Normal elements in finite fields
Trevor Hyde
本文给出了有限域扩张中正规元个数公式的一个简单推导。我们的证明是基于这样一个事实，即单位的伽罗瓦群环的域扩张作用于正常元素的简单传递。
We give a simple derivation of the formula for the number of normal elements in an extension of finite fields. Our proof is based on the fact that units in the Galois group ring of a field extension act simply transitively on normal elements.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A new criterion on k-normal elements over finite fields
Huczynska等人[3]将有限域扩张的正规元概念推广为k-正规元。对于一个固定的有限域扩张，k-正规元的数目已经被计算和估计[3]，并且已经提出了几种构造k-正规元的方法[1，3]。文献[1，2]给出了k-正规元的几个判别准则。本文利用幂等元给出了k-正规元的一个新的判别法，并给出了一些例子。在文献[6]中，对一般正规单元已给出了这样的判据.
On $k$-normal elements over finite fields
所谓的$k$ -正规元出现在文献中作为正规元在有限域上的推广。近年来，关于$k$ -正规元的构造和$k$ -正规元是否为本原元的问题引起了许多作者的关注.本文给出了$k$ -正规元的另一种构造，特别地，我们得到了本原的$k$ -正规元存在的一个筛不等式.作为一个应用，我们证明了在许多域扩张中，对于相当大比例的$k$，存在原始的$k$ -正规元.特别地，当$k$位于区间$[1, n/4]$中，$n$具有特殊性质，且$q, n\ge 420$具有特殊性质时，证明了在$\mathbb F_q$上的$\mathbb F_{q^n}$中存在本原$k$ -范数.
Normal and primitive normal elements with prescribed traces in intermediate extensions of finite fields
本文研究有限域中间扩张中具有给定迹的范数及原始范数元素，完整刻画了范数情形下的存在条件并给出显式计数，对原始范数情形提供了渐近结果。
A note on depth-$b$ normal elements
在本文中，我们研究元素$β\in \mathbb{F}_{q^n}$具有正常的$α$ -深度$b$，也就是说，元素，其中$β, β- α, \ldots, β-(b-1)α$同时正常元素的$\mathbb{F}_{q^n}$在$\mathbb{F}_{q}$。在[1]中，作者给出了正规$1$ -深度的定义，但错误地给出了某些固定正规元素$α\in \mathbb{F}_{q^n}$的正规PDMATHAMN-深度的结果。我们解释了这种差异，推广了[1]中给出的正常$(1-)$深度的定义，并回答了[1]中提出的一些开放性问题。
Completely normal elements in finite abelian extensions
本文给出了有理数域上分圆域的极大实子域中的一个完全正规元，它不同于Okada的完全正规元.这个结果是[正规基of束类域over虚二次域，Math.Zeit.]中提出的正规元准则的结果。此外，我们还利用模判别函数的商，在模函数域的某些扩张中找到了一个完全正规元。
Existence and Cardinality of $k$-Normal Elements in Finite Fields
有限域上的正规基是一个具有广泛理论和实际意义的课题。最近，$k$ -正规元素被引入作为正规元素的自然扩张。有限域的固定扩张中$k$ -正规元的存在性和个数问题是一个很有前途的研究方向。在本文中，我们首先制定了一个一般的下限的$k$ -正规元素的数目，假设它们存在。利用多项式$x^m-1$到分圆多项式的一般因式分解，我们进一步得到了$k$正规元的一个新的存在条件。最后，我们给出了$\fqm$中具有非极大但高乘法阶的正规元在有限域的单位群中存在的条件。
About $r$- primitive and $k$-normal elements in finite fields
在2013年，Huczynska、Mullen、Panario和Thomson引入了$k$ -正规元素的概念：如果$\mathbb{F}_{q^n}[x]$中多项式$g_α(x)= αx^{n-1}+α^qx^{n-2}+\ldots +α^{q^{n-2}}x+α^{q^{n-1}}$和$x^n-1$的最大公约数具有次数$k$，则元素$α\in \mathbb{F}_{q^n}$是$k$ -正规于$\mathbb{F}_q$，推广了正规元素的概念（通常意义上的正规是$0$ -正规）。本文讨论了$\mathbb{F}_{q}$上的$\mathbb{F}_{q^n}$中$r$ -本原元、$k$ -正规元的存在性，其中元素$α\in \mathbb{F}_{q^n}^*$是$r$ -本原元，如果它的乘法阶是$\frac{q^n-1}{r}$ .我们提供了许多关于这类元素的存在性的一般性结果，并在特征$11$的有限域上给出了一个数值例子。
Existence results on k-normal elements over finite fields
如果$α$及其共轭物$α, α^q, \cdots α^{q^{n-1}}$形成$\mathbb {F}_q$上的$\mathbb {F}_{q^n}$的基础，则元素$α\in \mathbb {F}_{q^n}$在$\mathbb {F}_q$上是正规的。最近，Huczynska，Mullen，Panario和Thomson（2013）引入了$k$ -正规元的概念，推广了正规元。在过去的几年中，许多关于具有特定性质的$k$ -正规元的存在性和个数的问题被提出。在本文中，我们讨论了其中的一些问题，特别是，我们提供了许多一般性的结果存在的$k$ -正规元素的附加属性，如原始或具有大的乘法阶。讨论了有限域上$k$ -正规元的存在性和构造，给出了$k$ -正规元与$\mathbb {F}_q$上$x^n-1$的因式分解之间的联系.
A note on primitive $1-$normal elements over finite fields
设$q$是素数$p$的素数幂，$n$是正整数，$\mathbb F_{q^n}$是含有$q^n$元素的有限域.有限域上的$k-$正规元由Huczynska等人（2013）引入并表征。在$n$不能被$p$整除的条件下，得到了$q>2$的$\mathbb F_{q^n}$在$\mathbb F_q$上的本原$1-$正规元的存在性结果.本文将他们的结果推广到排除的情形$q=2$。
Existence of primitive $1$-normal elements in finite fields
如果$\mathcal{B} = \{α, α^q, \ldots, α^{q^{n-1}}\}$作为$\mathbb F_{q}$上的向量空间形成$\mathbb F_{q^n}$的基，则元素$α\in \mathbb F_{q^n}$是\emph{normal};在这种情况下，$\mathcal{B}$是$\mathbb F_{q}$上的$\mathbb F_{q^n}$的正规基。Huczynska等人（2013年）引入了$k$ -正常元素的概念。使用与前面相同的符号，如果$\mathcal{B}$跨越$\mathbb F_{q^n}$的余维$k$子空间，则$α$是$k$ -正态的。可以证明，$1$ -正规元素总是存在于$\mathbb F_{q^n}$中，并且Huczynska等人（2013）表明，当$\gcd(n,q) = 1$时，对于$q \geq 3$和足够大的$n$，同时是本原和$1$ -正规的元素存在（我们注意到，当$n=2$时，本原$1$ -正规不存在）。在本文中，我们完成了这个定理，并证明了对于所有素数幂$q$和所有整数$n \geq 3$，存在$\mathbb F_{q}$上的$\mathbb F_{q^n}$的本原$1$ -正规元，从而解决了Huczynska等人（2013）的问题6.3。
The average density of K-normal elements over finite fields
设$q$是一个素数幂，对于每个正整数$n\ge 1$，设$\mathbb F_{q^n}$是具有$q^n$元素的有限域.受有限域上的正规元素的众所周知的概念的启发，Huczynska等人（2013）引入了$k$ -正规元素的概念。更准确地说，对于给定的$0\le k\le n$，如果由集合$\{α, α^q, \ldots, α^{q^{n-1}}\}$中的元素生成的$\mathbb F_q$ -向量空间具有维度$n-k$，则元素$α\in \mathbb F_{q^n}$在$\mathbb F_q$上是$k$ -正规的。$k=0$实例恢复了正常元素。如果$q$和$k$是固定的，则可以考虑在$\mathbb F_q$上是$k$ -正态的元素$α\in \mathbb F_{q^n}$的数量$λ_{q, n, k}$和在$\mathbb F_{q^n}$中这样的元素的密度$λ_{q, k}(n)=\frac{λ_{q, n, k}}{q^n}$。本文证明了算术函数$λ_{q, k}(n)$在极限$$\lim\limits_{t\to +\infty}\frac{1}{t}\sum_{1\le n\le t}λ_{q, k}(n),$$存在且为正的意义下具有正均值。
Existence of primitive $2$-normal elements in finite fields
如果$\mathcal{B}=\{α, α^q, α^{q^2}, \cdots, α^{q^{n-1}}\}$作为$\mathbb{F}_q$上的向量空间形成$\mathbb{F}_{q^n}$的基，则元素$α\in \mathbb{F}_{q^n}$在$\mathbb{F}_q$上正规。众所周知，当且仅当$g_α(x)=αx^{n-1}+α^q x^{n-2}+ \cdots + α^{q^{n-2}}x+α^{q^{n-1}}$和$x^n-1$相对于$\mathbb{F}_{q^n}$互质，即它们在$\mathbb{F}_{q^n}[x]$中的最大公约数的次数是$0$时，$α\in \mathbb{F}_{q^n}$相对于$\mathbb{F}_q$是正态的。利用这个等价性，Huczynska等人（$2013$）引入了$k$ -正规元素的概念：如果$\mathbb{F}_{q^n}[x]$中多项式$g_α[x]$和$x^n-1$的最大公约数具有次数$k$，则元素$α\in \mathbb{F}_{q^n}$在$\mathbb{F}_q$上是$k$ -正规的;因此通常意义上正规的元素是$0$ -正规的。Huczynska等人提出了关于在$\mathbb{F}_q$上的$\mathbb{F}_{q^n}$中存在本原$k$ -正规元的$(n,k)$对的问题，并得到了$k=1$情形的…
The existence of primitive normal elements of quadratic forms over finite fields
对于$q=3^r$（$r>0$），用$\mathbb{F}_q$表示$q$阶的有限域，对于正整数$m\geq2$，设$\mathbb{F}_{q^m}$是它的次数$m$的扩张域.本文建立了本原正规元$α$存在的一个充分条件，使得$f(α)$是本原元，其中$f(x)= ax^2+bx+c$，除了至多9个例外对$(q,m)$之外，$a,b,c\in \mathbb{F}_{q^m}$满足$\Fm$中的$b^2\neq ac$.
A valuation criterion for normal bases in elementary abelian extensions
设$p$是素数，$K$是$p$ -进数域$\mathbb{Q}_p$的有限扩张.设$N$是$K$的完全分歧初等阿贝尔扩张.在对扩展$N/K$的温和假设下，我们证明了$N$的每个元素与$N/K$的最大较低分支数的估值全等模$[N:K]$生成$N$在$K$上的正规基。
On the existence of pairs of primitive and normal elements over finite fields
设$\mathbb{F}_{q^n}$是具有$q^n$元素的有限域，$m_1$和$m_2$是正整数.给定多项式$f_1(x), f_2(x) \in \mathbb{F}_q[x]$与$\textrm{deg}(f_i(x)) \leq m_i$，对于$i = 1, 2$，并使有理函数$f_1(x)/f_2(x)$属于我们定义的某个集合，我们提出了一个充分条件，存在一个原始元素$α\in \mathbb{F}_{q^n}$，正常的$\mathbb{F}_q$，使$f_1(α)/f_2(α)$也是原始的。
Effective existence of primitive k-normal elements via affine spaces
本文研究了有限域上临界值$k=n/2$处本原$k$-正规元素的存在性，给出了此前未被研究的一般结果，并通过完整刻画$\mathbb{F}_{q^6}$中本原$3$-正规元素的存在性展示了该结果的强度。
Pairs of $r$-primitive and $k$-normal elements in finite fields
设$\mathbb{F}_{q^n}$是具有$q^n$元的有限域，$r$是$q^n-1$的正因子.如果元素$α\in \mathbb{F}_{q^n}^*$的乘法阶是$(q^n-1)/r$，则称其为$r$ -本原。此外，如果$\mathbb{F}_{q^n}[x]$中多项式$g_α(x) = αx^{n-1}+ α^q x^{n-2} + \ldots + α^{q^{n-2}}x + α^{q^{n-1}}$和$x^n-1$的最大公约数具有次数$k$，则$α\in \mathbb{F}_{q^n}$对$\mathbb{F}_q$是$k$ -正规的。这些概念分别推广了本原元素和正规元素的概念。本文考虑非负整数$m_1,m_2,k_1,k_2$，正整数$r_1,r_2$和有理函数$F(x)=F_1(x)/F_2(x) \in \mathbb{F}_{q^n}(x)$，其中$°(F_i) \leq m_i$对$i\in\{ 1,2\}$满足一定条件，给出了$\mathbb{F}_q$上$r_1$ -本原$k_1$ -正规元$α\in \mathbb{F}_{q^n}$存在的充分条件，使得$F(α)$是$\mathbb{F}_q$上的$r_2$ -本原$k_2$ -正规元.最后作为一个例子，我们研究的情况下，$r_1=2$，$r_2=3$，$k_1=2$，$k_2=1$，$m_1=2$和…
Existence of normal elements with prescribed norms
本文结合组合与数论方法，探讨了在中间扩张上范数被预先指定的正规元素的存在性，并完全解决了仅考虑单一中间扩张情形下的该问题。
Translates of completely normal elements and the Morgan-Mullen conjecture
本文构造了完全正规元素的新集合，并在一定条件下证明了同时为素元和完全正规元素的存在性，解决了Morgan-Mullen猜想中一些未解决的案例。
The Strong Primitive Normal Basis Theorem
有限域F=GF（q）上的n次扩张E的元素w称为F上的自由元素，如果{w，w^q，.，w^{q^{n-1}是E/F的（正规）基。原始正规基定理，首先由Lenstra和Schoof（1987）完整地建立，断言对于任何这样的扩张E/F，在E中存在元素w，使得w同时是原始的（即，生成E）的乘法群，并在F上自由。本文证明了这个定理的如下加强：除了五个特殊的扩张E/F之外，在E中存在一个元素w，使得w和w^{-1}同时是F上的本原自由元。
On the existence of primitive completely normal bases of finite fields
设$\mathbb{F}_q$是特征$p$的具有$q$元的有限域，$\mathbb{F}_{q^n}$是它的次数扩张$n$ .我们证明了存在一个本原元的$\mathbb{F}_{q^n}$，产生一个完全正常的基础$\mathbb{F}_{q^n}$在$\mathbb{F}_q$，如果$n=p^{\ell}m$与$(m,p)=1$和$q>m$。
Effective normal basis theorem
本文改进了正规基定理，通过获得大小受控的元素，并估计了数域整数的理想中的闵科夫斯基极小值。
Variations of the Primitive Normal Basis Theorem
著名的本原正规基定理指出，对于任何$n\ge 2$和任何有限域$\mathbb F_q$，存在一个元素$α\in \mathbb F_{q^n}$，它在$\mathbb F_q$上同时是本原的和正规的。在本文中，我们证明了这个结果的一些变化，完成了Anderson和Mullen（2014）提出的猜想的证明。我们的结果还暗示了$\mathbb F_{q^n}$中存在具有乘阶$(q^n-1)/2$和$\mathbb F_q$上的预定迹的元素.
The Normal Distribution as a Limit of Generalized Sato-Tate Measures
在适当的极限阶数下，当p、m和n都趋于无穷大时，在具有p^m个元素的场上，一条n次“随机”平面曲线的H^1上的弗罗贝纽斯的归一化迹的分布趋于高斯分布。对于p^m元域上亏格g的“随机”曲线也是如此。
Inverses of $r$-primitive $k$-normal elements over finite fields
设$r$、$n$是正整数，$k$是非负整数，$q$是任意素数幂，使得$r\mid q^n-1.$有限域$\mathbb{F}_{q^n}$的元素$α$称为{ \it $r$ -本原}元素，如果它的乘法阶是$(q^n-1)/r$，并且它称为$\mathbb{F}_q$上的{ \it $k$ -正规}元素，如果多项式$m_α(x)=\sum_{i=1}^{n} α^{q^{i-1}}x^{n-i}$和$x^n-1$的最大公约数为$k.$次本文定义了$k$正规元集的特征函数，并以此建立了$\mathbb{F}_{q^n}$中元素$α$存在的充分条件，使得$α$和$α^{-1}$两者同时是$\mathbb{F}_q$上$r$ -原始和$k$ -正常。此外，对于$n>6k$，我们证明了总是存在一个$r$ -本原和$k$ -正规元素$α$，使得$α^{-1}$在$\mathbb{F}_q$上的所有域$\mathbb{F}_{q^n}$中也是$r$ -本原和$k$ -正规的，其中$q$和$n$使得$r\mid q^n-1$，并且在$\mathbb{F}_q$上存在一个$k$ -次数多项式$g(x)\mid x^n-1$。特别地，我们讨论了在$\mathbb{F}_{q^n}$中存在元素$α$使得$α$和$α^{-1}$同时是$\mathbb{F}_q$上的$1$ -本原和$1$ -正规的.
Normal elements of completed group algebras over ${\rm SL}_3(\mathbb{Z}_p) $
设$p$是素数，$\mathbb{Z}_p$是$p$ -adic整数环.用纯计算的方法证明了特殊线性群${\rm SL}_3(\mathbb{Z}_p)$上完备群代数的每个非零正规元都是单位元。这对\cite{WeiBian2}中的一个未解决的问题给出了肯定的回答，同时弥补了\cite{WeiBian1}中的一个错误。
On the kernel of the reciprocity map of simple normal crossing varieties over finite fields
本文研究有限域上某些简单正规交叉簇的倒易映射的核，并给出一个简单正规交叉曲面的例子，其倒易映射对任何有限标量扩张都不是内射的.
Non-existence of non-trivial normal elements in the Iwasawa Algebra of Chevalley groups
对素数$p>2$，设$G$是$\mathbb{Z}_p$上的半单单连通分裂Chevalley群，$G(1)$是$G$的第一同余核，$Ω_{G(1)}$是有限域$\mathbb{F}_p$上的模- $p$岩泽代数. Ardakov，Wei，Zhang证明了如果$p$是一个“好素数“（$p \geq 5$和$p \nmid n+1$，如果$G(1)$的李代数是$A_n$型），那么$Ω_{G(1)}$中的每个非零正规元素都是一个单位。此外，他们在他们的论文中推测，他们的好的素数条件是多余的。本文的主要目的是利用本文第二作者所发展的岩泽代数的显式表示，从而消除好素条件，对Ardakov，Wei和Zhang的结果给出一个全新的证明，从而证明他们的猜想.
A New Criterion on Normal Bases of Finite Field Extensions
给出了有限域扩张$\mathbb{F}_{q^n} / \mathbb{F}_{q}$正规基的一个新的判别准则，并由此得到了几种特殊有限域扩张的显式判别准则.
Normal and Irreducible Adic Spaces, the Openness of Finite Morphisms and a Stein Factorization
我们把刚性解析空间的几个基本几何性质转移到adic空间的世界中，更确切地说，转移到非阿基米德域上局部（弱）有限型的adic空间范畴中。这包括正规性，不可约性（特别是不可约分量）和斯坦分解定理。最值得注意的是，我们表明，有限态射的进空间是开放的基础和目标空间的温和的假设。
Quantum jumps of normal polytopes
我们在R^d中所有正规多面体的集合上引入了一个偏序。这个偏序集NPol（d）是R^d中凸紧集的连续统的自然离散对应物，通过包含排序，并表现出非常丰富的组合结构。我们推导出NPol（d）中初等关系的各种算术界，称为“量子跳跃”。NPol（d）中极值对象的存在性是数论风味的挑战，导致有趣的正规多面体类：极小，极大，球形。NPol（5）中的极小元在20世纪90年代对正规多面体的各种覆盖定理的反证中起到了关键作用。在这里，我们报告的第一个例子的极大元在NPol（4）和NPol（5），发现的结合发展的理论，随机生成，和广泛的计算机搜索。
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