A discrete approach to Rough Parabolic Equations
通过结合\cite{RHE}的形式主义和接近于\cite{Davie}考虑的离散方法，我们解释并求解了粗糙偏微分方程$dy_t=A y_t \, dt+\sum_{i=1}^m f_i(y_t) \, dx^i_t$（$t\in [0,T]$）在$\R^n$的紧域$\mathcal{O}$上，其中$A$是$L^p(\mathcal{O})$的一个相当一般的椭圆算子（$p>1$）、$f_i(\vp)(ξ):=f_i(\vp(ξ))$和$x$是$2$ -粗路径的生成元。唯一性和连续性的解决方案是建立在经典的正则性假设$f_i$。为了证明我们对这个问题的解释是合理的，还提供了一些识别程序。
2013-11-03 math.PR
Parabolic equations with rough coefficients and singular forcing
本文主要研究一类具有粗糙扩散系数的抛物型方程，由于奇异强迫的存在，该方程在经典分布意义下是不适定的。受哲学的启发，粗糙的路径和规律性结构，我们引入了一个概念的模型化分布，这是适合在这种情况下。我们证明了两个通用的工具，重建和整合，以及产品引理，这是量身定制的粗糙扩散算子的重建。这就产生了一个部分自动的确定性理论，我们应用它来获得一个存在性和唯一性理论的抛物型方程的粗糙扩散系数和奇异强迫的负抛物Hölder空间的顺序大于$-\frac{3}{2}$。
2018-03-26 math.AP math.PR
Parabolic Anderson Model with space-time homogeneous Gaussian noise and rough initial condition
本文研究了$\mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}^d$上时空齐次高斯噪声驱动下的抛物Anderson模型，其时空协方差核是局部可积的非负函数，并且是非负定的（在分布意义下）.我们假设初始条件由$\mathbb{R}^d$上的带符号Borel测度给出，噪声的谱测度满足Dalang（1999）条件.在这些条件下，我们证明了该方程有唯一解，并研究了对任意$p \geq 2$，解的$p$阶矩的大小.此外，我们表明，这个解决方案有一个Hölder连续修改相同的规律性和相同的条件下，在时间上的白噪声的情况下，无论时间的协方差函数的噪声。
2016-06-28 math.PR
Parabolic Anderson model with rough initial condition: continuity in law of the solution
本文研究带一般带号博雷尔测度初值的抛物型安德森模型（PAM），分别考察正则与粗糙两类时间有色空间噪声，证明了解关于空间噪声参数依分布连续，拓展了常初值下的已有结果。
2023-12-14 math.PR
Parabolic stochastic PDEs on bounded domains with rough initial conditions: moment and correlation bounds
本文研究了有界Lipschiz区域上由Gaussian噪声驱动的非线性抛物型随机偏微分方程，在测度值初始数据下建立了解的存在性、唯一性、矩界与两点相关函数的显式上下界，并证明了解在特定噪声水平下的完全间歇性。
2023-08-04 math.PR
Global solutions and random dynamical systems for rough evolution equations
考虑无限维抛物型粗糙发展方程。利用解析半群的正则化性质，我们证明了解的整体存在性，并研究了这类方程的随机动力系统。
2019-04-05 math.PR
Moment estimates for some renormalized parabolic Anderson models
规则性结构理论使得能够在非常粗糙的环境中定义以下抛物线安德森模型：$\partial_{t} u_{t}(x) = \frac12 Δu_{t}(x) + u_{t}(x) \, \dot W_{t}(x)$，对于$t\in\mathbb{R}_{+}$和$x\in \mathbb{R}^{d}$，其中$\dot W_{t}(x)$是其时空协方差函数是奇异的高斯噪声。在这个粗略的背景下，我们将给出一些信息的时刻$u_{t}(x)$时，随机热方程解释在Skorohod以及Stratonovich意义。特别感兴趣的是临界情况，在这种情况下，人们观察到大时间的时刻爆破。
2020-09-07 math.PR
In search of necessary and sufficient conditions to solve parabolic Anderson model with rough noise
本文研究带分数高斯噪声的抛物型Anderson模型，给出并证明Hurst参数满足的充分必要条件，以保证解的存在唯一性及混沌平方可积性。
2024-07-31 math.PR
On implicit and explicit discretization schemes for parabolic SPDEs in any dimension
研究了空间相关高斯噪声扰动下任意维抛物型偏微分方程解$u(t,x)$的显式和隐式时空离散格式的收敛速度。这些系数仅依赖于$u(t,x)$，并且观察到相关性对速度的影响。
2006-11-03 math.PR
Accelerated finite elements schemes for parabolic stochastic partial differential equations
对于一类线性随机抛物型偏微分方程的有限元逼近，证明了用Richardson外推法可以加快收敛速率。更确切地说，通过采取适当的混合有限元近似，可以加速收敛到任何给定的速度，提供的系数，初始和自由数据是足够光滑的。
2019-10-23 math.PR
Spatial asymptotics for the Feynman-Kac formulas driven by time-dependent and space-fractional rough Gaussian fields with the measure-valued initial data
本文研究了具有高斯场的连续抛物型Anderson模型，其初始条件为测度值，其协方差在时间上是非齐次的，在空间上是分数粗糙的。本文主要研究Stratonovich意义下的Feynman-Kac公式的空间行为。利用基于布朗桥的Feynman-Kac公式，可以在较宽的条件下得到精确的空间渐近性。
2021-01-30 math.PR
The nonlinear stochastic heat equation with rough initial data:a summary of some new results
这是一个在博士学位的结果初步公告。论文的第一作者关于非线性随机热方程在空间域$\R$，驱动的时空白噪声。一个中心的特殊情况是抛物线安德森模型。初始条件被认为是$\R$上的一个测度，例如狄拉克δ函数，但是这个测度也可以有非紧的支持，甚至是非调和的（例如具有指数增长的尾部）。存在性和唯一性证明没有呼吁Gronwall的引理，通过保持严格控制的时刻在皮卡德迭代计划。得到了所有$p$阶矩$(p\ge 2)$的上、下界.当$p=2$.确定了Conus和Khoshnevisan（2010）引入的增长指数，尽管初始条件不规则，但仍然建立了$t>0$解的Hölder连续性。
2012-10-05 math.PR
A $K$-rough path above the space-time fractional Brownian motion
在任意空间维$d$中，我们构造了一个在时空或空间分数布朗运动上的$K$ -粗糙路径。这使我们能够提供相应的抛物型安德森模型的解释和唯一的解决方案，在重整化的意义上理解。我们还考虑了空间分数噪声的情况。
2020-09-07 math.PR
Non-Linear Evolution Equations Driven by Rough Paths
证明了一类带粗糙强迫项的非线性抛物型发展方程（温和）解的存在唯一性结果。我们的证明方法依赖于仔细利用的空间和时间之间的相互作用的规律性的解决方案capitalising一些加藤的想法在半群理论。经典的杨氏积分理论，然后示出提供了一种手段来解释方程。作为应用，我们考虑了具有随机强迫项的三维Navier-Stokes方程组，强迫项来自于h > 1/2的分数阶布朗运动.
2009-11-02 math.PR
Quenched asymptotics for a 1-d stochastic heat equation driven by a rough spatial noise
本文研究了具有时间无关分数噪声$\dot{W}$的一维抛物Anderson模型。我们考虑了$H<\frac{1}{2}$的情形，得到了解的存在唯一性.为了找到解的猝灭渐近性，我们考虑其Feynman-Kac表示，并探讨$\frac{1}{2} Δ+ \dot{W}$形式的随机算子的主本征值的渐近性。
2018-10-09 math.PR
Wick Renormalized Parabolic Stochastic Quantization Equations on Rough Metric Measure Spaces
Aarhus University（奥胡斯大学）；Arizona State University（亚利桑那州立大学）
本文在具有亚高斯热核行为的度量测度空间上，给出了求解Wick重整化随机量化方程的充分条件，并构造了全局解的不变测度，适用于分形等粗糙空间。
2026-05-30 math-ph math.AP math.MP
On stochastic finite difference schemes
研究了退化随机抛物型偏微分方程空间变量的有限差分格式。在光滑性假设下，给出了随机抛物型差分格式的$L_p$速度和有限差分逼近的几乎必然收敛的精确结果，并建立了随机抛物型差分格式的Richardson外推结果.
2013-09-29 math.PR
Moments and growth indices for the nonlinear stochastic heat equation with rough initial conditions
研究了时空白噪声驱动下的空间域$\mathbb {R}$中的非线性随机热方程。一个中心的特殊情况是抛物线安德森模型。初始条件被认为是$\mathbb {R}$上的度量，例如Dirac delta函数，但是该度量也可以具有非紧支持，甚至是非调和的（例如，具有指数增长的尾巴）。通过严格控制Picard迭代格式中的矩，在不诉诸Gronwall引理的情况下，证明了随机场解的存在唯一性.得到了所有$p$阶矩$(p\ge2)$的上界和二阶矩的下界.当$p=2$ .我们确定的增长指数介绍了芋螺和Khoshnevisan [Probab。Theory Related Fields 152（2012）681-701]。
2015-12-21 math.PR
On Lp -theory for parabolic and elliptic integro-differential equations with scalable operators in the whole space
椭圆和抛物型积分微分模型问题被认为是在整个空间。通过证明Hörmander条件，证明了正则性由可伸缩的、可能非对称的Levy测度定义的函数在L_{p} -空间中的存在唯一性.一些粗糙的密度函数估计的相关Levy过程中使用。
2016-05-23 math.AP math.PR
On the Cauchy problem for stochastic integrodifferential parabolic equations in the scale of Lp-spaces of generalized smoothness
在全空间中考虑随机抛物型积分微分问题。通过证明Hörmander条件，证明了Lp-空间中正则性由可伸缩Levy测度定义的函数的存在唯一性.一些粗糙的密度函数估计的相关Levy过程中使用。
2018-05-08 math.AP math.PR
Global solutions for semilinear rough partial differential equations
我们构造了半线性抛物型粗糙偏微分方程的整体时间解。我们的工作规模的控制粗糙路径的方法，并获得适当的先验估计的解决方案，不包含二次项的巴拿赫空间空间。
2021-07-28 math.AP math.DS math.PR
Heat Equation With a Geometric Rough Path Potential in One Space Dimension: Existence and Regularity of Solution
利用正则化方法构造了具有分布值位势的热方程的一个解。当势函数为Hölder连续函数的广义导数时，所得解的正则性符合标准抛物理论.
2017-12-21 math.AP math.PR
First-order Euler scheme for SDEs driven by fractional Brownian motions: the rough case
本文考虑了一类由分数阶布朗运动（fBm）驱动的带Hurst参数$\frac13<H<\frac12$的随机微分方程的修正Euler格式.这是一个一阶时间离散的数值逼近格式，最近由Hu，Liu和Nualart提出，目的是将Itô方程的经典Euler格式推广到$H>\frac12$的情形。目前的贡献推广的修改后的欧拉格式的粗糙情况下$\frac13<H<\frac12$。也就是说，我们证明了该方案的$n^{\frac12-2H}$阶收敛速度，我们认为，这个速度是准确的。利用加权随机和渐近性的一些新技巧，我们还得到了该方案重正化误差的中心极限定理。我们的主要思想是基于这样的观察：由fBm、格式过程和归一化误差过程得到的三个过程可以提升到一个新的粗糙路径上，并且这个新的粗糙路径的Hölder范数有一个与格式的步长无关的估计.
2017-03-10 math.PR
Rough path stability of (semi-)linear SPDEs
我们给意义的线性和半线性（可能退化）抛物型偏微分方程（仿射）线性粗糙路径噪声，并建立稳定的粗糙路径度量。在增强的布朗运动（布朗运动及其Lévy区域）作为粗糙路径噪声的情况下，该解与SPDE的标准变分解一致。
2013-01-16 math.AP math.PR
An Itô Formula for rough partial differential equations and some applications
我们研究了形式为$[0,T]\times\mathbb{R}^d.$的粗糙抛物方程解的存在性、唯一性和正则性。为此，我们引入了“微分粗糙驱动器”的概念，它与粗糙路径理论中通常的控制路径空间相对应，建立在Sobolev空间$W^{k,p}.$上。我们还定义了一个自然的几何性概念，并说明它与受控路径的乘积公式的关系。在运输噪声的情况下（即，当$Y=0$），我们使用这个框架来证明一个Itô公式（在链规则的意义上）的Nemytskii操作的形式$u\mapsto F(u),$，其中$F$是$C^2$和消失在原点。我们的方法是基于能量估计，和推广的Moser迭代参数，以证明有界的一个密集类的解决方案的抛物问题如上。特别是，我们避免使用流变换，直接在原始方程的水平上工作。我们还显示了相应的链式规则$F(u)=|u|^p$与$p\geq 2,$，但也当$Y\neq 0$和$p\geq 4.$作为这些结果的应用，我们证明了一个合适的一类$L^p$ -解的存在性和唯一性的抛物型方程的乘性噪声。另一个相关的发展是齐次Dirichlet边界问题的光滑区域，其中弱最大值原理示出适当的假设下的系数。
2020-07-08 math.AP math.PR
Existence and regularity of random attractors for stochastic evolution equations driven by rough noise
本文结合粗糙路径理论与随机动力系统，证明了自然系数假设下含粗糙非线性乘性噪声的抛物型偏微分方程存在正则的随机拉回吸引子，并应用于无法使用流变换的粗糙边界噪声情形。
2024-01-25 math.AP math.DS math.PR
Quasilinear rough evolution equations
本文研究了巴拿赫空间中拟线性抛物型方程的抽象Cauchy问题，其形式为\( du_t -L_t(u_t)u_t dt = N_t(u_t)dt + F(u_t)\cdot d\mathbf X_t \)，其中\( \mathbf X\)是\( γ\in(1/3,1/2)\)的\( γ\)-Hölder粗路.我们探讨温和的配方，结合泛函分析技术和控制粗糙路径理论，需要这样的方程的局部适定性。我们应用我们的结果随机Landau-Lifshitz-Gilbert和Shigesada-Kawasaki-Teramoto方程。在这个框架下，我们得到了一个随机动力系统的Landau-Lifshitz-Gilbert方程。
2022-07-11 math.AP math.PR
A Probabilistic Scheme for Fully Nonlinear Nonlocal Parabolic PDEs with singular Lévy measures
Ecole Polytechnique（巴黎综合理工学院）
提出一种蒙特卡洛格式求解完全非线性非局部抛物型偏微分方程，通过截断无限Lévy测度避免困难，并证明格式收敛性及凹（凸）非线性情形的收敛速率。
2012-11-02 cs.NA math.NA math.PR
Stochastic non-isotropic degenerate parabolic-hyperbolic equations
对一类具有非各向同性非线性项和粗糙时间依赖通量的退化抛物-双曲型方程引入了路径熵解的概念，并证明了其适定性.在布朗噪声和周期边界条件的情况下，我们证明了路径熵解收敛到它们的空间平均值，并给出了收敛速率的估计。本文的第三个主要结果是一个新的正则化结果的平均引理的精神。本文将Lions，Perthame和Souganwehr提出的随机标量守恒律的路径熵解的框架和作者对随机标量守恒律的长时间行为的分析推广到一类新的方程.
2020-06-17 math.AP math.PR
Convergence rates for a finite volume scheme of a stochastic non-linear parabolic equation
Institute of Mathematics, Clausthal University of Technology（Clausthal工业大学数学研究所）
本文研究了随机非线性抛物方程有限体积方案的收敛速率，通过半隐式欧拉方案和两个点通量近似方案，给出了空间时间离散误差的估计。
2025-12-19 cs.NA math.AP math.NA
Uniform weak error estimates for an asymptotic preserving scheme applied to a class of slow-fast parabolic semilinear SPDEs
本文研究了具有两个时间尺度的抛物型半线性随机偏微分方程组的时间离散的渐近保持格式。由于平均原理，当时间尺度分离$ε$消失时，慢分量收敛到极限发展方程的解，该极限演化方程在时间步长$Δt$消失时由极限方案捕获。这项工作的目的是证明弱误差估计是统一的$ε$，在$Δt$：该计划满足一致的精度属性。这是最近一篇文章在无限维框架中的一个非平凡的推广。快的部分离散使用修改后的欧拉格式的SPDE在最近的工作中介绍。证明弱误差估计需要精细分析无穷维Kolmogorov方程解的正则性。
2022-03-20 cs.NA math.NA math.PR
Monotone Schemes for Fully Nonlinear Parabolic Path Dependent PDEs
University of Southern California（南加州大学）
本文扩展了Barles和Souganidis的开创性工作到路径依赖情况，基于路径依赖PDE的粘性理论，证明了单调方案收敛于唯一粘性解，并提出一个例子，且在解足够光滑时获得收敛速率。
2014-02-17 cs.NA math.AP math.NA
Deep Learning Schemes For Parabolic Nonlocal Integro-Differential Equations
本文研究非局部积分微分抛物型方程的神经网络数值逼近。这些方程出现在许多最近的应用中，包括金融，生物学和其他，最近从Caffarelli和Silvestre的工作开始进行了广泛的研究。本文在Hure，Pham和Warin的工作基础上，将他们关于倒向前随机微分方程的Euler格式和相容性结果推广到非局部情形。我们依靠Lèvy过程和一个新的神经网络逼近的非局部部分，以克服缺乏一个合适的好的近似的非局部部分的解决方案。
2021-03-27 cs.NA math.AP math.NA
Semi-implicit Taylor schemes for stiff rough differential equations
研究了一类易于实现的半隐式Taylor型数值方法，用于求解由一般粗糙噪声（如分数阶布朗运动）驱动的多维随机微分方程.在乘性噪声的情况下，该方程被理解为在T.~里昂我们专注于方程的漂移系数可能是无界的，满足单侧利普希茨条件。我们证明了方法的适定性，提供了充分的分析，并推导出其收敛速度。数值实验表明，我们的计划是特别有用的情况下，刚性粗糙随机微分方程驱动的分数布朗运动。
2020-06-24 cs.NA math.NA math.PR
A learning scheme by sparse grids and Picard approximations for semilinear parabolic PDEs
基于倒向随机微分方程（BSDEs）与非线性抛物型偏微分方程（PDEs）之间的经典联系，提出了一种求解高维半线性抛物型偏微分方程的新的概率学习方法.该方案受到来自机器学习的方法的启发，并使用Han等人的深度神经网络开发[32]。我们的算法是基于皮卡德迭代计划，其中一系列的线性二次优化问题是通过随机梯度下降（SGD）算法解决。在近似空间的线性规范的框架下，我们设法证明了我们的计划的收敛结果，在一定的小条件。在实践中，为了能够处理高维的例子，我们采用稀疏网格近似空间。在周期系数和使用预小波基函数的情况下，我们得到了我们的方法的全局复杂性的上界。它特别表明，灾难的维数是驯服的意义上，为了实现一个均方根误差的顺序$ε$，对于一个规定的精度$ε$，皮卡德算法的复杂性多项式增长$ε^{-1}$到一些对数因子$ |log(ε)| $，它线性增长的PDE尺寸。给出了各种数值结果来验证我们的方法的性能，并将其与Han等人[20]和Huré等人[37]中提出的一些最近的机器学习方案进行比较。
2021-02-24 cs.NA math.NA math.PR
