令$α$、$β$、$γ, \dots$ $Θ$、$Ψ, \dots$ $R$、$S$、$T, \dots$分别为同余、容差和自反容许关系的变量。并置表示相交。证明了如果恒等式$α(β\circ Θ) \subseteq αβ\circ αΘ\circ αβ$在一个簇$\mathcal {V}$中成立，则$\mathcal {V}$有多数项，等价地，$\mathcal {V}$满足$ α(β\circ γ) \subseteq αβ\circ αγ$ .结果是出乎意料的，因为在所显示的恒等式中，我们在右边多了一个因子，而且，如果我们让$Θ$是一个同余，我们得到一个等价于$3$ -分配性的条件，众所周知，它严格弱于多数项的存在。上述结果在许多意义上都是最优的，例如，我们证明了在每个$3$分布簇中，所显示的恒等式（如$ R (S \circ γ) \subseteq R S \circ R γ\circ R S$或$R(S \circ T) \subseteq R S \circ RT \circ RT \circ RS$）的微小变化都成立。类似的身份是有效的，甚至在品种与$2$ Gumm条款，没有分配假设。我们还讨论了$n$ -置换簇中的关系恒等式，并给出了一些关于蕴涵代数的注记。
英文摘要：
Let $α$, $β$, $γ, \dots$ $Θ$, $Ψ, \dots$ $R$, $S$, $T, \dots$ be variables for, respectively, congruences, tolerances and reflexive admissible relations. Let juxtaposition denote intersection. We show that if the identity $α(β\circ Θ) \subseteq αβ\circ αΘ\circ αβ$ holds in a variety $\mathcal {V}$, then $\mathcal {V}$ has a majority term, equivalently, $\mathcal {V}$ satisfies $ α(β\circ γ) \subseteq αβ\circ αγ$. The result is unexpected, since in the displayed identity we have one more factor on the right and, moreover, if we let $Θ$ be a congruence, we get a condition equivalent to $3$-distributivity, which is well-known to be strictly weaker than the existence of a majority term. The above result is optimal in many senses, for example, we show that slight variations on the displayed identity, such as $ R (S \circ γ) \subseteq R S \circ R γ\circ R S$ or $R(S \circ T) \subseteq R S \circ RT \circ RT \circ RS$ hold in every $3$-distributive variety. Similar identities are valid even in varieties with $2$ Gumm terms, with no distributivity assumption. We also discuss relation identities in $n$-permutable varieties and present a few remarks about implication algebras.
Distributive lattices of varieties of Novikov algebras
Institut de Recherche Mathématique Avancée, UMR 7501, Université de Strasbourg et CNRS（斯特拉斯堡大学与法国国家科学研究中心）；Institute of Mathematics and Mathematical Modeling（数学与数学建模研究所）
Transferring Davey`s Theorem on Annihilators in Bounded Distributive Lattices to Modular Congruence Lattices and Rings
半退化同余模簇的半素代数的同余格满足B. A. Davey的著名的$m$ -Stone有界分配格的特征定理，而且，在这些等价条件下改变基数并不改变它们的有效性。我证明了这一点转移戴维定理从有界分配格，这样的同余格通过一定的格态射和使用的事实，该态射的余域是一个框架。此外，这些等价条件是保持有限的直积这样的代数，和类似的等价满足的元素的半素交换幺环，对偶，由元素的完全剩余格。
Varieties of bicommutative algebras with identity of degree three
Institute of Mathematics and Informatics, Bulgarian Academy of Sciences（保加利亚科学院数学与信息学研究所）；SDU University（SDU大学）；Institute of Mathematics and Mathematical Modeling（数学与数学建模研究所）
