过综合应用上述六个性质，我们发现在$P$中寻找最大面积的几何优化问题可以归结为回答$O(n)$的上述位置查询，从而在$O(n\log^2n)$时间内求解。这一应用将在随后的论文中报告。
2019-07-11 cs.CG
Packing and Covering a Polygon with Geodesic Disks
给定多边形$P$，对于包含在多边形中的两个点$s$和$t$，它们的\emph{geodesic distance}是$P$内的最短$st$ -路径的长度。以点$v \in P$为中心的半径为$r$的\emph{geodesic disk}是$P$中到$v$的测地距离至多为$r$的点的集合。本文提出了一个多项式时间的$2$ -近似算法，用于在$P$中寻找一个离散测地线单位圆盘填充.允许任意的半径，但限制磁盘的数量是$k$，我们提出了一个$4$ -近似算法寻找包装在$P$与$k$测地磁盘的最小半径是最大化。然后，我们把我们的重点放在\emph{coverings}的$P$，并提出了一个$2$ -近似算法覆盖$P$与$k$测地磁盘的最大半径是最小的。此外，我们表明，所有这些问题是$\mathsf{NP}$ -硬多边形与洞。最后，我们给出了一个多项式时间精确算法，它覆盖了一个多边形的两个最小最大半径的测地圆盘。
2013-11-23 cs.CG
A linear-time algorithm for the geodesic center of a simple polygon
给定$n$顶点的简单多边形$P$中的两个点，其测地距离是在$P$内的所有路径中连接它们的最短路径的长度。$P$的测地中心是$P$中唯一的点，它使到$P$中所有其他点的最大测地距离最小。1989年，Pollack，Sharir和Rote [Disc。计算（& C）。89]示出了计算$P$的测地中心的$O(n\log n)$时间算法。从那时起，一个长期存在的问题是这个运行时间是否可以改进（由Mitchell [计算几何手册，2000]明确提出）。本文对这一问题作了肯定的回答，并提出了一个求解这一问题的线性时间算法。
2015-01-03 cs.CG
A Linear-time Algorithm for Orthogonal Watchman Route Problem with Minimum Bends
给定具有$ n $顶点的正交多边形$ P $，守望者路由问题的目标是找到$ P $中的最小长度的路径$ S $，使得多边形$ P $的每个点从$ S $的至少一个点可见。换句话说，在守望者路线问题中，我们必须计算$ n $顶点的简单多边形内的最短守望者路线，使得多边形内部及其边界上的所有点对路线上的至少一个点可见。如果路径与多边形正交，则称为正交守望者路径问题。该问题的目标之一是找到具有尽可能少的弯曲次数的正交路径。对于给定多边形为单调多边形的正交守望者路径问题，给出了一个线性时间算法。我们的算法也可用于简单正交多边形$ P $上的问题，其中由$ P $的垂直分解导出的对偶图是一条路径，称为路径多边形。
2017-08-04 cs.CG
A Note on the Unsolvability of the Weighted Region Shortest Path Problem
设S是平面到多边形区域的细分，其中每个区域具有相关联的正权重。加权区域最短路径问题是确定R ^2中两点s，t之间的S中的最短路径，其中距离根据加权欧几里德度量来测量-路径的长度被定义为每个区域内的子路径的（欧几里德）长度的加权和。我们表明，这个问题不能解决的代数计算模型在有理数（ACMQ）。在ACMQ中，对于任意整数k >= 2，通过对+、-、\times、N、\sqrt [k]{}进行有限次数的运算，可以精确地计算出可以从有理数Q中获得的任意数。我们的证明使用伽罗瓦理论和Bajaj的技术的基础上。
2013-05-22 cs.CG
Bounding a Polygon by a Minimum Number of Vertices
该研究针对按逆时针顶点数组给出的多边形，分析界定其范围所需的最少顶点数，得出上界为$4\log_2 n+O(1)$、下界为$\log_3n-o(\log n)$的结论，在常数因子内解决问题，可用于分析多边形相关算法的最佳运行时间。
2025-09-04 cs.CG
Dynamic algorithms for visibility polygons in simple polygons
我们设计了以下动态算法，用于在对简单多边形的顶点插入和/或删除中维护和查询可见性和弱可见性多边形。* 一种全动态算法，用于在对简单多边形的顶点插入和删除过程中保持位于简单多边形内部的固定点的可见性多边形。更新点$q$的可见性多边形的时间复杂度（分别为删除）的顶点$v$到（相应地，根据由于插入（resp.）而需要对$q$的可见性多边形进行的组合改变的数目来表示当前简单多边形。$v$的缺失。* 提出了一种输出敏感的查询算法，用于在对简单多边形进行顶点插入和删除操作时，回答与$\mathbb{R}^2$中任意点$p$对应的可见性多边形查询。如果$p$不在当前简单多边形的外部，则计算$p$的可见性多边形。否则，我们的算法输出与$p$的外部可见性相对应的可见性多边形。* 一种增量算法，用于在顶点插入到简单多边形中保持位于简单多边形内部的固定线段的弱可见多边形。将顶点$v$插入到当前简单多边形中而更新线段$pq$的弱可见多边形的时间复杂度表示为由于插入$v$而对以$p$和$q$为根的测地最短路径树所需的组合更新次数之和。* 一种输出敏感的算法，用于在对简单多边形的顶点插入和删除中计算位于简单多边形内部的任何查询线段所对应的弱可见多边形。这些算法都需要对初始简单多边形进行预处理。
2020-04-20 cs.CG
