Simple Wriggling is Hard unless You Are a Fat Hippo
我们证明了判定带洞的多边形区域中的两点能否用线连接是NP-困难的。这意味着，找到任何近似的最短路径的长蛇多边形障碍是NP-难。在积极的一面，我们表明，蛇的问题是“长度听话”：如果蛇是“胖”，即，它的长宽比小，最短路径可以在多项式时间内计算。
2010-05-28 cs.CG
Linear time single-source shortest path algorithms in Euclidean graph classes
The University of Sydney（悉尼大学）；The University of Copenhagen（哥本哈根大学）
本文研究了欧几里得图类中线性时间单源最短路径算法的存在条件，证明满足特定条件的图类可支持此类算法，并展示了收缩图具有子线性分离性。
2026-03-24 cs.CG
On the Geodesic Centers of Polygonal Domains
本文研究了具有全部$n$顶点的多边形区域$\mathcal{P}$的欧氏测地中心的计算问题。我们发现了许多有趣的观察结果。给出了点是测地线中心的一个必要条件。我们证明了$\mathcal{P}$中所有具有拓扑等价最短路径映射的点之间至多存在一个测地线中心。这意味着测地线中心的总数由$\mathcal{P}$的最短路径映射等价分解的组合大小来限制，该最短路径映射等价分解已知为$O(n^{10})$。一个关键的观察是当点移动时关于最短路径长度的$π$ -范围属性。有了这些观察，我们提出了一个算法，计算所有的测地线中心在$O(n^{11}\log n)$时间。以前，对于任何$ε>0$，对于该问题已知$O(n^{12+ε})$时间的算法。
2016-07-20 cs.CG cs.DS
The Geodesic Diameter of Polygonal Domains
本文研究了具有h个洞和n个角的多边形区域的测地直径。对于简单多边形（即，h = 0），测地线直径由给定多边形的一对角确定，并且可以在线性时间内计算，如Hershberger和Suri所知。然而，对于一般的多边形区域与h >= 1，没有算法计算测地线直径是已知的本文之前。在本文中，我们提出了第一个算法，计算一个给定的多边形域的测地直径在最坏情况下的时间O（n^7.73）或O（n^7（log n + h））。不同于简单多边形的情况下，主要的困难依赖于以下观察本文揭示：两个内部点可以确定测地直径，在这种情况下，存在至少五个不同的最短路径之间的两个。
2012-01-06 cs.CG
Geodesic diameter of a polygonal domain in O(n^4 log n) time
我们证明了n个顶点的多边形区域的测地直径可以通过考虑O（n^3）个候选直径端点来在O（n^4 log n）时间内计算;端点是从域的顶点的最短路径映射的覆盖的顶点的子集。
2011-05-31 cs.CG cs.DS
Uncertain Curve Simplification
研究了不确定性条件下的多边形曲线简化问题，其中每个不确定点用一个包含顶点真实位置的区域来表示，而不是用一系列精确点来表示.我们考虑的区域是圆盘、线段、凸多边形和离散点集。我们感兴趣的是找到不确定点的最短子序列，使得无论每个不确定点的真实位置是什么，得到的多边形曲线都是原始多边形曲线在Hausdorff或Fréchet距离下的有效简化。对于这两个距离的措施，我们提出了多项式时间算法这个问题。
2021-03-16 cs.CG
Towards Space Efficient Two-Point Shortest Path Queries in a Polygonal Domain
本文针对多边形域中两点最短路径查询问题，提出了空间复杂度显著优于已有工作的数据结构，并给出了时空权衡方案及边界受限情形下的进一步改进。
2024-02-21 cs.CG cs.DS
A Note on the Unsolvability of the Weighted Region Shortest Path Problem
设S是平面到多边形区域的细分，其中每个区域具有相关联的正权重。加权区域最短路径问题是确定R ^2中两点s，t之间的S中的最短路径，其中距离根据加权欧几里德度量来测量-路径的长度被定义为每个区域内的子路径的（欧几里德）长度的加权和。我们表明，这个问题不能解决的代数计算模型在有理数（ACMQ）。在ACMQ中，对于任意整数k >= 2，通过对+、-、\times、N、\sqrt [k]{}进行有限次数的运算，可以精确地计算出可以从有理数Q中获得的任意数。我们的证明使用伽罗瓦理论和Bajaj的技术的基础上。
2013-05-22 cs.CG
Optimizing Visibility-based Search in Polygonal Domains
本文研究了平面多边形域中基于可见性的双准则搜索优化问题，提出了在给定面积配额下计算最短路线及在长度约束下最大化可见面积的近似算法，并首次给出了时间最优搜索路线的近似解。
2025-05-31 cs.CG
Euclidean Shortest Paths in Simple Cube Curves at a Glance
本文报道了两个可证明正确的近似算法的发展，计算欧几里德最短路径（ESP）在一个给定的立方曲线，定义为$ε>0$，并在时间复杂度$κ(ε) \cdot {\cal O}(n)$，其中$κ(ε)$是用于初始化的路径和最小长度路径之间的长度差，除以$ε$的任意精度。运行时图也说明了实现的ESP算法的线性时间行为。
2007-04-24 cs.CG cs.DM
Fréchet Distance Problems in Weighted Regions
我们讨论两个版本的加权平面细分的Fréchet距离问题。在第一种情况下，两点之间的距离是连接两点的线段的加权长度。在第二种情况下，两点之间的距离是两点之间的最短路径的长度。在这两种情况下，我们给出了算法，找到一个（1+ 1）-因子近似的Fréchet距离两个多边形曲线之间。我们还考虑了R^3中多面体障碍物间两条多边形曲线之间的Fréchet距离，并提出了一种（1+ λ）因子近似算法。
2010-04-27 cs.CG
Quickest Visibility Queries in Polygonal Domains
令$s$是$h-1$洞和$n$顶点的多边形域$\mathcal{P}$中的点。我们考虑一个最快的可见性查询问题。给定$\mathcal{P}$中的一个查询点$q$，目标是在$\mathcal{P}$中找到一条最短路径，以便尽可能快地从$s$移动到$q$。此前，Arkin等人（SoCG 2015）构建了一个大小为$O(n^22^{α(n)}\log n)$的数据结构，可以在$O(K\log^2 n)$时间内回答每个查询，其中$α(n)$是逆Ackermann函数，$K$是$\mathcal{P}$中$q$的可见性多边形的大小（并且在最坏的情况下$K$可以是$Θ(n)$）。在本文中，我们提出了一个新的数据结构的大小$O(n\log h + h^2)$，可以回答每个查询在$O(h\log h\log n)$时间。当$h$相对较小时，我们的结果改进了以前的工作。特别地，如果$h$是常数，那么我们的结果甚至匹配简单多边形情况下的最佳结果（即，$h=1$），这是最佳的。作为一个副产品，我们也有一个新的算法的最短路径段查询问题。给定$\mathcal{P}$中的查询线段$τ$，查询寻找从$s$到$τ$的所有点的最短路径。以前，Arkin等人给出了一个大小为$O(n^22^{α(n)}\log n)$的数据结构，它可以在$O(\log^2 n)$时间内回答每个查询，另一个大小为$O(n^3\log…
2017-03-08 cs.CG cs.DS
Computing the $L_1$ Geodesic Diameter and Center of a Polygonal Domain
对于具有$h$孔洞和$n$顶点的多边形区域，我们分别给出了在$O(n^2+h^4)$时间计算$L_1$测地直径和在$O((n^4+n^2 h^4)α(n))$时间计算$L_1$测地中心的算法，其中$α(\cdot)$表示逆Ackermann函数.以前没有已知的算法来解决这些问题。对于欧几里得对应体，最好的算法在$O(n^{7.73})$或$O(n^7(h+\log n))$时间内计算测地线直径，并在$O(n^{11}\log n)$时间内计算测地线中心。因此，我们的算法是显着快于欧几里德问题的算法。我们的算法是基于几个有趣的观察$L_1$最短路径的多边形域。
2016-11-09 cs.CG cs.DS
A New Algorithm for Euclidean Shortest Paths in the Plane
给定平面上一组成对不相交的多边形障碍物，寻找两点之间避障碍的欧几里得最短路径是计算几何中的经典问题，已得到广泛研究。此前，Hershberger和Suri [SIAM J. COMPUT. 1999]给出了$O(n\log n)$时间和$O(n\log n)$空间的算法，其中$n$是所有障碍物的顶点总数。最近，通过修改Hershberger和Suri的算法，Wang [SODA 2021]将空间减少到$O(n)$，而算法的运行时间仍然是$O(n\log n)$。本文提出了一种新的$O(n+h\log h)$时间和$O(n)$空间的算法，只要给定自由空间的三角剖分，其中$h$是障碍物的个数。该算法改进了以前的工作时，$h=o(n)$，是最佳的时间和空间的$Ω(n+h\log h)$是运行时的下限。我们的算法建立了一个最短路径映射的源点$s$，使任何查询点$t$，从$s$到$t$的最短路径长度可以计算在$O(\log n)$的时间和最短的$s$ - $t$路径可以产生在额外的时间线性的路径的边缘的数量。
2021-02-24 cs.CG cs.DS
On the Shortest Separating Cycle
根据Arkin~ \etal ~（2016）的一个结果，给定平面上的$n$点对，存在一个简单的多边形圈，将每对中的两个点分离到不同的边;此外，可以在多项式时间内计算关于最小长度的$O(\sqrt{n})$因子近似。本文得到了如下结果：（1）将问题推广到几何超图，得到了如下的可行性刻画。给定一个平面上点的几何超图，其超边的大小至少为$2$，存在一个简单的多边形圈，当且仅当超图是$2$ -可着色的。(II)~我们推广了长度测度下的$O(\sqrt{n})$ -因子近似：给定一个几何图$G=(V,E)$，一个分离圈（如果存在）可以在$O(m+ n\log{n})$时间内计算，其中$|V|=n$，$|E|=m$ .此外，还可以在多项式时间内找到最短分离圈的$O(\sqrt{n})$ -近似。给定$\mathbb{R}^3$中的一个几何图$G=(V,E)$，在$O(m+ n\log{n})$时间中可以找到一个分离多面体（如果存在），其中$|V|=n$，$|E|=m$。此外，还可以在多项式时间内找到最小周长的分离多面体的$O(n^{2/3})$ -近似。(III)给出了平面上凸位置上的一组$n$点对，证明了最短分离圈的$(1+\varepsilon)$ -逼近可以在时间上计算$n^{O(\varepsilon^{-1/2})}$ .在这方面，我们证明了一个引理凸多边形逼近是独立的利益。
2019-12-03 cs.CG math.CO
Approximate Shortest Path through a Weighted Planar Subdivision
本文提出了一种求加权平面剖分$\PS$中两点$s$和$t$之间最短路径的近似算法。$\PS$的每个面$f$与权重$w_f$相关联，并且沿着$f$上的线段行进的成本是$w_f$乘以该线段的欧几里德范数。穿过细分的几个面的路径的成本是沿着每个面行进的成本的总和。我们的算法从源$s$开始进行离散化的最短路径波前的处理，并且在寻找$ε$ -近似最短路径方面花费多项式时间。
2010-11-30 cs.CG
Maximal Distortion of Geodesic Diameters in Polygonal Domains
Algoresearch L.L.C.（Algoreresearch有限责任公司）；Research Institute of the University of Bucharest（布加勒斯特大学研究所）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；California State University Northridge（北岭加州州立大学）；Tufts University（塔夫茨大学）
研究了多边形域中测地直径与欧几里得直径的比值，证明了在具有凸孔的凸多边形中，该比值的上界随孔数变化而变化，并探讨了不同条件下该比值的性质。
2026-02-09 cs.CG math.GT
Routing in Polygonal Domains
我们考虑的问题，通过多边形域$P$与$n$顶点和$h$孔的可见性图的路由数据包。我们可以对$P$进行预处理，以获得$P$的每个顶点的标签和路由表。然后，我们必须能够在$P$的任意两个顶点$p$和$q$之间路由数据分组，其中每个步骤必须仅使用目标节点$q$的标签和当前节点的路由表。对于任何固定的$\varepsilon > 0$，我们提出了一种路由方案，总是实现路由路径的长度超过最短路径的一个因素，最多$1 + \varepsilon$。标签具有$O(\log n)$位，路由表的大小为$O((\varepsilon^{-1}+h)\log n)$。预处理时间为$O(n^2\log n)$。对于简单多边形，它可以改进为$O(n^2)$。
2018-08-02 cs.CG cs.DS
Shortest Path Map Equivalence Decompositions and Applications
University of Utah（犹他大学）
研究平面多边形域\(P\)的最短路径图等价分解，证明不同条件下其组合复杂度上界，提出计算分解的新算法，还解决了包括两点最短路径查询等其他问题。
2026-07-07 cs.CG cs.DS
A Closer Cut: Computing Near-Optimal Lawn Mowing Tours
对于给定的多边形区域$P$，草坪修剪问题（LMP）要求最短行程$T$，该行程在$P$中的每个点的欧几里德距离1内;这等价于计算覆盖所有$P$的单位圆盘刀具$C$的最短行程。作为一个自然的实际和理论上的重要性的几何优化问题，LMP概括和结合了几个著名的困难的问题，包括最小覆盖磁盘，旅行商问题的邻域（TSPN），和画廊问题（AGP）。在本文中，我们进行了第一次研究的草坪修剪问题的实际计算的近最佳解决方案的重点。我们提供了新的理论见解：最佳解决方案是多边形路径与有限数量的顶点，允许限制直线解决方案;另一方面，可以有相对简单的情况下，最佳解决方案需要一个大类的无理坐标。在实践方面，我们提出了一个原始-对偶方法，证明收敛性的基础上解决一个特殊情况下的TSPN限制证人集。在每次迭代中，这建立了一个有效的解决方案和一个有效的下限，从而对剩余的最优性差距的界限。正如我们在广泛的计算研究中所证明的那样，这使我们能够为多达2000个顶点的大量基准实例实现可证明的最优和接近最优的解决方案。
2022-11-10 cs.CG
Shortest Paths and Convex Hulls in 2D Complexes with Non-Positive Curvature
全局非正弯曲（CAT（0））多面体复合体出现在许多应用中，包括进化生物学和机器人学。这些空间具有唯一的最短路径，并且由欧氏多面体组成，但是欧氏空间中的最短路径和凸包的许多算法和性质都不能传递。本文给出了一个用线性规划计算二维单顶点CAT（0）多面体复形中点集的凸包的算法。我们探索使用最短路径映射来回答二维CAT（0）多面体复合体中的单源最短路径查询，并统一了2流形和矩形情况下的有效解决方案。
2019-07-17 cs.CG math.CO math.MG
Geodesic Order Types
简单多边形$P$内部两点$a$和$b$之间的测地线是$P$内部连接$a$和$b$的最短多边形路径。因此，它是无约束点集上的直线段到多边形环境的自然推广。在本文中，我们使用这个扩展推广的概念的顺序类型的一组点在欧几里德平面测地线顺序类型。特别地，我们证明了，对于任何点集$S$和至少四个点的有序子集$\mathcal{B} \subseteq S$，总是可以构造多边形$P$，使得$\mathcal{B}$的点定义~ $S$ w.r.t.~的测地线壳。$P$，按指定顺序。此外，我们表明，一个抽象的秩序类型来自对偶的帕普斯安排可以实现为测地线秩序类型。
2017-08-21 cs.CG
Unconstrained and Curvature-Constrained Shortest-Path Distances and their Approximation
我们研究最短路径和它们的距离上的一个子集的欧几里得空间，和他们的近似等价物在一个邻域图上定义的样本从该子集。特别是，我们恢复并扩展了Bernstein等人（2000）的结果。我们对曲率约束的最短路径和它们的距离做同样的事情，建立我们认为是它们的第一近似界。
2018-10-24 cs.CG math.MG
Approximate Dynamic Nearest Neighbor Searching in a Polygonal Domain
Utrecht University（乌得勒支大学）；Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）
该研究提出了一种在多边形域中支持动态更新的高效数据结构，用于近似最近邻搜索和两点最短路径查询。
2026-03-12 cs.CG
On Approximating the Weighted Region Problem in Square Tessellations
本文研究正方形细分下的加权区域最短路径问题，通过在网格中心定义顶点构建网格图求近似解，证明其近似比为 $(\sqrt{2}+1)$，改进了先前 $2\sqrt{2}$ 的结果。
2024-07-26 cs.CG cs.DS
Shortest Paths Among Obstacles in the Plane Revisited
给定平面上两两不相交的多边形障碍物，寻找两点间的避障欧氏最短路径是计算几何中的经典问题，并得到了广泛的研究。先前的最佳算法由Hershberger和Suri给出[FOCS 1993，SIAM J. Comput. 1999]并且该算法在$O(n\log n)$时间和$O(n\log n)$空间中运行，其中$n$是所有障碍物的顶点总数。该算法是时间最优的，因为$Ω(n\log n)$是一个下界。二十多年来，空间是否可以减少到$O(n)$一直是一个悬而未决的问题。在本文中，我们解决这个问题的解决方案是在$O(n\log n)$时间和$O(n)$空间，这是最佳的时间和空间，我们实现了这一点，通过修改的Hershberger和Suri的算法。像他们原来的算法一样，我们的新算法可以在$O(n\log n)$时间和$O(n)$空间中为源点$s$构建最短路径映射，这样给定任何查询点$t$，从$s$到$t$的最短路径的长度可以在$O(\log n)$时间内计算，并且可以在额外的时间内产生与路径的边数成线性的最短路径。
2021-05-29 cs.CG cs.DS
Shortest directed networks in the plane
给定一组源和一组汇作为欧几里得平面中的点，有向网络是在平面中绘制的具有从每个源到每个汇的有向路径的有向图。这样的网络可以包含除了给定的源和汇之外的节点，称为Steiner点。我们刻画了欧几里德平面上所有最短长度有向网络中Steiner点的局部结构。这一特征意味着这些网络是由直尺和指南针构建。我们的研究结果建立在阿尔法罗，坎贝尔，谢尔和索托从1989年和1990年未发表的工作。部分证明是基于一个新的方法，使用其他规范的平面。这种方法给出了更多的概念证明他们的一些结果，因此，我们也得到了最短的有向网络的结果，这些规范。
2020-05-18 cs.CG math.CO math.MG
Approximate Distance and Shortest-Path Oracles for Fault-Tolerant Geometric Spanners
本文为容错欧几里得生成器设计近似距离与最短路径预言机，支持快速查询故障后的近似距离和路径，适用于道路网络路由。
2023-12-27 cs.CG cs.DS
Shortest path problem in rectangular complexes of global nonpositive curvature
CAT（0）度量空间是欧氏空间、双曲空间和简单多边形的一个广泛的普遍推广：CAT（0）度量空间中的任意两点x和y通过唯一的最短路径γ（x，y）相连。本文提出了一个在CAT（0）矩形复形及其两个子类中回答两点距离查询的有效算法，这两个子类分别是分支直线多边形（CAT（0）矩形复形，其中所有顶点的连接都是二分图）和正方形图（CAT（0）矩形复形，其中所有内顶点的度都是\geq 4）。即，我们表明，对于具有n个顶点的CAT（0）矩形复形K，可以构造大小为$O(n^2)$的数据结构D，使得给定K中的任何两个点x、y，可以在O（d（p，q））时间内计算x和y之间的最短路径γ（x，y），其中p和q分别是包含点x和y的K的两个面的顶点，使得γ（x，y）包含在K（I（p，q））中q））和d（p，q）是K的基础图中p和q之间的距离。如果K是一个分歧的直线多边形，则可以构造一个最优大小为O（n）的数据结构D，并在O（d（p，q）logΔ）时间内回答两点最短路径查询，其中Δ是G（K）的顶点的最大度.最后，如果K是一个平方图，那么可以构造一个大小为O（nlogn）的数据结构D，并在O（d（p，q））时间内回答两点最短路径查询。
2012-03-27 cs.CG
Discrete Dubins Paths
Dubins路径是具有有界曲率的最短路径。非完整运动规划的开创性结果是（在没有障碍物的情况下）Dubins路径由一个圆弧、一个线段和另一个圆弧组成，或者由三个圆弧组成[Dubins，1957]。Dubins最初的证明使用了高等微积分;后来，Dubins的结果被使用控制理论技术重新证明[Reeds and Shepp，1990]，[Sussmann and Tang，1991]，[Boissonnat，Cérézo，and Leblond，1994]。我们介绍和研究的曲率约束运动的离散模拟。我们发现，最短的“有界曲率”的多边形路径具有相同的结构Dubins路径。Dubins路径的性质遵循我们的结果作为一个限制的情况下-这给出了一个新的，“离散”的证明Dubins结果。
2012-11-11 cs.CG cs.DM math.OC
Geometric secluded paths and planar satisfiability
我们考虑具有低\emph{exposure}的路径到2D多边形域，即，尽可能少地看到路径;我们区分\emph{integral}暴露（当我们关心路径看到域中每个点的时间）和\emph{0/1}暴露（仅计算路径是否看到点）。对于积分曝光，我们给出了一个PTAS寻找域中两个给定点之间的最小曝光路径;对于0/1版本，我们证明了在一个简单的多边形中，最短路径具有最小曝光，而在域中有洞的问题变得NP-难。我们还强调了问题的最小可满足性和解决平面最小和最大SAT的变体的硬度的连接。
2020-03-03 cs.CG
Does a robot path have clearance c?
多边形障碍物之间的大多数路径规划问题要求找到避开障碍物并且相对于某些度量或度量的组合是最优的路径，例如间隙至少为$c$的$u$到$v$的最短路径，其中$u$和$v$是自由空间中的点，并且$c$是正常数。在实际应用中，例如紧急干预/疏散和医疗计划，专家建议了许多$u$到$v$的路径，问题是这些路径是否满足特定要求，例如给定的离障碍物的间隙。我们解决以下路径查询问题：给定平面中$m$不相交简单多边形的集合$S$，其具有总共$n$顶点，预处理它们，使得对于由正常数$c$和具有$k$顶点的简单多边形路径$π$组成的查询，从自由空间中的点$u$到点$v$，其中$k$远小于$n$，可以快速地确定$π$是否具有至少$c$的间隙（即，在$π$的距离$c$内没有多边形障碍物）。为此，我们展示了如何解决以下相关问题：给定一组$S$的$m$简单多边形在$\Re^{2}$，预处理$S$到一个数据结构，使多边形在$S$最接近查询线段$s$可以迅速报告。我们提出了一个$O(t \log n)$时间，$O(t)$空间预处理，$O((n / \sqrt{t}) \log ^{7/2} n)$查询时间解决这个问题，对任何$n ^{1 + ε} \leq t \leq n^{2}$。对于具有$k$段的路径，这导致$O((n k / \sqrt{t}) \log ^{7/2} n)$查询时间，这是对当$k$小时可以从现…
2018-07-24 cs.CG
Multiple Shooting Approach for Finding Approximately Shortest Paths for Autonomous Robots in Unknown Environments in 2D
Institute of Mathematical and Computational Sciences, Ho Chi Minh City University of Technology (HCMUT)（胡志明市理工大学数学与计算科学研究所）；Vietnam National University Ho Chi Minh City（越南国家大学胡志明市分校）；Institute of Mathematics, Vietnam Academy of Science and Technology (VAST)（越南科学技术翰林院数学研究所）
本文提出基于多射击方法的新算法，用于在2D未知环境中自主机器人避开多边形障碍物寻找近似最短路径，通过束分区、共线条件和射击点更新实现路径优化。
2023-12-16 cs.CG cs.DM cs.RO
Euclidean TSP in Narrow Strips
本文研究窄条带中欧几里得 TSP 随宽度变化的复杂度，证明双调巡游在 $\delta\leq2\sqrt2$ 时最优，并给出关于 $\delta$ 的固定参数可处理算法及随机、稀疏情形复杂度，还推广至超圆柱。
2024-04-05 cs.CG
Computing Shortest Paths among Curved Obstacles in the Plane
计算几何中的一个基本问题是计算平面上两点之间的避障欧几里德最短路径。这个问题的多边形障碍的情况下，很好地研究。在本文中，我们考虑的问题版本弯曲的障碍，通常建模为样条。一个样条可以看作是用一个凸的曲线边代替多边形的每一条边（多边形是特殊的样条）。假设每个曲线边的复杂度为O（1）。给定平面上的两个点s和t以及一组$h$两两不相交的样条函数，它们的顶点总数为$n$，我们在$O(n+h\log^{1+ε}h+k)$时间内计算一条避开样条函数的最短s到t路径，其中k是对输入样条函数的结构敏感的参数，其上界为$O(h^2)$。特别地，当所有样条曲线都是凸的时，$k$与样条曲线之间的自由空间中的公共切线（称为“自由公共切线”）的数量成比例。我们开发的技术解决问题的一般（非凸）样条域，这也改善了以前的几个结果。特别是，我们的技术产生一个最佳的输出敏感算法的基本可见性问题的计算所有自由的公共切线之间的$h$成对不相交凸样条曲线与总的$n$顶点。我们的算法运行在$O(n+h\log h+k)$时间和$O(n)$空间，其中$k$是所有自由公共切线的数量。即使对于所有样条曲线都是凸多边形的特殊情况，以前最好的算法也需要$O(n+h^2\log n)$时间。
2015-04-24 cs.CG cs.DS
Shortest Paths in Portalgons
任何本质上是多面体的表面都可以用简单多边形（碎片）的集合来表示，这些多边形沿着成对的等长定向边粘合，其中每个碎片都被赋予由其欧几里得度量产生的测地线度量。我们把这样的表示称为portalgon，如果两个portalgon表示的曲面是等距的，我们称它们为等价的。我们分析了门户网站中最短路径的复杂性。我们称一个片段快乐，如果任何最短路径上的portalgon访问它在最多一个常数的次数。一个portalgon是快乐的，如果它的所有片段都是快乐的。我们提出了一个有效的算法来计算最短路径的快乐门户网站。最短路径访问片段的次数通常是无限的。我们对比这表明，任何多面体表面的内在德洛内三角剖分对应于一个快乐的portalgon。由于计算固有的德洛内三角剖分可能是低效的，我们提供了一个有效的算法来计算快乐的门户网站的一类限制门户网站。
2023-03-15 cs.CG cs.DS
Two-Point $L_1$ Shortest Path Queries in the Plane
设$\mathcal{P}$是一组$h$成对不相交的多边形障碍物，其在平面中具有$n$顶点。我们考虑构建一个数据结构的问题，该数据结构可以快速计算任意两个查询点$s$和$t$之间的$L_1$最短避障路径。先前，在$O(n^2\log^2 n)$时间内构造大小为$O(n^2\log n)$的数据结构，其在$O(\log^2 n+k)$时间内回答每个两点查询，即，在$O(\log^2 n)$时间内报告最短路径长度，在附加的$O(k)$时间内报告实际路径，其中$k$是输出路径的边数.本文建立了一种新的数据结构，其大小为$O(n+h^2\cdot \log h \cdot 4^{\sqrt{\log h}})$ in $O(n+h^2\cdot \log^{2} h \cdot 4^{\sqrt{\log h}})$ time，在$O(\log n+k)$时间内回答每个查询.请注意，对于任何常数$ε>0$，$n+h^2\cdot \log^{2} h \cdot 4^{\sqrt{\log h}}=O(n+h^{2+ε})$。此外，我们将我们的技术扩展到加权直线版本，其中$\mathcal{P}$的“障碍”是具有“权重”的直线区域，并允许$L_1$路径以加权成本穿过它们。我们的算法在$O(\log n+k)$时间内回答每个查询，并在$O(n^2\cdot \log^{2} n\cdot 4…
2014-03-13 cs.CG cs.DS
FPTAS for Polygonal Multi-Robot Motion Planning
Portland State University（波特兰州立大学）；LIRMM, Université de Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学CNRS LIRMM实验室）；Institute of Mathematical Sciences, HBNI, Chennai and Homi Bhabha National Institute, Mumbai（马德拉斯数学科学研究所，HBNI，金奈和霍米·巴巴国立学院，孟买）；New York University Shanghai（纽约大学上海分校）
该研究针对多边形环境中任意固定数量k个多边形机器人的运动规划问题，在三类目标下提出首个FPTAS，解决了相关开放问题，且算法更简单。
2026-10-21 cs.CG cs.DS cs.RO
Exact solutions to the Weighted Region Problem
IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）；Utrecht University（乌得勒支大学）；Universidad de Alcalá（阿尔卡拉大学）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
本文研究了带权重区域问题中单个加权矩形区域的最短路径问题，证明该问题在有理数代数计算模型中不可解，但提供了可计算的最短路径方程和区域间最短路径图的bisectors方程。
2026-04-09 cs.CG
An Algorithm for Computing Constrained Reflection Paths in Simple Polygon
设$s$为$P$内的源点，$t$为$n$ -顶点简单多边形内的目的点。$P$内部的$s$和$t$之间的欧氏最短路径和最小链路路径已经得到了很好的研究。这两种路径都是简单的分段凸路径。然而，在漫反射或镜面反射的情况下计算最佳路径似乎并不是一件容易的事情。从光源$s$到$P$内部的$t$的路径被称为漫反射路径，如果该路径的转向点位于$P$的边界边缘的内部。如果漫反射路径在$s$和$t$之间的所有漫反射路径中具有最小数量的转向点，则该漫反射路径被认为是最优的。最小漫反射路径可能并不简单。在低次多项式时间内计算最小漫反射路径的问题仍然是一个悬而未决的问题。在我们寻求理解的几何结构的最小漫反射路径与最短路径和最小链接路径，我们定义了一种新的漫反射路径称为约束漫反射路径，其中（i）的路径是简单的，（ii）它只相交的屋檐之间的欧几里德最短路径$s$和$t$，和（iii）它相交每个屋檐正好一次。为了计算从$s$到$t$的最小约束漫反射路径，提出了一种$O(n(n+β))$时间算法，其中$β=Θ(n^2)$是最坏情况下的时间算法。这里，$β$取决于多边形的形状。我们还建立了最小约束漫反射路径和最小漫反射路径的一些性质。本文介绍的约束漫反射路径提供了新的几何见解到迄今为止未知的结构和形状的最佳反射路径。
2014-05-01 cs.CG
Single-Source Shortest Path Problem in Weighted Disk Graphs
本文研究加权圆盘图中的单源最短路径问题，提出分别适用于有界半径和任意大半径圆盘的高效算法，将已知最优时间复杂度从 O(n log⁶ n) 改进至 O(n log⁴ n)。
2025-04-09 cs.CG cs.DS
An Improved Algorithm for Shortest Paths in Weighted Unit-Disk Graphs
本文针对加权单位圆盘图上的单源最短路径问题，提出一种在标准实数RAM模型下运行时间为O(n log² n / log log n)的改进算法，并在代数决策树模型下用O(n log n)次比较匹配了已知下界。
2024-07-03 cs.CG cs.DS
Optimal Any-Angle Pathfinding on a Sphere
Ninety Percent of Everything（百分之九十的一切）
欧几里德空间中的寻路问题是机器人学和计算机游戏中面临的一个普遍问题。然而，对于在地球表面或外太空中的长距离导航，近似欧几里得几何对于诸如航天器、飞机、无人机和船舶的导航等现实应用可能是不够的。本文描述了一个任意角度的寻路算法，用于计算球面上点对之间的最短路径。引入几个新的适应，它表明，（Harabor & Grastien，2013）所描述的安雅欧几里德空间可以扩展到球面几何。在那里，坐标之间的最短距离线由大圆路径定义，最优解通常是欧几里得空间中的曲线。此外，球面几何中最佳路径的转折点不一定是欧几里得空间中的角点，这一点将在下文中说明，这使得对Anya的进一步实质性修改成为必要。球面Anya返回球面上的最佳路径，给定球面几何中定义的世界地图的这些不同属性。它保留了Anya在欧几里德几何中的所有主要优点，即球面Anya算法总是返回球面上的最佳路径，并且完全在线，没有任何预处理或大量内存开销。性能基准提供了几个游戏地图，包括星际争霸和魔兽争霸III以及海洋导航在地球上使用NOAA测深数据集。总是返回较短的路径相比，欧几里德近似产生的安雅，球面安雅被证明是比安雅更快的大多数海上航线和较慢的游戏地图和随机地图。
2020-11-02 cs.AI cs.CG
The traveling salesman problem for lines and rays in the plane
在具有邻域的欧几里德TSP（TSPN）中，我们给出了$n$区域（邻域）的集合，并且我们寻求访问每个区域的最短行程。在路径变量中，我们寻求访问每个区域的最短路径。我们提出了几个线性时间的近似算法与这些问题的两种情况下，（无限）线，分别是（半无限）射线的邻居改进的比率。一路上，我们推导出一个紧边界上的最小周长的矩形包围开放曲线的长度$L$。
2012-04-26 cs.CG math.MG
Reverse Shortest Path Problem for Unit-Disk Graphs
给定平面中n个点的集合P，关于参数r的单位圆盘图G_{r}（P）是其顶点集为P的无向图，使得如果p和q之间的欧氏距离至多为r，则一条边连接两个点p，q \in P（在未加权的情况下，边的权重为1，在加权的情况下，边的权重为p和q之间的距离）。给定λ>0，P中的两点s和t，考虑如下的反向最短路问题：计算最小r，使得G_r（P）中s和t之间的最短路长至多为λ。本文给出了一个O（\lfloor λ \rfloor \cdot n \log n）时间的算法和一个O（n^{5/4} \log^{7/4} n）时间的算法，以及一个O（n^{5/4} \log^{5/2} n）时间的算法.我们还考虑了L_1版本的问题，两个点的距离是由L_1度量测量，我们解决了O（n \log^3 n）的时间为未加权和加权的情况下的问题。
2021-12-11 cs.CG cs.DS
Computing Geodesic Distances in Tree Space
我们提出了两个算法计算系统发育树在树空间中的测地线距离，介绍了Billera，Holmes，和Vogtmann（2001）。我们证明了两棵树之间的最短路径的可能组合类型可以用一个偏序集来紧表示。我们通过将问题转化为寻找通过欧几里得空间的某个区域的最短路径来计算沿着每个候选路径的最短距离。特别地，我们证明了存在一个线性时间算法，用于找到包含在R^k的子空间中的R ^k的全正正交线中的一个点和全负正交线中的一个点之间的最短路径，该子空间由前i个坐标非正且其余坐标非负的所有正交线组成，0 <= i <= k。
2011-06-07 cs.CG cs.DM math.CO
A Survey of Algorithms for Geodesic Paths and Distances
弯曲域上的最短路径或测地线的数值计算以及相关联的测地线距离在跨越数字几何处理、科学计算、计算机图形学和计算机视觉的广泛应用中出现。相对于欧几里德距离计算，这些任务由于曲率对最短路径行为的影响以及域的表示本身可能是近似的事实而变得复杂。尽管这个问题的困难，最近的文献已经开发出各种各样的复杂的方法，使快速查询的测地信息，即使在相对较大的模型。本概览审查了计算测地路径和距离的主要方法类别，突出了共同主题和今后改进的机会。
2020-07-20 cs.CG cs.GR
String Tightening as a Self-Organizing Phenomenon: Computation of Shortest Homotopic Path, Smooth Path, and Convex Hull
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
几十年来，自组织现象一直是神经网络社区的特殊兴趣。在本文中，我们研究了自组织映射（SOM）的一个变体，它模拟了当弦从一端或两端收紧时，形成弦的粒子的自组织现象。所提出的变种，被称为字符串收紧自组织神经网络（STON），可以用来解决某些实际问题，如计算最短同伦路径，平滑路径，以避免急转弯，和计算的凸包。这些问题在计算几何、机器人路径规划、人工智能（图解推理）、超大规模集成电路布线和地理信息系统中具有相当大的意义。给定一组障碍物和一个在二维的空间中具有两个固定端点的字符串，STON模型不断收紧给定字符串，直到达到欧几里得度量的唯一最短配置。STON通过以竞争的方式动态地创建和选择特征向量来最小化收敛时字符串的总长度。文中给出了该算法的正确性证明和部署实验结果。
2021-02-16 cs.AI cs.CG cs.LG
Faster Approximation Scheme for Euclidean $k$-TSP
针对欧几里得 $k$-TSP 问题，提出运行时间为 $n\cdot 2^{O(1/\varepsilon^{d-1})} \cdot(\log n)^{2d^2\cdot 2^d}$ 的近似方案，改进了 Arora 的算法，且该算法是 Gap-ETH 紧密的并支持去随机化。
2024-06-26 cs.CG cs.DS
