Key polynomials, separate and immediate valuations, and simple extensions of valued fields
Gérard Leloup
我们给一个一阶定义的关键多项式，我们显示与以前的定义，它是相关的研究关键度，并使用一种估值，我们称之为部分乘法的链接。我们还证明或reprove几个属性。
We give a first-order definition of key polynomials, we show the links with previous definitions, that it is relevant to study key degrees, and to use a kind of valuations that we call partially multiplicative. We also prove or reprove several properties.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Immediate extensions of valuation rings and ultrapowers
我们描述了一维赋值环$V$的直接扩张，它可以嵌入到$V$的超幂关于某个超滤子的某种分离中。对于这样的扩展持有一种阿廷的近似。
Pure transcendental, immediate valuation ring extensions as limits of smooth algebras
本文证明包含域的纯超越、即时赋值环扩张可表示为光滑子代数的滤过并集。
Split absolutely irreducible integer-valued polynomials over discrete valuation domains
关于有限剩余域上的离散赋值域$(R,M)$上整值多项式的非唯一分解，已知存在绝对不可约元，即幂因子唯一的不可约元和非绝对不可约元.本文构造性地刻画了可裂整值多项式的绝对不可约元。它们对应于双射有限集，我们称之为\emph{balanced}，其特征在于关于它们的元素在$M$的幂的剩余类之间的分布的组合性质。对于每一个这样的平衡集，如分裂多项式的根的集合，存在唯一的重数向量和唯一的常数，使得对应的一元线性因子乘以常数的乘积是绝对不可约的整数值多项式。这也给出了戴德金整环上的整数值多项式绝对不可约的充分判据。
On the Intermediate Value Theorem over a Valued Field
证明了具有可分赋值群和无限剩余域的值域上多项式和幂级数的中值定理。一些进一步的结果的行为的估值得到使用Hensel引理。
On valuation independence and defectless extensions of valued fields
在这篇文章中，我们进一步发展了赋值独立性理论，并研究了它与赋值论中的经典概念的关系，如直接扩张和无缺陷扩张。我们使用这个一般理论来解决两个公开的问题，向量空间无缺陷的价值领域的扩张。此外，我们提供了各种类型的值字段，扩展结果的Françoise德龙这样的扩展的一个特征。
Notes on valuation theory for Krasner hyperfields
本文的主要目的是研究和发展Krasner超域的赋值论。在类比与经典的赋值论领域，我们推广的形式主义的赋值环来描述赋值等价超域。在证明了基本结果并讨论了几个例子之后，我们把重点放在了Krasner最初于1957年定义的值超域上。我们发现，这些必须有一个特定的加法结构，这反过来又意味着存在一个估值的一个'la克拉斯纳。我们注意到，给定这样一个赋值超域$(F,v)$，由其加法结构导出的赋值不必等价于$v$。我们讨论的情况下，它做的。
Matrix Pairs over Valuation Rings and R-Valued Littlewood-Richardson Fillings
我们扩展的理论Littlewood-Richardson填充（定义在非负整数），包括图表的行和框的实值长度。我们实现了这样的填充作为不变量的矩阵对环上的实值估值。然后，我们证明了一个双射对填充矩阵对确定，并连接到经典的行切换双射Littlewoo-Richardson填充。我们利用矩阵计算来解释广义Littlewood-Richardson填充的连续变形。
Algebraic independence of elements in immediate extensions of valued fields
改进了MacLane和Schilling的构造性组合方法，给出了一个值域的几个准则，保证它的所有极大直接扩张都有无限超越度.如果域的值组具有可数共尾性，则这些准则给出域的补全的相同信息。该准则可应用于有理函数域上赋值的分类。我们也适用于标准的问题，其中扩展的极大值域，代数或有限超越度，再次极大。在有限$p$ -度的值域的情况下，我们得到了极大立即扩张的非唯一性的最坏可能的例子：允许代数极大立即扩张和无限超越度的域.
The valuation theory of deeply ramified fields and its connection with defect extensions
我们详细研究了深分歧域的赋值论，并介绍和研究了其他几类相关的赋值域。进一步地，通过一个同时适用于这两种情况的统一定义，将早先只针对等特征情形给出的值域素度亏损扩张的分类推广到了混合特征情形.结果表明，深分歧领域和其他价值领域，我们引进只承认两种类型的缺陷扩展，即那些似乎是更无害的开放问题，如局部单值化和模型论的价值领域的积极特征。我们用我们的知识，这样的缺陷扩展给一个新的，估值理论证明的事实，即代数扩张深深分歧领域再次深深分歧。我们还证明了深度分歧场的有限下降，在某些条件下甚至是无限下降。这些结果也在另外两类相关的值域中得到了证明。所考虑的值域类可以看作是驯服值域类的推广。我们的论文支持的希望，这将是可能的推广到深分歧领域的几个重要结果，已被证明为驯服领域和核心的部分解决方案的上述两个开放的问题。
Tensor products of valued fields
我们给出了一个简短的论点，为什么在$K \otimes_k L$上的张量积赋值是乘法时，$k$是一个代数闭值域和$K$和$L$是值的扩展（所有的值都在$\bR$）。当$k$上的赋值是非平凡的时，我们使用$ACVF$（代数闭（非平凡）赋值域的理论）具有量词消去的事实。
Valuation rings in simple algebraic extensions of valued fields
本文研究简单代数赋值域扩张中赋值环的结构，利用满足 neat 性质的关键多项式序列，在分歧指数为 1 等条件下给出上环生成元及其全部关系的显式描述。
Valuation theoretic and model theoretic aspects of local uniformization
本文综述了正特征局部单值化的赋值理论方法、正特征值域的模型论及其与缺损赋值理论现象的联系。
Characterizing absolutely irreducible integer-valued polynomials over discrete valuation domains
本文针对有限剩余域离散赋值域上的不可约整值多项式，利用与多项式关联的固定因子核刻画绝对不可约性，并给出将判定归结为特定幂唯一分解的界。
Approximation types describing extensions of valuations to rational function fields
我们引入的概念{ \it近似类型}的部分，并在某些情况下，总的描述扩展一个给定的估值从一个字段$K$的有理函数域$K(x)$。对于每一个扩张，都有一个$x$在$K$上的唯一逼近类型，而$x$可能是许多伪柯西序列的极限。近似类型也提供信息的情况下，扩展是不直接的，我们证明了它们对应的双射扩展时，$K$代数封闭或在于其代数闭包密集。
Characterization of Extremal Valued Fields
我们刻画了这样的值域，即在每个多元多项式下的赋值环的象包含一个最大值或零的元素。
MacLane-Vaquié chains and Valuation-Transcendental Extensions
本文对任意秩的值域$(K, v)$和$v$到$K(X),$的扩张$w$，给出了$w$的ABKP完备集与$w.$的MacLane-Vaquié链之间的联系
Towers of complements to valuation rings and truncation closed embeddings of valued fields
研究了具有值群$G$和剩余域$\kf$的值域$\KF$（其中char $\KF$ = char $\kf$）在广义幂级数$\kf((G, f))$（其中因子集为$f$）的域中有截断闭嵌入的充要条件.我们表明，这是等价于存在一个家庭（{ \it塔的补充}）的$\kf$ -子空间的$\KF$这是补充的（可能是分数）理想的赋值环。如果$\KF$是一个特征为0的Henselian域，或者更一般地，一个代数极大Kaplansky域，我们给出了这样一个族的内在结构，它不依赖于给定的截断闭嵌入。我们还表明，塔的补充和截断封闭嵌入可以从一个任意的字段扩展到至少一个其最大的立即扩展。
Monomial Valuations, Cusp Singularities, and Continued Fractions
本文探讨了$k(x,y)$上实值单项赋值、尖点奇点的分解和连分数之间的关系。证明了在等价条件下，$k(x,y)$上的实单项式赋值与实数在0和1之间的连分式展开之间存在一一对应关系.这种关系与连分数，然后提供了一个表征的价值环的实值单项估值$k(x,y)$。当单项式赋值等价于一个整数单项式赋值时，我们给出了赋值环的生成元。最后，我们证明，如果$ν$是一个单项估值，使$ν(x)=a$和$ν(y)=b$，其中$a$和$b$是大于1的相对素数正整数，那么$ν$管理的解决方案的奇异性的平面曲线$x^{b}=y^{a}$的方式，我们明确。此外，我们提供了一个精确的界限上的数量的爆破需要解决奇性方面的连续分数的$a/b$
Maximal immediate extensions of valued differential fields
我们证明了每一个值微分域都有一个球完备的直接严格扩张。我们还讨论了问题的唯一性同构这样的扩展。
Kähler differentials of extensions of valuation rings and deeply ramified fields
本文研究赋值域有限Galois扩张下赋值环的Kähler微分，明确构造了素次数Kummer与Artin-Schreier无亏缺扩张的微分模，推广了离散赋值的经典结果，并应用于深分歧域的刻画。
A characterization for the defect of rank one valued field extensions
本文利用定义赋值的关键多项式刻画一阶赋值域单代数扩张的亏格，得到Kuhlmann提出的p次亏格扩张的相关型与独立型分类。
Néron desingularization of extensions of valuation rings with an Appendix by Kęstutis Česnavičius
Zalski的局部单值化是奇点的分解的一种弱形式，它意味着每一个包含$\bf Q$的赋值环都是光滑$\bf Q$ -代数的滤直极限.给出了含有$\bf Q$的赋值环$V\subset V'$的直接扩张，证明了$V'$是光滑$V$ -代数的滤直极限.这纠正了我们\cite{Po1}的一篇论文，在那里我们认为我们可以减少到值组是随机生成的情况。为了进行这种修正，我们使用了一个无限的超能力塔结构，该结构依赖于模型论的结果。.
Augmented Valuation and Minimal Pair
设$(K, ν)$是一个赋值域，\emph{augmented valuation}、\emph{limit augmented valuation}和赋值的\emph{admissible family}的概念使得能够给出$K [x]$扩展$ν$的任何赋值$μ$的描述。在域$K$是代数闭域的情况下，这种描述特别简单，我们可以将其简化为\emph{minimal pair}和\emph{pseudo-convergent family}的概念。设$(K, ν)$是一个Hensel值域，$\barν$是$ν$对$K$的代数闭包$\bar K$的唯一扩张，$μ$是$ K [x]$对$ν$的一个赋值，研究了$μ$到$\bar K [x]$的扩张$\barμ$，并给出了$\bar K [x]$的赋值$\barμ_i$是$μ$的可容许族的赋值$μ_i$的扩张.
Integer-valued polynomials on discrete valuation rings of global fields with prescribed lengths of factorizations
该研究针对全局域赋值环上整值多项式的分解问题，证明对指定的分解长度序列，存在对应整值多项式，并将结果推广到满足条件的离散赋值环，解决了相关公开问题。
Valuation bases for generalized algebraic series fields
我们研究允许赋值基的值域。给定一个可数序阿贝尔群G和一个实封闭的或代数闭域F，给出了广义幂级数域F（（G））的一个值域存在K-赋值基的一个充分条件.证明了F（G）上F（（G））代数中的有理函数域F（G）和幂级数域F（G）满足这个条件。证明了对阿基米德F和可分G，实封闭的域F（G）允许一个限制指数函数.
Essentially finite generation of valuation rings in terms of classical invariants
本文的主要目的是研究经典不变量赋值扩张的一些性质。更具体地说，我们考虑一个值域$(K,ν)$和$ν$到$K$的有限扩张$L$的扩展$ω$。然后研究了$ω$的赋值环何时在$ν$的赋值环上本质生成.我们提出了一个必要条件的经典不变量的延伸Hagen Knaf，并表明，在某些特殊情况下，这个条件也是充分的。我们还研究了分次代数的相应扩张何时是可分次生成的。对于这个问题，我们提出了一个等价条件（比赋值环的有限生成条件弱）。
The relative approximation degree in valued function fields
我们继续Kaplansky立即值域扩张的工作，并确定在这种扩展的元素的特殊属性。特别地，我们感兴趣的问题是，当超越度为1的立即值函数域是henselian有理的（即，由一个元素生成的模亨泽尔化（modulohenselization）。如果是，则在这个值函数域中可以消除野分歧。本文给出的结果对于第一作者证明tame域上的hensel有理性是至关重要的，而这反过来又被用于他的局部单值化的工作中。
Depth of extensions of valuations
本文提出了赋值域简单代数扩张的深度理论，基于Mac Lane-Vaquié链中的增广最小数目定义该深度，并在无亏单分支情形下推广了Ore关于数域的经典结果，同时刻画了深度为一的扩张的赋值论条件。
Generators for extensions of valuation rings
本文研究有限赋值域扩张中赋值环的生成元问题，利用关键多项式序列在初始指数等于分歧指数时构造生成元，并证明纯扩张的 Knaf 猜想。
Definable henselian valuation rings
给出了环语言中$\exists \forall$和$\forall \exists$ -公式的模型论准则，从而统一定义了Hensel值域的初等理论$Σ$的模型$(K, \mathcal{O})$的赋值环$\mathcal{O}$.作为应用之一，我们得到了一个$\exists \forall$ -公式的存在性，该公式一致地定义了剩余类域$k$为有限、伪有限或希尔伯特的赋值Hensel域$(K, \mathcal{O})$的赋值环$\mathcal{O}$.我们还得到了$\forall \exists$ -公式$φ_2$和$φ_4$，使得当$k$是有限的或实曲线或复曲线的函数域时，$φ_2$在$k((t))$中一致地定义了$k[[t]]$，而当$k$是任意数域时，$φ_4$也起作用.
Algebraic valuation ring extensions as limits of complete intersection algebras
本文证明了特征 $p>0$ 的代数立即赋值环扩张是有限型完全交代数的滤过并。
Defects of Algebraic Function Fields, Completion Defects and Defect Quotients
赋值域扩张的{ \it亏格}（也称{ \it分歧亏格}）是正特征赋值论中深层次开放问题的主要障碍.为了进行详细的分析，我们定义并研究了两个较弱的缺陷概念：{ \it完成缺陷}和{ \it缺陷商}。我们定义它们的有限扩张以及某些值的功能领域（那些与“Abhyankar估值”是非平凡的基域）。我们调查这两个缺陷，并提出类似的结果，通常的缺陷。
Valuation theory, generalized IFS attractors and fractals
本文以赋值环和赋值域为例，探讨拓扑IFS吸引子与分形空间概念的推广方式，以覆盖更一般的数学设定。
The defect formula
本文给出了值域的一个简单代数扩张的亏格的一个刻划。这一特征推广了已知的亨塞尔情形的结果，即缺陷是极限增广的相对度的乘积。这里使用的主要工具是与多项式环上的赋值相关联的分次代数。设$\kh$是值域$K$的亨塞尔化.本文证明了对$\khx$上的每个赋值$\muh$，在$\kx$上的限制$μ$下，分次代数的相应映射$\mathcal G_μ\hk\mathcal G_{\muh}$是同构的.
Uniform approximation of Abhyankar valuation ideals in function field of prime characteristic
利用渐近检验理想理论，证明了Ein，Lazarsfeld和Smith（arXiv：math/0202303）关于一致逼近的一个特征$0$结果的素特征模拟，该结果与完满域上以正则簇为中心的实值Abhyankar赋值有关.
The module of Kähler differentials for extensions of valuation rings
本文研究赋值环扩张的Kähler微分模，在简单赋值域扩张且分歧指数为1的条件下，用关键多项式序列刻画该模，并给出其为零的判定条件。
Irreducible integer-valued polynomials with prescribed minimal power that factors non-uniquely
本文研究了不可约但非绝对不可约整数值多项式的非唯一分解最小幂次问题，证明了在具有无限多个有限指数极大理想的主理想整环上，该最小幂次取决于分母的p-adic赋值且无常数上界。
On the uniqueness of maximal immediate extensions of valued differential fields
到目前为止，关于最大立即值微分域扩张的唯一性以及微分代数极大性和微分亨氏性之间的关系，只有少数结果;见arXiv：1509.02588，第7章。我们在这里删除的假设单调性在这些结果，但取代它的假设，价值群是工会的凸子群有限（阿基米德）秩。我们还证明了具有这样一个值群的渐近场的微分-亨塞尔化的存在性和唯一性。
Integer-valued Polynomials, Prüfer Domains and the Sacked Bases Property
为了研究二维Prüfer域是否具有叠基性质，我们考虑了由整数值多项式构成的Prüfer域的特殊情况.秩1赋值域子集上的整数值多项式环的谱的描述使我们能够证明它们都具有堆叠基性质。我们还考虑整数值多项式环的整数字段，我们减少在这种情况下的研究堆叠基地的财产有关$2\times 2$-矩阵的问题。
Minimal Pairs, Truncations and Diskoids
我们建立在抽象的关键多项式和最小的Novacoski对之间的对应关系，并展示了如何将每个对象生成的估值。然后，我们可以对以这种方式构建的估值给出几何解释。要做到这一点，我们采用了一个对象称为diskoid，这是一个推广的经典概念的球在非阿基米德值领域。
Preordered groups and valued fields
研究了群上的预序集和域上的赋值集的代数、组合和拓扑性质。我们表现出强烈的类比这两种集，并开发这些的字典。在这些结果中，我们对$\mathbb Z^n$上的前序集进行了详细的研究。我们还证明了超越度至少为2的可数域上的赋值集是超度量康托尔集。
Universal valued fields and lifting points in local tropical varieties
设$k$是实赋值$ν$的域，$R$是$k$ -代数.证明了存在一个$k$ -代数$K$和$K$上的一个实赋值$μ$对$ν$进行了扩展，使得$R$的任何实环赋值都是由$μ$通过从$R$到$K$的某种同态诱导的; $K$可以被选择为域.然后我们研究了$ν$是平凡环，$R$是具有剩余域$k$的完备局部Noether环的情形.设$K$是Hahn级数的环$\bar{k}[[t^\R]]$，其自然赋值为$μ$，$\bar{k}$是$k$的代数闭包.尽管$K$在上面定义的强意义上不是普适的，但它具有以下弱普适性性质：对于任何局部赋值$v$和$R$的有限元素集$x_1,...,x_n$，存在同态$f\colon R\to K$使得$v(x_i)=μ(f(x_i))$，$i=1,...,n$。如果$R=k[[x_1,...,x_n]]/I$对于一个理想的$I$，这个属性意味着每一个点的局部热带品种的$I$电梯到$R$的$K$ -点。类似地，如果$R=k[x_1,...,x_n]/I$是$k$上的一个广义生成代数，则$I$的热带簇中的提升点可以解释为Hahn级数的场$\bar{k}((t^\R))$的弱普适性.
Notes on extremal and tame valued fields
本文将\cite{[AKP]}中极值域的刻画推广到具有完美剩余域的混合特征值域缺失的情形。这导致了一个完整的特征驯服值领域是极值。证明的关键是一个关于混合特征驯服值域的模型论结果。进一步证明了在有限$p$度的极值域上，所有可加多项式的象都具有最优逼近性质.这一事实可以用来改进有限域上的洛朗级数场的初等理论的\cite{[K1]}中提出的公理系统。最后，我们给出了一些例子来说明当我们试图刻画具有不完美剩余域的极值域时所面临的问题。为此，我们描述了几种方法来构建极值字段，特别是，我们表明，在每一个$\aleph_1$饱和值字段的估值是一个组成的秩1的极值估值。
The algebraic theory of valued fields
本文讨论值域的代数扩张理论。我们的方法主要是通过伽罗瓦论。大多数结果是众所周知的，但有些是新的。不需要事先了解估值理论。
Existential 0-definability of henselian valuation rings
最近，Anscombe和Koenigsmann给出了形式幂级数F[[t]]在其商域上的环的存在0-定义，其中F是有限的.我们在几个方向上推广了他们的方法，给出了具有有限或伪代数闭剩余域的hensel值域的一般可定义性结果。
MacLane-Vaquié chains of valuations on a polynomial ring
设$(K,v)$为赋值域。我们回顾了MacLane和Vaquié关于$v$到多项式环$K[x]$上赋值的扩张的一些结果。引入了剩余超越赋值的MacLane-Vaquié链，证明了$K[x]$上的每个赋值$μ$是有限或可数无限MacLane-Vaquié链的极限.这个链的基础$μ$基本上是唯一的，并包含算术数据产生一个明确的描述的分次代数的$μ$作为一个代数上的分次代数的$v$。
On the irreducibility of multivariate polynomials
设（K，v）是任意秩的Hensel值域.本文利用赋值论给出了K上多元多项式不可约的一个判别准则。
Okutsu frames of irreducible polynomials over henselian fields
对于一个Henselian值域$(K,v)$，我们建立了不可约多项式$F\in K[x]$的算术性质之间的完全平行，由他们的Okutsu框架编码，和他们的诱导赋值$v_F$ $K[x]$上的赋值理论性质，由他们的MacLane-Vaquié链编码。这种并行性只在无缺陷的不可约多项式中才知道。
Automorphisms of valued Hahn groups
本文研究了满足特定提升性质的Hahn群的自同构结构，通过半直积分解定理和矩阵描述揭示了其自同构群的性质。
An extension of Greenberg's theorem to general valuation rings
利用Becker，Denef，Lipshitz和van den Dries的超积方法，将Greenberg强逼近定理推广到具有任意值群的赋值环上的有限表示格式.作为应用，我们证明了值域上簇的真态射的一个闭象定理（在有理点上的强拓扑中）。
On common extensions of valued fields
给定域$K$上的赋值$v$，代数闭包的扩展$\bar{v}$和$K(X)$的扩展$w$。我们想研究$\bar{v}$和$w$到$\bar{K}(X)$的通用扩展。首先，我们给出了最小对概念和关键多项式概念之间的详细联系。然后证明了当$w$是一个超越扩张时，任何一个关键多项式序列都有一个极大元，当这个序列不包含极限关键多项式时，最后一个关键多项式的任何根都是一个公共扩张.
A note on valued fields with finite group actions
本文研究带有限群自同构作用的赋值域，证明其理论存在Ax-Kochen/Ershov式的模型伴侣，该伴侣具NTP₂性质且赋值可在纯域语言中定义。
On the construction of valuations and generating sequences on hypersurface singularities
设（K，$ν$）是值域，f（z）$\in$ K[z]是酉不可约多项式，（L，$ω$）是值域的扩张，其中L = K[z]/（f（z））.进一步设A是具有商域K的局部整环，使得$ν$在A上有非负值，在A的极大理想上有正值，且f（z）在A[z]中.本文讨论了A[z]/（f（z））的伴随分次环grPDMATHABMO A[z]/（f（z））对于$ω$定义的滤子的结构，它是A的伴随分次环对于$ν$定义的滤子的扩张.特别地，我们给出了一个算法，它在许多情况下产生A[z]/（f（z））的有限元素集，这些元素在gr $ω$ A[z]/（f（z））中的象将其生成为gr $ν$ A-代数以及它们之间的关系。我们还计算了我们的计算方法与一些现象的相互作用，这些现象使正特征的分歧和局部单值化的研究变得复杂，例如扩张的非驯服性和缺陷。对于赋值域（K，$ν$）$\subset$（L，$ω$）的可分扩张中秩为1的赋值，我们的算法在A的局部双有理扩张A1中产生一个生成序列，当且仅当A的局部双有理扩张A1被$ν$支配时，生成序列没有缺陷.在这种情况下，gr $ω$ A1[z]/（f（z））是一个双表示的gr $ν$ A1-模。这是一个改进的版本，感谢裁判的评论。
The automorphism group of a valued field of generalised formal power series
设$ k $是一个域，$ G $是一个全序交换群，$ \mathbb K = k((G)) $是广义幂级数的极大域，赋以规范赋值$ v $ .研究了子群$ k(G)\subseteq K\subseteq \mathbb K $的保赋值自同构群$ v \mathrm{-Aut} K $，其中$ k(G) $是群环$ k[G] $的分数域.在$ K $满足两个提升性质的假设下，我们推广和改进了$ v \mathrm{-Aut}\mathbb K $的Hofberger分解，并证明了将$ v\mathrm{-Aut} K $分解为显著子群的4-因子半直积的一个结构定理.然后，我们确定了一大类哈恩字段满足上述两个提升性能。接下来，我们专注于$ K $的强加性自同构群。我们根据$ G $的同态群$ \mathrm{Hom}(G,k^\times) $到$ k^\times $以及$ G $的同态群$ \mathrm{Hom}(G,1+I_K) $到$ K $的赋值环的1-单元群给出了强加性内部自同构群的显式描述。最后，我们专门我们的结果，一些相关的特殊情况。特别地，我们推广了Schilling关于Laurent级数的工作和Deschamps关于Puixix级数的工作.
Quasi-quadratic modules in valuation ring and valued field
本文在交换环中推广二次模定义准二次模，并证明在剩余类域特征不为二的2-亨塞尔赋值域子环中，准二次模与剩余域准二次模乘积的特定子集一一对应，同时显式构造了该对应及其对交与和运算的表达式。
On the ranks and implicit constant fields of valuations induced by pseudo monotone sequences
给定一个值域$(K,v)$和$(K,v)$中的一个伪单调序列$E$，人们有一个导出赋值$v_E$，它将$v$扩展到$K(X)$。在将$v_E$的一个扩张固定为$K(X)$的一个固定代数闭包$\overline{K(X)}$之后，我们证明了扩张$(K(X)|K,v_E)$的隐常数域仅仅是$(K,v)$的Hensel化.我们考虑这个问题：给定$v$到$K(X)$的值超越扩张$w$和$(K,v)$中的伪单调序列$E$，在精确的条件下，$E$诱导$w$？讨论了代数型伪收敛序列和伪发散序列的对偶性质。此外，我们提供了一个完整的描述的各种可能性的排名的估值$v_E$，只要$v$有有限的排名。
Estimates on volumes of homogeneous polynomial spaces
在本文中，我们开发的“本地部分”，我们的本地/全球的方法，全球价值领域（GVF）。“全球的一部分”，这依赖于这些结果，是在随后的paper.We研究虚拟因子上定义的一个值域$K$上的投影品种，以及在$K$多项式环（类似于齐次多项式理想）的子赋值。我们证明了一个Nullstellensatz风格的对偶配备虚拟因子的投影品种（类似于在平原上的投影品种）和某些子估值的多项式环$K$（类似于齐次多项式理想）。我们的主要结果比较了\emph{volume}的虚拟除数的各种$W$，即其$(\dim W + 1)$倍自交，与渐近行为的体积的对偶次赋值，限制到空间的多项式函数的程度$m$，作为$m \rightarrow \infty$。
On certain definable coarsenings of valuation rings and their applications
本文研究了估值环的可定义粗化及其在分枝理想和 Kähler 微分中的应用，探讨了 Galois 扩展与凸子群的关系。
Hyperfields, truncated DVRs and valued fields
对任意两个具有完全剩余域的混合特征的完备离散值域$K_1$和$K_2$，证明了如果$K_1$和$K_2$的$n$值超域在$n\ge1$上同构，则$K_1$和$K_2$同构.更一般地，对于$n_1,n_2\ge 1$，如果$n_2$足够大，则在$p$上的从$K_1$的第$n_1$值超域到$K_2$的第$n_2$值超域的任何同态可以提升为从$K_1$到$K_2$的同态。我们有效地计算这样的$n_2$，它只依赖于分歧指数的$K_1$和$K_2$。此外，如果$K_1$是tamely分歧的，则$p$上第一值超域之间的任何同态都是由值域的唯一同态导出的.利用这一提升结果，我们得到了一个关于值超域的AKE型相对完备性定理。我们还研究了值超域、截断离散赋值环和混合特征的完备离散值域之间的关系。对素数$p$和正整数$e$，以及对足够大的$n$，我们证明了某类值超域等价于长度为$n$且分支指标$e$具有特征为$p$的完美剩余域的截断离散赋值环范畴.进一步，在tamely分歧情形下，我们证明了这个值超域范畴的一个子范畴等价于具有完美剩余域的混合特征$(0,p)$的完全离散值环范畴.
A generalized Dumas irreducibility criterion
将经典杜马斯不可约性结果推广到任意秩的Krull赋值域上的多项式，证明其分解定理及因子次数下界，统一并改进了多个已知不可约性结果。
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