有界亏格网络中直径与最小割计算的能效复杂度

平面有界亏格图上Steiner问题的网络稀疏化

Network Sparsification for Steiner Problems on Planar and Bounded-Genus Graphs

我们提出了多项式时间算法，稀疏平面和有界属图，同时保持最佳或接近最佳的解决方案，施泰纳问题。我们的主要贡献是一个多项式时间的算法，给定一个未加权图$G$嵌入表面的属$g$和指定的面$f$有界的一个简单的周期长度$k$，发现一组$F \subseteq E(G)$的大小多项式在$g$和$k$包含一个最佳的Steiner树的任何一组终端是一个子集的$f$的顶点。我们应用这个一般定理证明了：* 给定嵌入在亏格$g$的曲面上的一个未赋权图$G$和一个终端集$S \subseteq V(G)$，我们可以在多项式时间内找到一个集合$F \subseteq E(G)$，它包含$S$的一个最优Steiner树$T$，并且在$g$和$|E(T)|$中具有大小多项式; * 一个类似的结果对于终端对集合$S$的一个最优Steiner森林也成立;* 给定一个未加权平面图$G$和一个终端集$S \subseteq V(G)$，可以在多项式时间内找到一个集$F \subseteq E(G)$，它包含一个分离$S$的最优（边）多路割$C$，并且在$|C|$中具有大小多项式。在参数化复杂性的语言中，这些结果意味着平面和有界亏格图（分别由树和森林的大小参数化）上的Steiner树和Steiner森林以及平面图（由割集的大小参数化）上的（边）多路割的第一多项式核。此外，我们得到了我们的主要贡献的加权变体。

Almost Tight Lower Bounds for Hard Cutting Problems in Embedded Graphs

We prove essentially tight lower bounds, conditionally to the Exponential Time Hypothesis, for two fundamental but seemingly very different cutting problems on surface-embedded graphs: the Shortest Cut Graph problem and the Multiway Cut problem. A cut graph of a graph $G$ embedded on a surface $S$ is a subgraph of $G$ whose removal from $S$ leaves a disk. We consider the problem of deciding whether an unweighted graph embedded on a surface of genus $g$ has a cut graph of length at most a given value. We prove a time lower bound for this problem of $n^{Ω(g/\log g)}$ conditionally to ETH. In oth…

面嵌入图在近线性时间内的所有对最小割

All-Pairs Minimum Cuts in Near-Linear Time for Surface-Embedded Graphs

对于一个无向的$n$ -顶点图$G$，我们考虑以下类型的查询：给定$G$中的两个顶点$s$和$t$，$G$中的最小$st$ -割的权是多少？我们在预处理时间$O(n\log^3 n)$中解决了有界亏格图的这个问题，给出了这类图的第一个次二次时间算法。我们的结果还通过对数因子改进了Borradaile，Sankowski和Wulff-Nilsen（FOCS 2010）以前的算法，该算法仅适用于平面图。我们的算法构造一个Gomory-Hu树为给定的图，提供了一个数据结构的空间$O(n)$，可以回答最小割查询在常数时间。在我们的预处理时间中，对输入图的亏格的依赖是$2^{O(g^2)}$。

分布式最小割近似

Distributed Minimum Cut Approximation

研究了用分布式算法计算近似最小边割的问题。我们使用标准的同步消息传递模型，其中在每一轮中，$O(\log n)$比特可以在每个边缘（也称为边缘）上传输。CONGEST模型）。我们提出了一个分布式算法，对于任何加权图和任何$ε\in (0, 1)$，以很高的概率找到一个切割的大小最多$O(ε^{-1}λ)$在$O(D) + \tilde{O}(n^{1/2 + ε})$轮，其中$λ$是最小切割的大小。该算法是基于一个简单的方法来分析随机边缘采样，我们称之为随机分层技术。此外，我们还提出了另一种分布式算法，这是基于一个集中式算法，由于Matula [SODA '93]，具有高概率计算切割的大小在最多$(2+ε)λ$在$\tilde{O}((D+\sqrt{n})/ε^5)$轮的任何$ε>0$。这两种算法的时间复杂度几乎匹配Das Sarma等人的$\tildeΩ(D + \sqrt{n})$下限。[STOC '11]，从而回答了Elkin [SIGACT-News'04]和Das Sarma等人提出的一个开放性问题。[STOC '11]。此外，我们还加强了Das Sarma等人的下界。通过将其扩展到无权图。我们表明，同样的下界也适用于未加权的多重图（或等价的加权图，其中$O(w\log n)$位可以在每一轮的重量$w$的边缘传输），即使直径是$D=O(\log n)$。对于未加权的简单…

终端数有界的平面有界亏格图的多重割

Multicuts in Planar and Bounded-Genus Graphs with Bounded Number of Terminals

给定一个无向的边加权图G和一对顶点（称为终端对），最小多割问题要求一个最小权的边集，使得删除这些边后，每对的两个终端属于图的不同连通分支。依赖于拓扑技术，我们提供了一个多项式时间算法的情况下，G是嵌入在一个固定的曲面上的亏格g（例如，当G是平面时），并且具有固定数量t的端子。运行时间是一个多项式的次数为O（sqrt{g^2+gt}）的输入大小。在平面情况下，我们的结果纠正了Bentz [Int. Workshop on Parameterized and Exact Computation，109-119，2012]的扩展摘要中的错误。最小多割问题也是多路割问题的一个推广，也称为多路割问题。多端切割问题;即使对于这种特殊情况，也没有专门的算法用于嵌入表面上的图形。

通过组合直径近似低树宽图中的稀疏割

Approximating Sparsest Cut in Low-Treewidth Graphs via Combinatorial Diameter

针对低树宽图的稀疏割问题，提出基于组合直径的算法，实现因子O(k^2)近似且运行时间2^{O(k)}poly(n)，并推广至常数因子近似，显著改进了现有结果。

拓扑嵌入图的动态生成元

Dynamic Generators of Topologically Embedded Graphs

我们提供了一种数据结构，用于维护图在表面上的嵌入（由每个顶点周围的边的排列组合地表示）和计算表面的基本群的生成元，在摊销时间O（log n + log g（log log g）^3）在亏格g的曲面上每次更新;我们还可以在同一时间内测试曲面的可定向性，并在每次更新的O（log n + log^4 g）时间内维护图的最小和最大生成树。我们的数据结构允许边插入和删除以及双重操作;这些操作可能会隐含地改变嵌入表面的亏格。我们应用类似的思想来改进低亏格图的分离器定理中的常数因子，并在线性时间内找到低亏格低直径图的树分解。

可裁剪分布式问题的几乎无损迁移

Almost Lossless Transfer for Cuttable Distributed Problems

该研究针对加性局部顶点子集最小化问题，提出两种近似比更优的几乎无损迁移算法，在特定图类上实现了2-支配、最小支配集等问题的近似比提升。

超越曲面的直径近似

Going Beyond Surfaces in Diameter Approximation

本文针对排除apex图作为子式的图类和d-apex图类，利用VC集系统与局部树宽性质提出确定性的(1+ε)-近似直径算法，并构造了高效的近似距离预言机，将平面图直径近似方法推广到更广泛的图类。

Low-Congestion Shortcuts in Constant Diameter Graphs

Low congestion shortcuts, introduced by Ghaffari and Haeupler (SODA 2016), provide a unified framework for global optimization problems in the congest model of distributed computing. Roughly speaking, for a given graph $G$ and a collection of vertex-disjoint connected subsets $S_1,\ldots, S_\ell \subseteq V(G)$, $(c,d)$ low-congestion shortcuts augment each subgraph $G[S_i]$ with a subgraph $H_i \subseteq G$ such that: (i) each edge appears on at most $c$ subgraphs (congestion bound), and (ii) the diameter of each subgraph $G[S_i] \cup H_i$ is bounded by $d$ (dilation bound). It is desirable t…

P中平面图问题的新的困难性结果及稀疏割算法

New Hardness Results for Planar Graph Problems in P and an Algorithm for Sparsest Cut

稀疏割是一个基本的优化问题，已被广泛研究。对于平面输入，问题在$P$中，并且如果所有顶点权重都是$1$，则可以在$\tilde{O}(n^3)$时间内求解。尽管付出了大量的努力，但最好的算法可以追溯到90年代早期，并且只能在$\tilde{O}(n)$时间内实现$O(\log n)$近似或在$\tilde{O}(n^2)$时间内实现常数因子近似[Rao，STOC 92]。我们的主要结果是一个$Ω(n^{2-ε})$下界的Sparling-Cut，即使在平面图的单位顶点权重，下的$(min,+)$ -卷积猜想，表明近似是不可避免的，在近线性的时间制度。为了补充下界，我们提供了一个常数因子近似在近线性时间，提高了25岁的结果饶在时间和精度。我们的下限完成了一个反复提出的挑战，是第一个细粒度的下界自然平面图的问题在P.此外，我们证明了近二次下界SETH下的变体的最接近的对问题的平面图，并使用它们来表明，流行的平均链接过程层次聚类不能模拟在真正的次二次时间。我们证明了一个$Ω(n/\log{n})$下界的通信轮数计算网络的加权直径的CONGEST模型中，即使底层图是平面的，所有节点都是$D=4$跳远离对方。这是平面分布设置中的第一个poly（$n$）+ $ω(D)$下限，并且它补充了Li和Parter [STOC 2019]最近的poly $(D, \log{n})$上限，用于（精确）未加…

Low-Congestion Shortcuts without Embedding

Distributed optimization algorithms are frequently faced with solving sub-problems on disjoint connected parts of a network. Unfortunately, the diameter of these parts can be significantly larger than the diameter of the underlying network, leading to slow running times. Recent work by [Ghaffari and Hauepler; SODA'16] showed that this phenomenon can be seen as the broad underlying reason for the pervasive $Ω(\sqrt{n} + D)$ lower bounds that apply to most optimization problems in the CONGEST model. On the positive side, this work also introduced low-congestion shortcuts as an elegant solution t…

连通最大割的近似算法及相关问题

Approximation Algorithms for Connected Maximum Cut and Related Problems

连通最大割问题的一个实例由一个无向图G =（V，E）组成，目标是找到一个顶点子集S $\subseteq$ V，该子集最大化割δ（S）中的边数，使得导出图G[S]是连通的。利用新的技巧给出了一般图的连通最大割问题的第一个非平凡Ω（1/log n）近似算法。然后，我们将我们的算法扩展到边加权的情况下，得到一个多对数近似算法。有趣的是，与经典的最大割问题形成鲜明对比的是，我们表明，连接的最大割问题仍然是NP-困难的，即使在未加权，平面图。在积极的一面，我们得到了一个多项式时间的近似计划的平面图和更一般的图有界亏格的连通最大割问题。

基于循环空间采样的小割集快速计算

Fast Computation of Small Cuts via Cycle Space Sampling

我们描述了一种新的基于采样的方法来确定无向图中的割。对于一个图（V，E），它的圈空间是E的所有子集的族，这些子集在每个顶点都有偶数度。我们证明，以高概率，采样的循环空间确定的削减的图。这导致了简单的新的线性时间顺序算法，找到所有的切割边缘和切割对（一组2个边缘，形成一个切割）的图。在图G=（V，E）中的分布式计算模型中，我们的方法对几个问题产生了更快的算法。G的直径用Diam表示，最大度用Delta表示。我们得到简单的O（直径）时间分布算法，找到所有的切割边缘，2-边连接组件，并削减对，匹配或改进以前的时间界限。在自然条件下，这些新算法是普遍最优的-即一个欧米茄（直径）时间下界举行的每一个图。我们得到了一个O（直径+Delta/log V）-时间分布式算法寻找割顶点，这是快于最好的以前的算法时，三角洲，直径= O（sqrt（V））。一个简单的扩展，我们的工作产生的第一个分布式算法与3-边连接组件的次线性时间。基本的分布式算法是蒙特卡洛，但它们可以在不增加渐近复杂性的情况下被拉斯维加斯。在EREW PRAM上的并行计算模型中，我们的方法产生了一个简单的算法，具有最佳的时间复杂度O（log V），用于寻找割对和3-边连接组件。

曲面最优割图的固定参数易处理逼近格式

A Fixed Parameter Tractable Approximation Scheme for the Optimal Cut Graph of a Surface

给定一个图$G$细胞嵌入在一个曲面$Σ$上，曲面$Σ$是$g$的亏格，割图是$G$的子图，使得沿着$G$割$Σ$产生一个拓扑圆盘。我们提供了一个固定的参数易于处理的近似计划的问题，计算最短割图，也就是说，对于任何$\varepsilon >0$，我们展示了如何计算一个$(1+ \varepsilon)$近似的最短割图的时间$f(\varepsilon, g)n^3$。我们的技术首先依赖于使用砖分解的技术的问题的计算的一个顶点，以减少问题的情况下，有界树的宽度。然后，为了解决有界树宽的情况下，我们引入了一个变种的表面切割分解的Rué，Sau和Thilikos，这可能是独立的利益。

用低直径图分解逼近唯一对策

Approximating Unique Games Using Low Diameter Graph Decomposition

当约束图允许良好的低直径图分解时，我们设计了唯一博弈的近似算法。对于$K_r$ -minor free graphs中的${\sf Max2Lin}_k$问题，当存在满足$1-\varepsilon$分数约束的指派时，我们提出了一个算法，该算法产生满足$1-O(r\varepsilon)$分数约束的指派，其近似比与字母表大小无关.一个推论是一个改进的近似算法的${\sf MaxCut}$问题的$K_r$ -小自由图。对于$K_r$ -未成年人自由图中的一般唯一游戏，我们提供了另一种算法，产生一个分配满足$1-O(r \sqrt{\varepsilon})$分数的约束。我们的方法是四舍五入的线性规划松弛找到一个最小子集的边缘相交的所有不一致的循环。我们表明，它是可以直接应用的约束图的低直径图分解技术，而不是在以前的独特的游戏算法的标签扩展图的工作。当约束图是亏格$g$时，同样的方法也适用，并且我们在${\sf Max2Lin}_k$问题中用$\log g$代替$r$，在一般问题中用$\sqrt{\log g}$代替$\sqrt{\log g}$，得到了类似的结果。前一个结果推广了Gupta-Talwar关于${\sf Max2Lin}_k$情形下唯一对策的结果，后一个结果推广了Trevisan关于一般唯一对策的结果.

将曲面最优切割成圆盘

Optimally cutting a surface into a disk

我们考虑的问题，切割一组边缘的多面体流形表面，可能与边界，以获得一个单一的拓扑磁盘，最小化的切割边缘的总数或其总长度。我们表明，这个问题是NP-困难的，即使是没有边界的流形和穿孔的领域。我们还描述了一个运行时间为n^{O（g+k）}的算法，其中n是组合复杂度，g是亏格，k是输入曲面的边界分量数。最后，我们描述了一个贪心算法，输出一个O（log^2 g）-近似的最小割图在O（g^2 n log n）的时间。

图约束下的最大割

Max-Cut under Graph Constraints

图约束最大割（GCMC）问题的一个实例由（i）无向图G和（ii）完全无向图上同一顶点集上的边权组成。我们的目标是找到一个子集的顶点满足一些基于图的约束G，最大化的总重量的边缘在切割。我们可以处理的图约束类型包括独立集、顶点覆盖、支配集和连通性。我们的主要结果是当G是一个有界树宽的图时，我们得到了一个0.5-近似算法。我们的算法使用的LP松弛的基础上Sherali-Adams层次。它可以处理任何图形约束，其中有一个（某种类型的）动态程序，精确优化线性目标。使用已知的分解结果，这些意味着基本上相同的近似比GCMC的约束下，如独立集，支配集和连通性的平面图G（更一般的有界亏格或排除子图）。

为了更好地近似稀疏切割？

Towards a better approximation for sparsest cut?

我们给出了一个新的$(1+ε)$ -近似稀疏割问题的小集扩大显着超过稀疏割（集的大小$n/r$扩大了一个因素$\sqrt{\log n\log r}$更大，一些小$r$，这个条件适用于许多自然图族）。我们给出了两种不同的算法。一个涉及Guruswami-Sinop舍入水平- $r$ Lasserre松弛。另一个是组合的，涉及到一个新的概念，称为{ \em小集扩展流}（灵感来自{ \em扩展流}的ARV），我们显示存在于输入图。两种算法都在时间$2^{O(r)} \mathrm{poly}(n)$中运行。我们还显示了类似的近似算法，在图与属$g$与类似的局部扩张条件。这是第一个算法，我们知道，实现$(1+ε)$ -近似这样的一般家庭的图。

线性时间 FPT 算法：通过曲面切割解决曲面不相交路径问题

Linear-Time FPT Algorithm for Surface Disjoint Paths via Surface Cutting

本文提出一种线性时间 FPT 算法，通过曲面切割将曲面图分解为平面子图，解决有界欧拉亏格曲面上的 k-不相交路径问题，并给出两个多项式大小的核。

曲面图中的最优最小费用路与流

Holiest Minimum-Cost Paths and Flows in Surface Graphs

设$G$是一个边权有向图，其中$n$的顶点嵌入在亏格为$g$的可定向曲面上.我们描述了一个简单的确定性字典序扰动方案，该方案保证了$G$中最小成本流和最短路径的唯一性。扰动需要$O(gn)$时间来计算。我们使用我们的扰动计划在一个黑盒的方式来获得一个确定性的$O(n \log \log n)$时间算法的最小切割\emph{directed}边加权平面图和一个确定性的$O(g^2 n \log n)$时间预处理计划的多源最短路径问题的计算最短路径预言的所有顶点躺在一个表面嵌入图的公共面。后者的结果产生更快的确定性近线性时间算法的各种问题，在常亏格表面嵌入图。最后，我们打开黑盒子，以推广最近的线性时间算法的多源最短路径在无向平面图工作在任意定向表面。我们的算法运行在$O(g^2 n \log g)$时间在此设置，它可以用来给改进的线性时间算法的几个问题的无权无向面嵌入图的常亏格，包括计算最小割，最短的拓扑非平凡圈，最小的同源基。

最大化裂径比的聚类

Clustering to Maximize the Ratio of Split to Diameter

给定一个加权的完全图G =（V，E），V表示要聚类的n个对象的集合，与属于E的边（u，v）相关联的权重d（u，v）表示对象u和v之间的相异性。聚类的直径是聚类中对象对之间的最大相异性，并且聚类的分裂是聚类内的对象和聚类外的对象之间的最小相异度。本文提出了一个衡量团簇好坏的新标准：最小分裂与最大直径之比，目标是使该比最大化。对于k = 2，我们给出了一个精确算法。当k >= 3时，证明了该问题是NP-难的，并在E的权满足三角不等式的前提下，给出了一个因子为2的近似算法.这两个算法的最坏情况运行时间都是O（n^3）。我们比较了所提出的算法与归一化割应用于图像分割。在自然图像和合成图像上的实验结果证明了所提算法的有效性。

最小割的几乎紧近似分布式算法

Brief Announcement: Almost-Tight Approximation Distributed Algorithm for Minimum Cut

在这篇简短的论文中，我们提出了一种改进的分布式（CONGEST）网络最小割近似算法。设$λ$为最小割集。我们的算法可以在$\tilde{O}((\sqrt{n}+D)\poly(λ))$时间内精确地计算$λ$，其中$n$是网络中的节点（处理器）数量，$D$是网络直径，$\tilde{O}$隐藏了$\poly\log n$。通过标准约简，我们可以将该算法转化为一个$(1+ε)$ -近似$\tilde{O}((\sqrt{n}+D)/\poly(ε))$ -时间算法.后一结果优于Ghaffari和Kuhn的先前$(2+ε)$近似$\tilde{O}((\sqrt{n}+D)/\poly(ε))$时间算法[DISC 2013]。由于Das Sarma等人[SICOMP 2013]给出了$\tildeΩ(\sqrt{n}+D)$的下限，因此该运行时间{ \em tight}高达$\poly\log n$因子。我们的算法是Thorup的树填充定理[Combinatorica 2007]、Kutten和Peleg的树划分算法[J. Algorithms 1998]和Karger的动态规划[JACM 2000]的极其简单的组合。

Finding a Small Vertex Cut on Distributed Networks

We present an algorithm for distributed networks to efficiently find a small vertex cut in the CONGEST model. Given a positive integer $κ$, our algorithm can, with high probability, either find $κ$ vertices whose removal disconnects the network or return that such $κ$ vertices do not exist. Our algorithm takes $κ^3\cdot \tilde{O}(D+\sqrt{n})$ rounds, where $n$ is the number of vertices in the network and $D$ denotes the network's diameter. This implies $\tilde{O}(D+\sqrt{n})$ round complexity whenever $κ=\text{polylog}(n)$. Prior to our result, a bound of $\tilde{O}(D)$ is known only when $κ=1…

On The Complexity of Matching Cut for Graphs of Bounded Radius and $H$-Free Graphs

For a connected graph $G=(V,E)$, a matching $M\subseteq E$ is a matching cut of $G$ if $G-M$ is disconnected. It is known that for an integer $d$, the corresponding decision problem Matching Cut is polynomial-time solvable for graphs of diameter at most $d$ if $d\leq 2$ and NP-complete if $d\geq 3$. We prove the same dichotomy for graphs of bounded radius. For a graph $H$, a graph is $H$-free if it does not contain $H$ as an induced subgraph. As a consequence of our result, we can solve Matching Cut in polynomial time for $P_6$-free graphs, extending a recent result of Feghali for $P_5$-free g…

曲面图的最小割

Minimum Cuts in Surface Graphs

我们描述的算法，有效地计算最小$(s,t)$ -削减和全球最小削减的无向表面嵌入图。给定一个边权无向图$G$，$n$顶点嵌入在亏格$g$的可定向曲面上，我们的算法可以在$g^{O(g)} n \log \log n$或$2^{O(g)} n \log n$时间内解决任一问题，以较优者为准.当$g$是一个常数，我们的$g^{O(g)} n \log \log n$时间算法匹配的最佳运行时间已知计算平面图中的最小割。我们的算法最小切割依赖于减少的问题，找到一个最小的重量子图在一个给定的$\mathbb{Z}_2$ -同源类，我们给有效的算法后一个问题，以及。如果$G$嵌入到具有$b$边界组件的曲面上，则这些算法将在$(g + b)^{O(g + b)} n \log \log n$和$2^{O(g + b)} n \log n$时间内运行。我们还证明，找到一个最小的重量子图同源的一个单一的输入周期是NP-难的，显示它可能是不可能的，以改善后一个问题的指数依赖$g$。

无爪图的不连通割

Disconnected Cuts in Claw-free Graphs

一个连通图的不连通割是一个顶点割，它本身也导出一个不连通子图。图是否有不连通割的判定问题称为不连通割。这个问题是密切相关的几个同态和压缩问题，并适合在一个广泛的研究线上的顶点切割与其他性质。已知不连通割在一般图上是NP-困难的，而多项式时间算法已知用于几个图类。然而，无爪图问题的复杂性仍然是一个悬而未决的问题。它与将无爪图收缩为4-顶点圈$C_4$的问题的复杂性的联系导致Ito等人（TCS 2011）明确要求解决这个悬而未决的问题。我们证明了不连通割在无爪图上是多项式时间可解的，回答了Ito等人的问题。我们结果的核心是直径为2的无爪图的一个新的分解定理，我们相信这是独立的兴趣，并扩展了Chudnovsky和Seymour（JCTB 2007-2012）和Hermelin等人（ICALP 2011）发起的研究路线。在我们利用这个分解定理的方式，我们描述了如何断开切割与某些cobipartite子图的相互作用，并证明了两个新的算法结果，即断开切割是多项式时间可解的圆弧图和线图。

折扣割：网络破坏问题的斯塔克尔伯格方法

Discounted Cuts: A Stackelberg Approach to Network Disruption

针对网络破坏的斯塔克尔伯格攻防博弈场景，提出折扣割数学模型与统一算法框架，证明有界亏格图上的相关问题可多项式时间求解，打通多领域协作桥梁。

平面图和环面图的最大割算法与上界

Maximum Cut Algorithms and Upper Bounds for Planar and Toroidal Graphs

提出将任意权重平面图最大割映射到绝对对偶图的最小T-join问题，推广了Hadlock算法；证明环面图应用平面算法可得最大割上界，并基于此推导GSet基准中所有环面图的上界，部分问题达到上界；引入基于平面图算法的环面图最大割启发式算法，复现所有已知最佳结果并发现新最佳值。