欧几里得 $k$-TSP 的更快的近似方案
Faster Approximation Scheme for Euclidean $k$-TSP
AI总结：
针对欧几里得 $k$-TSP 问题，提出运行时间为 $n\cdot 2^{O(1/\varepsilon^{d-1})} \cdot(\log n)^{2d^2\cdot 2^d}$ 的近似方案，改进了 Arora 的算法，且该算法是 Gap-ETH 紧密的并支持去随机化。
摘要：
在欧几里得 $k$-旅行商问题（$k$-TSP）中，给定 $d$ 维欧几里得空间中的 $n$ 个点（$d\geq 2$ 为固定常数）和正整数 $k$，目标是找到访问至少 $k$ 个点的最短巡回路线。我们提出了一种欧几里得 $k$-TSP 的近似方案，运行时间为 $n\cdot 2^{O(1/\varepsilon^{d-1})} \cdot(\log n)^{2d^2\cdot 2^d}$。这改进了 Arora 的运行时间为 $n\cdot k\cdot (\log n)^{\left(O\left(\sqrt{d}/\varepsilon\right)\right)^{d-1}}$ 的近似方案 [J. ACM 1998]。我们的算法是 Gap-ETH 紧密的，并且可以通过将运行时间增加 $O(n^d)$ 倍来进行去随机化。
英文摘要：
In the Euclidean $k$-traveling salesman problem ($k$-TSP), we are given $n$ points in the $d$-dimensional Euclidean space, for some fixed constant $d\geq 2$, and a positive integer $k$. The goal is to find a shortest tour visiting at least $k$ points. We give an approximation scheme for the Euclidean $k$-TSP in time $n\cdot 2^{O(1/\varepsilon^{d-1})} \cdot(\log n)^{2d^2\cdot 2^d}$. This improves Arora's approximation scheme of running time $n\cdot k\cdot (\log n)^{\left(O\left(\sqrt{d}/\varepsilon\right)\right)^{d-1}}$ [J. ACM 1998]. Our algorithm is Gap-ETH tight and can be derandomized by increasing the running time by a factor $O(n^d)$.
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