Matching, Path Covers, and Total Forcing Sets
图$G$的顶点的动态着色从着色顶点的初始子集$S$开始，所有剩余的顶点是未着色的。在每个离散时间间隔，一个着色顶点与恰好一个非着色邻居迫使这个非着色邻居着色。初始集合$S$被称为$G$的强制集合，如果通过迭代地应用强制过程，$G$中的每个顶点都被着色。如果初始集$S$具有导出$G$的无孤立点子图的附加性质，则称$S$为$G$的全强制集.在$G$中，总强迫集的最小基数是它的总强迫数，记为$F_t(G)$。$G$的路径覆盖数，记为$\pc(G)$，是使得每个顶点属于覆盖中的路径的顶点不相交路径的最小数目，而$G$的匹配数，记为$α'(T)$，是$G$的最大匹配中的边的数目。设$T$是一棵至少为2阶的树。我们观察到，$\pc(T) + 1 \le F_t(T) \le 2\pc(T)$，我们证明，$F_t(T) \le α'(T) + \pc(T)$。此外，我们的特征的极值树实现平等，在这些界限。
2018-01-14 math.CO
A quantitative variant of the multi-colored Motzkin-Rabin theorem
我们本着[BDWY 12]的精神证明了多色Motzkin-Rabin定理的定量版本：令$V_1,\ldots,V_n \subset R^d$为（$n$“颜色”的）$n$不相交点集。假设对于每个$V_i$和每个点$v \in V_i$，至少有$δ|V_i|$个其他点$u \in V_i$，使得连接$v$和$u$的线包含另一种颜色的第三个点。然后所有$n$集合中的点的并集包含在由$n$和$δ$单独的函数限定的维度的子空间中。
2014-06-05 math.CO
Near equipartitions of colored point sets
假设平面中一般位置的$nk$点被着色为红色和蓝色，每种颜色至少有$n$点。我们表明，然后存在$n$成对不相交的凸集，其中每一个包含$k$的点，其中每一个包含点的两种颜色。证明了若$P$是$d$中一般位置上的$n(d+1)$点的集合，且$P$中至少有$n$点是每种颜色的，则存在$d$ -维单形，其顶点在$P$中，且每一个单形包含每种颜色的一个点.这些结果可以被看作是一个共同的概括的几个以前已知的几何分区结果着色点集的一个步骤。
2017-04-19 math.CO math.MG
Total Forcing Sets in Trees
图$G$的顶点的动态着色从着色顶点的初始子集$S$开始，所有剩余的顶点是未着色的。在每个离散时间间隔，一个着色顶点与恰好一个非着色邻居迫使这个非着色邻居着色。初始集合$S$被称为$G$的强制集合，如果通过迭代地应用强制过程，$G$中的每个顶点都被着色。如果初始集$S$具有导出$G$的无孤立点子图的附加性质，则称$S$为$G$的全强制集.在$G$中，总强迫集的最小基数是它的总强迫数，记为$F_t(G)$。我们证明了如果$T$是一棵树的顺序$n \ge 3$的最大程度~ $Δ$，那么$F_t(T) \le \frac{1}Δ((Δ- 1)n + 1)$，我们刻画了无限族的树达到平等在这个界限。我们还证明了，如果$T$是一个非平凡树的$n_1$叶，那么$F_t(T) \ge n_1$，我们的特点是无限家庭的树实现平等在这个界限。作为这个结果的结果，一个非平凡树的总强迫数严格大于它的强迫数。特别是，我们证明，如果$T$是一个非平凡的树，那么$F_t(T) \ge F(T)+1$，我们的特点极值树实现这一界限。
2017-02-21 math.CO
Rainbow triangles and cliques in edge-colored graphs
对于边着色图，如果一个子图的所有边都有不同的颜色，则称该子图为彩虹图.我们证明了：如果$G$是一个边着色图，其序为$n$，大小为$m$，且$G$的边的颜色为$c$，且$m+c\geq \binom{n+1}{2}+k-1$是一个非负整数$k$，则$G$至少包含$k$彩虹三角形.对于$n\geq 3k$，我们表明，这一结果是最好的可能性，我们完全描述了类的边缘有色图，这一结果是尖锐的。进一步证明了边着色图$G$至少包含$k$彩虹三角形，如果$\sum\limits_{v\in V(G)} d^c_G(v)\geq \binom{n+1}{2}+k-1$，其中$d_G^c(v)$表示入射到顶点$v$的不同颜色的个数.最后，我们刻画了边-有色图，它没有大小至少为6的彩虹团，并且最大化边和颜色之和$m+c$。我们的结果回答了Fujita，Ning，Xu和Zhang的两个问题[关于边着色图中彩虹圈的充分条件，arXiv：1705.03675，2017]
2018-10-11 math.CO
A proposed crank for $(k+j)$-colored partitions, with $j$ colors having distinct parts
本文推广了着色分拆的crank理论，借鉴已有研究的生成函数技术，定义了j色为互异分拆的(k+j)着色分拆的crank生成函数，给出三类无穷族并猜想通用形式，丰富了分拆同余相关研究。
2024-07-10 math.CO math.NT
On the number of radial orderings of planar point sets
给定平面中的$n$点的集合$S$，$S$的关于点$p$（不在$S$中）的\emph{radial ordering}是$S$中的元素通过围绕$p$的角度的顺时针循环排序。如果$S$是双色的，则\emph{colored radial ordering}是$S$的径向排序，其中仅考虑点的颜色。本文给出了$S$的不同非着色和着色径向序个数的界。我们假设$S$上有一个强的一般位置，不是三个点共线，也不是三条线--每条线穿过$S$上的一对点--相交于$\R^2\setminus S$上的一个点。在彩色情况下，$S$是一组$2n$点，分为$n$红色点和$n$蓝色点，$n$是偶数。我们证明：$S$的不同径向排序的数目至多为$O(n^4)$且至少为$Ω(n^3)$ ; $S$的着色径向排序的数目至多为$O(n^4)$且至少为$Ω(n)$ ;存在具有$Θ(n^4)$着色径向排序的点集和仅具有$O(n^2)$着色径向排序的点集。
2012-04-02 cs.CG math.CO
Exhaustive generation for permutations avoiding a (colored) regular sets of patterns
尽管在过去的二十年里，避免排列的模式领域一直在飞速发展，但很少有针对此类排列的穷举生成算法。本文引入了正则禁止模式集和着色正则禁止模式集的概念，它们是右对齐禁止模式集的特例。我们展示了几组禁止模式（其中一些涉及可变长度的模式）的（有色）规律性，我们推导出一个一般框架，有效地生成排列，避免它们。所获得的生成算法是基于连续函数，这是一个概念，这是一个副产品的ECO方法中引入的枚举和随机生成的组合对象的上下文中由Barcucci等人。在1999年，后来开发的Bacchelli等人。对于属于我们的一般框架下的一些类别的排列，相应的计数序列是组合数学中的经典，如Pell，Fibonacci，Catalan，Schröder和Padovan序列的二项式变换。
2018-09-15 cs.DM math.CO
Rainbow matchings in properly-colored hypergraphs
一个超图$H$是适当着色的，如果对于每个顶点$v\in V(H)$，所有关联到$v$的边都有不同的颜色。本文证明了如果$H_{1}$，\cdots，$H_{s}$是$n$顶点上的适当着色的$k$ -一致超图，其中$n\geq3k^{2}s$，和$e(H_{i})>{{n}\choose {k}}-{{n-s+1}\choose {k}}$，则存在大小为$s$的彩虹匹配，包含来自每个$H_i$的一条边.这推广了Erdans匹配猜想的一些结果。
2018-08-15 math.CO
Simplicial complexes from finite projective planes and colored configurations
在环面的7顶点三角剖分中，14个三角形可以被划分为$T_{1} \sqcup T_{2}$，使得每个$T_{i}$表示Fano平面$PG(2, \mathbb{F}_{2})$的副本的线。我们通过构造，为每个素数的权力$q$，一个单纯的复杂$X_{q}$与$q^{2} + q + 1$顶点和$2(q^{2} + q + 1)$方面组成的两个副本的$PG(2, \mathbb{F}_{q})$。我们的构造适用于任何着色的$k$ -配置，定义为一个$k$ -配置，其相关的二分图$G$是连通的，并且具有$k$ -边着色$χ\colon E(G) \to [k]$，使得对于所有的$v \in V(G)$，$a, b, c \in [k]$，下面的颜色边$a, b, c, a, b, c$从$v$带我们回到$v$。给出了$n$阶群中2阶Sidon集与$k + 1$的一一对应关系，给出了$n$格中半径为1且指数为$n$的线性码的一一对应关系，给出了$n$点与$n$线的着色$(k + 1)$ -组态的一一对应关系. (The（1）和（2）之间的对应关系是已知的。因此，我们建议可能的拓扑障碍的存在西顿集，特别是，平面差集。
2023-01-27 math.CO
Rainbow Matchings of size δ(G) in Properly Edge-colored Graphs
边有色图中的{ \it彩虹匹配}是所有边都具有不同颜色的匹配。Wang询问是否存在一个函数f（δ）使得具有最小度δ且阶至少为f（δ）的适当边有色图G必须具有大小为δ的彩虹匹配。我们对这个问题的回答是肯定的; f（δ）= 6.5δ就足够了。并且证明了一个O（δ（G））|V（G）|生成这种匹配的^2）-时间算法。
2011-08-11 math.CO
Complexity and Computation of Connected Zero Forcing
迫零是一个迭代的图着色过程，其中具有单个未着色邻居的着色顶点强制该邻居着色。这是NP-难找到一个最小的迫零集-一个最小的初始着色顶点的集合，迫使整个图着色。我们发现，当初始着色集诱导一个连通子图时，该问题仍然是NP-困难的。我们还给出了结构的结果有关的图的密度，分离集，和某些诱导子图的连通迫零集，我们的特点的最小连通迫零集的单圈图和变种的仙人掌和块图的基数。最后，我们确定了几个家庭的图，其连接迫零集定义拟阵和拟阵。
2016-07-03 cs.DM math.CO
On Odd Rainbow Cycles in Edge-Colored Graphs
设$G = (V, E)$是一个$n$ -点边着色图. 2013年，H. Li证明了，如果每个顶点$v \in V$都至少与$(n+1)/2$有不同颜色的边相关联，则$G$允许彩虹三角形.我们证明，同样的假设，确保彩虹$\ell$周期$C_{\ell}$每当$n \ge 432 \ell$。这一结果对所有奇数$\ell \geq 3$都是尖锐的，并推广了作者早期的工作，当$\ell$是偶数时.
2021-02-23 math.CO
Morphism extension classes of countable $L$-colored graphs
在~ \cite{Hartman:2014}中，Hartman，Hubi \v cka和Ma \v sulović研究了有限$L$ -有色图的态射扩张类的层次，即没有环的无向图，其中从$L$中选择的颜色集被分配给顶点和边。他们证明了当$L$是线性序时，类$MH_L$和$HH_L$重合，当$L$是菱形时，顶点均匀有限$L$ -有色图也是如此。在本文中，我们探讨了可数无限$L$ -有色图的同样的问题。证明了$MH_L=HH_L$当且仅当$L$是线性序.
2018-05-04 math.CO
On a pair of three-colored (mod 10) partition identities
本文证明了一对模10的三色分拆恒等式，将三色不同部分分拆的生成函数与Rogers-Ramanujan乘积联系起来，并利用Maple验证函数方程。
2025-09-08 math.CO math.NT
An efficient algorithm for identifying rainbow ortho-convex 4-sets in k-colored point sets
研究判定k色平面点集是否存在四色点使其直角凸包面积为正的问题，通过象限等价转化提出最优的$O(n \log n)$时间算法并证明其下界。
2024-12-20 cs.CG math.CO
Empty Rainbow Triangles in $k$-colored Point Sets
设$S$是平面中一般位置上的一组$n$点。假设$S$的每个点都被分配了一种$k \ge 3$可能的颜色，并且每个颜色类的点的数量相同，即$m$。顶点在$S$上的多边形，如果其内部不包含$S$的点，则该多边形为空;如果其所有顶点具有不同的颜色，则该多边形为彩虹。令$f(k,m)$为由$S$确定的空彩虹三角形的最小数目。本文给出了该函数的渐近紧界。此外，我们表明，$S$可能不会确定一个空的彩虹四边形的$k$和$m$一些任意大的值。
2020-07-15 cs.CG math.CO
Rainbow triangles in edge-colored graphs
设$G$是边有色图. $G$的顶点$v$的颜色度被定义为与$v$关联的边的颜色的数量。$G$的颜色数定义为$G$中边的颜色数。彩虹三角形是每对边都有不同颜色的三角形。本文从色度、色数和边数三个方面给出了边有色图中彩虹三角形存在的充分条件。作为推论，李和王提出的一个猜想（边有色图中的着色度和异色圈，European J. Combin. 33（2012）1958- 1964）得到证实。
2013-09-25 math.CO
Exploring the Influence of Graph Operations on Zero Forcing Sets
本文研究图运算对零强迫集数量的影响，证明外平面图和阈值图等图类满足Boyer等人提出的关于零强迫集数量的猜想。
2024-05-02 math.CO
Convex equipartitions of colored point sets
我们发现，任何$d$着色的点在一般的位置在$\mathbb{R}^d$可以被划分成$n$子集不相交的凸包，这样的点集和所有的颜色类被划分尽可能均匀。这扩展了Holmsen，Kynčl & Valculescu（2017）的结果，并建立了他们一般猜想的特例。我们的证明利用Soberón和Karasev在2010年独立获得的结果，关于$\mathbb{R}^d$中的$d$连续测度在$n$凸区域上的同时均分。这给出了具有期望属性的$\mathbb{R}^d$的凸分区，除了点可能位于区域的边界上。为了解决这些点的模糊分配，我们建立了一个网络流问题。连续测度的均分给出了一个分数流。然后，整数流的存在产生点集的期望划分。
2017-12-14 math.CO math.MG
Rainbow spanning structures in strongly edge-colored graphs
Central China Normal University（华中师范大学）；Jianghan University（江汉大学）
本文研究了强边着色图中彩虹哈密尔顿回路的存在条件，证明了在足够大的n下，满足最小度数要求的图中必然存在彩虹哈密尔顿回路，并探讨了彩虹路径和完美匹配的最优条件。
2026-01-22 math.CO
A revisit to Bang-Jensen-Gutin conjecture and Yeo's theorem
如果连续的边具有不同的颜色，则路径（循环）是正确着色的。1997年，Bang-Jensen和Gutin给出了边着色完全图中Hamilton路存在的一个充要条件.这一猜想在2006年被Feng，Giesen，Guo，Gutin，Jensen和Rafley证实，后来在Lo关于适当着色Hamilton圈的Bollobás-Erdés猜想的渐近证明中发挥了重要作用。1997年，Yeo得到了不含正常着色圈的边-有色图的一个结构刻画.这个结果是研究边有色图的一个基本工具。本文首先通过两个新颖的吸收引理给出了Bang-Jensen-Gutin猜想的一个更短的证明。我们还证明了一个新的充分条件，存在一个适当的着色圈，然后推出Yeo定理，从这个结果和封闭的概念，边有色图。
2022-07-18 math.CO
Rainbow vertex pair-pancyclicity of strongly edge-colored graphs
本文研究了强边染色图的彩虹顶点对泛圈性，证明了阶数为$n$且最小度数$\delta \geq \frac{2n}{3}+1$的强边染色图必然具有该性质。
2023-05-05 math.CO
Nordhaus-Gaddum-type theorem for total proper connection number of graphs
一个图称为\emph{total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。全着色图$G$中的一条路$P$称为\emph{total-proper path}，如果$P$的任何两个相邻边被赋予不同的颜色; $P$的任何两个相邻内部顶点被赋予不同的颜色; $P$的任何内部顶点被赋予与$P$的关联边不同的颜色.全着色图$G$称为\emph{total-proper connected}，如果$G$的任意两个不同的顶点通过全真路连接，则连通图$G$的\emph{total-proper connection number}，记为$tpc(G)$，是使$G$全真连通所需的最少颜色数.本文首先用$tpc(G)=n-1$刻画了$n$顶点上的图$G$。在此基础上，得到了全真联络数的Nordhaus-Gaddum型结果.证明了如果$G$和$\overline{G}$是$n$顶点上的连通补图，则$6\leq tpc(G)+tpc(\overline{G})\leq n+2$ .举例说明了$n\geq 4$的下界是尖锐的。当且仅当$G$或$\overline{G}$是具有最大度$n-2$的树时，$n\geq 5$达到上界。
2016-11-30 math.CO
On the Number of Rainbow Spanning Trees in Edge-Colored Complete Graphs
一个正确边着色的完全图$K_n$的生成树是彩虹树，只要它的每条边都有不同的颜色。在1996年，Brualdi和Hollingsworth提出，如果$K_{2m}$是正确的$(2m-1)$ -边着色，那么$K_{2m}$的边可以被划分成$m$彩虹生成树，除了当$m=2$。本文通过一种显式的构造性方法，对$m$的任意正值，构造了$\lfloor \sqrt{6m+9}/3 \rfloor$的边不相交彩虹生成树.不仅产生了彩虹树，而且每个彩虹生成树的一些结构也在这个过程中被确定。这改进了文献中迄今为止最好的建设性结果，该结果恰好产生了三棵彩虹树。
2018-05-08 math.CO
Automorphisms of $S_6$ and the Colored Cubes Puzzle
给定一个有六种颜色的调色板，一个彩色立方体是一个立方体，其中每个面都用一种颜色着色，并且每种颜色都出现在某个面上。从一个任意的单位长度彩色立方体集合开始，可以尝试将集合的子集排列成一个$n \times n \times n$立方体，其中每个面都是单色。这是彩色立方体拼图。在本文中，我们确定所需的立方体的最小尺寸集，以完成$n \times n \times n$立方体的框架，它的角落和边缘。我们回答这个问题的所有$n$，并特别表明，对于$n \geq4$一个有最好的可能的结果，只要有足够的立方体来建立一个框架，它总是可以做到的，无论立方体的集合。我们的部分分析涉及$6$着色的立方体集及其相关的$S_6$操作。除了此操作提供的问题简化之外，它还提供了另一种可视化$S_6$外部自同构的方法。
2015-03-24 math.CO
Connected zero forcing sets and connected propagation time of graphs
图$G$的迫零数$Z(G)$是一个顶点着色（黑）的集合$S$的最小基数，它使得集合$V(G)$在一定时间后被着色（黑）.“颜色变化规则”：当白色顶点是黑色顶点的唯一白色邻居时，白色顶点被改变为黑色顶点。在这种情况下，我们说黑顶点迫使白顶点。本文研究了连通迫零集和连通迫零数的概念。我们讨论了特殊图和一些图的乘积的问题。我们还引入了连通传播时间。刻画了具有极大最小连通传播时间和极大传播时间的图$|G|-1$和$|G|-2$.
2017-02-22 math.CO
Stanley--Elder--Fine theorems for colored partitions
我们给出了一个新的证明划分定理俗称长老定理，但这也归功于斯坦利和罚款。我们将定理扩展到有色分区（或预制件）的上下文中。更具体地说，我们给出类似的结果$b$着色分区，其中每个部分出现在$b$颜色;为$b$着色分区与奇数部分（或不同的部分）;分区的部分$k$在$k$颜色;和overpartitions。
2021-03-04 math.CO math.NT
Proper vertex-pancyclicity of edge-colored complete graphs without joint monochromatic triangles
在边着色图$(G,c)$中，$d^c(v)$表示与$G$的顶点$v$关联的边上的颜色数，$δ^c(G)$表示$d^c(v)$在所有顶点$v\in V(G)$上的最小值.如果$(G,c)$的循环的任何两个相邻边具有不同的颜色，则该循环被称为真循环。一个$n\geq 3$的顶点被边着色，如果对于每个$\ell$，$(G,c)$的每个顶点都包含在一个长度为$\ell$的真圈中，并且$(G,c)$的每个顶点都有$3 \le \ell \le n$ . Fujita和Magnant证明了$n\geq 3$顶点上的边着色完全图都是点泛圈图，且其顶点数为$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$. Chen，Huang和Yuan通过增加一个额外的条件，即$(G,c)$不包含任何单色三角形，部分地解决了这个猜想。在本文中，我们证明了这个猜想是正确的，如果边着色完全图不包含联合单色三角形。
2020-07-28 math.CO
Optimal proper connection of graphs
一个边有色图$G$称为恰当着色图，如果在$G$中没有两个邻边共享同一颜色.一个边着色连通图$G$称为恰当连通图，如果在每对不同的顶点之间存在一条恰当着色的路。本文讨论了如何有效地使一个连通图正确连通。更确切地说，我们考虑的问题，转换成适当连接的$p$边缘与$q$颜色，使$p+q$是尽可能小的给定的单色图。我们讨论了如何有效地做到这一点的一些限制图，如树，完全二部图和图的独立数$2$。
2019-03-08 math.CO
On clique numbers of colored mixed graphs
一个（m，n）-着色混合图，或者简单地说，一个（m，n）-图是一个有m个不同类型的弧和n个不同类型的边的图。一个（m，n）-图G到另一个（m，n）-图H的同态是一个保持邻接性、类型和方向的顶点映射。G的顶点集的子集R在任何同态下总是将其自身的不同顶点映射到不同的像顶点，称为G的（m，n）-相对团。图的（m，n）-相对团的最大基数称为图的（m，n）-相对团数。在这篇文章中，我们探讨了（m，n）-相对团数的各种家庭的图。
2022-01-06 cs.DM math.CO
Note on rainbow cycles in edge-colored graphs
设$G$是一个边着色为$c$的$n$阶图，$δ^c(G)$表示$G$的最小着色度. $G$的一个子图$F$称为彩虹图，如果$F$的所有边都有两两不同的颜色.关于边有色图的彩虹圈，已有很多结果.本文证明了：（i）若$δ^c(G)>\frac{3n-3}{4}$，则$G$的每个顶点都包含在彩虹三角形中;（ii）若$δ^c(G)>\frac{3n}{4}$，则$G$的每个顶点都包含在彩虹$C_4$中;（iii）若$G$是完备的，$n\geq 8k-18$和$δ^c(G)>\frac{n-1}{2}+k$，则$G$包含一个长度至少为$k$的彩虹圈.同时也发现并纠正了以往出版物中的一些不足之处。
2020-10-22 math.CO
Latin squares and their defining sets
拉丁方$L(n,k)$是一种$n$阶的正方形，其条目用$k$颜色着色，因此一行或一列中的所有条目都具有不同的颜色。令$d(L(n,k))$为$n \times n$正方形的着色项的最小数目，使得存在对尚未着色的项着色的唯一方式，以获得拉丁正方形$L(n, k)$。本文讨论了$k=2n-1$和$k=2n-2$的$d(L(n,k))$的性质。我们给出了$d(L(n, 2n-1))=n^2-n$恒等式的另一个证明，它对偶数$n$成立，我们建立了新的结果$d(L(n, 2n-2)) \geq n^2-\lfloor\frac{8n}{5}\rfloor$，并证明了这个界对于可被10整除的$n$是紧的。
2005-09-19 math.CO
Alternating Reachability
我们考虑一个有色边的图。当连续的边具有不同的颜色时，轨迹（顶点可以重复，但边不能重复）称为\emph{alternating}。给定一组称为\emph{terminals}的顶点，\emph{alternating reachability}问题是找到连接不同终端的交替轨迹（如果存在）。具有两种颜色的特殊情况是搜索关于给定匹配的增广路径。在另一种具有红色和蓝色两种颜色的特殊情况下，\emph{alternating cone}被定义为向边分配非负权重的集合，使得在每个顶点处，红色总权重等于蓝色总权重;在配套论文中，我们展示了如何在交替圆锥中的给定框内搜索积分权向量可以简化为2-有色图中的交替可达性问题。我们定义了一个障碍，称为\emph{Tutte set}，存在一个交替的线索连接不同的终端在有色图，并给出了一个多项式时间算法，推广了埃德蒙兹的开花算法，找到一个交替的线索连接不同的终端或Tutte集。我们使用Tutte集证明了一个边着色的无桥图，其中每个顶点至少有两个不同颜色的入射边，有一个封闭的交替轨迹。一个特殊的情况下，有两种颜色，其中之一形成匹配产生一个组合的结果贾尔斯和西摩。证明了在2-有色图中，闭交错迹的特征向量生成的锥是交错锥与底层图中圈的特征向量生成的锥的交.
2005-11-29 math.CO
Homomorphism-homogeneous L-colored graphs
一个关系结构是同态-齐性的（简称HH-齐性），如果该结构的有限导出子结构之间的每个同态都可以扩展为该结构的整个定义域上的同态。类似地，一个结构是单态齐性的（简称MH-齐性），如果该结构的有限诱导子结构之间的每个单态都可以扩展为该结构的整个定义域上的同态。本文考虑L-有色图，即不含圈的无向图，其中从L中选出的颜色集被赋予顶点和边。给出了有限MH-齐L-有色图的一个完全分类，其中L是一个链，并且我们证明了MH类和HH类是一致的。当L是一个钻石，也就是说，一组成对的不可比元素富集了一个最大的和一个最小的元素，情况变得更加复杂。我们表明，在一般情况下，类MH和HH不一致。
2012-04-26 math.CO
Equality of Graver bases and universal Gröbner bases of colored partition identities
与任何向量配置A相关联的是由A的核中的向量编码的复曲面理想。每个复曲面理想都有两个特殊的生成集：泛Gröbner基和Graver基。虽然前者通常是后者的真子集，但也有两个集合重合的情况。其中最突出的例子是幺模矩阵的环面理想。泛Gröbner基和Graver基的相等性是复曲面理想（或定义矩阵）的一个组合性质，提供了关于矩阵的高阶Lawrence提升理想的有趣信息。尽管如此，这两个集合都同意的所有矩阵的一般分类还远未可知。我们有助于这一任务，确定所有的情况下，平等的两个家庭的矩阵，即那些定义合理的正常涡卷和那些编码同质原始着色分区身份。
2010-04-13 math.AC math.CO math.OC
Rainbow polygons for colored point sets in the plane
该研究针对平面彩色点集的完美彩虹多边形最小顶点数问题，确定了k≤7时的rb-index(k)值，给出k≥5时的上下界，并提出O(n log n)时间的构造算法。
2021-03-30 cs.CG cs.DM math.CO
Partitioning 2-edge-colored graphs by monochromatic paths and cycles
给出了$2$ -边-有色图的顶点划分为单色路和圈的结果.我们渐近地证明了Sárközy猜想的双色情形：每个$2$ -边着色图的顶点集最多可划分为$2α(G)$单色圈，其中$α(G)$表示$G$的独立数.另一个方向，最近出现的一个猜想Schelp，是考虑着色的图与给定的最低程度。证明了除$o(|V(G)|)$顶点外，任何最小度至少为$(1+\eps){3|V(G)|\over 4}$的$2$ -边着色图$G$的顶点集都能被两个顶点不相交的不同颜色单色圈的顶点所覆盖.最后，在假设$\overline{G}$不包含固定二部图$H$的条件下，证明了在$G$的每一个$2$ -边染色中，$|V(G)|-c(H)$顶点可以被两条不同颜色的顶点不相交路覆盖，其中$c(H)$是一个只依赖于$H$的常数.特别是，我们证明了$c(C_4)=1$，这是最好的可能。
2015-09-18 math.CO
A geometric proof of the colored Tverberg theorem
着色Tverberg定理断言，对于每个d和r，存在t=t（d，r），使得对于R^d中基数为（d+1）t的每个集合C，划分为t-点子集C_1，C_2，.，C_{d+1}（我们将其视为颜色类;例如，C_1的点是红色的，C_2的点是蓝色的，等等），存在r个不相交的集合R_1，R_2，.，R_r \subseteq C是“彩虹”，意思是|R_i \cap C_j| < 2，且其凸包都有公共点。这个定理的所有已知证明都是拓扑的。我们提出了一个几何版本的最近美丽的证明布拉戈耶维奇，Matschke和齐格勒，避免直接使用拓扑方法。这种去拓扑化的目的是使证明更加具体和直观，并且更广泛的受众可以访问。
2011-06-01 math.CO
Long properly colored cycles in edge colored complete graphs
设$K_{n}^{c}$表示一个完全图，它的$n$顶点的边可以任意着色.令$Δ^{\mathrm{mon}} (K_{n}^{c})$表示与$K_{n}^{c}$的顶点关联的相同颜色的边的最大数目。$K_{n}^{c}$中正确着色的循环（路径）是相邻边具有不同颜色的循环（路径）。B. Bollobás和P. Erdös（1976）提出了如下猜想：如果$Δ^{\mathrm{mon}} (K_{n}^{c})<\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$，则$K_{n}^{c}$包含一个适当着色的哈密顿圈。Li，Wang和Zhou证明了，如果$Δ^{\mathrm{mon}} (K_{n}^{c})< \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$，则$K_{n}^{c}$包含一个长度至少为$\lceil \frac{n+2}{3}\rceil+1$的适当着色圈.本文改进了$\lceil \frac{n}{2}\rceil + 2$的界。
2014-02-24 cs.DM math.CO
Edge-colorings of $K_{m,n}$ which Forbid Multicolored Cycles
边着色图中的一个子图是多色的，如果它的所有边都有不同的颜色.本文研究了完全二部图$K_{m,n}$的不允许多色圈的正常边染色。主要证明了：（1）对任意整数$k\geq 2$，若有$n\geq 5k-6$，则任意正$n$ -边着色的$K_{k,n}$包含一个多色$C_{2k}$;（2）确定了禁止多色$C_6$的正边着色完全二部图的阶.
2014-06-30 math.CO
The classification of tensor categories of two-colored noncrossing partitions
我们的基本对象是划分成不相交的子集的点的有限集。我们研究的分区下，采取张量积，合成和对合，并包含一定的基础分区是封闭的。这些所谓的分区类别正是在Banica和Speicher的正交易量子群理论中使用的张量类别。在我们的方法中，我们还允许点的着色。这是引入幺正易量子群的基础，这将在另一篇文章中完成。然而，本文纯粹是组合性的。我们发现所有类别的双色不相交分区。为此，我们提取了某些参数，这些参数的值以自然数表示，这些参数指定了全局和局部级别上类别的着色。结果是，有十个系列的类别，每个系列由一个或两个来自自然数的参数索引，再加上两个额外的类别。这只是双色划分范畴分类的开始，我们在文章的最后指出了一些有待解决的问题。
2015-09-03 math.CO math.QA
A Note on the 2-Colored Rectilinear Crossing Number of Random Point Sets in the Unit Square
本文研究单位正方形中随机四点集的边着色交叉问题，证明同色交叉边概率为1/4，并给出随机绘制下使单色交叉数期望降至交叉总数1/2-7/50的着色方案。
2023-12-04 cs.CG math.CO
The zero forcing polynomial of a graph
迫零是一个迭代的图着色过程，其中给定一组初始着色的顶点，具有单个未着色邻居的着色顶点使该邻居变为着色。迫零集是一组最初着色的顶点，它们导致整个图最终变成着色的。本文研究了与迫零有关的计数问题。我们引入一个图的迫零多项式为$\mathcal{Z}(G;x)=\sum_{i=1}^n z(G;i) x^i$，其中$z(G;i)$是大小为$i$的$G$的迫零集的数目。我们刻画了$\mathcal{Z}(G;x)$的极值系数，导出了几类图的迫零多项式的封闭形式表达式，并探讨了$\mathcal{Z}(G;x)$的各种结构性质，包括乘法性、单峰性和唯一性。
2018-01-26 math.CO
Rainbow Turán Problem for Even Cycles
一个边有色图是彩虹图，如果它的所有边都用不同的颜色着色.对于固定图$H$，彩虹图兰数$\mathrm{ex}^{\ast}(n,H)$定义为在没有$H$彩虹副本的情况下，$n$顶点上的正确边有色图中的最大边数.本文研究了偶数圈的彩虹Turán数，证明了对每一个固定的$\varepsilon > 0$，存在一个常数$C(\varepsilon)$，使得每一个在$n$顶点上具有至少$C(\varepsilon) n^{1 + \varepsilon}$边的适当边有色图至多包含一个偶数长的彩虹圈$2 \lceil \frac{\ln 4 - \ln \varepsilon}{\ln (1 + \varepsilon)} \rceil$ .这部分回答了Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte的一个问题，他们问一个图在没有任何长度的彩虹周期的情况下可以有多密集。
2012-05-14 math.CO
Rainbow Cliques in Edge-Colored Graphs
该研究在边着色图领域，将H. Li关于最小色度大于n/2保证彩虹三角形存在的结论，推广到了r≥4的团Kr情形，拓展了彩虹团存在性的相关结果。
2024-07-11 math.CO
On Even Rainbow or Nontriangular Directed Cycles
设$G = (V, E)$是$n$ -点边着色图. 2013年，H. Li证明了如果每个顶点$v \in V$都至少与$(n+1)/2$有明显颜色的边关联，则$G$允许一个彩虹三角形。对于固定的偶彩虹$\ell$ -圈$C_{\ell}$，我们建立了一个相应的结果：如果每个顶点$v \in V$至少与$(n+5)/3$的不同色边相关联，其中$n \geq n_0(\ell)$足够大，则$G$允许偶彩虹$\ell$ -圈$C_{\ell}$ .当$\ell \not\equiv 0$（mod 3）时，此结果可能最佳。相应地，我们还证明了，对于一个固定的（偶数或奇数）整数$\ell \geq 4$，每一个大的$n$ -顶点定向图$\vec{G} = (V, \vec{E})$最小出度至少$(n+1)/3$允许一个（一致）有向$\ell$ -圈$\vec{C}_{\ell}$。我们的后一个结果与Kelly、Kühn和Osthus的一个结果有关，他们证明了具有大半度的定向图的类似陈述。我们的证明是基于稳定性方法。
2019-12-04 math.CO
Properly colored even cycles in edge-colored complete balanced bipartite graphs
本文研究边着色完全平衡二部图中的正常着色偶圈存在性，先证明满足最小色度条件的图含长圈PC 2-因子，再结合概率与吸收技术证明大阶数图在更高色度条件下是正常顶点偶泛圈的。
2023-10-08 math.CO
The minimum color degree and a large rainbow cycle in an edge-colored graph
设$G$是一个顶点数为$n$的边有色图.如果$E(H)$中每对边的颜色不同，则称$G$的子图$H$为$G$的彩虹子图。我们定义$G$的最小颜色度为对于所有$v\in V(G)$，入射到顶点$v$的边的颜色的最小数目。假设$G$不包含长度为4的彩虹循环子图。证明了如果$G$的最小色度至少为$\frac{n+3k-2}{2}$，则$G$包含一个长度至少为$k$的彩虹循环子图，其中$k\geq 5$ .此外，如果$G$的条件被限制为包含长度至少为$\frac{3k}{2}$的彩虹路径的无三角形图，则保证存在长度至少为$k$的彩虹循环子图的$G$的最小色度的下界可以被降低到$\frac{2n+3k-1}{4}$。
2017-09-25 math.CO
Some results on minimum skew zero forcing sets, and skew zero forcing number
设$G$是一个图，而$Z$是它的顶点的子集，我们将其着色为黑色，而其余的着色为白色。我们定义倾斜颜色变化规则如下：如果$u$是$G$的顶点，并且它的邻居$v$中恰好有一个是白色的，则将$v$的颜色更改为黑色。如果应用偏斜颜色变化规则（根据需要多次）将导致所有顶点都为黑色的$G$，则集合$Z$是$G$的偏斜迫零集合。一个集合$Z$是$G$的最小偏斜迫零集合，如果它是最小基数的$G$的偏斜迫零集合。偏斜迫零数$\sZ (G)$是$G$的所有偏斜迫零集$Z$上的$|Z|$的最小值。本文讨论了具有极端斜迫零数的图。我们用$\sZ (G)$刻画了完全多部图.我们注意到在某些二部图和单圈图中最小斜迫零集与匹配之间的关系。本文证明了某些二部图的最小斜迫零集集合中的元素是拟阵的基。
2014-05-15 math.CO
On restricted colorings of $(d,s)$-edge colorable graphs
如果一个循环的边被两种不同的颜色正确着色，则该循环是$2$着色的。一个$(d,s)$ -边可着色图$G$是一个$d$ -正则图，它允许一个适当的$d$ -边着色，其中$G$的每条边至少在$s-1$ $2$ -着色$4$ -圈中.给定一个$(d,s)$ -边可着色图$G$和满足一定稀疏性条件的$G$的边的禁色列表分配$L$，证明了$G$存在一个避免$L$的$d$ -边适当着色，即$G$的适当边着色$φ$，使得对$G$的每条边$e$都有$φ(e) \notin L(e)$.
2019-05-25 math.CO
Rainbow Hamilton cycles in random graphs
随机图理论中最著名的结果之一是确定了Erdos-Renyi随机图G_{n,p}的Hamilton性阈值约为p ~（log n + log log n）/ n。已经做了大量的研究，以扩展到越来越具有挑战性的随机结构。特别地，Frieze最近的一个结果通过将3-一致超图连接到边-有色图来确定随机3-一致超图中松弛Hamilton圈的渐近阈值。在这项工作中，我们考虑边-有色图设置，并证明了一个结果，它达到了最好的可能的一阶常数。具体地说，当G_{n,p}的边缘是随机着色从一组（1 + o（1））n颜色，p =（1 + o（1））（log n）/ n，我们表明，几乎总是可以找到一个汉密尔顿循环，它具有进一步的属性，所有的边缘是明显的颜色（彩虹）。
2010-12-31 math.CO
Rainbow triangles in edge-colored complete graphs
设$G$是一个具有边着色$c$的$n$阶图，$δ^c(G)$表示$G$的最小色度.如果$G$的子图$F$的任意两条边具有不同的颜色，则称之为彩虹图.关于边着色完全图中的彩虹三角形，现有的文献中已有很多结果。Fujita和Magnant证明了对一个阶为$n$的边着色完全图$G$，如果$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$，则$G$的每个顶点都包含在一个彩虹三角形中.本文证明了如果$δ^c(G)\geq \frac{n+k}{2}$，则$G$的每个顶点至少包含在$k$彩虹三角形中，这可以看作是他们结果的推广. Li证明了对一个阶为$n$的边着色图$G$，如果$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$，则$G$包含一个彩虹三角形.证明了如果$G$是完备的，且$δ^c(G)\geq \frac{n}{2}$，则$G$包含彩虹三角形且边界是尖锐的. Hu等人证明了对于$n\geq 20$阶边着色图$G$，如果$δ^c(G)\geq \frac{n+2}{2}$，则$G$包含两个顶点不相交的彩虹三角形.证明了若$G$是序$n\geq 8$和序$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$完备的，则$G$包含两个顶点不相交的彩虹三角形.此外，我们将Hu等人的结果从$n\geq 20$改进为$n\geq 7$，这是可能的最佳结果。
2020-12-03 math.CO
Erdős-Gallai-type results for the rainbow disconnection number of graphs
设$G$是一个非平凡的连通边有色图。如果$G$的边切割$R$没有两个边被着色为相同的颜色，则将其称为彩虹切割。一个边有色图$G$称为彩虹不连通图，如果对于$G$的每两个不同的顶点$u$和$v$，存在一个将它们分开的$u-v$彩虹割.对于连通图$G$，$G$的彩虹不连通数，记为$rd(G)$，定义为使$G$彩虹不连通所需的最小颜色数。本文研究了$rd(G)$的Erdens-Gallai型结果，并完全解决了它们.
2019-01-08 math.CO
