Mayank Chaturvedi, Bengt J. Nilsson
Placing a minimum number of guards on a given watchman route in a polygonal domain is called the {\em minimum vision points problem}. We prove that finding the minimum number of vision points on a shortest watchman route in a simple polygon is APX-Hard. We then extend the proof to the class of rectilinear polygons having at most three dent orientations.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the approximability of covering points by lines and related problems
Given a set $P$ of $n$ points in the plane, { \sc Covering Points by Lines} is the problem of finding a minimum-cardinality set $Ł$ of lines such that every point $p \in P$ is incident to some line $\ell \in Ł$ . As a geometric variant of { \sc Set Cover}, { \sc Covering Points by Lines} is still NP-hard. Moreover, it has been proved to be APX-hard, and hence does not admit any polynomial-time approximation scheme unless P $=$ NP\@. In contrast to the small constant approximation lower bound implied by APX-hardness, the current best approximation ratio for { \sc Covering Points by Lines} is st…
Hardness and Approximation Schemes for Discrete Packing and Domination
针对任意半径圆盘和任意边长轴平行正方形的几何离散独立集与支配集问题，提出基于局部搜索的多项式时间近似方案，同时证明其在特定形状下的APX-难与NP-难特性。
We consider the Minimum Convex Partition problem: Given a set P of n points in the plane, draw a plane graph G on P, with positive minimum degree, such that G partitions the convex hull of P into a minimum number of convex faces. We show that Minimum Convex Partition is NP-hard, and we give several approximation algorithms, from an O(log OPT)-approximation running in O(n^8)-time, where OPT denotes the minimum number of convex faces needed, to an O(sqrt(n) log n)-approximation algorithm running in O(n^2)-time. We say that a point set is k-directed if the (straight) lines containing at least thr…
Bereg et al. (2012) introduced the Boxes Class Cover problem, which has its roots in classification and clustering applications: Given a set of n points in the plane, each colored red or blue, find the smallest cardinality set of axis-aligned boxes whose union covers the red points without covering any blue point. In this paper we give an alternative proof of APX-hardness for this problem, which also yields an explicit lower bound on its approximability. Our proof also directly applies when restricted to sets of points in general position and to the case where so-called half-strips are conside…
The Traveling Salesman Problem Under Squared Euclidean Distances
令$P$是$\mathbb{R}^d$中的点的集合，并且令$α\ge 1$是实数。我们将两点之间的距离$p,q\in P$定义为$|pq|^α$，其中$|pq|$表示$p$和$q$之间的标准欧几里得距离。我们用TSP（$d,α$）表示在这个距离函数下的旅行商问题。我们设计了TSP（2，2）的一个5-近似算法，并推广了这个结果，得到了对于$d=2$和所有$α\ge2$的近似因子为$3^{α-1}+\sqrt{6}^α/3$.我们还研究了旅行商允许重访点的问题的变体Rev-TSP。我们提出了一个多项式时间近似计划的Rev-TSP $(2,α)$与$α\ge2$，我们表明，Rev-TSP $(d, α)$是APX困难的，如果$d\ge3$和$α>1$。对于相同的参数范围，APX硬度验证可用于TSP $(d, α)$。
New Hardness Results for Guarding Orthogonal Polygons with Sliding Cameras
设$P$为正交多边形。考虑沿着正交线段$s\in P$来回行进的滑动相机作为其\emph{trajectory}。如果存在点$q\in s$，使得$pq$是完全在$P$内部的垂直于$s$的线段，则摄像机可以看到点$p\in P$。在\emph{minimum-cardinality sliding cameras problem}中，目标是找到具有最小基数的滑动相机的集合$S$以保护$P$（即，$P$中的每个点都可以被某个滑动摄像机看到），而在\emph{minimum-length sliding cameras problem}中，目标是找到这样一组$S$，以便最小化$S$中的摄像机沿其行进的轨迹的总长度。在本文中，我们首先解决了最小长度滑动摄像机问题的复杂性，通过证明即使对于带孔的正交多边形，它也是多项式可处理的，回答了Katz和Morgenstern（2011）提出的问题。接下来我们证明了当允许$P$有洞时，最小基数滑动摄像机问题是\textsc{NP} -困难的，这部分回答了Katz和Morgenstern（2011）提出的另一个问题。
Minimum Selective Subset on Unit Disk Graphs and Circle Graphs
本文研究了单位圆盘图和圆图上的最小选择子集问题，证明了其在一般图上的log-APX难性，并给出了单位圆盘图上的PTAS及NP难性证明。
In the Minimum Installation Path problem, we are given a graph $G$ with edge weights $w(.)$ and two vertices $s,t$ of $G$. We want to assign a non-negative power $p(v)$ to each vertex $v$ of $G$ so that the edges $uv$ such that $p(u)+p(v)$ is at least $w(uv)$ contain some $s$-$t$-path, and minimize the sum of assigned powers. In the Minimum Barrier Shrinkage problem, we are given a family of disks in the plane and two points $x$ and $y$ lying outside the disks. The task is to shrink the disks, each one possibly by a different amount, so that we can draw an $x$-$y$ curve that is disjoint from t…
On Minimum Aerial Photographs for Planar Region Coverage: Hardness and Approximation
研究用正方形和圆形覆盖简单平面多边形的计算复杂性，证明了不可近似性间隙并开发了2.828-最优近似算法。
Sliding k-Transmitters: Hardness and Approximation
在正交多边形P中的滑动k-发送器是沿着P内的正交线段s来回移动的移动警卫。如果从p到s的垂线与P的边界相交至多k次，则它可以看到P中的点p。我们证明了，对于任何固定的k>0，即使P是简单的和单调的，保护一个正交多边形P的最小数量的k-发射机是NP-困难的。并给出了该问题的O（1）-近似算法。
A Note on the Flip Distance Problem for Edge-Labeled Triangulations
无论是点集三角剖分还是简单多边形三角剖分，确定两个三角剖分之间的翻转距离都是一个NP难问题。为了更深入地了解三角剖分的翻转，并表征从一个三角剖分翻转到另一个三角剖分时“边去哪里”，边标记三角剖分中的翻转最近引起了相当大的兴趣。在最近的一项突破中，Lubiw，Masárová和Wagner（在Proc. 33rd Symp.的计算几何，2017年）证明了所谓的“轨道猜想”的边缘标记的三角剖分，并要求在边缘标记的设置翻转距离问题的复杂性。通过重新访问和修改的硬度证明的未标记的设置，我们在这份说明中，翻转距离问题是APX困难的点集的边标记的三角剖分和NP困难的简单多边形的三角剖分。主要的技术挑战是表明，即使在忽略标记时源和目标三角测量相同，这仍然是正确的。
In this paper we study the following problem: Given $k$ disjoint sets of points, $P_1, \ldots, P_k$ on the plane, find a minimum cardinality set $\mathcal{T}$ of arbitrary rectangles such that each rectangle contains points of just one set $P_i$ but not the others. We prove the NP-hardness of this problem.
Covering Tours and Cycle Covers with Turn Costs: Hardness and Approximation
我们调查了各种各样的问题，找到旅游和循环覆盖最小的转弯成本。这种类型的问题已经在过去进行了研究，复杂性和近似结果以及可追溯到Arkin等人的工作的开放问题。广泛的实际应用重新引起了人们对这些问题的兴趣，并产生了各种变体：对于全覆盖，必须覆盖每个点，对于子集覆盖，必须覆盖特定点，而对于惩罚覆盖，点可能会因受到单独的惩罚而未被覆盖。我们做出了一些贡献。我们首先表明，即使在2维网格图中，找到最小转弯（全）圈覆盖也是NP难的，解决了Demaine，Mitchell和O 'Rourke编辑的开放问题项目中长期存在的开放问题53。我们还证明了在细网格图中找到最小转弯成本的子集循环覆盖的NP-困难性，Arkin等人给出了全覆盖的多项式时间算法;这表明他们的边界技术不能应用于计算子集和惩罚变量的精确解。在积极的一面，我们建立了第一常数因子近似算法的所有考虑的子集和惩罚问题的变种，利用LP/IP技术。对于更一般的网格图中的完全覆盖（例如，六边形网格），我们的近似因子优于Arkin等人的组合因子。我们的方法也可以扩展到其他几何变体，例如障碍物和转弯和距离成本的线性组合。
Minimum bounded chains and minimum homologous chains in embedded simplicial complexes
本文研究了$\mathbb{Z}_2$上具有同调的单纯复形的两个优化问题，即最小有界链问题：给定一个嵌入在$\mathbb{R}^{d+1}$中的$d$ -维复形$\mathcal{K}$和一个嵌入在$\mathcal{K}$中的零同调$(d-1)$ -圈$C$，求出具有边界$C$的最小$d$ -链，以及最小同调链问题：给定一个$(d+1)$ -流形$\mathcal{M}$和一个在$\mathcal{M}$中的$d$ -链$D$，找出与$D$同源的最小$d$ -链。我们表现出强大的硬度结果，这两个问题，即使是小值的$d$ ; $d = 2$的前一个问题，和$d=1$的后一个问题。我们表明，这两个问题是APX硬，很难近似在任何恒定的因素，假设唯一的游戏猜想。在积极的一面，我们表明，这两个问题是固定参数听话的最优解的大小。此外，我们还对最小有界链问题给出了一个$O(\sqrt{\log β_d})$ -近似算法，其中$β_d$是$\mathcal{K}$的$d$次Betti数.最后，我们给出了求解最小同调链问题的一个$O(\sqrt{\log n_{d+1}})$ -近似算法，其中$n_{d+1}$是$\mathcal{M}$中$d$ -单形的个数.
Given a simple polygon $\mathcal{P}$ on $n$ vertices, two points $x,y$ in $\mathcal{P}$ are said to be visible to each other if the line segment between $x$ and $y$ is contained in $\mathcal{P}$. The Point Guard Art Gallery problem asks for a minimum set $S$ such that every point in $\mathcal{P}$ is visible from a point in $S$. The Vertex Guard Art Gallery problem asks for such a set $S$ subset of the vertices of $\mathcal{P}$. A point in the set $S$ is referred to as a guard. For both variants, we rule out any $f(k)n^{o(k / \log k)}$ algorithm, where $k := |S|$ is the number of guards, for an…
On the hardness of computing an average curve
我们研究了在Fréchet距离和相关距离测度的度量空间中$k$ -median和$k$ -center目标下聚类曲线的复杂性。最近的硬度的最小封闭球问题的Fréchet距离下的结果的基础上，我们表明，也$1$ -中位数问题是NP-困难的。进一步证明了以曲线个数为参数的$1$ -中值问题是W[1]-困难的.我们在离散和连续的Fréchet和动态时间弯曲（DTW）距离下证明了这一点。这产生了布尔托等人2018年早期结果的独立证明，用于使用平方距离的DTW变体，其中新的证明更简单，更通用。在积极的一面，我们给近似算法的问题的变种，中心曲线可能有复杂性最多$\ell$下的离散Fréchet距离。特别是，对于固定的$k,\ell$和$\varepsilon$，我们给$(1+\varepsilon)$ -近似算法的$(k,\ell)$ -中位数和$(k,\ell)$ -中心的目标和多项式时间精确算法的$(k,\ell)$ -中心的目标。
An Algorithm for the Graph Crossing Number Problem
我们研究了最小交叉数问题：给定一个$n$ -顶点图$G$，目标是找到平面上边交叉数最少的$G$的一个图.这是拓扑图论中的核心问题之一，在过去的三十年中得到了广泛的研究。第一个非平凡的有效算法的问题，由于Leighton和饶，实现了$O(n\log^4n)$ -近似有界度图。该算法通过引入多对数因子进行了改进，对于度最大的图$d$，其最佳近似比为$O(n \poly(d) \log^{3/2}n)$.相反，只有APX硬度是已知的消极方面。在本文中，我们提出了一个有效的随机算法，以找到任何$n$ -顶点图$G$在平面上与$O(OPT^{10}\cdot \poly(d \log n))$交叉，其中$OPT$是交叉的最佳解决方案的数量，和$d$是最大顶点度$G$的绘图。这一结果意味着最小交叉数的$\tilde{O}(n^{9/10} \poly(d))$ -近似，从而打破了长期存在的有界度图的$\tilde{O}(n)$ -近似障碍。
For an undirected edge-weighted graph $G$ and a set $R$ of pairs of vertices called pairs of terminals, a multicut is a set of edges such that removing these edges from $G$ disconnects each pair in $R$. We provide an algorithm computing a $(1+\varepsilon)$-approximation of the minimum multicut of a graph $G$ in time $(g+t)^{(O(g+t)^3)}\cdot(1/\varepsilon)^{O(g+t)} \cdot n \log n$, where $g$ is the genus of $G$ and $t$ is the number of terminals. This result is tight in several aspects, as the minimum multicut problem is both APX-hard and W[1]-hard (parameterized by the number of terminals), ev…
Given two points s and t in the plane and a set of obstacles defined by closed curves, what is the minimum number of obstacles touched by a path connecting s and t? This is a fundamental and well-studied problem arising naturally in computational geometry, graph theory (under the names Min-Color Path and Minimum Label Path), wireless sensor networks (Barrier Resilience) and motion planning (Minimum Constraint Removal). It remains NP-hard even for very simple-shaped obstacles such as unit-length line segments. In this paper we give the first constant factor approximation algorithm for this prob…
Polylogarithmic Approximation for Generalized Minimum Manhattan Networks
针对广义最小曼哈顿网络这一NP难问题，本文提出了d≥2维下的O(log^(d+1) n)近似算法和二维下的O(log n)近似算法，并将二维RSA的近似算法推广至高维。
Approximating Minimum Dominating Set on String Graphs
本文给出了\emph{string}图及其子类上的\textsc{Minimum Dominating Set (MDS)}问题的近似算法。\emph{path}是由水平和垂直线段交替组成的简单曲线。\emph{$k$-bend path}是最多由$k + 1$线段组成的路径。\textsc{L} -路径是具有“\textsc{L}”形状的$1$ -弯曲路径. \emph{vertically-stabbed-\textsc{L} graph}是\textsc{L} -路径与公共垂直线相交的交集图。我们给出了一个多项式时间$8$近似算法，用于解决垂直刺\textsc{L}图上的\textsc{MDS}问题，Bandyapadhyay等人（\textsc{MFCS}，2018）证明了其APX硬度。为了证明上述结果，我们需要研究Katz等人提出的\emph{Stabbing segments with rays}（\textsc{SSR}）问题（\textsc{Comput. Geom. 2005}）。在\textsc{SSR}问题中，输入是一组（不相交的）向左射线和一组（不相交的）垂直线段。目标是选择与所有垂直段相交的最小数量的射线。我们给出了一个$O((n+m)\log (n+m))$ -时间$2$ -近似算法的\textsc{SSR}的问题，其中$n$和$m$是在输入的射线和段的…
Algorithm and Hardness results on Liar's Dominating Set and $k$-tuple Dominating Set
给定一个图$G=(V,E)$，支配集问题要求一个最小顶点子集$D\subseteq V$，使得每个顶点$u\in V\setminus D$至少与一个顶点$v\in D$相邻。也就是说，集合$D$满足以下条件：对于每个$v\in V$，$|N[v]\cap D|\geq 1$，其中$N[v]$是$v$的闭合邻域。本文研究了经典支配集问题的两个变形：$\boldmath{k}$ -元组支配集（$k$-DS）问题和说谎者支配集（LDS）问题，得到了一些算法和困难性结果。在算法方面，我们提出了一个常数因子（$\frac{11}{2}$）近似算法的骗子的支配集问题的单位圆盘图。然后，我们得到了单位圆盘图上的$\boldmath{k}$ -元组支配集问题的PTAS。在硬度方面，我们展示了一个$Ω(n^2)$位的空间复杂度的下限任何（随机）流算法的骗子的支配集问题，以及为$\boldmath{k}$元组支配集问题。进一步证明了二部图的Liar支配集问题是W[2]-困难的。
We consider a spectrum of geometric optimization problems motivated by contexts such as satellite communication and astrophysics. In the problem Minimum Scan Cover with Angular Costs, we are given a graph $G$ that is embedded in Euclidean space. The edges of $G$ need to be scanned, i.e., probed from both of their vertices. In order to scan their edge, two vertices need to face each other; changing the heading of a vertex incurs some cost in terms of energy or rotation time that is proportional to the corresponding rotation angle. Our goal is to compute schedules that minimize the following obj…
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