Long rainbow arithmetic progressions
定义$T_k$为最小$t\in \mathbb{N}$，对于该最小$t\in \mathbb{N}$，在所有$n\in \mathbb{N}$的$[tn]$的每个等个数$t$ -着色中存在长度为$k$的彩虹算术级数。Jungić、Licht（Fox）、Mahdian、Nesetril和Radoicić证明了$\lfloor{\frac{k^2}{4}\rfloor}\le T_k$。通过证明$T_k \le k^2e^{(\ln\ln k)^2(1+o(1))}$，我们几乎关闭了上界和下界之间的差距。康伦、福克斯和苏达科夫分别发表了一份比$T_k=O(k^2\log k)$更有力的声明。
2020-09-21 math.CO
Rainbow matchings for 3-uniform hypergraphs
Kühn，Osthus，Treglown和独立，汗证明，如果$H$是一个$3$ -均匀超图与$n$顶点，使$n\in 3\mathbb{Z}$和大，和$δ_1(H)>{n-1\choose 2}-{2n/3\choose 2}$，那么$H$包含完美匹配。本文证明了对充分大的$n\in 3\mathbb{Z}$，如果$F_1, \ldots, F_{n/3}$是具有公共顶点集的3-一致超图，而$δ_1(F_i)>{n-1\choose 2}-{2n/3\choose 2}$是$i\in [n/3]$的3-一致超图，则$\{F_1,\dots, F_{n/3}\}$允许彩虹匹配，即，由来自每个$F_i$的一个边缘组成的匹配。这是通过将彩虹匹配问题转换为一类特殊的均匀超图中的完美匹配问题来实现的。
2020-04-27 math.CO
Bounding the k-rainbow total domination number
最近，$k$ -彩虹全控制的概念被引入到图$G$中，其动机是希望将计算广义棱柱$G \Box K_k$的全控制数的问题简化为$G$上的整数标号问题。在本文中，我们进一步证明了标记方法的有用性，根据全控制数，彩虹控制数和彩虹全控制数以及通常的控制数给出了彩虹全控制数的界限，其中后者给出了Goddard和Henning（2018）结果的推广。我们建立了彩虹支配和彩虹全支配的Vizing样结果。通过对彩虹全控制的一个Vizing猜想的陈述，对Vizing猜想在二部图的情形下提出了一个不同的观点.
2020-03-20 math.CO
The rainbow connection number of the power graph of a finite group
研究了有限群$G$的幂图$Γ_G$的彩虹连通数.当$G$有最大对合或幂零时，我们确定了$Γ_G$的彩虹连接数;当$G$没有最大对合时，我们证明了$Γ_G$的彩虹连接数至多为3.给出了某些非幂零群的幂图的彩虹连通数。
2015-07-31 math.CO
Determining the Locating Rainbow Connection Number of Vertex-Transitive Graphs
本研究围绕顶点传递图的定位彩虹连通数展开，明确该参数的定义内涵，推导出三个针对部分顶点传递图的相关定理，为该类图的彩虹连通性定位问题提供了理论结果。
2024-03-09 math.CO
Rainbow connection number and independence number of a graph
设$G$是边着色连通图.如果$G$的每条边都被不同的颜色着色，则该路径称为彩虹。如果$G$的每两个顶点之间存在彩虹路径，则称$G$是彩虹连通的。使$G$彩虹连接所需的最小颜色数称为$G$的彩虹连接数，用$rc(G)$表示。本文研究了图的彩虹连通数与图的独立数之间的关系。证明了如果$G$是连通图，则$rc(G)\leq 2α(G)-1$ .给出了两个例子$G$，表明上界$2α(G)-1$等于$G$的直径，因此是最好的可能，因为直径是$rc(G)$的下界。
2013-04-03 math.CO
Rainbow Turán Methods for Trees
彩虹图兰数是传统图兰数的自然扩张，由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte在2007年提出。图$H$的彩虹Turán数，$ex^{*}(n,H)$，是$n$顶点图$G$的最大边数，它可以被适当地边着色而没有彩虹$H$子图.我们探索减少方法找到彩虹图兰数的上界，并使用此通知结果的彩虹图兰数的双星，毛毛虫，和完美的二叉树。此外，我们还定义了$k$ -唯一着色和相关的$k$ -唯一图兰数.我们提供了这个新的变种上的经典问题的初步结果。
2022-03-25 math.CO
On the threshold for rainbow connection number r in random graphs
我们称图G的边着色为彩虹着色，如果每对顶点都由彩虹路连接，即，没有两条边具有相同颜色的路径。图G的边的彩虹着色所需的最少颜色数称为图G的彩虹连通数rc（G）。研究了Erdens-Rényi随机图中具有rc（G）<= r性质的锐阈值，其中r是一个固定整数.已知当r=2时，随机图的彩虹连接数2和直径2基本上同时发生.当r >= 3时，我们推测情况并非如此，提出了另一种阈值，并证明了这是彩虹连接数r的阈值的一个上界。
2013-07-29 math.CO
Rainbow Saturation
我们引入了彩虹饱和度的概念和相应的彩虹饱和数。这是彩虹图兰数的饱和版本，其系统研究由Keevash，Mubayi，Sudakov和Verstraëte发起。我们给出的例子的图的彩虹饱和数是有界远离普通的饱和数。这包括$n\geq 4$的所有完全图$K_n$和几个二部图。值得注意的是，存在非二部图，这是这种情况，因为当涉及到彩虹极值数与传统极值数时，这不会发生。我们还表明，饱和数是线性的一大类图，提供了一个部分彩虹类似的一个著名的定理Kásonyi和Tuza。最后，我们提出了相关的开放性问题和建议。
2022-03-28 math.CO
The (strong) rainbow connection numbers of Cayley graphs of Abelian groups
边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以具有相同的颜色，如果路径的两条边都不是相同的颜色，则称为彩虹路径。$G$的彩虹联系数$rc(G)$是存在$G$的$i$边染色使得$G$的每两个不同顶点通过彩虹路连接的最小整数$i$。$G$的强彩虹联系数$src(G)$是存在$i$边染色使得$G$的每两个不同顶点通过彩虹路连接的最小整数$i$。$G$的着色，使得$G$的每两个不同顶点$u$和$v$通过长度为$d(u,v)$的彩虹路径连接。本文给出了阿贝尔群的（强）彩虹连通Cayley图的上界和下界.此外，我们确定了一些特殊情况下的（强）彩虹联系数。
2010-12-03 math.CO
Upper bounds for the rainbow connection numbers of line graphs
边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以着色相同，如果它的两条边都不着色相同，则称为彩虹路径。一个非平凡连通图$G$是彩虹连通的，如果对于$G$的任意两个顶点，有一条彩虹路将它们连接起来.用$rc(G)$表示的$G$的彩虹连接数被定义为存在着色使得$G$是彩虹连接的颜色的最小数目。本文主要研究了含三角形的线图的彩虹连通数，得到了$rc(L(G))$的两个明显的上界，它们是由$G$的边不相交三角形的个数决定的，其中$L(G)$是$G$的线图.我们也给出了迭代线图的一些结果。
2010-01-02 math.CO
On the Rainbow Turán number of paths
设$F$是一个固定图. $F$的彩虹图兰数定义为在$n$顶点上具有正确边着色且没有$F$的彩虹副本的图中的最大边数（其中$F$的彩虹副本意味着$F$的所有边都具有不同颜色的副本）。对这些问题的系统研究由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte发起。本文证明了具有$k+1$边的路径的彩虹Turán数小于$\left(\frac{9k}{7}+2\right) n$，改进了Johnston，Palmer和Sarkar的一个较早的估计.
2018-05-10 math.CO
The rainbow saturation number is linear
该研究证明任意非空图的彩虹饱和数关于顶点数n是线性的，证实了Girão等人的一个猜想，同时给出完全图彩虹饱和数的改进上界，证否了该团队的另一猜想。
2024-04-16 math.CO
Rainbow vertex connection of digraphs
如果边具有不同的颜色，则边着色路径为\emph{rainbow}。一个边色连通图如果任意两个顶点由彩虹路连接则称为PDMATHAMN，如果任意两个顶点由彩虹测地线连接则称为\emph{strongly rainbow connected}。连通图的（\emph{strong}）\emph{rainbow connection number}是使图（强）彩虹连通所需的最小颜色数。这两个图参数是由Chartrand，Johns，McKeon和Zhang在2008年引入的。作为扩展，Krivelevich和Yuster提出了\emph{rainbow vertex-connection}的概念。图中的彩虹连通问题引起了人们的广泛关注，各种相似参数被引入，主要是针对无向图的。Dorbec，Schiermeyer，Sidorowicz和Spena将彩虹连接的概念扩展到有向图。本文研究了有向图的（强）彩虹点连通数。给出了图的双定向、圈有向图、循环有向图和竞赛图的（强）彩虹点连通数。
2017-07-16 math.CO
On various (strong) rainbow connection numbers of graphs
如果所有边都有不同的颜色，则边着色路径为\emph{rainbow}。对于连通图$G$，\emph{rainbow connection number} $rc(G)$是$G$的边着色中的最小颜色数，使得任意两个顶点通过彩虹路径连接。类似地，\emph{strong rainbow connection number} $src(G)$是$G$的边着色中的最小颜色数，使得任意两个顶点通过彩虹测地线连接（即，最短长度的路径）。图的连通性的这两个概念是由Chartrand等人引入的。2008年随后，引入了两个参数的顶点着色版本$rvc(G)$和$srvc(G)$，以及彩虹连接数的全着色版本$trc(G)$。本文引入了强全彩虹联系数$strc(G)$，它是强彩虹联系数的全染色形式.在我们的结果中，我们将确定一些特殊图的强全彩虹连通数。我们还将比较这六个参数，考虑它们之间的距离有多近和多远。特别地，我们将构造所有正整数对$a$和$b$，使得存在具有$trc(G)=a$和$strc(G)=b$的图$G$，并且对于函数$rvc$和$srvc$也是类似的。
2017-04-20 math.CO
Generalized rainbow Turán numbers of odd cycles
给定图$F$和$H$，广义彩虹图兰数$\text{ex}(n,F,\text{rainbow-}H)$是在一个具有适当边染色且不包含$H$彩虹拷贝的$n$ -顶点图中$F$的最大拷贝数. B. Janzer确定了所有$s\geq 4$和$t\geq 3$的$\text{ex}(n,C_s,\text{rainbow-}C_t)$的数量级，以及O. Janzer暗示$\text{ex}(n,C_3,\text{rainbow-}C_{2k})=O(n^{1+1/k})$。我们证明了相应的上限为其余的情况下，表明$\text{ex}(n,C_3,\text{rainbow-}C_{2k+1})=O(n^{1+1/k})$。这与$k$偶数的已知下限相匹配，并且被证明对于$k$奇数是紧的。
2021-09-21 math.CO
Rainbow connection number of dense graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。在本文中，我们表明，$rc(G)\leq 3$，如果$|E(G)|\geq {{n-2}\choose 2}+2$，和$rc(G)\leq 4$，如果$|E(G)|\geq {{n-3}\choose 2}+3$。这些界限很清晰。
2011-10-26 math.CO
The Rainbow Connection Number of The Commuting Graph of a Finite Nonabelian Group
本文研究有限非交换群交换图的彩虹连通数，给出其确定方法，并揭示该数与极大交换子群数或特殊对合数之间的关系。
2024-10-27 math.CO
Total rainbow connection of digraphs
如果一条边有明显的颜色，那么它就是彩虹。对于连通图$G$，彩虹连接数（分别为$G$的强彩虹连接数）是对$G$的边缘着色所需的最小颜色数，使得$G$的任何两个顶点通过彩虹路径（分别为彩虹测地线）。这两个图参数是由Chartrand，Johns，McKeon和Zhang在2008年引入的。Krivelevich和Yuster将这个概念推广到顶点颜色设置。同样，刘，梅斯特和苏萨介绍了版本，其中涉及总着色。Dorbec，Schiermeyer，Sidorowicz和Spena将彩虹连接的概念扩展到有向图。本文研究了有向图的（强）全彩虹联络数。给出了图、竞赛图和仙人掌图的双定向的（强）全彩虹联系数。
2017-11-03 math.CO
Bipartite Rainbow Numbers of Matchings
给定两个图$G$和$H$，令$f(G,H)$表示最大数目$c$，对于该最大数目，有一种方法用$c$颜色对$G$的边着色，使得$G$的每个子图$H$至少有两个相同颜色的边。等价地，具有至少$rb(G,H)=f(G,H)+1$颜色的$G$的任何边着色包含$H$的彩虹副本，其中边着色图的彩虹子图使得其没有两个边具有相同的颜色。数$rb(G,H)$称为{$H$关于$G$的\it彩虹数}，如果$G$是完全二部图$K_{m,n}$，则简称为{ \it二部彩虹数}。埃尔德什、西蒙诺维奇和索斯证明了$rb(K_n,K_3)=n$。2004年，Schiermeyer确定了所有$n\geq k\geq 4$的彩虹数$rb(K_n,K_k)$，以及所有$k\geq 2$和$n\geq 3k+3$的彩虹数$rb(K_n,kK_2)$。在本文中，我们将确定彩虹数$rb(K_{m,n},kK_2)$的所有$k\geq 1$。
2006-10-30 math.CO
Erdős-Gallai-type results for the rainbow disconnection number of graphs
设$G$是一个非平凡的连通边有色图。如果$G$的边切割$R$没有两个边被着色为相同的颜色，则将其称为彩虹切割。一个边有色图$G$称为彩虹不连通图，如果对于$G$的每两个不同的顶点$u$和$v$，存在一个将它们分开的$u-v$彩虹割.对于连通图$G$，$G$的彩虹不连通数，记为$rd(G)$，定义为使$G$彩虹不连通所需的最小颜色数。本文研究了$rd(G)$的Erdens-Gallai型结果，并完全解决了它们.
2019-01-08 math.CO
Strong rainbow connection numbers of toroidal meshes
在2011年，Li等人\cite{LLL}得到了$r$维无向环面网格的强彩虹连接数的上界。本文改进了这一界。因此，我们对他们的问题给予否定的回答。
2017-03-01 math.CO
Proper rainbow connection number of graphs
边着色图中的一条路称为\emph{rainbow path}，如果它的边接收成对不同的颜色。一个边着色图称为\emph{rainbow connected}，如果图的任意两个不同的顶点通过彩虹路相连.存在这样的边着色的最小$k$是$G.$的彩虹连接数$rc(G)$最近，Bau等人\cite{BJJKM2018}引入了这个概念，并附加了边着色必须适当的要求.一个正常边着色图称为\emph{properly rainbow connected}，如果图的任意两个不同的顶点通过彩虹路连接. $G$的\emph{proper rainbow connection number}，记为$prc(G)$，是使它正常彩虹连接所需的最少颜色数.本文首先证明了一个改进的上界$prc(G) \leq n$，它适用于每一个$n \geq 3.$阶连通图$G$。其次，我们证明了差$prc(G) - rc(G)$可以任意大。最后，我们给出了满足$prc(G) = χ'(G).$的图类的几个充分条件
2019-11-04 math.CO
Rainbow cycles vs. rainbow paths
边着色图$F$是{ \it rainbow}，如果$F$的每条边都有唯一的颜色.图$F$的{ \it彩虹图兰数} $\mathrm{ex}^*(n,F)$是在没有$F$的彩虹副本的正确边着色的$n$ -顶点图中的最大可能边数。彩虹图兰数的研究是由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte介绍的。Johnson和Rombach引入了以下彩虹版本的广义图兰问题：对于固定图$H$和$F$，令$\mathrm{ex}^*(n,H,F)$表示在没有彩虹副本$F$的$n$ -顶点正确边着色图中$H$的最大彩虹副本数。本文研究了$\mathrm{ex}^*(n,C_\ell,P_\ell)$的情形，给出了$\ell = 3,4,5$的一般上界和精确结果.在此过程中，我们建立了一个新的最佳上界$\mathrm{ex}^*(n,P_5)$。我们的主要动机来自于试图提高$\mathrm{ex}^*(n,P_\ell)$的界限，这一直是最近几个手稿的主题。
2020-08-31 math.CO
Nordhaus-Gaddum-type theorem for the rainbow vertex-connection number of a graph
一个顶点有色图$G$是彩虹点连通的，如果任意一对不同的顶点通过一条内部顶点具有不同颜色的路相连。$G$的彩虹顶点连接数，用$rvc(G)$表示，是使$G$彩虹顶点连接所需的最小颜色数。本文给出了彩虹点连通数的一个Nordhaus-Gaddum型结果。证明了当$G$和$\bar{G}$都连通时，则$2\leq rvc(G)+rvc(\bar{G})\leq n-1$ .给出的例子表明，上界和下界是最好的可能所有$n\geq 5$。
2011-03-17 math.CO
The rainbow connection number of 2-connected graphs
图G的彩虹连通数是指图G的边着色中使每两个顶点之间有两次不含颜色的路的最少颜色数。改进Caro等人的结果，证明了任意n阶2-连通图的彩虹连通数至多是n/2的天花板.边界是最优的。
2011-10-26 math.CO
On strong rainbow connection number
在边着色图中，如果没有两条边着色相同，则相邻边着色相同的路径是彩虹路径。对于$G$的任意两个顶点$u$和$v$，$G$中的彩虹$u-v$测地线是长度为$d(u,v)$的彩虹$u-v$路径，其中$d(u,v)$是$u$和$v$之间的距离。图$G$是强彩虹连通的，如果对$G$中的任意两个顶点$u$和$v$存在彩虹测地线$u-v$. $G$的强彩虹连接数，记为$src(G)$，是为了使$G$强彩虹连接所需的最小颜色数。本文首先研究了具有大强彩虹连通数的图。Chartrand等人得到了$G$是树的充要条件是$src(G)=m$，我们将证明$src(G)\neq m-1$，所以$G$不是树的充要条件是$src(G)\leq m-2$，其中$m$是$G$的边数。此外，我们还用$src(G)=m-2$刻画了图$G$。然后根据图$G$中边不相交三角形的个数给出了$src(G)$的一个精确上界，并给出了等式成立的一个充分必要条件.
2010-10-29 math.CO
The Boolean Rainbow Ramsey Number of Antichains, Boolean Posets, and Chains
受Axenovich和Walzer [2]的启发，我们研究了布尔格上的Ramsey型问题.给定偏序集$P$和$Q$，我们寻找最小的布尔格$\mathcal{B}_N$，使得$\mathcal{B}_N$的元素上的任何着色必须包含单色$P$或彩虹$Q$。本文称这个数$N$为$P$和$Q$的布尔彩虹Ramsey数。特别地，我们确定了$P$和$Q$作为反链、布尔偏序集或链的布尔彩虹Ramsey数的精确值.利用这些结果，我们还给出了一般$P$和$Q$的布尔彩虹Ramsey数的偏序集参数的一般下界.
2019-09-25 math.CO
A solution to a conjecture on the rainbow connection number
对于图$rc(G)$，Chartrand等人在“G. Charand，G.L.约翰，K.A. Mckeon，P. Zhang，图中的彩虹连接，Mathematica Bohemica，133（1）（2008）85-98”。他们提出了如下猜想：对两个给定的正$a$和$b$，存在连通图$G$使得$rc(G)=a$和$src(G)=b$当且仅当$a=b\in\{1,2\}$或$ 3\leq a\leq b$“.在这篇短文中，我们将证明这个猜想是正确的。
2010-12-14 math.CO
Nordhaus-Gaddum-type theorem for rainbow connection number of graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接. $G$的彩虹连接数，表示为$rc(G)$，是用于使$G$彩虹连接的最小颜色数。本文给出了彩虹联系数的一个Nordhaus-Gaddum型结果。我们证明了如果$G$和$\bar{G}$都是连通的，那么$4\leq rc(G)+rc(\bar{G})\leq n+2$ .通过实例证明了该上界对所有$n\geq 4$都是尖锐的，下界对所有$n\geq 8$都是尖锐的.对于其余的小型$n=4,5,6,7,$，我们也给出了精确的界限。
2010-12-14 math.CO
Sharp upper bound for the rainbow connection numbers of 2-connected graphs
一个边有色图$G$，其中邻边可以着色相同，如果$G$的任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路径连接，则该图是彩虹连通的。连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。本文对任意阶为$n$的2-连通图$G$，给出了$rc(G)\leq\lceil\frac{n}{2}\rceil$的一个精确的上界，它改进了Caro等人的结果.
2011-05-26 math.CO
Complete Solution for the Rainbow Numbers of Matchings
对于给定的图$H$和$n\geq 1$，令$f(n,H)$表示最大数目$c$，对于该最大数目，有一种方法用$c$颜色对完全图$K_n$的边进行着色，使得$K_n$的每个子图$H$具有至少两个相同颜色的边。等价地，具有至少$rb(n,H)=f(n,H)+1$颜色的$K_n$的任何边着色包含$H$的彩虹副本，其中边着色图的彩虹子图使得其没有两个边具有相同的颜色。数字$rb(n,H)$被称为{ \it彩虹数的$H$ }。埃尔德什、西蒙诺维奇和索斯证明了$rb(n,K_3)=n$。在2004年，Schiermeyer使用一些计数技术，确定了$k\geq 2$和$n\geq 3k+3$的彩虹数$rb(n,kK_2)$。很容易看出，$n$必须至少是$2k$。因此，对于$2k \leq n<3k+3$，彩虹数仍然没有确定。本文利用匹配的Gallai-Edmonds结构定理，对所有的$k\geq 2$和$n\geq 2k$，确定彩虹数$rb(n,kK_2)$的精确值，给出匹配彩虹数的完整解.
2006-11-16 math.CO
Rainbow Turán number of clique subdivisions
证明了对任意整数$t\geq 2$，$n$顶点上的每一个正确边着色的图都含有$K_t$的彩虹细分，且该图的边数大于$n^{1+o(1)}$.请注意，边缘数量上的这个界限一直到$o(1)$误差项都是尖锐的。这是一个彩虹类似的一些经典结果团细分和推广的一些结果彩虹图兰数。我们的方法依赖于Sudakov和Tomon[2020]引入的框架，我们调整该框架以在彩色设置中找到鲁棒的扩展器。
2023-01-08 math.CO
The rainbow Turán number of $P_5$
边着色图$F$是彩虹图，如果$F$的每条边都有唯一的颜色.图$F$的彩虹图兰数$ex^*(n,F)$是在没有$F$的彩虹副本的情况下，正确边着色的$n$ -顶点图中的最大可能边数。彩虹图兰数的研究由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte在2007年提出。在本文中，我们专注于$ex^*(n,P_5)$。虽然最近的几篇论文研究了$\ell$ -边路径$P_{\ell}$的彩虹图兰数，但只有$\ell < 5$得到了精确的结果，而$P_5$是彩虹图兰理论中最小的开放情况之一。本文证明了$ex^*(n,P_5) \leq \frac{5n}{2}$ .结合Johnston和Rombach的一个下界构造，这个结果表明当$n$可被$16$整除时，$ex^*(n,P_5) = \frac{5n}{2} $，从而渐近地解决了所有$n$的问题。另外，这一结果加强了$ex^*(n,P_{\ell}) = \frac{\ell}{2}n + O(1)$对所有$\ell \geq 3$的猜想。
2022-10-07 math.CO
On the Number of Rainbow Spanning Trees in Edge-Colored Complete Graphs
一个正确边着色的完全图$K_n$的生成树是彩虹树，只要它的每条边都有不同的颜色。在1996年，Brualdi和Hollingsworth提出，如果$K_{2m}$是正确的$(2m-1)$ -边着色，那么$K_{2m}$的边可以被划分成$m$彩虹生成树，除了当$m=2$。本文通过一种显式的构造性方法，对$m$的任意正值，构造了$\lfloor \sqrt{6m+9}/3 \rfloor$的边不相交彩虹生成树.不仅产生了彩虹树，而且每个彩虹生成树的一些结构也在这个过程中被确定。这改进了文献中迄今为止最好的建设性结果，该结果恰好产生了三棵彩虹树。
2018-05-08 math.CO
Anti-Ramsey number of edge-disjoint rainbow spanning trees
边有色图$G$称为彩虹图，如果$G$的每条边都有不同的颜色. $t$边不相交彩虹生成树的反Ramsey数，记为$r(n,t)$，定义为不含$t$边不相交彩虹生成树的$K_n$的边着色中的最大颜色数. Jahanbekam和West [J.图论，2014]阐明，对于任何固定的$t$，无论何时$n\geq 2t+2 \geq 6$，$r(n,t)=\binom{n-2}{2}+t$。本文证明了这一猜想。我们还确定$r(n,t)$时，$n = 2t+1$。与以前的结果一起，这给出了所有$n$和$t$值的$t$边不相交彩虹生成树的反拉姆齐数。
2019-11-16 math.CO
Characterize graphs with rainbow connection number $m-2$ and $m-3$
在边着色图中，如果没有两条边着色相同，则相邻边着色相同的路径是彩虹路径。一个非平凡连通图$G$是彩虹连通的，如果有一条彩虹路连接任意两个顶点，并且$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。Chartrand等人得到了$G$是树当且仅当$rc(G)=m$，并且很容易看出$G$不是树当且仅当$rc(G)\leq m-2$，其中$m$是$G$的边数。因此，有一个有趣的问题：用$rc(G)=m-2$刻画图$G$。在本文中，我们解决这个问题。此外，我们还用$rc(G)=m-3$刻画了图$G$.
2013-12-11 math.CO
The hitting time of rainbow connection number two
在给定边着色的图$G$中，彩虹路径是所有边都具有不同颜色的路径。给$G$的边着色以使每对顶点至少由一条彩虹路径连接所需的最小颜色数称为图$G$的彩虹连接数$rc(G)$。对于任何图形$G$，$rc(G) \ge diam(G)$。我们将证明，对于Erdens-Rényi随机图$G(n,p)$接近直径2阈值，如果$diam(G)=2$，则$rc(G)=2$的概率很高。事实上，进一步加强这一结果，我们将表明，在随机图过程中，以高概率的首中时的直径2和彩虹连接数2一致。
2012-09-13 math.CO
Rainbow connection numbers of complementary graphs
在边着色图中，如果没有两条边着色相同，则相邻边着色相同的路径是彩虹路径。一个非平凡连通图$G$是彩虹连通的，如果有一条彩虹路连接任意两个顶点，并且$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。本文根据图$G$的补图$\bar{G}$的一些约束条件，给出了一种研究图$G$的彩虹连通数的新方法.首先证明了对于连通图$G$，如果$\bar{G}$不属于以下两种情况：$(i)$ ~ $diam(\bar{G})=2,3$，$(ii)~\bar{G}$恰好包含两个连通分支且其中一个连通分支是平凡的，则有$rc(G)\leq 4$，其中$diam(G)$是$G$的直径.给出的例子表明，这个界限是最好的可能。接下来，我们推导出对于连通图$G$，如果$\bar{G}$是无三角形的，则$rc(G)\leq 6$。
2010-12-23 math.CO
Tight Nordhaus-Gaddum-type upper bound for total-rainbow connection number of graphs
一个图称为\emph{total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。一个全着色图称为\emph{total-rainbow connected}，如果图的任意两个顶点由一条路连接，该路的边和内部顶点具有不同的颜色。对于连通图$G$，$G$的\emph{total-rainbow connection number}，记为$trc(G)$，是使$G$全彩虹连通的$G$全着色所需的最小颜色数。本文首先刻画了具有大全彩虹连通数的图。在此基础上，得到了全彩虹联系数的Nordhaus-Gaddum型上界.证明了如果$G$和$\overline{G}$是$n$顶点上的连通补图，则$trc(G)+trc(\overline{G})\leq 2n$当$n\geq 6$时，$trc(G)+trc(\overline{G})\leq 2n+1$当$n=5$时.给出的例子表明，上界是尖锐的$n\geq 5$。这完全解决了[Y]中的猜想。Ma，Total rainbow connection number and complementary graph，Results in Mathematics 70（1-2）（2016），173-182。
2017-03-30 math.CO
Rainbow domination in the lexicographic product of graphs
设k是正整数，f是V（G）到{1，2，3，.，k}。函数f称为G的k-彩虹控制函数，只要u是G的顶点使得f（u）是空集，则对{1，2，3，.，k}存在u的近邻x使得f（x）包含r。G的k-彩虹控制数是G的k-彩虹控制函数所指定的子集的基数的最小和（在G的所有顶点上）。G的k-彩虹控制数是G与k阶完全图的笛卡儿积的普通控制数。本文主要研究了图的字典积的2-彩虹控制数，并证明了这个数的精确下界和上界。实际上，我们证明了G与H的字典积的2-彩虹控制数的精确值，除了当H的2-彩虹控制数为3且存在H的最小2-彩虹控制函数使得H中的某个顶点被赋予标号{1，2}的情况。
2013-03-13 math.CO
Rainbow numbers for graphs with cyclomatic number at most two
对于给定的图H和n？1个; f（n; H）表示可以用m种颜色着色完全图Kn的边的最大数目m，使得Kn中的每个子图H至少有两个相同颜色的边。等价地，Kn的任何边着色至少有rb（n;H）= f（n;H）+1种颜色，包含H的彩虹拷贝：数f（n;H）和rb（Kn;H）分别称为反拉姆齐数和彩虹数。本文利用图H的圈数对图H的彩虹数进行分类。设H是一个p ≥ 4，圈数v（H）≥ 2的图：则rb（Kn;H）不能被一个在n中线性的函数从上界：如果H的圈数v（H）= 1，则rb（Kn;H）在n中线性：我们将计算bull B的所有彩虹数; bull B是唯一的5顶点度序列图（1; 1; 2; 3; 3）：此外，我们还计算了菱形D = K_4 - e、K_2;3和房子H（P_5的补）的彩虹数。
2012-10-25 math.CO
Upper Bounding Rainbow Connection Number by Forest Number
一个边着色图中的一条路是彩虹的，如果它的两条边都不是相同着色的;如果它的每对顶点之间都有一条彩虹路，那么这个图是彩虹连通的。彩虹连接图$G$所需的最小颜色数是$G$的彩虹连接数，用$\text{rc}(G)$表示。彩虹连接图$G$的一个简单方法是用不同的颜色来着色生成树的边，然后重用这些颜色中的任何一种来着色$G$的其余边。这证明了$\text{rc}(G) \le |V(G)|-1$.我们要问的是，在树状结构和彩虹着色之间，是否存在比上述琐碎论证所暗示的更强的联系。例如，是否有可能找到$\text{rc}(G)$的$t(G) -1$的上界，其中$t(G)$是$G$的最大导出树中的顶点数？答案是否定的，因为有反例表明，对于任何给定的常数$c$，即使$c\cdot t(G)$也不是$\text{rc}(G))$的上限。在这项工作中，我们表明，如果我们考虑森林数$f(G)$，$G$的最大诱导森林中的顶点数，而不是$t(G)$，那么令人惊讶的是，我们确实得到了一个上界。更具体地说，我们证明了$\text{rc}(G) \leq f(G) + 2$。我们的结果表明，彩虹连接和树状结构之间的联系比简单的基于生成树的上限所建议的更强。
2020-06-11 math.CO
Oriented diameter and rainbow connection number of a graph
无桥图$G$的定向直径是$\min\{diam(H)\ | H\ is\ an orientation\ of\ G\}$。边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以具有相同的颜色，如果路径的两条边都不是相同的颜色，则称为彩虹。$G$的彩虹联系数$rc(G)$是指$G$存在$k$ -边染色使得$G$的每两个不同的顶点通过彩虹路相连的最小整数$k$.本文利用$rad(G)$和$η(G)$得到了图的定向直径和彩虹联系数的上界.其中，$rad(G)$是$G$的半径，$η(G)$是使得$G$的每条边都包含在长度至多为$η(G)$的循环中的最小整数。我们还得到了（二部）图$G$的定向直径和彩虹连接数的常数界，它们是由$G$的最小度决定的.
2011-12-05 math.CO
Bounds for the rainbow disconnection number of graphs
边着色连通图的边割$R$称为彩虹割，如果边割中没有两条边着色相同.一个边着色图是彩虹不连通的，如果对于图的任意两个不同的顶点$u$和$v$，存在一个分隔它们的$u$ - $v$ -彩虹割.对于连通图$G$，$G$的彩虹不连通数，记为rd $(G)$，定义为使$G$彩虹不连通所需的最小颜色数。本文首先给出了rd $(G)$的几个紧上界，并对满足Nordhaus-Gaddum型结果上界的图进行了完全刻画.其次，我们提出了一个猜想：$λ^+(G)\leq \textnormal{rd}(G)\leq λ^+(G)+1$，其中$λ^+(G)$是上边连通度，并证明了这一猜想在许多图类中的适用性，最后，我们给出了图$G$的rd $(G)$与$G$的线图$L(G)$的彩虹点不连通数rvd $(L(G))$之间的关系.
2020-03-30 math.CO
Rainbow number of matchings in regular bipartite graphs
给定一个图$G$和$G$的一个子图$H$，设$rb(G,H)$是使$G$的任意边染色都有彩虹子图$H$的最小数$r$。数$rb(G,H)$称为$H$相对于$G$的彩虹数。将$mK_2$表示为$m$和$B_{n,k}$的大小匹配，$k$ -正则二部图，具有二划分$(X,Y)$，使得$|X|=|Y|=n$和$k\leq n$。本文给出了$rb(B_{n,k},mK_2)$的上、下界，并证明了对于给定的$k$和$m$，如果$n$足够大，则$rb(B_{n,k},mK_2)$可以达到下界.我们还确定了路径和循环中匹配的彩虹数。
2007-11-19 math.CO
On the rainbow planar Turán number of paths
一个边有色图称为包含彩虹- $F$，如果它包含$F$作为子图，并且$F$的每条边都是不同的颜色。不含彩虹- $F$的$n$ -顶点适当边有色图的最大边问题，称为彩虹图兰问题，是由Keevash，Mubayi，Sudakov和Verstraëte提出的.我们研究这个问题的一个变化的额外限制，图是平面的，我们表示相应的极值数由$\ex_{\p}^*(n,F)$。特别地，我们确定$\ex_{\p}^*(n,P_5)$，其中$P_5$表示$5$ -顶点路径。
2023-01-25 math.CO
Rainbow vertex-connection number of 2-connected graphs
连通图$G$的{ \em rainbow vertex-connection number}，$rvc(G)$，是对图的顶点进行着色所需的最小颜色数，使得每对顶点至少由一条内部顶点具有不同颜色的路径连接。本文首先确定了$n\geq 3$阶圈$C_n$的彩虹点连通数，然后在此基础上证明了对任意2-连通图$G$，$rvc(G)\leq rvc(C_n)$，给出了彩虹点连通数的一个紧上界.因此，我们证明了，对于一个连通图$G$与块分解$B_1, B_2, ..., B_k$和$t$割点，$rvc(G)\leq rvc(B_1)+rvc(B_2)+ ... +rvc(B_k)+t$。
2011-10-26 math.CO
Rainbow connection in $3$-connected graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。本文证明了$rc(G)\leq 3(n+1)/5$对所有$3$ -连通图都成立.
2010-10-29 math.CO
The rainbow vertex-disconnection in graphs
设$G$是一个顶点着色的非平凡连通图.如果$G$的顶点集的子集$X$中的任意两个顶点具有不同的颜色，则称$X$为彩虹。图$G$称为\emph{rainbow vertex-disconnected}，如果对于$G$的任意两个顶点$x$和$y$，存在$G$的顶点子集$S$，使得当$x$和$y$不相邻时，$S$是彩虹图，且$x$和$y$属于$G-S$的不同分支;而当$x$和$y$相邻时，$S+x$或$S+y$是彩虹，$x$和$y$属于$(G-xy)-S$的不同组分。对于连通图$G$，$G$的\emph{rainbow vertex-disconnection number}，记为$rvd(G)$，是使$G$彩虹顶点不连通所需的最小颜色数。本文对$k\in\{1,2,n\}$用彩虹点不连通数$k$刻画了所有$n$阶图，并确定了一些特殊图的彩虹点不连通数.此外，我们还研究了具有$n$和$rvd(G)=k$阶的连通图$G$的边数极值问题，其中$k$和$n$具有$1\leq k\leq n$。
2020-03-30 math.CO
Generalized rainbow Turán problems
Alon和Shikhelman首先系统地研究了以下广义Turán问题：对于固定图$H$和$F$以及一个整数$n$，在一个$n$-顶点$F$-free图中，$H$的最大拷贝数是多少？一个边有色图称为彩虹图，如果它的所有边都有不同的颜色. $F$的彩虹图兰数定义为在没有$F$的彩虹拷贝的情况下，$n$顶点上的正确边着色图中的最大边数.彩虹图兰问题的研究由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte发起。受上述问题的启发，我们研究了以下问题：在没有$F$彩虹拷贝的情况下，$n$顶点上的适当边着色图中，$F$的最大拷贝数是多少？我们建立了几个结果，包括当$F$是一个路径，循环或树。
2019-11-15 math.CO
Hardness result for the total rainbow $k$-connection of graphs
全着色图中的一条路称为\emph{total rainbow}，如果它的边和内部顶点具有不同的颜色.对于$\ell$连通图$G$和具有$1\leq k \leq\ell$的整数$k$，$G$的\emph{total rainbow $k$-connection number}，记作$trc_k(G)$，是在$G$的全着色中使$G$成为\emph{total rainbow $k$-connected}所用的最少颜色数，即$G$的任意两个顶点由$k$内部顶点不相交的全彩虹路连接.本文研究了图的全彩虹$k$ -联系数的计算复杂性。证明了判定是否为$trc_k(G)=3$是NP完全的。
2015-11-19 math.CO
On a question on graphs with rainbow connection number 2
对于连通图$G$，图$G$的\emph{rainbow connection number $rc(G)$}由Chartrand等人引入。彩虹连接的硬度和算法，J. Combin。Optim。21（2011），330- 347”，Chakraborty等人证明了对于直径为2的图$G$，要确定$rc(G)$是NP-完全的，他们在最后留下了4个开放问题，其中最后一个是下面的：假设我们给了一个图$G$，我们被告知，$rc(G)=2$ .我们能用$o(n)$颜色在多项式时间内给它涂上彩虹色吗？本文给出了一个更强的结果，证明了对任何具有$rc(G)=2$的图$G$，我们可以在多项式时间内用至多5种颜色对$G$进行彩虹着色.
2011-09-26 math.CO
Proper rainbow saturation for trees
本文系统研究树的恰当彩虹饱和数，针对若干无限族树给出了精确与渐近结果，并揭示了其与经典饱和数及半饱和数的联系。
2024-10-12 math.CO
