Projective models of the supersingular K3 surface with Artin invariant 1 in characteristic 5
设X是特征为5且Artin不变量为1的超奇异K3曲面。那么X有一个极化，它把X实现为费马六次双平面。给出了X的一系列与该Fermat六次极化的相交数小于小于或等于5的2次极化，并给出了相应的投影模型的定义方程.我们还提出了一种方法来描述这些投影模型之间的双有理态射显式。作为副产品，一个非投射自同构的费马六次双平面得到。
2013-12-14 math.AG
The Initial Degree of Symbolic Powers of Fermat-like Ideals of Planes and Lines Arrangements
Tulane University（杜兰大学）；Hue University, College of Education（顺化大学教育学院）
研究Fermat-like配置在P^3_C中线的定义理想的所有符号幂的生成元最小次数，验证Chudnovsky等猜想及Waldschmidt常数等。
2022-06-21 math.AC math.AG
A Second Main Theorem for Non-Constant Holomorphic Curves Intersecting a Fermat-Type Curve
University of Education, Hue University（顺化大学教育学院）
研究非恒定全纯曲线与费马型曲线相交问题，通过证明第二主定理类型不等式得出相关结论。
2026-07-14 math.AG math.CV
On the symmetric determinantal representations of the Fermat curves of prime degree
证明了素次Fermat曲线的定义方程不能写成三元有理系数线性型元素的对称矩阵的行列式.在证明中，我们使用了元素为线性型的对称矩阵与光滑平面曲线上的非有效theta特征之间的关系。我们还利用Gross-Rohrlich关于素次Fermat曲线的雅可比簇上的有理挠点的一些结果。
2015-07-08 math.AG math.NT
On the absolute irreducibility of hyperplane sections of generalized Fermat varieties in $\Bbb{P}^3$ and the conjecture on exceptional APN functions: the Kasami-Welch degree case
设$f$是有限域$F$上的函数。由多元次数多项式$n$，$ϕ(x,y,z)=f(x)+f(y)+f(z)$ in $\Bbb{P}^3(\overline{\mathbb{F}}_2)$定义的广义Fermat簇$X$的分解在几乎完美非线性（APN）函数和例外APN函数的研究中起着至关重要的作用.它们的结构基本上取决于对应于例外度$n=2^k+1$和$n=2^{2k}-2^k+1$（分别为Gold数和Kasami-Welch数）的单项函数的费马簇。Janwa，McGuire和Wilson在[12，13]中得到了非常重要的结果。本文研究了与Kasami-Welch度单项式有关的PDMATHAMO及其分解成绝对不可约分支的问题。我们表明，在这个分解，组件相交横向在一个奇异点。这一结构性事实意味着与Kasami-Welch次数多项式族相关的相应广义Fermat超曲面是绝对不可约的。特别地，我们证明了若$f(x)=x^{2^{2k}-2^k+1}+h(x)$，其中${\rm deg}(h)\equiv 3{\pmod 4}$，则对应的APN多元超曲面是绝对不可约的，因此$f(x)$不是例外APN函数.我们还证明了当${\rm deg}(h)\equiv 5{\pmod 8}$ .由于对于奇数度$f(x)$，该猜想只需要解决黄金度和Kasami-Welch度的情况下，我们的结果大大有助于证明的…
2016-12-18 cs.CR cs.IT math.AG
Frobenius nonclassicality of generalized Fermat curves with respect to conics
本文研究广义费马曲线相对于圆锥的弗罗贝尼乌斯非经典性，推导出其有理点数量的界和公式，基于Stöhr-Voloch理论。
2026-09-04 math.AG math.NT
On the monodromy of the inflection points of plane curves
我们证明了$d$度平面曲线的拐点的单值群是$d\geq 4$的对称群$\mathbb S_{3d(d-2)}$，并且在$d=3$的情况下，这个群是$\mathbb P^2$的射影变换群，使得三度费马曲线的九个拐点不变。
2017-03-30 math.AG
Fundamental groups of highly symmetrical curves and Fermat line arrangments
本文针对复射影平面中由齐次多项式定义的费马直线构型补集，计算其基本群，证明该群为$G$与$F_n$的半直积，为高对称曲线补空间基本群的计算提供了具体范例。
2023-10-06 math.AG
On complete arcs arising from plane curves
证明了某些Fermat曲线或某些Fq-Frobenius非经典平面曲线的F_q-有理点集是P^2（F_q）中的一条完备（k，d）-弧，其中k和d分别为F_q-有理点的个数和曲线的阶.
2000-03-28 math.AG
On some generalized Fermat curves and chords of an affinely regular polygon inscribed in a hyperbola
设$\mathcal{G}$是定义在$\mathbb{F}_q$上的射影平面曲线，由$$aX^nY^n-X^nZ^n-Y^nZ^n+bZ^{2n}=0,$$给出，其中$ab\notin\{0,1\}$，对于每个$s\in\{2,\ldots,n-1\}$，设$\mathcal{D}_s^{P_1,P_2}$是通过$\mathcal{G}$的奇点$P_1=(1:0:0)$和$P_2=(0:1:0)$的所有次数曲线的线性系在$\mathcal{G}$上切割的无基点线性级数。目前的工作确定了一个上限的数目$N_q(\mathcal{G})$的$\mathbb{F}_q$ -有理点的非奇异模型的$\mathcal{G}$的情况下，$\mathcal{D}_s^{P_1,P_2}$是$\mathbb{F}_q$ -Frobenius经典。因此，当$\mathbb{F}_q$是一个素数域时，$N_q(\mathcal{G})$的界在几种情况下改进了一个仿射正多边形的弦数$n_P$的已知界，该多边形内接在一个通过给定点$P$的双曲线中，该点不同于其顶点。
2019-05-23 math.AG
Valuatively independent bases for the Fermat family of cubic curves
研究Fermat族立方曲线的估值独立基构造，利用Hessian结构确定的成本函数，提出基于本质骨架的构造方法。
2026-10-09 math.AG math.DG
Singularities of the dual curve of a certain plane curve in positive characteristic
众所周知，复平面曲线的高斯映射是双有理的，而正特征的高斯映射不一定是双有理的。设$q$是素数的幂。研究了高斯映射不可分的$q$的不可分次数为$q^2+q+1$的平面曲线.作为特例，我们给出了$q^2+q+1$次Fermat曲线的对偶曲线与Ballico-Hefez曲线的关系.
2020-10-06 math.AG
On the Geometry of Sixers on the Fermat Cubic Surface
本文研究费马三次曲面上的72个六线构型，证明其在自同构群下分为大小18与54的两个轨道，给出几何解释，并在数域与有限域上通过行列式特征标完成算术区分。
2026-08-26 math.AG
Algebraic curves admitting non-collinear Galois points
给出了代数曲线在具有非共线伽罗瓦点的射影平面上存在双有理嵌入的一个判别准则。作为一个应用，给出了一条具有非共线伽罗瓦点的平面曲线的新例子。此外，一个新的特征的费马曲线的非共线伽罗瓦点。
2020-04-07 math.AG
Characterization of a Hermitian curve by Galois point
对于一条平面曲线，当一点在射影平面上的投影诱导函数域的伽罗瓦扩张时，称该点是伽罗瓦的。给出了度为负1的费马曲线在特征$p$中的幂的一个新的特征，有时也称为Hermitian，即用曲线上Galois点的个数来刻画.
2011-09-18 math.AG
On plane maximal curves
具有r^2个元素的有限域上的极大曲线的亏格是g_0=r（r-1）/2或小于或等于g_1=（r-1）^2/4。亏格为g_0或g_1的极大曲线已被刻画到同构。一个自然亏格g_2=（r-1）（r-3）/8，当r \equiv 3（mod 4）时，已知该亏格有两条非同构极大曲线.本文将亏格为g_2的非奇异平面模型极大曲线刻画为（r+1）/2次Fermat曲线。
1998-02-23 math.AG
An explicit example of Frobenius periodicity
本文证明了射影平面的余切丛$Ω_{\mathbb P}^2$对特征$p \equiv -1 \mod 2d$中次数为$d$的费马曲线$C$的限制，直到与某个线丛张量为止，同构于它的Frobenius拉回.这导致在2d次费马曲线上的Frobenius周期性$F^*({\mathcal E}) \cong {\mathcal E} $，其中${\mathcal E}= {\rm Syz}(U^2,V^2,W^2)(3)$。
2012-11-12 math.AC math.AG
Complete determination of the number of Galois points for a smooth plane curve
设$C$为光滑的平面曲线。如果从$P$的点投影导出的函数域扩张拓是伽罗瓦，则称射影平面上的点$P$是关于$C$的伽罗瓦。我们用$δ(C)$表示（分别为$C$）中包含的伽罗瓦点的数量（分别为在$\mathbb P^2 \setminus C$中）。在这篇文章中，我们确定了任何剩余开放病例中的$δ(C)$和$δ'(C)$数量。综合目前的结果，我们将得到光滑平面曲线的一个完备的分类定理，其个数为$δ(C)$或$δ'(C)$。特别地，我们用数$δ'(C)$给出了Fermat曲线和Klein四次曲线的新刻画.
2011-06-29 math.AG
On algorithms to obtain linear determinantal representations of smooth plane curves of higher degree
给出了计算域上任意次数光滑平面曲线的线性行列式表示的两个算法。作为特殊的例子，我们明确地给出了所有等价类的线性行列式表示的两个特殊的四次在域$\mathbb{Q}$的有理数，克莱因四次和费马四次。本文是第三作者在2018年3月JSIAM JANT算法数论研讨会上的演讲总结。细节将出现在其他地方。
2018-12-27 math.AG math.NT
An algorithm to obtain linear determinantal representations of smooth plane cubics over finite fields
本文简要地报告了我们对有限域上光滑平面三次函数的线性行列式表示的计算。在回顾了线性行列式表示作为雅可比簇的仿射部分上的有理点的经典解释之后，我们给出了一个算法来获得所有的线性行列式表示直到等价。我们还报告了我们最近的研究计算的线性行列式表示的扭曲费马三次定义在有理数的领域。本文是作者在2016年3月JSIAM JANT算法数论研讨会上的发言总结。细节将出现在其他地方。
2016-05-21 math.AG math.NT
Counting the hyperplane sections with fixed invariants of a plane quintic
我们使用三种不同的方法来计算平面中与固定的一般五次曲线相交的交比固定的直线的数量。我们比较和对比这些方法，揭示了现代技术背后的一些经典思想。
2007-12-04 math.AG
Construction of free curves by adding osculating conics to a given cubic curve
本文从平面三次曲线出发，通过添加其超密切二次曲线构造自由及近自由曲线族，给出结点三次与费马三次曲线的相关结果，并借助群作用揭示费马三次曲线27条超密切二次曲线的几何性质。
2024-10-21 math.AC math.AG math.CO
Extremal metrics on del Pezzo threefolds
通过余维为3的线性子空间证明了Grassmannian $\mathrm{Gr}(2, 5)\subset\mathbb{P}^9$的非奇异截面上的Kahler-Einstein度量的存在性，以及$\mathbb{P}(1,1,1,2,3)$中的6次Fermat超曲面.我们还表明，一个全球性的Mukai-Umemura品种的对数典型阈值等于1/2。
2009-02-07 math.AG math.DG
On a plane section of an integral curve in positive characteristic
若$C \subset P^3_k$是一条积分曲线，$k$是特征为0的代数闭域，则已知$C$的一般平面截面$C \cap H$上的点处于一致位置.由此很容易得出，包含$C\cap H$的一般最小曲线是不可约的。如果是$char k = p > 0$，则$C\cap H$的点可能不处于统一位置。然而，我们证明了包含$C\cap H$的一般极小曲线仍然是不可约的。
2010-09-21 math.AG
The Primitive Generalized Fermat Equation x^3+y^5=z^7: A computer-assisted proof
本文通过计算机辅助方法，结合Fano预解式、模性下降和有限Hecke比较，完整证明了广义费马方程x^3+y^5=z^7无非零互素整数解，并提供了可验证的精确计算证书。
2026-09-24 math.AG math.NT
The geometry of three sections on certain rational elliptic surfaces and Mumford representations
本文研究了在某些有理椭圆曲面上由三段曲线和另一段曲线之和构成的平面曲线的几何。我们利用半简化除子的Mumford表示来研究截面的几何。从而，我们能够对奇异平面四次线及其双切线的一些经典结果给出新的证明。
2021-10-13 math.AG
On the Dickson-Guralnick-Zieve curve
定义在有限域$\mathbb{F}_q$上的Dickson-Guralnick-Zieve曲线，简称DGZ曲线，自然地产生于射影线性群$PGL(3,\mathbb{F}_q)$的经典Dickson不变量。DGZ曲线是一个（绝对不可约，奇异）平面$q^3-q^2$次曲线与亏格$\frac{1}{2}q(q-1)(q^3-2q-2)+1.$本文证明了DGZ曲线有几个显著的特征，其中最有趣的是：DGZ曲线的Hasse-Witt不变量是正的，但它的自同构群比它的亏格大，$q-1$次Fermat曲线是DGZ曲线的商曲线;在定义在$\mathbb{F}_{q^3}$上的与DGZ曲线同阶同亏格的平面曲线中，DGZ曲线关于其$\mathbb{F}_{q^3}$ -有理点的数目是最优的。
2018-05-15 math.AG
Separable rational connectedness and $k$-plane sections of hypersurfaces
该研究证明了在特定条件下，超曲面具有可分离的有理连通性，并探讨了k-平面截面与线性截面空间的关系。
2025-12-17 math.AG
Del Pezzo Surfaces, Rigid Line Configurations and Hirzebruch-Kummer Coverings
在满足一定技术条件的情况下，证明了射影平面线上分支构形$\mathcal{L}$的奇异Hirzebruch-Kummer覆盖$X(n, \mathcal{L})$的等奇异刚性.在$\mathcal{L}$ =完全四点形的情况下，我们给出了在四个n次Fermat曲线的乘积中覆盖$S_n$（= $X(n, \mathcal{L})$的最小去奇异化）的Hirzebruch-Kummer的显式方程。由于$S_n$是在10条线上分支的5度Del Pezzo表面$Y_5$的$(\mathbb{Z}/n)^5$覆盖，因此这些方程是从$Y_5$在$(\mathbb{P}^1)^4$中的图像的显式方程导出的。版本2：我们增加了一个新的部分，描述更一般的行列式方程的所有德尔佩佐表面的程度$9-k \leq 6$作为subvarieties的k倍产品的投影线。
2018-05-02 math.AG
A weighted version of Zariski's hyperplane section theorem and fundamental groups of complements of plane curves
给出并证明了关于射影空间中超曲面的补的拓扑基本群的加权形式的Zagliki超平面截口定理。作为应用，我们计算了某些奇异射影平面曲线的补曲线的基本群。
1995-05-04 alg-geom math.AG
Cubic fourfolds containing a plane and K3 surfaces of Picard rank two
本文给出了$\mathbb P^5 (\mathbb C)$中的三次超曲面族，其中包含一个平面，且该平面的二次丛不具有有理截面。
2016-06-29 math.AG
Rational elliptic surfaces with six singular double fibres
Università di Roma Tor Vergata（罗马托尔维加塔大学）；Università di Bologna（博洛尼亚大学）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；Colorado State University（科罗拉多州立大学）；Università Roma Tre（罗马第三大学）；École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）
本文研究具有六个奇异双纤维的有理椭圆面，通过多种视角进行分类并给出构造方法。
2026-02-12 math.AG
Effective methods for plane quartics, their theta characteristics and the Scorza map
本文修订了卡塔尼亚研讨会的讲义，介绍八个用于计算平面四次曲线 theta 特征与 Scorza 映射的 Macaulay2 脚本，并给出 Edge 四次曲线的 36 个 Scorza 原像列表。
2024-03-28 math.AG
Strongly semistable reduction of syzygy bundles on plane curves
研究了$p$ -adic域上平面曲线上合丛的退化.我们使用Mustafin簇，这是退化的射影空间，以找到一个大家庭的模型的平面曲线在环的整数，使特殊的纤维由多个投影线在一个点上。在这样的模型，我们研究向量丛的通用纤维是一个合合丛，并成为平凡的限制时，在特殊纤维的每一个投影线。因此这些合合丛具有强半稳定约化。本研究的动机是在$p$ -adic Simpson理论中的基本开放问题，以确定对应于曲线的tale基本群的连续表示的Higgs束的类别。Faltings的$p$ -adic Simpson对应以及Deninger和第二作者的工作表明，希格斯场为零且潜在强半稳定约化的丛属于这一类。因此，本文的结果确定了一类平面曲线上的合合丛，从而产生一个$p$ -adic局部系统.我们将我们的方法应用到一个具体的例子上的Fermat曲线建议的Brenner，并证明了这个丛有潜在的强半稳定的减少。
2019-07-04 math.AG math.NT
Faithful tropicalization of the Grassmannian of planes
我们证明了热带投影平面的格拉斯曼同胚的一个封闭的子集的解析格拉斯曼在Berkovich的意义下，通过构建一个连续的部分的tropicalization地图。我们的主要工具是一个明确的描述代数坐标环的复曲面地层的格拉斯曼。我们确定了热带化图的纤维，并计算了所有复曲面地层的初始退化。因此，我们证明了热带投射格拉斯曼的所有点的热带重数等于一。最后，我们确定了一个分段线性结构的图像，我们的部分，对应于多面体结构的热带投影格拉斯曼。
2014-03-11 math.AG
The general hyperplane section of a curve
本文从曲线的一般超平面截面出发，讨论了曲线为算术Cohen-Macaulay的若干充要条件。我们得到了P^3的非算术Cohen-Macaulay曲线的一般超平面截面上的点的度矩阵的一个特征。我们证明了几乎所有出现在P^3的非算术Cohen-Macaulay曲线的一般平面截面上的具有正次对角线的度矩阵，也出现在某些光滑的、积分的、非算术Cohen-Macaulay曲线的一般平面截面上，并刻画了例外情况。给出了P^n中算术Buchsbaum（非算术Cohen-Macaulay）曲线的一般超平面截面的分次贝蒂数的一个必要条件.对于P^3中的曲线，我们证明了满足该条件的任何贝蒂数集合都可以实现为算术Buchsbaum非算术Cohen-Macaulay曲线的一般平面截面的贝蒂数。我们还证明了作为算术Buchsbaum积分的（光滑的）非算术Cohen-Macaulay空间曲线的一般平面截面的度矩阵出现的矩阵正是那些作为算术Buchsbaum积分的非算术Cohen-Macaulay空间曲线的一般平面截面的度矩阵出现的矩阵，并且具有正的次对角线.利用算术Buchsbaum空间曲线的一般平面截面的度矩阵，证明了该曲线亏模维数的一些界。
2004-04-13 math.AC math.AG
Hyperplane section $\mathbb{OP}^2_0$ of the complex Cayley plane as the homogeneous space $\mathrm{F_4/P_4}$
证明了例外复李群$F_4$在复Cayley平面$\mathbb{OP}^2$的超平面截面上具有传递作用.我们的证据是直接的和建设性的。我们使用一个明确的实现的矢量和自旋行动的$\Spin(9,\C) \leq F_4$。此外，我们确定的$F_4$ -作用的稳定作为一个抛物子群$P_4$（与Levi因子$B_3T_1$）的复李群$F_4$。在实际情况下，我们得到一个类似的实现$F_4^{(-20)}/P_4$。
2011-01-27 math.AG math.DG
$C^m$ Semialgebraic Sections Over the Plane
在本文中，我们解决了二维情况下的猜想涉及未知的半代数函数指定的光滑性。更精确地说，我们证明了以下结果：设$\mathcal{H}$是关于$C^m_{loc}\left( \mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{D}\right) .$的半代数丛，如果$\mathcal{H}$有截面，则它有半代数截面。
2021-01-30 math.AG math.CA math.CV
Bielliptic smooth plane curves and quadratic points
设$C_k$是整体域$k$上的一条光滑射影曲线，它既不是有理的也不是椭圆的。哈里斯-西尔弗曼，当$p=0$，和施韦策，当$p>0$连同一个额外的条件雅可比品种$\operatorname{Jac}(C_k)$所产生的莫德尔猜想，表明$C$有无限多个二次点在一些有限域扩展$L/k$内$\overline{k}$（一个固定的代数封闭$k$）当且仅当$C$是超椭圆或双椭圆。现在，令$C_k$是具有$p=0$或$p>(d-1)(d-2)+1$的固定次数$d\geq4$的光滑平面曲线（直到$\operatorname{Jac}(C_k)$具有正特性的额外条件）。然后，我们证明了$C_k$总是允许许多二次点，除非$d=4$。本文对不同层次的光滑双椭圆平面四次曲线，利用它们的自同构群，给出了一个所谓的\emph{geometrically complete families}。有趣的是，（用一种非常简单的方法）证明了一个定数域$k$的二次扩张$k(\sqrt{D})$只有1000个，在其中我们可以得到次数为$d\geq5$的Fermat方程和Klein方程的更多解; $X^d+Y^d-Z^d=0$和$X^{d-1}Y+Y^{d-1}Z+Z^{d-1}X=0$的活性高于$k$（这同样适用于$k$上的任何非奇异投影平面方程的次数$d\geq 5$，并且通常也适用于在对$\operatorname{J…
2018-05-08 math.AG math.NT
Derived categories of the Cayley plane and the coadjoint Grassmannian of type F
本文证明Faenzi–Manivel的Cayley平面完整Lefschetz例外集限制到其F₄型超平面截面后仍完整，并刻画剩余范畴，给出F型齐性簇的首个完整例外集。
2021-01-08 math.AG math.RT math.SG
A Proof of the Plane Jacobian Conjecture
由于第7节中的错误，本文已被作者撤回。
2006-01-05 math.AC math.AG
Resurgence of Tritronquées Solutions of the Deformed Painlevé I Equation
本文证明了变形 Painlevé I 方程的形式 $\hbar$ 幂级数解具有复苏性，揭示了其 Borel 变换在 Fermat 五次曲面上的全局多值全纯结构及五重覆盖映射下的奇点分布。
2025-04-03 math-ph math.AG math.CA
