Analytical Expression for Fracture Profile in Viscoelastic Crack Propagation
The University of Osaka（大阪大学）；ZEN University（ZEN大学）；The University of Tokyo（东京大学）
本文推导了粘弹性裂纹传播中裂纹轮廓的解析表达式，并基于连续力学基础建立了de Gennes的粘弹性喇叭模型。
2025-12-31 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft
Instability in dynamic fracture and the failure of the classical theory of cracks
裂纹是材料破坏的主要载体，在脆性材料中倾向于加速到高速度。在三维空间中，裂纹一般在其音速极限速度的40%左右发生微分支不稳定性。最近的实验表明，在足够薄的系统中，裂纹前所未有地加速到接近其极限速度而没有微分支，直到它们经历振荡不稳定性。尽管动态断裂不稳定性具有根本的重要性，并且与凝聚态物理和材料科学中的其他不稳定性有明显的相似之处，但人们对它们的了解仍然很少。经典的裂纹理论并没有描述它们，经典的裂纹理论假设在受压材料内部线性弹性是有效的，并使用一个无关的局部对称性准则来预测裂纹路径。在这里，我们开发了一个二维动态脆性断裂模型，能够预测任意路径的超高速裂纹的弹性非线性的存在下，没有额外的标准。我们表明，通过大量的计算，裂纹进行动态振荡不稳定性控制的小尺度弹性非线性裂纹尖端附近。这种不稳定性发生在超高临界速度之上，并且具有与断裂能与弹性模量的比率成比例地增加的固有波长，与实验定量一致。这个比例出现作为一个基本的缩放长度假设发挥不了作用，在经典理论的裂纹，但在这里强烈影响裂纹动力学。这些结果为解决材料失效中其他长期存在的难题铺平了道路。
2017-07-12 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft
Crosslinking degree variations enable programming and controlling soft fracture via sideways cracking
本研究通过实验和相场模拟发现，增加交联度可增强软材料侧向开裂倾向，并利用低/高交联复合结构实现断裂的程序化控制，提升断裂韧性。
2024-07-15 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft
A possible link between brittle and ductile failure by viewing fracture as a topological defect
一个连续模型的断裂，描述，在原则上，传播和相互作用的任意分布的裂纹和空隙不断发展的拓扑结构，没有断裂准则。它涉及到裂纹尖端的“运动定律”，主要是作为与热力学相结合的运动学结果。基本运动学赋予裂纹尖端拓扑电荷。这使得协会的运动学守恒定律的电荷，导致在一个基本的演化方程的裂纹尖端场，并反过来裂纹场。矢量裂纹场以物理上合理的各向异性方式降低弹性模量。该守恒定律的数学结构允许在裂纹场的演化中添加标量场的“自由”梯度。我们将这种自然出现的标量场与韧性破坏建模中出现的孔隙度相关联。因此，孔隙率梯度影响裂纹场的演化，然后自然地降低弹性模量，并且正是通过这种基本机制，孔隙率增长中的空间梯度影响材料的应变-能量密度和应力承载能力，并且作为与基本运动学相关的尺寸结果，在模型中引入长度尺度。本工作的关键假设是，脆性断裂是能量驱动的，而韧性断裂是应力驱动的，在总的剪切载荷下，平均应力为零或压缩，剪切应变能仍然可以驱动剪切断裂韧性材料。
2020-04-18 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft
Desiccation and Relaxation Regimes in Fracture of Drying Clay Films
本文研究了不同厚度锂皂石薄膜的裂纹形态。观察到两种开裂方式。早期具有较高的干燥和收缩率的裂纹网络中主要有四重顶点，而后者的制度有较少的体积收缩，并形成主要的三重顶点。在粗粒化条件下，模式表现出自相似性。裂纹覆盖面积与最小裂纹宽度的关系图与薄膜厚度成比例。因此，可以使表示不同厚度的裂纹面积的曲线塌陷到单个曲线上。
2005-04-07 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft
Breaking better: How imperfections increase fracture resistance in architected lattices
本研究通过引入孤立缺失支柱形式的可控局部缺陷，结合力学测试与DIC技术，发现其虽不改变裂纹起始位置或峰值载荷，但能通过曲折裂纹路径或裂纹桥接提高脆性晶格试样的失效功，揭示了缺陷增强抗断裂性的机制。
2025-08-22 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft
Self-similarity and scaling of thermal shock fractures
用二维边界元法数值求解了半空间表面热冲击载荷下裂纹斑图形成问题。数值模拟结果与100-200随机同时增长和相互作用的裂纹被用来获得裂纹长度和间距的比例关系。数值结果表明，这种具有准静态裂纹扩展的斑图形成过程是不稳定的，在某一点上，过剩的能量导致最长裂纹之一的不稳定扩展。从数值结果中也确定了不稳定性的发生。
2011-07-12 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft
Mode I fracture of a biopolymer gel: rate-dependent dissipation and large deformations disentangled
我们设计了一个新的实验装置，能够在小尺度下研究软材料的断裂。在高裂纹速度，能量主要是通过粘弹性过程耗散，我们观察到一个越来越大的高应变域在裂纹尖端附近。利用我们的能力，以确定线弹性断裂的地方，我们得到一个简单的预测的能量释放率与裂纹速度的演变。
2015-01-06 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft
On the complementary roles of anisotropic crack density and anisotropic crack driving force in phase-field modeling of mixed-mode fracture
School of Mechanical Engineering, Changwon National University（昌原国立大学机械工程学院）；Department of Smart Shipbuilding Systems, Mokpo National University（木浦国立大学智能造船系统系）
本文研究了各向异性裂纹密度函数和各向异性应变能在此建模中的互补作用，通过实验和参数研究验证了其对裂纹路径和断裂韧性的影响，揭示了两者协同作用的非线性效应。
2026-04-18 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft math.DS
Crack Front Waves and the dynamics of a rapidly moving crack
裂纹前缘波是沿裂纹前缘传播的局部化波。它们是由裂纹与局部材料不均匀性的相互作用产生的。我们表明，前波是非线性实体，传输能量，产生表面结构，并导致本地化的速度波动。它们的存在局部赋予惯性，这是不纳入目前的断裂理论，最初的“无质量”裂纹。这与裂纹不稳定性相结合，在断裂表面结构内产生不均匀性和缩放行为。
2001-07-23 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft
The Dynamics of Rapid Fracture: Instabilities, Nonlinearities and Length Scales
材料和界面的失效是由裂纹介导的，裂纹是以接近声速的速度传播的几乎奇异的耗散结构。裂纹萌生和随后的扩展--断裂的动态过程--耦合了广泛的时间和长度尺度。裂纹动力学挑战我们的基本物理过程，发生在极端条件下的几乎奇异的区域内的材料发生故障的理解。在这里，我们首先简要回顾了经典的动态断裂方法，“线弹性断裂力学”（LEFM），并讨论其成功和局限性。我们展示了如何，一方面，最近的实验进行直裂纹在软脆性材料中传播的定量证实了这一理论的预测，以前所未有的程度。另一方面，这些实验表明如何LEFM打破了奇异区域的裂纹尖端的做法。这一突破自然导致了一个新的理论框架创造了“弱非线性断裂力学”，弱弹性非线性纳入。这个理论预言的更强的奇异性产生了一个新的内在长度尺度，$\ell_{nl}$。这些预测通过直接测量得到了详细验证。然后，我们从理论和实验上回顾如何出现的$\ell_{nl}$是一个新的裂纹运动方程，预测存在的高速振荡裂纹不稳定的波长是由$\ell_{nl}$。最后，我们描绘了该领域的突出挑战。
2013-05-05 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft
Arrested Cracks in Nonlinear Lattice Models of Brittle Fracture
本文将脆性断裂的格子模型推广到任意非线性力的作用下，研究了半无限裂纹的存在性。与迄今为止所研究的不连续情况不同，这些被捕裂纹存在的驱动位移范围非常小。此外，我们的研究结果表明，在裂纹尖端附近的小的变化可以有一个非常大的影响逮捕裂纹。最后，我们简要讨论了我们的研究结果可能与最近的实验。
1999-01-27 cond-mat.soft
Less is more: removing a single bond increases the toughness of elastic networks
本文通过模拟三角形弹簧网络发现，移除单根键虽可能降低裂纹起始断裂能，但总能提高整体失效断裂能，且裂纹偏转与桥接可进一步增强韧性，为缺陷增韧和结构材料设计提供新见解。
2025-07-18 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft
3D characterization of kinematic fields and poroelastic swelling near the tip of a propagating crack in a hydrogel
本文提出数字图像相关与粒子追踪混合方法，首次直接测量水凝胶中缓慢扩展裂纹尖端附近的三维运动学场和孔隙弹性溶胀，揭示显著几何非线性及与局部拉伸相关的溶胀行为，为断裂力学提供实验依据。
2024-05-03 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft
Recent developments in dynamic fracture: Some perspectives
我们简要回顾了一些重要的动态断裂领域的最新实验和理论发展。主题包括直线拉伸裂纹的运动方程的实验验证（在无限介质和带状几何形状），验证了一个新的理论描述的近端领域的动态裂纹将弱弹性非线性，一个新的理解动态不稳定性的拉伸裂纹在二维和三维，裂纹前沿动态，摩擦运动和动态剪切裂纹之间的关系。最后对今后的相关研究方向进行了简要的讨论。
2015-07-25 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft physics.geo-ph
Size selection of crack front defects: Multiple fracture-plane interactions and intrinsic lengthscales
本文通过脆性水凝胶实验研究三维裂纹中台阶缺陷的尺寸选择，发现稳定化距离 h_max 随非线性弹性长度 Γ(v)/μ 和耗散长度 ξ 线性变化，为理解多重断裂面相互作用及离面断裂结构形成提供了内禀长度尺度依据。
2024-04-09 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft nlin.PS
Self-replicating cracks: a collaborative fracture mode in thin films
在残余拉应力作用下，在薄涂层中观察到直裂纹，导致在瓷器、古画或干泥中观察到经典的网络图案。在这里，我们提出了一种新的断裂机制，其中分层和传播同时发生，导致初始模板的自发自我复制。令人惊讶的是，这种机制是积极的通道裂纹的标准临界拉伸载荷以下，并选择一个强大的相互作用的长度尺度上的顺序的30倍的膜厚度。取决于触发机制，新月形小巷，螺旋或长带产生了广泛的实验参数。我们描述了一个简单的物理模型的断裂路径的选择，并提供了一个配置图显示不同的故障模式。
2014-08-20 cond-mat.soft
Peridynamics for Quasistatic Fracture Modeling
断裂涉及跨越大尺度和小尺度的相互作用。当对脆性材料施加足够的应力或应变时，原子尺度的键将断裂，导致宏观试样断裂。从力学的角度来看，断裂应该表现为由连续场论产生的一种突现现象，从而消除了对描述裂纹扩展的补充动力学关系的需要。本文提出了一种新的准静态裂缝周波模拟的快速方法。我们应用不动点理论和模型稳定裂纹演化的硬和软加载。对于软载荷，我们恢复不稳定骨折。对于硬加载，我们恢复稳定的裂纹扩展。我们证明了在适当定义的能量下，在稳定临界点附近存在准静态断裂解。该数值方法使用了一个分析刚度矩阵的快速数值实现。一个严格的数学分析表明，该方法收敛与软，硬加载的负载路径。对于软加载，裂纹在预裂纹尖端的应力达到材料强度后不久就变得不稳定。
2021-07-29 cond-mat.soft
Crack front échelon instability in mixed mode fracture of a strongly nonlinear elastic solid
混合模式（I+III）加载诱导由台阶连接的分段裂纹前缘梯形结构。我们研究这种不稳定性在一个高度可变形的，应变硬化材料。我们发现，Echelons发展超过一个有限的，大小无关的模式混合阈值，显着增长的能量释放率。他们出现通过成核的本地化螺旋前扭曲，和他们的出现是延续的模式I交叉影线不稳定的凝胶和橡胶，偏移的偏置效应的剪切。这一结果与线弹性断裂力学预测的直接分叉不一致，可以归因于弹性非线性的控制作用。
2013-10-01 cond-mat.soft
Configurational forces explain echelon cracks in soft materials
本文在构型力学框架内采用构型力方法研究软材料的混合模式 I + III 断裂，揭示了倾斜小面间的相互作用及合并效应在塑造阶梯状裂纹形态中的关键作用。
2025-07-16 cond-mat.soft
Brittle fracture in a periodic structure with internal potential energy. Spontaneous crack propagation
基于最近引入的模型（Mishuris和Slepyan，具有内部势能的周期性结构中的脆性断裂。罗伊检察官Soc. A，出版中）。被认为是一个周期性的结构，其中只有预期的裂纹路径层被指定为一组离散的交替初始拉伸和压缩债券。破坏初始拉伸键的桥接裂纹可以在一定水平的内能下扩展，而无需外部源。根据裂纹相关的动态格林函数，给出了裂纹速度$-$能量关系的一般解析解。对于各向异性的双线链和晶格考虑较早的准静态，动力学问题进行了详细研究。当能量接近其上限时，裂纹速度无限制地增长。结果表明，根据材料的内能水平不同，材料的自发断裂可以是纯桥接、部分桥接或完全张开的裂纹形式。一般来说，裂纹扩展的稳态模式被发现是实现，而不规则的增长，集群和裂纹速度振荡检测附近的能量的下限。
2014-02-12 cond-mat.soft physics.class-ph
Fracture metamaterials with on-demand crack paths enabled by bending
本研究提出弯曲驱动的断裂超材料，通过拓扑优化设计各向异性单元胞，实现任意复杂性的按需裂纹路径，增强能量耗散而不改变刚度。
2024-05-29 cond-mat.soft
Configurational stability of a crack propagating in a material with mode-dependent fracture energy -- Part II: Drift of fracture facets in mixed-mode I+II+III
在早期的论文中（Leblond等人，2011，2019），我们提出了在混合模式I+III加载的裂纹的共面扩展的线性稳定性分析，基于结合Griffith（1920）的能量条件和Goldstein和Salganik（1974）的局部对称性原理的“双”扩展准则。这两篇论文之间的区别在于，在最近的一篇论文中，临界能量释放率的局部值不再被认为是常数，而是示意性地允许依赖于局部模式III与模式I应力强度因子的比率。这导致了一个大大改善，定性可接受的协议的理论和实验，为“阈值”的比值的未扰动模式III的模式I应力强度因子，以上的共面传播变得不稳定。在本文中，分析扩展到的情况下，一个小的额外的模式II加载组件是存在于裂纹的初始平面配置，产生一个小的，一般的扭结，这个裂纹的时刻，它被应用。这种加载分量的存在所产生的主要新效应是，在阈值以上存在的不稳定模式在其传播期间必须沿着裂纹前缘漂移。这一预测可能是有用的，为未来的理论解释的一些实验中，这样的漂移运动确实被观察到。
2019-09-20 cond-mat.soft
Origin of instability in dynamic fracture
动态断裂中裂纹的不稳定扩展（粗糙裂纹表面和裂纹分支）长期以来在各种材料中被观察到。到目前为止，对这些不稳定性还没有普遍认同的解释。在这里，我们证明：1）由于裂纹体内部应力分布的不均匀性以及高应力区随裂纹速度的增大而扩大，受力裂纹体可视为具有“脆性层”的临时层状材料（TLLM），脆性层的面积会自动增大。2)对于这种TLLM，它只需要一个裂纹的应力在其“脆性层”下降到低于一定值在小速度。再加上整个系统的不对称性，这导致粗糙的裂纹表面。3)当裂纹扩展速度达到一定值时，“脆性层”足够大。必须形成两个裂纹，否则应力不能降低到一定值以下，导致裂纹分叉。裂纹扩展可以比作汽车在公路上行驶：裂纹体中的高应力区域提供了一条“道路”，让裂纹“通过”。"
2019-11-29 cond-mat.soft physics.app-ph
A new failure mechanism in thin film by collaborative fracture and delamination: interacting duos of cracks
当适度粘附到基底上的薄膜经受残余应力时，断裂和分层之间的合作导致不寻常的断裂图案，例如螺旋、新月的小巷和各种类型的条带，所有这些都以稳健的特征长度尺度为特征。我们专注于一对裂纹的传播：两个断裂的膜连接的脱层前，并逐步分离一个带。我们的实验表明，该系统选择的平衡宽度的顺序为25倍的涂层的厚度和独立的断裂和粘附能。根据Griffith准则和局域对称性原理，我们数值地研究了宽度的选择和传播条件。此外，我们提出了一个简化的模型的基础上的最大的能量释放率的标准，它提供了见解的物理机制，导致这些规则的图案，并预测的效果上选择的分离带的材料属性。
2015-09-20 cond-mat.soft
Fracture of dual crosslink gels with permanent and transient crosslinks
我们已经进行了系统的断裂实验，在一个单一的边缘切口的几何形状在一个范围内的拉伸率的双交联水凝胶由聚乙烯醇链与戊二醛化学交联和物理交联与硼酸根离子。如果裂纹扩展所需的能量释放率按常规计算，通过使用所做的工作，使样品变形到裂纹扩展的拉伸$λ_c$的临界值，我们发现，断裂能$Γ$的峰值附近$λ\sim 0.001 s^{-1}$，然后急剧下降，随着拉伸速率的增加，在矛盾的裂纹速度的测量。结合模拟和实验观察，因此，我们在这里提出了一个通用的方法来分离的能量消耗在加载过程中裂纹扩展之前，从裂纹扩展过程中消耗。对于快速加载速率（特征应变速率仅略低于物理键的典型断裂时间的倒数），这种估计裂纹扩展开始时的局部能量释放速率$g_{local}$的改进方法给出了恒定的局部断裂能$Γ_{local}$的值，与实验测量的裂纹扩展速度的恒定值一致。使用这种改进的方法，我们也得到了非常有趣的结果，即双交联凝胶在低加载速率下比在高加载速率下具有更高的断裂能值，与经典化学交联弹性网络的情况相反。
2016-06-29 cond-mat.soft
Nonlinearity tunes crack dynamics in soft materials
本研究利用断裂相场模型构建三种非线性软材料的裂纹稳定性相图，揭示了非线性对裂纹动力学模式的调控机制，解释了裂纹振荡的普遍不稳定性及亚瑞利到超剪切状态的转变原因。
2023-08-24 cond-mat.soft
Magic angles and cross-hatching instability in hydrogel fracture
由明胶凝胶中的准静态裂纹扩展产生的断裂表面的粗糙度轮廓的全2D分析揭示了原始行为，其特征在于（i）在与$V$无关的保角处具有最大粗糙度的强各向异性，（ii）在临界速度以下导致亚临界不稳定性，交叉阴影制度，由于直macrostep漂移在相同的魔角和成核裂纹钉扎网络的不均匀性。台阶高度值由应变硬化区的宽度决定，由断裂应力远大于低应变模量的软固体的弹性裂纹钝化特性决定。
2008-02-29 cond-mat.soft
Resolving stress state at crack tip to elucidate nature of elastomeric fracture
基于偏振光显微镜（str-POM）的裂纹尖端应力场的时空分辨测量，弹性体断裂的应力分析方法揭示了新的见解。我们展示了新的现象学与线弹性断裂力学（LEFM）的标准描述相反。首先，str-POM测量表明出现了应力饱和区，其尺寸r_ss与应力强度因子K无关。这个弹性区是塑性区，其大小与K成二次方关系。应力发散的不存在允许我们在断裂开始时测量尖端应力s_tip，其被识别为固有材料强度，即，s_tip（F）= s_F（inh）。我们能够解释为什么LEFM适用于弹性体，即，为什么韧性（以临界能量释放率Gc或临界应力强度因子Kc表示）是一个材料常数，我们已经确定了决定韧性大小的参数。其次，流行的Rivlin-Thomas能量平衡描述的弹性体断裂在纯剪切已经获得了一个新的和不同的解释的基础上str-POM的观察，这表明，在切割尖端的应力积累明确标度与试样高度h 0，导致Gc = wch 0是恒定的。第三，str-POM观测揭示了弹性体断裂如何发生在一个共同的Kc独立的试样厚度。在给定的载荷下，由于切割尖端处的应力饱和度较大，较厚试样的应力积累较弱，并且观察到较厚试样在较低的尖端应力下发生断裂。
2022-11-30 cond-mat.soft
Fracture in Sheets Draped on Curved Surfaces
使材料与具有高斯曲率的刚性基底一致-对于球体为正，对于鞍形为负-已被证明是一种多功能的工具，用于引导缺陷的自组装，如疤痕、褶皱、折叠、水泡和液晶波纹。在这里，我们展示了曲率如何同样用于控制材料失效并引导裂纹的路径。在我们的实验中，与以前对裂纹板和壳的研究不同，我们约束平面弹性薄板采用固定的曲率轮廓。该约束提供了用于控制断裂行为的几何工具：曲率可以刺激或抑制裂纹的生长，并引导或阻止其传播。一个简单的分析模型捕捉裂纹行为在传播的开始，而一个二维相场模型与附加的曲率项成功地捕捉裂纹的path. Because的曲率引起的应力是独立的各向同性，脆性介质的材料参数，我们的结果适用于跨尺度。
2017-10-01 cond-mat.soft
The fracture resistance of elastic networks increases with the density of defects like a random walk
Institute for Building Materials, ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院建筑材料研究所）
本文研究了弹性网络中缺陷密度对裂纹传播的影响，发现裂纹扩展过程中裂纹能随缺陷密度增加而增强，并通过随机游走模型解释了其与缺陷密度的平方根关系。
2026-05-19 cond-mat.soft
Frozen impacted drop: From fragmentation to hierarchical crack patterns
我们通过实验研究了通过水滴对冷固体基底（$0$至$-60^\circ$ C）的影响获得的液体煎饼的淬火。我们发现，低于一定的基板温度下，裂缝出现在冷冻煎饼和裂纹图案的变化，从一个2D的碎片制度的分级断裂制度的热冲击更强。不同的制度进行了讨论，并通过经典的断裂标度参数的转变温度估计。最后，相图显示了如何通过跌落碰撞参量控制这些区域。
2016-05-09 cond-mat.soft physics.flu-dyn
Where Humpty Dumpty Breaks: Geometry-Driven Fracture in Ellipsoidal Shells
Keio University（庆应义塾大学）；Osaka University（大阪大学）
研究揭示了壳体曲率如何通过诱导应力各向异性控制破裂形态的演变，通过内部加压双层椭球壳体展示出不同方向的破裂形态多样性，并建立曲率与破裂的直接联系。
2026-03-24 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech
How heat controls fracture: the thermodynamics of creeping and avalanching cracks
虽然在材料科学中至关重要，但裂纹的动力学仍然缺乏完整的物理解释。从缓慢的蠕变行为到快速传播状态的转变是一个值得注意的关键，因为如果快速雪崩的大小达到系统的大小，它会导致完全的材料失效。我们在这里表明，一个简单的热力学方法实际上可以解释这种复杂的裂纹动力学，特别是在各种材料的力学试验中通常观察到的非单调力-速度曲线。我们考虑一个热激活的故障过程，这是再加上生产和热在断裂尖端的扩散。在这个框架中，温度的上升只影响亚临界裂纹动力学，而不是材料的机械性能。我们表明，这种描述可以定量地再现两种不同的聚合物材料（即，模式I开放的聚甲基丙烯酸甲酯（PMMA）板，和剥离的压敏胶（PSA）磁带）的破裂，从非常慢的非常快的断裂制度，超过七到九十年的裂纹扩展速度。特别是，最快的政权获得了数千K的温度增加，在分子尺度上的裂纹尖端周围。虽然令人惊讶，但这种极端温度实际上与伴随裂纹快速传播的不同实验观察一致，即断裂发光（即，破裂期间发射可见光）和死后破裂表面的复杂形态，这可能是由于气泡的升华。
2020-09-18 cond-mat.soft physics.geo-ph
A discrete time evolution model for fracture networks
我们研究地球物理裂缝图案使用平均场论的凸镶嵌。我们分配对$(\bar n^*,\bar v^*)$的平均角度的每个裂纹图案，我们定义了两个本地，随机演化步骤$R_0$和$R_1$，分别对应于二次断裂和重排的裂纹。这些步骤的随机序列导致$(\bar n^*,\bar v^*)$平面上的轨迹。我们证明了几种类型的轨迹的极限点的存在性。此外，我们证明了细胞密度$ρ= \bar v^*/\bar n^*$下的任何允许的轨迹单调增加。
2022-07-01 cond-mat.soft math.PR physics.geo-ph
