Valuation theoretic and model theoretic aspects of local uniformization
Franz-Viktor Kuhlmann
本文综述了正特征局部单值化的赋值理论方法、正特征值域的模型论及其与缺损赋值理论现象的联系。
This paper gives a survey on a valuation theoretical approach to local uniformization in positive characteristic, the model theory of valued fields in positive characteristic, and their connection with the valuation theoretical phenomenon of defect.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Reduction of local uniformization to the case of rank one valuations for rings with zero divisors
这是同一作者以前一篇论文的延续。在前一篇文章中，为了得到以局部区域为中心的赋值的局部单值化，对秩1赋值证明它就足够了。本文将这一结果推广到以环为中心的赋值情形，环不一定是整环，甚至可能包含幂零元。
Local Uniformization of Abhyankar Valuations
证明了基域k上的代数函数域K的Abhyankar赋值局部单值化。我们的结果推广了Hagen Knaf和Franz-Viktor Kuhlmann的这个结果的证明，并附加了赋值环的剩余域在k上可分的假设。本文的证明使用了不同的方法，受到Zagliki和Abhyankar方法的启发。
On the local uniformization problem
本文对局部单值化问题作了一个简单的介绍。这与第二位作者在ALANT 3的演讲中提出的观点相似。我们还讨论了我们的论文的减少局部单值化的秩一的情况。在这篇文章中，我们证明了，为了获得局部单值化的赋值中心的对象的一个子范畴的诺特整环范畴，这是足够的证明秩一赋值中心的对象相同的范畴。我们还宣布这项工作的扩展，这是ALANT 3期间部分开发的。这个扩展说，上面提到的约化也适用于具有零因子的诺特环（包括非约化环的情况）。
Reduction of Local Uniformization to the rank one case
本文的主要结果是：为了证明局部环的局部单值化定理，只要证明它对秩1赋值就足够了。我们的证明不依赖于我们要证明局部单值化的局部环类的性质。我们还证明了不同版本的局部单值化定理的减少。
Overweight deformations of affine toric varieties and local uniformization
研究了具有代数闭剩余域的优良等特征局部域的Abhyankar赋值问题。对于零维估值，我们证明了，每当环是完整的和半群的价值所采取的估值是numbergenerated（这意味着估值是Abhyankar）的估值可以均匀化嵌入的方式由一个双有理映射，这是关于一个合适的系统的极大理想的发电机是单项的。我们证明，相反，如果一个估值是Abhyankar后，双有理修改和本地化的点挑选的估值一个得到一个环，其半群的值是双生成的。结合这两个结果，利用Abhyankar赋值在复合和完备方面的良好性质，给出了具有代数闭剩余域的优秀等特征局部域的所有Abhyankar赋值的局部单值化.一些关于Abhyankar估值的一般结果是证明方法的副产品。
Defect and Local Uniformization
我们给出了一个简单的算法，证明了如果存在一个无缺陷的有限线性投影，则特征p>0超曲面奇点沿赋值的重数的减少是可能的。该方法开始于Zagliki的算法，以减少沿赋值特征为0的超曲面奇点的多重性。这给出了一个简单的证明，唯一的障碍，局部单值化的积极特点是从缺陷所产生的有限投影的奇异性。
A special form of Zariski's Uniformization Theorem in positive characteristic
本文简要阐述正特征下赋值环作为光滑代数滤过并的扩张，涉及Zariski均匀化定理的特殊形式。
Essential finite generation of extensions of valuation rings
本文在完全一般性下证明了 Knaf 猜想，即用相关赋值扩张的经典不变量来刻画赋值环局部扩张何时本原有限型，推进了赋值局部一致化问题。
Valuations, Deformations, and Toric Geometry
研究具有给定赋值的Noether局部整环与其相应的关于赋值的分次环之间的关系，在某些情况下，分次环是本质环面簇，可能具有无限嵌入维数，但具有有限的克鲁尔维数。后的估值扩展到一个合适的完成（其存在性是不成立的文件）的关系变得更加精确，并建议一种可能的方式来建立局部单值化的一个优秀的等特征局部域的代数封闭的剩余域，通过变形的部分环面嵌入决议的基本环面谱相关的分次环。
Completions of valuation rings
设k是特征为零的域，K是k上的代数函数域，V是K的k-赋值环.局部单值化定理证明了存在代数正则局部环R_i，R_i的商域K被V控制，且R_i的直并为V。给出了T是赋值环的充要条件。然后，我们专注于估值为1的情况。
Every place admits local uniformization in a finite extension of the function field
证明了代数函数域F的每一个位置P|任意特征的K在F的有限扩张E中允许局部单值化。我们表明，E|在基域K的有限纯不可分扩张之后，F可以被选择为伽罗瓦。代替伽罗瓦，也可以选择扩张使得诱导扩张EP|剩余域的FP是完全不可分的，并且F的值组仅被剩余特征除。如果F位于一个Abhyankar场所的完备化中，则不需要F的扩张。我们的证明完全基于估值理论定理，这些定理在正特征中特别重要。当R是正则的且维数小于3时，它们也适用于K的子环R，并得到类似的结果。
On Kaplansky's Embedding Theorem
本文证明完备等特征诺特局部整环可保赋值嵌入Hahn级数环，方法基于环面局部均匀化与半赋值逼近。
The defect
介绍了估值理论中的“缺陷”现象，也称“衍生缺陷”。我们描述了它在正特征性的深开问题中所起的作用：局部单值化（奇点的奇点的分解的局部形式），值域的模型论，值函数域的结构论。我们给出了几个具有非平凡亏损的代数扩张的例子。我们指出为什么Artin-Schreier缺陷扩展起着核心作用，并描述了一种方法来分类它们。此外，我们给出了一个概述的各种结果的缺陷，有助于驯服或避免它，特别是“稳定性”定理和定理的“亨氏理性”，并显示它们是如何应用。最后，我们列出了一个开放的问题。
Extending valuations of local domains to complete local domains without changing the value group
研究在不改变值群的情况下，将局部域的赋值扩展到完备局部域的问题，通过给出泰西耶猜想的证明，为正特征下局部一致化的两种方法提供重要步骤。
On the topology of valuation-theoretic representations of integrally closed domains
设$F$为字段。对于$F$的赋值环的Zmartki-Riemann空间的每个非空子集$X$，设${A}(X) = \bigcap_{V \in X}V$和${J}(X) = \bigcap_{V \in X}{\mathfrak M}_V$，其中${\mathfrak M}_V$表示$V$的极大理想.我们研究$X$的拓扑特征和环${A}(X)$的代数结构之间的连接。证明了如果${J}(X) \ne 0$和$A(X)$是一个完全整闭的局部环，但不是$F$的赋值环，则$F$的赋值环空间的子空间$Y$在补片拓扑中是完美的，使得${A}(X) = {A}(Y)$ .如果从$Y$中移除任何可计数的点子集，则所得到的集合仍然是$A(X)$的表示。另外，如果$F$是可数域，则集合$Y$可以选择与康托集合同胚。我们应用这些结果来研究环${A}(X)$的性质，并特别关注保证${A}(X)$是Prüfer域的拓扑条件，这一特征反映在Zerki-Riemann空间中，当被视为局部环空间时。我们还对环${A}(X)$进行了分类，其中$X$具有100个补丁极限点，从而给出了一类Krull域的拓扑推广，其中还包括有趣的Prüfer域。为了说明后者，我们展示了如何交叉的估值环自然产生的研究中的局部二次变换的一个定期的本地环可以使用这些技术来描述。
On the construction of valuations and generating sequences on hypersurface singularities
设（K，$ν$）是值域，f（z）$\in$ K[z]是酉不可约多项式，（L，$ω$）是值域的扩张，其中L = K[z]/（f（z））.进一步设A是具有商域K的局部整环，使得$ν$在A上有非负值，在A的极大理想上有正值，且f（z）在A[z]中.本文讨论了A[z]/（f（z））的伴随分次环grPDMATHABMO A[z]/（f（z））对于$ω$定义的滤子的结构，它是A的伴随分次环对于$ν$定义的滤子的扩张.特别地，我们给出了一个算法，它在许多情况下产生A[z]/（f（z））的有限元素集，这些元素在gr $ω$ A[z]/（f（z））中的象将其生成为gr $ν$ A-代数以及它们之间的关系。我们还计算了我们的计算方法与一些现象的相互作用，这些现象使正特征的分歧和局部单值化的研究变得复杂，例如扩张的非驯服性和缺陷。对于赋值域（K，$ν$）$\subset$（L，$ω$）的可分扩张中秩为1的赋值，我们的算法在A的局部双有理扩张A1中产生一个生成序列，当且仅当A的局部双有理扩张A1被$ν$支配时，生成序列没有缺陷.在这种情况下，gr $ω$ A1[z]/（f（z））是一个双表示的gr $ν$ A1-模。这是一个改进的版本，感谢裁判的评论。
The role of defect and splitting in finite generation of extensions of associated graded rings along a valuation
设$R$是一个具有商域$K$的2维优良局部域，$K^*$是$K$的有限可分扩张，$S$是一个具有商域$K^*$的2维局部域，使得$S$优于$R$ .假设$ν^*$是$K^*$的赋值，使得$ν^*$优于$S$。令$ν$是$ν^*$对$K$的限制。相关的分次环${\rm gr}_ν(R)$由Bernard Teissier引入。它在局部均匀化中起着重要的作用。本文证明了值域的扩张$(K,ν)\rightarrow (K^*,ν^*)$是无亏的当且仅当存在正则局部环$R_1$和$S_1$使得$R_1$是$R$的爆破的局部环，$S_1$是$S$的爆破的局部环，$ν^*$支配$S_1$，$S_1$支配$R_1$，并且相应的分次环${\rm gr}_{ν^*}(S_1)$是一个可生成的${\rm gr}_ν(R_1)$ -代数.我们还研究了$ν$赋值的分裂在$K^*$中的作用，并讨论了伴随分次环沿赋值的扩张的有限生成。如果$ν^*$是$ν$对支配$S$的$K^*$的唯一扩展，则我们可以说$ν$在$S$中不分裂。证明了若$R$和$S$是正则局部环，$ν^*$具有有理秩1且不离散，${\rm gr}_{ν^*}(S)$是一个正则生成的${\rm gr}_ν(R)$ -代数，则$ν$在$S$中不分裂.我们给出的例子表明，这样一个强有力的声明是不正确的，当$ν$不满足这些假设。我们证明了：如果$ν$具…
A valuation theoretic characterization of recursively saturated real closed fields
给出了实封闭的域递归饱和的赋值理论刻画。我们的结果扩展了Harnik和Ressayre \cite{hr}对可分有序阿贝尔群递归饱和的刻画.
(Non)Vanishing results on local cohomology of valuation rings
我们在赋值环的背景下研究了局部上同调。这项调查的新颖性源于这样一个事实，即赋值环通常是非诺特的，而局部上同调已被广泛发展，主要是在诺特设置。证明了有限克鲁尔维数的赋值环的局部上同调的各种消失结果。这些消失的结果源于这样的环的整体尺寸上的一致的约束。我们的调查揭示了不同的层理论定义的局部上同调，和代数定义的限制某些Ext函子。
Ideal theory of infinite directed unions of local quadratic transforms
设$R$是维数至少为2的正则局部环.与每一个双有理控制$R$的赋值域相关联，沿着该赋值域存在$R$的局部二次变换的唯一序列$\{R_n\}$。我们考虑的情况下，序列$\{ R_n \}_{n \ge 0}$是无限的，并检查理想的理论性质的整体封闭的局部区域$S = \bigcup_{n \ge 0} R_n$。在$R$的赋值覆盖环集合中，$R_n$的序赋值环序列存在唯一的极限点$V$.证明了$S$的极小真Noether覆盖环$T$的存在性，并建立了$S = T \cap V$的分解$S = T \cap V$ .如果$S$是阿基米德的，则$S$的完全积分闭包$S^{*}$具有$S^{*} = W \cap T$的形式，其中$W$是$V$的秩$1$赋值覆盖环。
Asymptotic properties of infinite directed unions of local quadratic transforms
考虑正则局部环的连续局部二次变换的无穷序列{R_n}。设S表示正则局部环序列R_n的有向并.我们以前证明了序列的阶赋值环族的唯一极限点V的存在性。在本文中，我们研究了这个家庭的顺序估值的渐近性质。我们联系这一渐近行为的环理论性质的S，即是否S是阿基米德和S是否是完全整闭。我们构造这样的S的例子，是阿基米德和完全整闭，但不是赋值域。我们给出了一个明确的描述V，其中的描述取决于S是否是阿基米德或非阿基米德。
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