Engel structures on complex surfaces
我们对含有恩格尔结构$\mathcal{D}$的复曲面$(M,\,J)$进行了分类，恩格尔结构是复线丛。也就是说，我们证明了这发生当且仅当$(M,\,J)$有平凡的陈类。我们构造的例子，这样的恩格尔结构，通过适应建设由于盖革。我们还研究了相关的恩格尔定义形式，并定义了一个独特的分裂$TM$与$\mathcal{D}$ $J$恩格尔。
2019-06-28 math.DG math.SG
Isotopy Classification of Engel Structures on Circle Bundles
我们称两个恩格尔结构是同位素的，如果它们通过一个固定特征线场的同伦通过恩格尔结构同伦。本文定义了闭定向三流形上定向圆丛上Engel结构的一个同痕不变量，并应用它给出了具有与纤维相切的特征线场的圆丛上Engel结构的一个同迹分类.
2012-09-06 math.DG math.GT math.SG
Left-invariant Sub-Riemannian Engel structures: abnormal geodesics and integrability
我们提供了第一个已知的家庭的例子，可积齐次黎曼结构承认严格异常测地线。这些例子是通过分析次黎曼恩格尔结构的等价问题得到的。利用次黎曼Engel流形上标准标架的结构函数和共轭时的估计，给出了严格反常的判别准则。
2018-05-02 math.DG math.OC
Exotic holomorphic Engel structures on C4
全纯恩格尔结构确定分布$\mathcal{W}\subset \mathcal{D}\subset \mathcal{E}$的标志。我们构造了$\mathbf{C}^4$上的恩格尔结构的例子，使得这些分布中的每一个在没有$\mathbf{C}$的正切拷贝的意义上是双曲的。通过控制曲线$f:\mathbf{C}\to \mathbf{C}^4$与$\mathcal{W}$相切，我们构造了$\mathbf{C}^4$上两个两两非同构的Engel结构无限族.第一个的特点是在$\mathbf{C}^4$承认$\mathcal{W}$ -线的点集的拓扑结构，和第二个由一个更精细的几何属性，这一套。第二种构造的结果是在$\mathbf{C}^4$上存在无数个非同构的全纯恩格尔结构。
2017-07-15 math.CV math.DG
Developing Maps and Engel Automorphisms
$4$ -流形上的完全不可积的$2$ -维分布称为恩格尔结构。具有恩格尔结构的$4$ -流形称为恩格尔流形。Engel流形的展开图是确定Engel结构的重要工具。蒙哥马利用它来证明恩格尔自同构是由全局切片上的值决定的。此外，Montgomery构造了自同构群较小的Engel流形。本文证明了：如果展开映射不是覆叠映射，则Engel流形的自同构群嵌入到接触$3$ -orbifold的Cartan延拓的自同构群中.作为应用，我们将构造一个自同构群为平凡的恩格尔流形。
2021-10-26 math.DG math.DS math.SG
Deformations of Nonholonomic Two-plane Fields in Four Dimensions
恩格尔结构是一个极大不可积的域，其两个平面与一个四维流形相切。任何两个这样的结构都是局部同构的。本文研究了由切触三维流形产生的正则恩格尔结构的整体形变空间。主要的工具是嘉当的延长和延长，让我们之间来回通过某些恩格尔四维流形和接触三维流形的方法。每个恩格尔流形继承一个自然的一维叶理。它的叶是从Engel到切触流形的映射的纤维，当这个映射存在时。叶理具有横向接触构造和切向实射影构造。作为我们的调查的应用，我们表明，一个典型的恩格尔结构上的真正的射影三空间倍的间隔对应于测地线流的两个球，和一个子空间的恩格尔变形对应的空间上的两个球的Zoll度量。
1997-04-25 dg-ga math.DG
Maxwell Strata and Cut Locus in Sub-Riemannian Problem on Engel group
我们考虑了Engel群上的幂零左不变子黎曼结构。这种结构给出了一个基本的局部近似的一般秩2子黎曼结构的4流形附近的一个泛点（特别是，一辆汽车的运动学模型与拖车）。另一方面，这是第三步中最简单的次黎曼结构。我们描述了割迹的全局结构（测地线失去其全局最优性的点集），麦克斯韦集（允许多个极小化的点集），以及割迹与焦散线（沿所有测地线的共轭点集）的交点。描述了割迹的对称性组：它是由一个单参数组的扩张$\mathbb{R}_+$和一个离散的反射组$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$产生的。割迹可分为6个三维层、12个二维层和2个一维层。割迹的三维地层是重数为2的Maxwell地层（每点有2个极小元）。割迹的二维地层由共轭点组成。最后，一维地层是无限重数的Maxwell地层，它们也是由共轭点组成的。亚黎曼测地线到分布的二维平面的投影是欧拉弹性线。对于割迹的每一点，我们描述了对应于到达这一点的极小值的欧拉弹性线。最后，我们描述了最佳合成的结构，即，恩格尔群中每个终点的最小值集。
2017-09-30 math.DG
Characteristic Classes for the Degenerations of Two-Plane Fields in Four Dimensions
有一种特殊的二维平面场，称为恩格尔分布。它们是除了接触场、准接触场和线场之外唯一稳定的正则分布。如果一个四维流形上的任意两平面场被微扰，那么它在一般点上就是恩格尔。另一方面，如果一个流形允许一个定向恩格尔结构，那么这个流形必须是可平行的，因此所谓的恩格尔分布必须有一个退化轨迹--一个恩格尔条件失败的点集。由Zhitomirskii定理这个轨迹是一个有限的联盟的表面。我们证明，这些表面表示陈类相关的分布。
1997-04-02 dg-ga math.DG
Geometry of Cells Sensible to Curvature and Their Receptive Profiles
该研究提出视觉皮层曲率敏感细胞模型，将曲率与尺度关联，通过定向延拓构建四维Engel结构流形，并利用其左不变生成元刻画感受野轮廓。
2025-04-23 math.DG q-bio.NC
On prolongations of contact manifolds
我们应用谱序列来推导出$n$ -fold代数存在的障碍和拓扑分类。在文献中已经使用了延长，试图证明具有与纤维相切的特征线场的$M\times\mathbb{S}^1$上的每个恩格尔结构是由在截面上诱导的切触结构和恩格尔结构沿纤维的扭曲确定的。我们的结果表明，这种说法需要一些修改：分类的Engel结构的同构类型，我们还必须固定一个类的$M$的第一上同调。
2012-09-04 math.DG math.GT math.SG
Engel CR submanifolds of $\mathbb{C}^3$
本文给出了3维流形上$\mathbb{S}^1$丛浸入或嵌入$\mathbb{C}^3$且复切定义Engel结构的充分条件，构造了首批复切为Engel的紧子流形实例，回答了Y. Eliashberg的问题。
2025-09-17 math.DG math.GT math.SG
Curvature Sensitive Cells in the Modular Structures of The Visual Cortex
University of Bologna（博洛尼亚大学）
本文提出了一种模型，用于描述初级视觉皮层中曲率敏感细胞的功能架构，包括模组化、层次化组织、水平连接及Gabor型感受野形状。
2026-03-19 math.DG math.FA q-bio.NC
Classification of homogeneous almost complex $4$-manifolds with non-degenerate torsion bundle
Università degli Studi di Parma（帕尔马大学）
研究具有非退化挠丛的近复$4$流形的局部和整体几何，利用刚性给出齐次情形下的完全分类，并确定所有允许该结构的实$4$维李代数。
2026-06-26 math.DG
Sub-Riemannian curvature of Carnot groups with rank-two distributions
本文所讨论的曲率概念是黎曼截曲率的一个广泛推广。它首先由Agrachev、Barilari和Rizzi在arXiv：1306.5318中引入，并且它被定义用于广泛的一类最优控制问题：一个统一的框架，包括诸如黎曼、次黎曼、芬斯勒和次芬斯勒结构的几何结构。本文研究了秩为2的卡诺群的广义截面曲率。特别地，我们考虑了具有Goursat型水平分布的Cartan群和Carnot群。在这些卡诺群中，我们刻画了充分等正则测地线。对于具有水平Goursat分布的卡诺群，我们证明了它们的广义截面曲率仅依赖于分布的恩格尔部分。这个卡诺群族自然包含了三维海森堡群和恩格尔群。此外，我们还表明，在恩格尔和嘉当群存在初始余向量，有一个无限的离散集的时间，在相应的丰富测地线是不等正则的。
2017-02-08 math.DG math.MG math.OC
On the space of null geodesics of a spacetime: the compact case, Engel geometry and retrievability
该研究计算了一类紧时空的类光测地线切触流形，推广至Zoll流形乘积时空，并用Engel几何刻画了三维切触流形对应时空类光测地线空间的条件及时空恢复方法。
2023-11-09 gr-qc math-ph math.DG
Curvature and the equivalence problem in sub-Riemannian geometry
这些注记介绍了次黎曼流形的等价问题。首先，我们介绍了在联系，标架丛和次黎曼几何的范畴。然后，我们得到了这些注记的主要目的，即给出具有常符号的子Riemann流形上存在的正则分次和连通的描述。这些结构正是为了确定两个流形是否等距所需要的。我们给出了Engel（2，3，4）-流形、Contact流形和Cartan（2，3，5）-流形三个具体的例子。这些笔记是在\href{https://conference.math.muni.cz/srni/}{42nd Winter school: Geometry and Physics}，Snri，Check Republic上给出的系列讲座的编辑版本，主要基于其他早期的工作。然而，恩格尔（2，3，4）-流形的工作是原创性的研究，并说明了重要的特殊情况下，我们的模型具有最小的等距集。
2022-10-24 math.DG
Moduli of special Lagrangians with boundary, II: Lagrangian Flux and Affine Structures
本文延续对卡拉比-丘流形中带边特殊拉格朗日子流形模空间的研究，在其上构造了一对特殊仿射结构与一个黑塞度量，揭示了该模空间的几何结构。
2025-04-10 math.DG
Duality of (2,3,5)-distributions and Lagrangian cone structures
如部分作者所证明的，对于一个$5$维流形$Y$上的给定的$(2, 3, 5)$ -分布$D$，局部存在另一个$5$维流形$X$上的拉格朗日锥结构$C$，它由$(Y, D)$的反常或奇异路径组成.给出了对应于$(2, 3, 5)$ -分布的拉格朗日锥结构类的一个特征.因此，我们完成了$(2, 3, 5)$ -分布和拉格朗日锥结构之间的对偶通过伪积结构的类型$G_2$。给出了一个局部的例子，它对应于$(2,3,5)$ -分布的平坦拉格朗日锥结构的整体模型的非平坦扰动。
2018-08-01 math.DG
Bi-Lagrangian structures and the space of rays
本文研究双拉格朗日结构的局部曲率不变量，基于无散网相关成果建立典范联络平坦性的几何判定条件，完整解决Tabachnikov提出的两类平坦双拉格朗日结构存在性问题。
2024-07-09 math.DG
The Mean Curvature of Special Lagrangian 3-folds in SU(3)-Structures with Torsion
在一般情形下，当周围的6-流形具有内禀挠率时，我们导出了特殊拉格朗日3-折叠的中曲率的计算公式。因此，我们能够刻画那些SU（3）-结构的每一个特殊的拉格朗日3重是一个极小子流形。在这个过程中，我们得到了一个特殊的拉格朗日3-折叠的局部存在的障碍。
2020-12-21 math.DG
Bi-Lagrangian structures and Teichmüller theory
本文在一般的实微分几何和复微分几何的背景下，回顾或介绍了流形上的几种微分结构，并将其应用于Teichmüller理论.我们专注于双拉格朗日即para-Kähler结构，它包括一个辛形式和一对横向拉格朗日叶理。我们特别证明了实解析Kähler流形的复化具有自然的复双拉格朗日结构。然后，我们专注于模空间的几何结构的闭曲面，并表明，旧的和新的几何特征，这些空间的一般理论的正式后果。我们还获得清晰的几个著名的结果Teichmüller理论推导出他们从纯微分几何机械。
2020-08-23 math.DG
A note on Lagrangian submanifolds of twistor spaces and their relation to superminimal surfaces
本文证明了定向黎曼$4$ -流形的超极小曲面与$4$ -流形上扭量空间的特殊拉格朗日子流形之间的双射对应。更明确地说，对于每一个超极小曲面的扭量空间的子流形的构造是拉格朗日的扭量空间上的所有自然的几乎厄米结构。扭量纤维化限制到所构造的拉格朗日函数给出了超极小曲面上的圆丛。相反，如果扭量空间的一个子流形对于所有自然的几乎厄米结构都是拉格朗日的，那么拉格朗日投影到一个超极小曲面上，并且包含在从这个曲面构造的拉格朗日中。特别是这产生了许多拉格朗日子流形的扭量空间$\mathbb{C} P^3$和$\mathbb{F}_{1,2}(\mathbb{C}^3)$关于这两个凯勒结构以及近凯勒结构。并且证明了这些拉格朗日子流形是极小子流形。
2020-01-21 math.DG
On the Hamiltonian and Lagrangian structures of time-dependent reductions of evolutionary PDEs
本文研究了发展偏微分方程在不定常对称的驻点流形上的约化问题。特别地，我们描述了如何从初始偏微分方程的哈密顿结构得到约化系统的有限维哈密顿结构，并构造了与时间相关的不定常哈密顿函数。我们还提出了一个非常普遍的拉格朗日制定的程序的减少。作为一个应用程序，我们考虑的情况下，Painlevé方程PI，PII，PIII，PVI和某些高阶系统出现在理论的Frobenius流形。
2001-12-22 math.DG
Minimal Lagrangian submanifolds in indefinite complex space
考虑复线性空间C^n具有标准伪厄米特签名形式（2 p，2（n-p））。这在C^n上产生伪黎曼和辛结构。我们证明了那些子流形，这是拉格朗日和最小的关于这些结构的体积最小化在其拉格朗日同调类。我们还描述了几个家庭的最小拉格朗日子流形。特别地，我们刻画了C ^2中具有自然中立度量的极小Lagrange曲面和C^n中具有任意签名的等变极小拉格朗日子流形.
2012-02-07 math.DG
Calabi-Yau structure and special Lagrangian submanifold of the complexified symmeric space
已知紧型对称空间的复化存在Calabi-Yau结构。本文利用Schwarz定理详细描述了复化对称空间的Calabi-Yau结构。我们考虑的情况下，卡-丘结构产生的黎曼度量对应的Stenzel度量。在具有这种Calabi-Yau结构的复化对称空间中，我们构造了在原紧型对称空间的等距群的对称子群作用下不变的任意相的特殊拉格朗日子流形.
2019-02-05 math.DG
Dirac operators on Lagrangian submanifolds
研究了Kähler流形的拉格朗日子流形上的自然Dirac算子.我们首先证明了它的平方与Hodge-de-Rham Laplacian重合，只要它的复结构确定了子流形的切丛和法丛的自旋结构。然后，我们给出该算子的本征值的外部估计，并讨论了一些例子。
2004-05-14 math.DG
Quantum Structures for Lagrangian Submanifolds
我们讨论各种代数量子结构相关的单调拉格朗日子流形，我们提出了一些应用，计算和例子。
2007-08-30 math.DG math.SG
Bi-Lagrangian structures on nilmanifolds
我们研究双拉格朗日结构（一个辛形式与一对互补的拉格朗日叶理，也被称为para-Kähler或Künneth结构）的维数小于小于或等于6的零流形。特别是，建立在以前的工作的几个作者，我们确定6维幂零李代数承认一个双拉格朗日结构。在6维中，有（直到同构）26个幂零李代数允许辛形式，其中16个允许双拉格朗日结构，其中10个不允许。我们还计算了这些双拉格朗日结构的正则联络的曲率。
2019-02-21 math.DG math.SG
Moduli spaces of special Lagrangians and Kähler-Einstein structures
我们将构造一个由Kähler-Einstein结构对和特殊拉格朗日量构成的模空间，并得到这些对的模空间的光滑性.进一步证明了这些对的模空间局部嵌入到某个相对上同调群中。
2001-09-21 math.AG math.DG
Reducing almost Lagrangian structures and almost CR geometries to partially integrable structures
本文给出了一种分析几乎CR几何$(H,J)$的方法，即由相同的数据定义一个部分可积结构$(H,K)$.因此，两个几乎CR几何$(H,J)$和$(H',J')$等价当且仅当它们生成同构的诱导部分可积CR几何$(H,K)$和$(H',K')$，并且如果这些空间之间的CR态射集合包含将$J$映射到$J'$的元素。类似的结果几乎拉格朗日结构。
2008-07-10 math.DG math.SG
Algebraic structures in Lagrangian Floer cohomology modelled on differential forms
本文在微分形式模型中构造了拉格朗日弗洛尔上同调上的代数结构，并证明其与基于闭-开映射的另一种代数结构一致，进而应用于二维 Clifford 环面的模结构。
2024-04-02 math.DG math.SG
The structure of time and inertial forces in Lagrangian mechanics
在力学问题中，对于无穷小的变化，经典的时间是固定的。显然，在文献中似乎没有数学理由来证明这一标准程序。这可以通过揭示拉格朗日力学中时间的内在数学结构来解释。此外，该结构还提供了处理惯性力的一般方法。
2008-01-27 math-ph math.DG math.MP
The moduli space of complex Lagrangian submanifolds
继早期的论文中的微分几何结构的特殊拉格朗日子流形的模空间的卡-丘流形，我们遵循类似的方法，紧凑的复杂的拉格朗日子流形的（凯勒）复杂的辛流形。自然的几何结构上的模空间是一个特殊的凯勒度量，但我们提供了一个不同的观点对局部微分几何的这些，基于结构的子流形的$V\times V$（其中$V$是一个辛向量空间），这是拉格朗日关于两个常数辛形式。作为一个应用程序，我们使用这个观点如何hyperkähler度量Cecotti，费拉拉和Girardello相关联的一个特殊的Kähler结构适合到勒让德变换建设的Lindström和Ro \v cek。
1999-01-18 math.AG math.DG
Partially hyperbolic diffeomorphisms and Lagrangian contact structures
本文对稳定分布、不稳定分布和中心分布光滑且非徘徊集等于整个流形的三维切触部分双曲同态进行了分类。我们证明，在有限商或有限幂的情况下，它们光滑地共轭于代数接触-Anosov流的时间一映射，或零流形的仿射部分双曲自同构。由这三个不变分布引起的刚性几何结构在证明中起着基础性的作用。
2021-01-08 math.DG math.DS
SU(3)-structures and Special Lagrangian Geometries
我们从特殊的拉格朗日角度推广了Calabi-Yau 3-folds。更准确地说，我们研究的SU（3）-结构，承认作为“好”的一个局部特殊的拉格朗日几何的平坦$\mathbf{C}^3$或卡-丘结构。潜在的殆复结构可能是不可积的。这种SU（3）结构称为{ \it容许}。其中，我们特别感兴趣的SU（3）-结构的一个子类称为{ \it nearly Calabi-Yau}。本文讨论了可容许SU（3）-结构和Cartan意义下的近似Calabi-Yau结构的局部通性。从自对偶Einstein四维流形的扭量空间中构造了近似Calabi-Yau结构但非Calabi-Yau结构以及其它可容许的SU（3）结构的例子。通过考虑SU（3）结构的反复对合，得到了两类完备特殊拉格朗日子流形的例子。最后，我们证明了近Calabi-Yau流形中紧致特殊拉格朗日子流形的模空间的行为与Calabi-Yau流形中的模空间的行为相同.
2006-10-17 math-ph math.DG math.MP
Generalized Lagrangian mean curvature flows in symplectic manifolds
辛流形$(N, ω)$上的几乎Kähler结构由一个黎曼度量$g$和一个几乎复结构$J$组成，使得辛形式$ω$满足$ω(\cdot, \cdot)=g(J(\cdot), \cdot)$。任何辛流形都有一个几乎凯勒结构，我们称$(N, ω, g, J)$为几乎凯勒流形。在这篇文章中，我们提出了一个自然的发展方程来研究几乎Kähler流形中的Lagrange子流形的变形。$TN$上的度量复联络$\hn$定义了沿$N$的任意拉格朗日子流形$M$的广义中曲率向量场。我们研究了$M$沿着这个矢量场的演化，只要连接$\hn$满足爱因斯坦条件，它就变成了一个拉格朗日变形。这可以看作是经典拉格朗日中曲率流在Kähler-Einstein流形中的推广，其中连接$\hn$是$g$的Levi-Civita连接。我们的结果适用于一个重要的情况下，拉格朗日子流形的余切丛配备了典型的几乎Kähler结构和其他推广的拉格朗日中曲率流，如流量考虑Behrndt \cite{b}在Kähler流形，几乎是爱因斯坦。
2009-10-14 math.DG math.SG
Lie algebroid structures and Lagrangian systems on affine bundles
作为前几篇文章的继续，我们利用仿射丛的标准浸入到它的双对偶中的方法，研究了仿射丛上的李代数体结构的概念。我们特别注意的延长和各种提升程序，并在仿射李代数体的拉格朗日型动力学的几何结构。
2002-03-18 math-ph math.DG math.MP
Singular lagrangians: some geometric structures along the Legendre map
新的几何结构，涉及拉格朗日和哈密顿形式主义上定义的奇异拉格朗日。在速度空间中构造了几个向量场，这些向量场给出了几个主题的新的和精确的答案，例如向量场到哈密顿向量场的可投射性，拉格朗日形式主义的前辛形式的核的计算，拉格朗日动力学向量场的构造，以及动力学对称性的表征。
2002-01-18 hep-th math-ph math.DG
Lagrangian reductive structures on gauge-natural bundles
一个还原结构在这里与拉格朗日正则定义的保守量规范自然丛。由无穷小主自同构的规范自然提升定义的参数化变换诱导一个变分序列，使得广义Jacobi态射是自然自伴的。因此，它的核在相关的底层主丛上定义了一个还原分裂结构。
2008-10-15 math-ph math.DG math.MP
Canonical curves and Kropina metrics in Lagrangian contact geometry
本文通过Fefferman型构造研究拉格朗日接触几何中的典范曲线，证明链和零链是零测地线的投影，并利用Kropina度量与刚性结果说明足够多的链可确定该接触结构。
2023-06-17 math.AP math.DG math.RT
A note on Newtonian, Lagrangian and Hamiltonian dynamical systems in Riemannian manifolds
牛顿、拉格朗日和哈密尔顿动力系统在数学上是很好的形式化的。它们产生了描述光滑流形中一点运动的几何结构。黎曼度量是一种不同的几何结构，形式化了长度和角度的概念。黎曼度量的相互作用及其与力学结构的度量联系产生了一些在一般（非黎曼）流形中不存在的特征。本文的目的是讨论这些特征，并发展特殊的语言来描述黎曼流形中的牛顿、拉格朗日和哈密顿动力系统。
2001-07-30 math-ph math.DG math.MP
A Geometric Heat-Flow Theory of Lagrangian Coherent Structures
我们认为拉格朗日拟序结构（LCS）是弱扩散条件下对流演化为亚稳态的物质子集的边界。对于它们的检测，我们首先将欧拉平流-扩散方程变换到拉格朗日坐标，在拉格朗日坐标中，它采用依赖于时间的扩散或热方程的形式。通过这种坐标变换，对流的可逆效应与对流和扩散的不可逆联合效应分离。在此框架下，LCS表示为拉格朗日扩散过程下的亚稳集（边界）。在空间均匀各向同性扩散的情况下，平均拉格朗日扩散算子的时间相关的家庭产生Froyland的动态拉普拉斯算子。在相关的几何热方程中，热的分布由物质流形上的动力学诱导的内禀几何决定，我们称之为混合几何。我们详细研究和可视化这种几何形状，并讨论几何特征和LCS之间的连接被视为扩散障碍在两个数值例子。我们的方法有助于发现一些突出的相干结构检测方法之间的联系：动态等周法，变分几何方法椭圆型LCS，一类基于图形拉普拉斯的方法和物理海洋学中使用的有效扩散框架。
2020-06-16 math.AP math.DG math.DS
