Diananda不等式的一些推广
Some extensions of Diananda's inequality
摘要：
设$M_{n,r}=(\sum_{i=1}^{n}q_ix_i^r)^{\frac {1}{r}}, r \neq 0$和$M_{n,0}=\lim_{r \rightarrow 0}M_{n,r}$是$n$非负数$x_i$的加权幂平均，其中$q_i > 0$满足$\sum^n_{i=1}q_i=1$ .对于实数$α$和互不相同的实数$r, s, t$，我们定义了\begin{align*} Δ_{r,s,t,α}=\Big | \frac {M^α_{n,r}-M^α_{n,t}}{M^α_{n,r}-M^α_{n,s}}\Big |. \end{align*}. Diananda的一个结果给出了$Δ_{1, 1/2, 0, 1}$仅用$q$的函数的精确界，其中$q=\min q_i$ .在本文中，我们证明了类似的尖锐界的$Δ_{r,s,t,α}$某些参数$r, s, t, α$。
英文摘要：
Let $M_{n,r}=(\sum_{i=1}^{n}q_ix_i^r)^{\frac {1}{r}}, r \neq 0$ and $M_{n,0}=\lim_{r \rightarrow 0}M_{n,r}$ be the weighted power means of $n$ non-negative numbers $x_i$ with $q_i > 0$ satisfying $\sum^n_{i=1}q_i=1$. For a real number $α$ and mutually distinct real numbers $r, s, t$, we define \begin{align*} Δ_{r,s,t,α}=\Big | \frac {M^α_{n,r}-M^α_{n,t}}{M^α_{n,r}-M^α_{n,s}}\Big |. \end{align*} A result of Diananda gives sharp bounds of $Δ_{1, 1/2, 0, 1}$ in terms of functions of $q$ only, where $q=\min q_i$. In this paper, we prove similar sharp bounds of $Δ_{r,s,t,α}$ for certain parameters $r, s, t, α$.
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