Obstruction criteria for modular deformation problems
对于权为$k \geq 3$的新形式$f=\sum a_n q^n$和$\mathbf{Q}(a_n)$的素数$λ$，其相关模$λ$伽罗瓦表示的变形问题对于某个有限集之外的所有素数都是通畅的。以前的结果给出了一个明确的限制在这个有限的集合$f$的squarefree水平，我们修改这个界限，并删除squarefree假设。我们还证明了如果$f$的$λ$ -adic变形问题是无障碍的，则$f$不是模$λ$到一个新形式的较低水平的全等.
2014-09-24 math.NT
Bias of Root Numbers for Modular Newforms of Cubic Level
令$H^{\pm}_{2k} (N^3)$表示三次水平$N^3$、权重$2 k$和根数$\pm 1$的模新形式的集合。对于$N > 1$无平方和$k>1$，我们使用一种解析方法来建立一个简洁而明确的公式，该公式表示差值$|H^{+}_{2k} (N^3)| - |H^{-}_{2k} (N^3)|$是$φ(N)$和$\mathbb{Q}(\sqrt{- N})$的类数乘积的倍数。特别地，公式表现出对根号$+1$的严格偏差。我们的主要工具是一个根数加权简单的彼得森公式，这样的新形式。
2021-02-10 math.NT
Equidistribution of cusp forms in the level aspect
设f遍历一列固定权且无平方级递增的趋于无穷大的经典全纯新形式。我们证明了f的质量向水平1的模曲线的推进关于Poincaré测度是等分布的。我们的结果肯定地回答了Kowalski，Michel和Vanderkam（2002）在Rudnick和Sarnak（1994）猜想的基础上提出的一个猜想的无平方水平情形。我们的证明遵循Holowinsky和Soundararajan（2008）的策略，他们表明1级和大重量的新形式具有均匀分布的质量。处理固定权和大水平形式所需的新成分是Holowinsky将问题简化为傅里叶系数的边界移位和的一种适应（表面上看，只有在大重量限制下才有意义），对P的评价一个adic积分需要将Watson公式扩展到三种新形式的情况，其中一个的水平除以但不需要等于公共无平方水平其他两个，和一些额外的技术工作，在有问题的情况下，水平有许多小素因子。
2012-02-28 math.NT
Certain squarefree levels of reducible modular mod$\,\ell$ Galois representations
本文确定了模$\ell$表示$1 \oplus \overline{\chi}_\ell^{k-1}$来自权$k$、水平为两素数乘积且具有指定Atkin-Lehner特征值的新形式的充要条件，证明了Billerey-Menares猜想并给出大量应用实例。
2024-10-22 math.NT
Unexpected primes of good reduction in quotients of modular and Shimura curves
Max-Planck-Institut für Mathematik（马克斯·普朗克数学研究所）；University of Sydney（悉尼大学）
研究权重2、平方自由层数N且有固定阿特金 - 勒纳符号模式的新形式零维空间，借此对平方自由层数的模曲线和志村曲线阿特金 - 勒纳商中良好约化的意外素数进行分类。
2026-07-14 math.NT
Hybrid sup-norm bounds for Maass newforms of powerful level
设$f$是水平$N$、特征标$χ$和Laplace特征值$λ$的$L^2$ -归一化Hecke-Maass尖点新形式.令$N_1$表示使得$N|N_1^2$的最小整数，并且$N_0$表示使得$N_0^2 |N$的最大整数。令$M$表示$χ$的导体并定义$M_1= M/\gcd(M,N_1)$。在本文中，我们证明了有界$|f|_\infty$ $\ll_ε$ $N_0^{1/6 + ε} N_1^{1/3+ε} M_1^{1/2} λ^{5/24+ε}$，它推广和加强以前已知的上界$|f|_\infty$。这是第一次混合边界（即，涉及$N$和$λ$两者）的情况下，已经为$|f|_\infty$建立了非无平方$N$的情况。在非无平方数的情况下，唯一已知的界限是在N方面;作者已经证明，$|f|_\infty \ll_{λ, ε} N^{5/12+ε}$提供了$M=1$。在上述情况下，本结果显着改善了$N$的指数。如果$N$是一个无平方的整数，我们的界限减少到$|f|_\infty \ll_εN^{1/3 + ε}λ^{5/24 + ε}$，这是以前证明的Templier。本工作的关键新特点是系统地使用p-adic表示理论技术，特别是详细研究了Whittaker newforms和矩阵系数为$GL_2(F)$ $F$是一个本地字段。
2017-07-04 math.NT math.RT math.SP
Factorization tests and algorithms arising from counting modular forms and automorphic representations
盖克勒的一个定理比较了与$Γ_0(N)$上的权重$k$的尖点形式空间相关的非同构自守表示的数量与$k$和$N$的简单函数的数量，表明只要$N$是squarefree，两者都是相等的。我们证明了这个定理的逆（有一个小的例外），从而提供了一个无平方整数的表征。我们还建立了一个类似的刻画素数的Hecke数新形式的重量$k$ $Γ_0(N)$。由此可见，即使对于单个权重$k$，用于计算这种自守表示的数量的假设快速算法也会产生关于$N$是否无平方的快速测试。我们还展示了如何获得一个数$N$，已被发现是不是squarefree通过这个测试的可能的平方因子的界限，我们展示了如何概率地获得$N$的squarefull部分的完全因式分解从这样的自守表示的数量为两个不同的权重。如果此外，我们有这样的Hecke新形式的数量，即使是一个单一的重量$k$，然后我们展示了如何概率因素$N$完全。所有这些计算在实践中可以快速地执行，给定作为输入的自守表示和模形式的数量。
2018-06-21 math.NT
Fermat's Last Theorem and modular curves over real quadratic fields
本文研究了二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$上的Fermat方程$x^n+y^n=z^n$，其中$d$是无平方的，有$26 \leq d \leq 97$ .通过研究二次点上的模曲线$X_0(N)$，$d$ -正则素数，并与Hecke运营商的空间的希尔伯特新形式，我们扩展工作的Freitas和Siksek表明，大多数squarefree $d$在这个范围内有没有非平凡的解决方案，这个方程的$n \geq 4$。
2022-10-17 math.NT
Fourier expansions of GL(2) newforms at various cusps
本文研究了任意权、任意层、任意特征的$GL(2, \mathbb Q)$在不同尖点的Hecke-Maass特征形的Fourier展开。将广义自守表示理论中的一些著名结果转化为经典语言，导出了任意尖点处Fourier系数的乘法表达式。通常，该表达式涉及几个不同尖点处的傅立叶系数。给出了在单个尖点处傅里叶系数之间存在乘法关系的一个充分条件。它表明，如果水平是4倍（或在某些情况下，8倍）的奇平方自由数，那么有乘法关系在每个尖点。我们还表明，局部表示的$GL(2, \mathbb Q_p)$，这是同构的局部因子的全球尖点自守表示所产生的任意重量，水平$N$，和字符$χ\pmod{N}$的新形式的adelic电梯不能是supercuspidal的，如果$χ$是原始的。此外，它是超尖点的当且仅当在每个尖点（宽度$m$和尖点参数= 0）处，对于所有足够大的正整数$\ell$，在该尖点处的$mp^\ell$傅立叶系数为零。在本文的最后一部分，一个三项恒等式涉及的傅立叶展开在三个不同的尖点推导。
2010-09-08 math.NT
Theta functions, fourth moments of eigenforms, and the sup-norm problem II
本文研究了双曲曲面上全纯新形式与Maaß新形式的上确界范数估计问题，证明了与权、体积和特征值相关的上界，并在定四元数代数中建立了类似估计。
2022-07-25 math.NT
Counting modular forms by rationality field
本文研究权为2新形式的有理性域分布，给出无平方因子级下次数d出现频率的启发式上界，预测d≥7时有限，并猜想Q(√5)是最常见二次有理性域。
2024-01-15 math.NT
Bounds for Rankin--Selberg integrals and quantum unique ergodicity for powerful levels
设f是水平为q，权为偶数的经典全纯新形式.我们证明了f的质量向满能级模曲线的推进按qk ->无穷等分布。这推广了已知的结果的情况下，q是squarefree。当q变得足够“强大”（远离平方自由）时，我们在等分布率上获得了功率节省，特别是当q遍历固定素数的幂时，在“深度方面”。我们比较困难的等分布问题，相应的次凸性问题，通过推导明确的扩展沃森公式的某些三重积积分涉及形式的非squarefree水平。利用Ichino的一个定理和Michel-Venkatesh的一个引理，这相当于详细研究了任意水平的新形式f和满水平的Eisenstein级数E上的Rankin-Selberg积分int |f| ^2 E。我们发现，这种积分的局部因子参与了许多有趣的类比与全球L-功能。例如，我们观察到，质量均匀分布猜想与功率节省的深度方面是等价的工会的全球次凸界和我们所谓的“本地次凸界”;我们的本地计算的结果是我们所谓的“本地林德洛夫假设”。
2013-06-09 math.DS math.NT
On sup-norms of cusp forms of powerful level
设f是N阶L^2-正规化Hecke-Maass尖点新形式，Laplace特征值λ.证明了对于任意ε>0，|f| _ \infty <<_{λ，ε} N^{-1/12 + ε}.在N不能被“小平方”整除的情况下，指数得到进一步改进。我们的工作扩展和推广以前已知的结果在特殊情况下的N平方。
2015-11-11 math.NT
Refined dimensions of cusp forms, and equidistribution and bias of signs
本文改进了无平方根水平的尖点形式空间的维数公式，确定了具有给定全局根数和给定Atkin-Lehner算子局部符号的新形式所生成的子空间的维数.这将产生精确的结果的全球函数方程和符号模式的Atkin-Lehner特征值的符号分布，精炼和推广早期的结果Iwaniec，罗和Sarnak。特别是，我们表现出一个严格的倾向于根数+1和一个现象，即符号模式的重量有偏见，但完美的水平均匀分布。另一个结果是伽罗瓦轨道数的下界。
2016-09-17 math.NT
Exact double averages of twisted L-values
本文研究虚二次扩张扭曲的模形式中央L值的双重平均值，在权为2时给出精确公式，并证明其在稳定范围内的稳定性，推广了已知的单重平均值并得到非消失的有效结果。
2022-08-02 math.NT
L-functions for holomorphic forms on GSp(4) x GL(2) and their special values
本文给出了（F，g）对的L函数的显式整表示，其中F是全纯亏格2 Siegel新形式，g是全纯椭圆新形式，均为无平方级且等权.当F，g有水平1，这是早期已知的工作Furusawa。扩展并不简单。我们的方法包括精确的双陪集和体积计算，以及一个明确的公式贝塞尔模型的GSp（4）在斯坦伯格的情况下，后者可能是独立的利益。我们应用我们的整表示证明了L（s，F \times g）的临界特殊值的代数性结果。这是在精神上的三重产品L函数的临界值的已知结果，也是8度，虽然有显着的差异。
2008-10-29 math.NT math.RT
On the modularity level of modular abelian varieties over number fields
设f是Gamma_1（N）的权二新形式，不需要复乘.本文研究数域L上簇A_f的绝对单因子B的导子。我们遵循的策略是计算标量的限制Res_{L/\Q}（B），然后应用Milne公式作为标量限制的导体。这样我们就得到了导体N_L（B）的局部指数的表达式。在某些假设下，有可能给出这个导体与N之间的整体关系式。例如，如果N是无平方的，我们发现N_L（B）属于Z，并且N_L（B）*f_L^{dim B}=N^{dim B}，其中f_L是L的导体。
2010-02-02 math.AG math.NT
