Boundary Hölder regularity for the fractional Laplacian over Reifenberg flat domains via ABP maximum principle
本文研究Reifenberg平坦域上分数阶拉普拉斯方程的弱解，在平坦度参数足够小时，利用迭代论证和非局部ABP极大值原理，证明了弱解具有边界Hölder正则性。
2025-01-24 math.AP
Global regularity of the 2D fractional Boussinesq equations with subcritical dissipation
University of Notre Dame（圣母大学）；Beijing Normal University（北京师范大学）；Jiangsu Normal University（江苏师范大学）
研究二维不可压缩Boussinesq方程在分数阶耗散$(-\Delta)^{\frac\alpha2}u$和$(-\Delta)^{\frac\beta2}\theta$下的整体正则性问题，聚焦于次临界区域$\alpha+\beta>1$，通过推导分数阶Laplacian算子的非线性下界并实施迭代过程，解决了$\alpha\leq\frac23$的剩余情形，得到了最锐利的正则性结果。
2026-06-02 math.AP
Global existence, uniqueness and $L^{\infty}$-bound of weak solutions of fractional time-space Keller-Segel system
研究了一类含Logistic源项的分数阶时空抛物椭圆型Keller-Segel方程在$\mathbb{R}^{n}$，$n\geq 2$中的弱解的性质.证明了弱解的整体存在性和$L^{\infty}$ -界.我们主要将阻尼系数分为两种情况：（i）$b>1-\fracα{n}$，对于任意初始值和出生率;（ii）$0<b\leq 1-\fracα{n}$，对于小初始值和小出生率。通过证明所构造的正则化方程解的存在性，并结合时间分数阶偏微分方程的广义紧性准则，得到解的存在性结果.同时，通过建立分数阶微分不等式并利用Moser迭代方法，得到了弱解的$L^{\infty}$界。进一步，当阻尼系数较强时，利用超压缩估计证明了弱解的唯一性。最后，我们还提出了一个弱解爆破的判据，即如果一个弱解在有限时间内爆破，则对所有的$h>q$，该弱解的$L^{h}$ -范数同时爆破.
2022-05-23 math.AP
Numerical schemes for reconstructing profiles of moving sources in (time-fractional) evolution equations
本文讨论了（时间分数阶）发展方程中确定源剖面的运动源反问题的数值重建格式。作为唯一性理论结果的延续，我们采用正则化极小化方法构造了求解约化后向问题的迭代阈值格式，该方法只需恢复一个或两个未知初值.此外，提出了一种椭圆形方法来求解对流方程的情况下，两个剖面。
2020-03-31 cs.NA math.AP math.NA
Identification of time-varying source term in time-fractional diffusion equations
研究了在$(0,2)$中求解具有常阶时间分数阶导数的扩散方程的源项与时间和空间有关的反问题。我们检查两个不同的情况。在第一个中，源是两个空间和时间项的产品，我们证明了他们都可以检索的知识的一个任意的内部测量的解决方案的所有时间。在第二种情况下，我们假设产品的首项随一个固定的空间变量而变化，而第二个是所有剩余的空间变量和时间变量的函数，我们表明，这两个术语是唯一确定的两个任意横向测量的解决方案在整个时间跨度。这两个震源识别结果在第一种情况下归结为弱唯一延拓原理，在第二种情况下归结为柯西数据唯一延拓原理，并初步建立了这两个震源识别结果。最后，通过基于Tikhonov正则化方法的迭代算法，将源项的空间项数值重构为两个空间项和时间项的乘积。
2021-06-25 math.AP
Hölder regularity for the parabolic perturbed fractional 1-Laplace equations
Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学）；School of Mathematics, Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学数学学院）；Institute for Advanced Study in Mathematics, Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学高等研究院）
本文研究了一类抛物型扰动分数1-拉普拉斯方程弱解的正则性，结合差分商、能量估计和迭代方法，通过分解非局部积分处理其贡献，证明弱解在抛物域内局部Hölder连续，建立Sobolev正则性以推导Hölder连续性。
2026-03-28 math.AP
Recovery of the time-dependent source term in the stochastic fractional diffusion equation with heterogeneous medium
本文考虑了一类具有随机源的分数阶扩散方程的反问题。所用的测量值是单点数据$u(x_0,t,ω).$实现的统计矩。我们建立了解$u$的积分表示，并从理论上证明了未知量可以由矩来约束。对于数值重建，我们建立了一个正则化Levenberg-Marquardt型迭代算法，并给出了一些数值结果。对于高度非均匀介质的情况，将采用广义多尺度有限元法（GMsFEM）。
2020-04-07 cs.NA math.AP math.NA
On the second iterate for active scalar equations
考虑一类Laplacian为分数阶幂γ的活动标量方程的迭代分解格式，并着重讨论第二阶解.我们工作的主要目的是分析所得到的双线性算子的有界性，特别是在超临界状态下。我们的结果是双重的：本文证明了双线性算子在Koch-Tataru空间的分数阶模拟BMO^{1-2γ}中的连续性，并证明了对于偶数符号的方程，B^{-γ}_{ \infty，q} -正则性（其中q > 2）在某种意义下是解的最小必要条件.
2012-08-23 math.AP
A fast front-tracking approach and its analysis for a temporal multiscale flow problem with a fractional-order boundary growth
本文关注的是在动脉壁的缓慢斑块生长的血液流动问题。在该模型中，微观（快）系统是周期性外力作用下的Navier-斯托克斯方程，宏观（慢）系统是描述具有记忆效应的斑块生长的分数阶反应方程。我们构造了一个辅助的时间周期问题和一个有效的时间平均方程来逼近原问题，并分析了相应的线性化PDE（Stokes）系统的逼近误差，其中简单的前沿跟踪技术用于更新慢动边界。然后，基于近似问题和前沿跟踪框架设计了一种有效的多尺度方法。本文还提出了一种空间连续有限元法的时间有限差分格式，并分析了其时间离散误差。此外，设计了一种快速迭代算法来求解时间周期问题的初值，并分析了其收敛性。我们设计的前端跟踪框架和迭代过程中解决时间周期问题，很容易实现现有的偏微分方程求解软件的多尺度方法。该数值方法采用有限元平台COMSOL Multiphysics和主流软件MATLAB相结合的方式实现，大大减少了编程工作量，方便地处理流固耦合问题，尤其是具有复杂几何形状的动边界问题。我们给出了常微分方程和二维Navier-Stokes方程的数值算例来证明多尺度方法的有效性。最后，我们对斑块生长问题进行了数值实验，并讨论了分数阶参数的物理意义。
2022-10-20 cs.NA math.AP math.NA
A fast fractional block-centered finite difference method for two-sided space-fractional diffusion equations on general nonuniform grids
本文针对一般非均匀网格上的双边变系数空间分数阶扩散方程，提出分数阶块中心有限差分法，并结合指数和近似与Krylov子空间方法设计快速算法，显著降低计算复杂度和内存需求，同时保持精度。
2024-10-04 cs.NA math.AP math.NA
On the Boundary Value Problems of Ψ -Hilfer Fractional Differential Equations
本文给出了$Ψ$分数阶微分方程齐次和非齐次线性初值问题的比较结果。在存在上下解的情况下，利用所得到的比较结果和根的位置定理，通过线性非齐次$Ψ$-Hilfer边值问题，证明了线性$Ψ$-Hilfer边值问题解的存在唯一性.在下解$w_0 $和上解$z_0 $存在的条件下，我们证明了非线性$Ψ$边值问题在加权空间$C_{1-\,γ;\, Ψ}\left( J,\,\R\right)$的线段$[w_0,\,z_0]$上的最小解和最大解的存在性.进一步证明了以上下解为起点的迭代Picard型序列分别收敛于极小解和极大解，以线段上任意点为起点的迭代Picard型序列收敛于非线性$Ψ$ -Hilfer边值问题的精确解.最后，一个例子来支持我们获得的主要结果。
2020-09-19 math.AP math.DS
Convergence of Petviashvili's method near periodic waves in the fractional Korteweg-de Vries equation
Department of Mathematics and Statistics, McMaster University（麦克马斯特大学数学与统计系）
研究Petviashvili方法在近周期波中的收敛性，揭示其在求解广义特征值问题不稳定特征值时的失效原因，并通过简单修改实现无条件收敛。
2018-09-08 cs.NA math-ph math.AP
Fractional differential equations of a reaction-diffusion SIR model involving the Caputo-fractional time-derivative and a nonlinear diffusion operator
本研究分析反应扩散SIR模型的分数阶微分方程，利用Caputo分数阶导数与p-Laplacian算子，通过疫苗接种控制变量，建立解的存在唯一性并求解最优控制，数值实验验证其有效性。
2025-02-01 math.AP math.OC q-bio.PE
