A discrete approach to Rough Parabolic Equations
通过结合\cite{RHE}的形式主义和接近于\cite{Davie}考虑的离散方法，我们解释并求解了粗糙偏微分方程$dy_t=A y_t \, dt+\sum_{i=1}^m f_i(y_t) \, dx^i_t$（$t\in [0,T]$）在$\R^n$的紧域$\mathcal{O}$上，其中$A$是$L^p(\mathcal{O})$的一个相当一般的椭圆算子（$p>1$）、$f_i(\vp)(ξ):=f_i(\vp(ξ))$和$x$是$2$ -粗路径的生成元。唯一性和连续性的解决方案是建立在经典的正则性假设$f_i$。为了证明我们对这个问题的解释是合理的，还提供了一些识别程序。
2013-11-03 math.PR
Parabolic equations with rough coefficients and singular forcing
本文主要研究一类具有粗糙扩散系数的抛物型方程，由于奇异强迫的存在，该方程在经典分布意义下是不适定的。受哲学的启发，粗糙的路径和规律性结构，我们引入了一个概念的模型化分布，这是适合在这种情况下。我们证明了两个通用的工具，重建和整合，以及产品引理，这是量身定制的粗糙扩散算子的重建。这就产生了一个部分自动的确定性理论，我们应用它来获得一个存在性和唯一性理论的抛物型方程的粗糙扩散系数和奇异强迫的负抛物Hölder空间的顺序大于$-\frac{3}{2}$。
2018-03-26 math.AP math.PR
Parabolic Anderson Model with space-time homogeneous Gaussian noise and rough initial condition
本文研究了$\mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}^d$上时空齐次高斯噪声驱动下的抛物Anderson模型，其时空协方差核是局部可积的非负函数，并且是非负定的（在分布意义下）.我们假设初始条件由$\mathbb{R}^d$上的带符号Borel测度给出，噪声的谱测度满足Dalang（1999）条件.在这些条件下，我们证明了该方程有唯一解，并研究了对任意$p \geq 2$，解的$p$阶矩的大小.此外，我们表明，这个解决方案有一个Hölder连续修改相同的规律性和相同的条件下，在时间上的白噪声的情况下，无论时间的协方差函数的噪声。
2016-06-28 math.PR
Parabolic Anderson model with rough initial condition: continuity in law of the solution
本文研究带一般带号博雷尔测度初值的抛物型安德森模型（PAM），分别考察正则与粗糙两类时间有色空间噪声，证明了解关于空间噪声参数依分布连续，拓展了常初值下的已有结果。
2023-12-14 math.PR
Parabolic stochastic PDEs on bounded domains with rough initial conditions: moment and correlation bounds
本文研究了有界Lipschiz区域上由Gaussian噪声驱动的非线性抛物型随机偏微分方程，在测度值初始数据下建立了解的存在性、唯一性、矩界与两点相关函数的显式上下界，并证明了解在特定噪声水平下的完全间歇性。
2023-08-04 math.PR
Global solutions and random dynamical systems for rough evolution equations
考虑无限维抛物型粗糙发展方程。利用解析半群的正则化性质，我们证明了解的整体存在性，并研究了这类方程的随机动力系统。
2019-04-05 math.PR
Moment estimates for some renormalized parabolic Anderson models
规则性结构理论使得能够在非常粗糙的环境中定义以下抛物线安德森模型：$\partial_{t} u_{t}(x) = \frac12 Δu_{t}(x) + u_{t}(x) \, \dot W_{t}(x)$，对于$t\in\mathbb{R}_{+}$和$x\in \mathbb{R}^{d}$，其中$\dot W_{t}(x)$是其时空协方差函数是奇异的高斯噪声。在这个粗略的背景下，我们将给出一些信息的时刻$u_{t}(x)$时，随机热方程解释在Skorohod以及Stratonovich意义。特别感兴趣的是临界情况，在这种情况下，人们观察到大时间的时刻爆破。
2020-09-07 math.PR
Solving rough differential equations with the theory of regularity structures
本文的目的是利用正则结构理论求解粗糙微分方程。这些新的工具，最近开发的Martin Hairer为解决半线性偏微分随机方程的启发，粗糙路径理论。我们采取教学方法，以促进对这一新理论的理解。我们恢复粗糙路径理论的结果与规则性结构的框架。因此，我们展示了如何制定一个不动点问题的抽象空间中的建模分布来解决粗糙的微分方程。利用正则结构理论证明了粗糙路径提升的存在性。
2019-10-14 math.PR
In search of necessary and sufficient conditions to solve parabolic Anderson model with rough noise
本文研究带分数高斯噪声的抛物型Anderson模型，给出并证明Hurst参数满足的充分必要条件，以保证解的存在唯一性及混沌平方可积性。
2024-07-31 math.PR
Spatial asymptotics for the Feynman-Kac formulas driven by time-dependent and space-fractional rough Gaussian fields with the measure-valued initial data
本文研究了具有高斯场的连续抛物型Anderson模型，其初始条件为测度值，其协方差在时间上是非齐次的，在空间上是分数粗糙的。本文主要研究Stratonovich意义下的Feynman-Kac公式的空间行为。利用基于布朗桥的Feynman-Kac公式，可以在较宽的条件下得到精确的空间渐近性。
2021-01-30 math.PR
The nonlinear stochastic heat equation with rough initial data:a summary of some new results
这是一个在博士学位的结果初步公告。论文的第一作者关于非线性随机热方程在空间域$\R$，驱动的时空白噪声。一个中心的特殊情况是抛物线安德森模型。初始条件被认为是$\R$上的一个测度，例如狄拉克δ函数，但是这个测度也可以有非紧的支持，甚至是非调和的（例如具有指数增长的尾部）。存在性和唯一性证明没有呼吁Gronwall的引理，通过保持严格控制的时刻在皮卡德迭代计划。得到了所有$p$阶矩$(p\ge 2)$的上、下界.当$p=2$.确定了Conus和Khoshnevisan（2010）引入的增长指数，尽管初始条件不规则，但仍然建立了$t>0$解的Hölder连续性。
2012-10-05 math.PR
Non-Linear Evolution Equations Driven by Rough Paths
证明了一类带粗糙强迫项的非线性抛物型发展方程（温和）解的存在唯一性结果。我们的证明方法依赖于仔细利用的空间和时间之间的相互作用的规律性的解决方案capitalising一些加藤的想法在半群理论。经典的杨氏积分理论，然后示出提供了一种手段来解释方程。作为应用，我们考虑了具有随机强迫项的三维Navier-Stokes方程组，强迫项来自于h > 1/2的分数阶布朗运动.
2009-11-02 math.PR
Quenched asymptotics for a 1-d stochastic heat equation driven by a rough spatial noise
本文研究了具有时间无关分数噪声$\dot{W}$的一维抛物Anderson模型。我们考虑了$H<\frac{1}{2}$的情形，得到了解的存在唯一性.为了找到解的猝灭渐近性，我们考虑其Feynman-Kac表示，并探讨$\frac{1}{2} Δ+ \dot{W}$形式的随机算子的主本征值的渐近性。
2018-10-09 math.PR
Wick Renormalized Parabolic Stochastic Quantization Equations on Rough Metric Measure Spaces
Aarhus University（奥胡斯大学）；Arizona State University（亚利桑那州立大学）
本文在具有亚高斯热核行为的度量测度空间上，给出了求解Wick重整化随机量化方程的充分条件，并构造了全局解的不变测度，适用于分形等粗糙空间。
2026-05-30 math-ph math.AP math.MP
Moments and growth indices for the nonlinear stochastic heat equation with rough initial conditions
研究了时空白噪声驱动下的空间域$\mathbb {R}$中的非线性随机热方程。一个中心的特殊情况是抛物线安德森模型。初始条件被认为是$\mathbb {R}$上的度量，例如Dirac delta函数，但是该度量也可以具有非紧支持，甚至是非调和的（例如，具有指数增长的尾巴）。通过严格控制Picard迭代格式中的矩，在不诉诸Gronwall引理的情况下，证明了随机场解的存在唯一性.得到了所有$p$阶矩$(p\ge2)$的上界和二阶矩的下界.当$p=2$ .我们确定的增长指数介绍了芋螺和Khoshnevisan [Probab。Theory Related Fields 152（2012）681-701]。
2015-12-21 math.PR
On Lp -theory for parabolic and elliptic integro-differential equations with scalable operators in the whole space
椭圆和抛物型积分微分模型问题被认为是在整个空间。通过证明Hörmander条件，证明了正则性由可伸缩的、可能非对称的Levy测度定义的函数在L_{p} -空间中的存在唯一性.一些粗糙的密度函数估计的相关Levy过程中使用。
2016-05-23 math.AP math.PR
On the Cauchy problem for stochastic integrodifferential parabolic equations in the scale of Lp-spaces of generalized smoothness
在全空间中考虑随机抛物型积分微分问题。通过证明Hörmander条件，证明了Lp-空间中正则性由可伸缩Levy测度定义的函数的存在唯一性.一些粗糙的密度函数估计的相关Levy过程中使用。
2018-05-08 math.AP math.PR
Global solutions for semilinear rough partial differential equations
我们构造了半线性抛物型粗糙偏微分方程的整体时间解。我们的工作规模的控制粗糙路径的方法，并获得适当的先验估计的解决方案，不包含二次项的巴拿赫空间空间。
2021-07-28 math.AP math.DS math.PR
Heat Equation With a Geometric Rough Path Potential in One Space Dimension: Existence and Regularity of Solution
利用正则化方法构造了具有分布值位势的热方程的一个解。当势函数为Hölder连续函数的广义导数时，所得解的正则性符合标准抛物理论.
2017-12-21 math.AP math.PR
Rough path stability of (semi-)linear SPDEs
我们给意义的线性和半线性（可能退化）抛物型偏微分方程（仿射）线性粗糙路径噪声，并建立稳定的粗糙路径度量。在增强的布朗运动（布朗运动及其Lévy区域）作为粗糙路径噪声的情况下，该解与SPDE的标准变分解一致。
2013-01-16 math.AP math.PR
An Itô Formula for rough partial differential equations and some applications
我们研究了形式为$[0,T]\times\mathbb{R}^d.$的粗糙抛物方程解的存在性、唯一性和正则性。为此，我们引入了“微分粗糙驱动器”的概念，它与粗糙路径理论中通常的控制路径空间相对应，建立在Sobolev空间$W^{k,p}.$上。我们还定义了一个自然的几何性概念，并说明它与受控路径的乘积公式的关系。在运输噪声的情况下（即，当$Y=0$），我们使用这个框架来证明一个Itô公式（在链规则的意义上）的Nemytskii操作的形式$u\mapsto F(u),$，其中$F$是$C^2$和消失在原点。我们的方法是基于能量估计，和推广的Moser迭代参数，以证明有界的一个密集类的解决方案的抛物问题如上。特别是，我们避免使用流变换，直接在原始方程的水平上工作。我们还显示了相应的链式规则$F(u)=|u|^p$与$p\geq 2,$，但也当$Y\neq 0$和$p\geq 4.$作为这些结果的应用，我们证明了一个合适的一类$L^p$ -解的存在性和唯一性的抛物型方程的乘性噪声。另一个相关的发展是齐次Dirichlet边界问题的光滑区域，其中弱最大值原理示出适当的假设下的系数。
2020-07-08 math.AP math.PR
Backward stochastic differential equations with rough drivers
倒向随机微分方程（BSDEs）在Pardoux-Peng意义下[倒向随机微分方程和拟线性抛物型偏微分方程，控制与信息讲义。科学，176，200- 217，1992]提供了对某些类非线性偏微分方程的非马尔可夫扩展;非线性表示在所谓的Bundle驱动器中。我们的目标是处理那些在时间上几乎没有规律性的司机。为此，我们建立了粗糙信号驱动下的Lyons [微分方程]意义下的粗糙路径度量的连续性。修订材料Iberoamericana 14，no. 2，215- 310，1998]，并因此获得了“具有粗糙驾驶员的驾驶员”的概念。存在性，唯一性和版本的里昂的极限定理在这方面的建立。我们的主要工具，除了粗糙路径分析，是稳定性理论的二次BSDES由于Kobylanski [倒向随机微分方程和偏微分方程的二次增长。安·普罗巴布，28（2）：558- 602，2000]。
2010-08-02 math.PR
Solving mean field rough differential equations
在这项工作中，我们提供了一个强大的解决方案理论随机粗糙微分方程的平均场型$$ dX_t = V(X_t,\mathcal{L}(X_t))dt + F(X_t,\mathcal{L}(X_t))dW_t, $$其中$W$是一个随机粗糙路径和$\mathcal{L}(X_t)$代表的法律$X_t$，与平均场相互作用的漂移和扩散。分析需要引入一个新的粗糙路径设置和相关的概念控制路径。我们使用关键的狮子的方法，微分学的Wasserstein空间的道路上。
2019-07-01 math.CA math.PR
Central limit theorems for heat equation with time-independent noise: the regular and rough cases
在这篇文章中，我们研究了具有时间无关噪声的抛物型Anderson模型在$d\geq 1$维上的解的空间积分的渐近行为，随着积分的区域变大。我们考虑3种情况：（a）噪声具有可积协方差函数的情况;（b）噪声的协方差由Riesz核给出的情况;（c）粗糙噪声的情况，即在维度$d=1$中具有索引$H \in (\frac{1}{4},\frac{1}{2})$的分数噪声。在每种情况下，我们确定了空间积分方差的数量级，通过估计归一化空间积分到标准正态分布的全变差距离，证明了归一化空间积分的定量中心极限定理，并给出了相应的函数极限结果.
2022-05-26 math.PR
Existence and regularity of random attractors for stochastic evolution equations driven by rough noise
本文结合粗糙路径理论与随机动力系统，证明了自然系数假设下含粗糙非线性乘性噪声的抛物型偏微分方程存在正则的随机拉回吸引子，并应用于无法使用流变换的粗糙边界噪声情形。
2024-01-25 math.AP math.DS math.PR
Solving high-dimensional parabolic PDEs using the tensor train format
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；BTU Cottbus-Senftenberg（科特布斯-森夫滕贝格勃兰登堡工业大学）；dida Datenschmiede GmbH（dida数据锻造有限公司）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；Universität Potsdam（波茨坦大学）
高维偏微分方程在经济、科学和工程中普遍存在。然而，他们的数值处理带来了巨大的挑战，因为传统的基于网格的方法往往会受到维数灾难。在本文中，我们认为，张量列车提供了一个有吸引力的近似框架抛物偏微分方程：在向后随机微分方程和回归类型的方法在张量格式的重组相结合的承诺，利用潜在的低秩结构，使压缩和有效的计算。按照这种模式，我们开发新的迭代方案，涉及显式和快速或隐式和准确的更新。我们证明了在一些例子中，我们的方法实现了良好的平衡与国家的最先进的神经网络为基础的方法相比，准确性和计算效率。
2021-07-17 cs.LG cs.NA math.NA
Quasilinear rough evolution equations
本文研究了巴拿赫空间中拟线性抛物型方程的抽象Cauchy问题，其形式为\( du_t -L_t(u_t)u_t dt = N_t(u_t)dt + F(u_t)\cdot d\mathbf X_t \)，其中\( \mathbf X\)是\( γ\in(1/3,1/2)\)的\( γ\)-Hölder粗路.我们探讨温和的配方，结合泛函分析技术和控制粗糙路径理论，需要这样的方程的局部适定性。我们应用我们的结果随机Landau-Lifshitz-Gilbert和Shigesada-Kawasaki-Teramoto方程。在这个框架下，我们得到了一个随机动力系统的Landau-Lifshitz-Gilbert方程。
2022-07-11 math.AP math.PR
A Stochastic Approximation for Fully Nonlinear Free Boundary Parabolic Problems
本文提出了一种求解完全非线性抛物型自由边界问题的随机数值方法，并在合理的非线性条件下给出了收敛速率。
2013-11-08 cs.NA math.NA math.PR
Stochastic non-isotropic degenerate parabolic-hyperbolic equations
对一类具有非各向同性非线性项和粗糙时间依赖通量的退化抛物-双曲型方程引入了路径熵解的概念，并证明了其适定性.在布朗噪声和周期边界条件的情况下，我们证明了路径熵解收敛到它们的空间平均值，并给出了收敛速率的估计。本文的第三个主要结果是一个新的正则化结果的平均引理的精神。本文将Lions，Perthame和Souganwehr提出的随机标量守恒律的路径熵解的框架和作者对随机标量守恒律的长时间行为的分析推广到一类新的方程.
2020-06-17 math.AP math.PR
An energy method for rough partial differential equations
给出了一类由粗糙路径驱动的非退化线性抛物型方程的适定性和稳定性结果。更准确地说，我们引入了一个概念，弱解，满足一个内在的制定方程在一个合适的索伯列夫空间的负序。然后证明了弱解满足直接从方程推导出的相应能量估计。存在性是通过显示一个合适的序列的近似解的紧凑性，而唯一性依赖于一个加倍的变量参数和仔细分析的通道的对角线。我们的结果是最优的，在这个意义上，对方程的确定性部分以及初始条件的假设是相同的，在经典的偏微分方程理论。
2019-03-06 math.AP math.PR
A (rough) pathwise approach to a class of non-linear stochastic partial differential equations
我们考虑非线性抛物型发展方程的形式$\partial_{t}u=F(t,x,Du,D^{2}u) $，受到噪音的形式$H(x,Du) \circ dB$其中$H$是线性的$Du$和$\circ dB$表示Stratonovich微分的多维布朗运动。受[狮子，P. -]的基本路径结果的启发，L.和Souganoun，P.E.;完全非线性随机偏微分方程。C. R. Acad. Sci.巴黎先生I Math.326（1998），no.9]我们提出使用粗糙路径分析[Lyons，T. J.道：由粗糙信号驱动的微分方程。修订材料Iberoamericana 14（1998），no. 2，215- 310]。虽然核心论点是完全确定的，连续性定理允许各种概率应用（极限定理，支持，大偏差，.）。
2010-11-08 math.AP math.PR
Quasilinear SPDEs via rough paths
我们感兴趣的是（一致）抛物偏微分方程的非线性依赖的领先阶系数，由一个粗糙的右手边。为了简单起见，我们考虑具有单个空间变量的时空周期性设置：\begin{equation*} \partial_2u -P( a(u)\partial_1^2u - σ(u)f ) =0 \end{equation*}其中$P$是均值零函数上的投影，$f$是一个分布，并且仅在抛物线Hölder尺度上的$α> \frac{2}{3}$的$ C^{α-2}$的低正则性范数中控制。我们想到的例子是一个随机强迫$f$，我们的假设允许，例如，对于一个$f$，它在时间变量$x_2$中是白色的，在空间变量$x_1$中只有轻微的颜色;任何空间协方差算子$(1 + |\partial_1|)^{-λ_1 }$和$λ_1 > \frac13$都是允许的。在确定性方面，我们得到一个$C^α$ -估计$u$，假设我们控制产品的形式$v\partial_1^2v$和$vf$与$v$解决常系数方程$\partial_2 v-a_0\partial_1^2v=f$。因此，我们得到了小数据下小时空周期解关于$(f, vf, v \partial_1^2v)$的存在性、唯一性和稳定性。然后，我们展示了如何所需的产品可以有界的情况下，随机强迫$f$使用随机参数。为此，我们延长治疗的奇异产品$σ(u)f$通过时空版本的Gubinelli的概…
2018-11-06 math.AP math.PR
Deep Neural Network Algorithms for Parabolic PIDEs and Applications in Insurance Mathematics
近年来，出现了大量关于基于深度学习的偏微分方程数值解方法的文献;另一方面，积分微分方程的结果很少。本文研究了求解高维线性和半线性抛物型偏积分微分方程边值问题的深度神经网络算法。为了证明我们的方法的可行性，我们讨论了保险和金融的几个案例研究。
2021-09-24 cs.NA math.NA math.PR
A mild rough Gronwall Lemma with applications to non-autonomous evolution equations
本研究推导了非自治抛物型粗糙偏微分方程温和解的Gronwall型不等式，结合噪声相关空间分析得到解的任意阶矩存在性，借助乘性遍历定理证明李雅普诺夫指数存在，并以带乘性边界噪声的随机偏微分方程为例验证结果。
2025-10-29 math.AP math.DS math.PR
Discretisations of rough stochastic PDEs
University of Warwick（华威大学）；University of Toronto（多伦多大学）
本文提出了一种通用框架，用于对具有正则结构理论解的抛物型随机偏微分方程进行空间离散化，并展示了二进制网格上的动态Φ^4_3模型在重整化后收敛于其连续形式。
2017-07-24 cs.NA math.AP math.NA
Three algorithms for solving high-dimensional fully-coupled FBSDEs through deep learning
Shandong University（山东大学）
最近，深度学习方法已被用于求解正倒向随机微分方程（FBSDEs）和抛物型偏微分方程（PDE）。它对高维问题具有良好的精度和性能。在本文中，我们主要通过深度学习来解决全耦合FBSDES，并提供了三种算法。一些数值结果显示了显着的性能，特别是对高维的情况。
2020-02-02 cs.LG cs.NA math.NA
