A faster polynomial-space algorithm for Hamiltonian cycle parameterized by treedepth
Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）
本文提出一种更高效的多项式空间算法，用于解决基于树深度的Hamiltonian循环问题，通过使用有序对一致匹配而非辅助图中的完美匹配，改进了时间复杂度。
2026-03-25 cs.DS
Treedepth Inapproximability and Exponential ETH Lower Bound
本文通过从可满足性问题到树深问题的直接归约，证明了树深的 1.0003-近似是 NP 难的，并在指数时间假设下给出精确计算和近似算法的指数级时间下界。
2025-07-18 cs.CC cs.DS
How much does a treedepth modulator help to obtain polynomial kernels beyond sparse graphs?
在过去的几年里，核与结构参数一直是一个活跃的研究领域内的参数化的复杂性。作为一个相关的例子，Gajarsk{y}等人。[ESA 2013]证明了满足称为有限整数索引的性质的每个图问题都允许有界扩展的图上的线性核和无处稠密图上的几乎线性核，由$c$ -树深度调制器的大小参数化，该调制器是顶点集，其去除导致树深度至多为$c$的图，其中$c \geq 1$是固定整数。作者留下了进一步的研究来研究这个参数在一般图上，特别是要找到的问题，虽然承认多项式核稀疏图，表现不同的一般图。在这篇文章中，我们回答这个问题，找到两个非常自然的问题：我们证明了顶点覆盖承认多项式核一般图的任何整数$c \geq 1$，并支配集不为任何整数$c \geq 2$甚至退化图，除非$\text{NP} \subseteq \text{coNP}/\text{poly}$。对于正结果，我们基于Jansen和Bodlaender [STACS 2011]的技术，对于负结果，我们使用$c\geq 3$的多项式参数变换和$c = 2$的OR交叉组合。由于已有的结果暗示了$c = 1$的控制集在退化图上存在一个多项式核，我们的结果给出了退化图上的支配集的多项式核存在性的二分法.
2018-06-06 cs.CC cs.DS math.CO
Improved bounds for the excluded-minor approximation of treedepth
树深是一个比树宽和路宽更严格的图宽参数，在稀疏图类理论中起着重要作用。我们证明了存在一个常数$C$使得对于每个正整数$a,b$和一个图$G$，如果$G$的树深至少为$Cab$，则$G$的树宽至少为$a$或$G$包含一个次立方（即，树深度至少为$b$的树作为子图。作为一个直接推论，我们得到每个树深为$Ω(k^3)$的图要么树宽至少为$k$，要么包含一个深度为$k$的满二叉树的剖分，要么包含一条长度为$2^k$的路.这提高了Kawarabayashi和Rossman的$Ω(k^5 \log^2 k)$的界限[SODA 2018]。我们还展示了我们的技术的树深度的近似算法的应用：给定一个图$G$的树深度$k$和树宽度$t$，可以在多项式时间计算的树深度分解$G$的宽度$\mathcal{O}(kt \log^{3/2} t)$。这改进了源于已知结果之间的折衷的$\mathcal{O}(kt^2 \log t)$的界限。在我们的结果中的主要技术成分是一个证明，树深度$d$的每棵树包含一个子立方体树的树深度至少$d \cdot \log_3 ((1+\sqrt{5})/2)$。
2019-09-18 cs.DM cs.DS math.CO
A Uniform Algorithm for Strict NP on Bounded-Treedepth Graphs
TU Wien（维也纳工业大学）；CISPA Helmholtz Center for Information Security and Saarland University（CISPA赫尔姆霍兹信息安全中心与萨尔兰大学）
该研究将有界树深度结构上严格NP问题的存在性结果转化为统一算法元定理，给出可计算时间界并构造见证关系，解决了栈数、队列数等参数化问题的开放疑问。
2026-10-06 cs.CC cs.DS
Finding and Counting Patterns in Sparse Graphs
我们认为算法发现和计数小，固定的图形在稀疏的主机图。在非稀疏情况下，参数树深和树宽分别在快速算法、常数空间算法和多项式空间算法中起着至关重要的作用。我们发现了两个新的参数，我们称之为匹配树深和匹配树宽。我们发现，发现和计数模式与低匹配树深和低匹配树宽可以做渐近快于现有的算法时，主机图是稀疏的许多模式。作为一个应用程序，以寻找和计数固定大小的模式，我们发现$\otilde(m^3)$ -时间\footnote{$\otilde$ hides factors that are logarithmic in the input size.}，恒定空间算法的周期长度最多$11$和$\otilde(m^2)$ -时间，多项式空间算法的路径长度最多$10$。
2023-01-06 cs.CC cs.DS
Integer Programming and Incidence Treedepth
最近，一个强有力的连接已被证明之间的易处理的整数规划（IP）与有界系数的一侧和结构的约束矩阵的另一侧。为此，整数线性规划是固定参数的易处理的，相对于其约束矩阵的Gaifman图的原始（或对偶）树深和最大系数（绝对值）。受此启发，Koutecklord，Levin和Onn [ICALP 2018]询问是否有可能将这些结果扩展到更广泛的整数线性规划类。更正式地说，整数线性规划固定参数相对于其约束矩阵的关联树深度和最大系数（绝对值）是否易于处理？我们对这个问题的回答是否定的。特别是，我们证明，决定一个系统的可行性的标准形式，${A\mathbf{x} = \mathbf{b}}, {\mathbf{l} \le \mathbf{x} \le \mathbf{u}}$，是$\mathsf{NP}$ -硬，即使在$A$中的任何系数的绝对值是1和发病树深度的$A$是5。因此，即使两个假设参数都是常数，也不可能在多项式时间内确定可行性，除非$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$。此外，我们补充了这个棘手的结果，显示自然的，只是稍微更严格的设置，即：（1）树深度与约束的最大arity或变量的最大出现次数和（2）顶点覆盖数的额外的约束。
2020-11-30 cs.CC cs.DS
On the Parameterized Complexity of Coloring Discovery
University of Bremen（不来梅大学）
研究着色发现问题的参数化复杂性，针对三种修改模型给出固定参数算法与W[1]难下界，并证明四色情形在直径二图上仍NP完全。
2026-09-10 cs.CC cs.DM cs.DS
Kernelization Using Structural Parameters on Sparse Graph Classes
多项式（线性）核的元定理一直是参数化复杂性研究的主题。因此，线性核的元定理存在于有界亏格的图、$H$ -无子图和$H$ -无拓扑子图上。据我们所知，对于任何更大的稀疏图类，没有多项式核的元定理;例如，对于有界扩张类或无处稠密类。在本文中，我们证明了后两种情况下，这样的元定理。更具体地说，我们表明，图的问题，具有有限的整数指数（FIS）有界扩张的图形上的线性内核时，参数化的调制器的大小，以恒定的树深度图。对于无处稠密的图类，我们的结果产生几乎线性的内核。虽然我们的参数可能看起来相当强，但我们认为，具有较弱参数（比树深度调制器）的有界扩展图的线性核化结果将无法包括我们的框架所涵盖的一些问题。此外，我们只要求问题有固定树深的图上的FIS。这使我们能够证明线性内核的问题，如最长路径/循环，精确的$s,t$ -路径，树宽和路径宽度，没有在一般的图形（和前两个甚至没有有界树宽图）。
2015-04-20 cs.DS
Counting Patterns in Degenerate Graphs in Constant Space
IIT Gandhinagar（印度理工学院 gandhinagar）；Université Libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）
本文引入DAG树深度参数，在常数空间内高效计数退化宿主图中的同态、子图同构和诱导子图同构，并给出模式图的诱导子图刻画。
2026-07-01 cs.DS
H-Planarity and Parametric Extensions: when Modulators Act Globally
本文提出基于调节器的图分解，定义H-平面性及其参数化扩展，证明在遗传类下多项式可解，并导出FPT算法及多种近似和计数应用。
2025-10-16 cs.DM cs.DS
A Logic-based Algorithmic Meta-Theorem for Treedepth: Single Exponential FPT Time and Polynomial Space
本研究提出带无环性、连通性和团约束的邻域算子逻辑$\textsf{NEO}_2[\textsf{FRec}]+\textsf{ACK}$，给出其单指数FPT时间、多项式空间的模型检测算法，统一拓展了树深度参数下的图问题求解结果，还为CNF-SAT等新问题提供了对应复杂度算法。
2026-10-30 cs.DS cs.LO
Faster Graph Coloring in Polynomial Space
我们提出了一个多项式空间算法，计算任何输入图的数量独立集的时间$O(1.1387^n)$的最大程度为3的图和一般图的时间$O(1.2355^n)$，其中n是顶点的数量。结合Björklund，Husfeldt和Koivisto的包容-排除方法[SIAM J. COMPUT。2009]，这导致了一个更快的多项式空间算法的图着色问题的运行时间$O(2.2355^n)$。作为副产品，我们还获得了一个指数空间$O(1.2330^n)$时间算法计数的独立集。我们的主要算法计数图的独立集，最大度为3，没有顶点与三个邻居的度为3。使用最近引入的分离，测量和征服方法[Gaspers & Sorkin，ICALP 2015]分析该多项式空间算法。使用Wahlström的复合测度方法，这种小度图的运行时间的改进然后被引导到更大的度，从而给出了一般图的改进。结合这两种方法，导致在选择小度情况下的分支顶点时出现一些不确定性，我们用结构图属性来反驳。
2016-10-13 cs.DS
Structural Parameterizations of Budgeted Graph Coloring
我们引入了图着色问题的一个变体，我们将其表示为{ \sc简化着色问题}（\bcp）。给定一个图$G$，一个整数$c$和一个整数有序表$\{b_1, b_2, \ldots, b_c\}$，\bcp询问是否存在$G$的适当着色，其中第$i$个颜色用于着色至多$b_i$许多顶点.这个问题推广了两个研究得很好的图着色问题，{ \sc有界着色问题}（\bocp）和{ \sc公平着色问题}（\ecp），并且与其他着色问题一样，即使对于$c$的常数值，它也是\nph。因此，我们在参数化复杂性范式下研究\bcp。\begin{itemize} \item We show that \bcp is \fpt (fixed-parameter tractable) parameterized by the vertex cover size. This generalizes a similar result for \ecp and immediately extends to the \bocp, which was earlier not known. \item We show that \bcp is polynomial time solvable for cluster graphs generalizing a similar result for \ecp. However, we…
2021-10-27 cs.DS
ETH Tight Algorithms for Geometric Intersection Graphs: Now in Polynomial Space
De Berg等人在[SICOMP 2020]中给出了一个算法框架，用于几何图上的次指数算法，具有紧（高达ETH）运行时间。该框架基于加权树宽图上的动态规划，从而产生使用超多项式空间的算法。我们引入了加权树深度的概念，并使用它来改进de Berg等人的框架。在几何图上获得多项式空间（运行时间紧）。因此，我们证明了，对于任何固定的尺寸$d \ge 2$上的相交图的类似大小的脂肪对象的许多著名的图形问题，包括独立集，$r$ -支配集恒定$r$，循环覆盖，哈密尔顿循环，哈密尔顿路径，斯坦纳树，连通顶点覆盖，反馈顶点集，和（连接）奇循环translation是可解的时间$2^{O(n^{1-1/d})}$和多项式空间内。
2021-07-14 cs.DS
Minimum Sum Coloring with Bundles in Trees and Bipartite Graphs
本文研究带捆的最小和着色问题，证明其在路径上即 NP-hard，并为树和二分图提供了基于捆数量等条件的固定参数和多项式时间算法。
2025-09-18 cs.DS
Parameterized Algorithms for Conflict-free Colorings of Graphs
本文研究了由邻域诱导的图的无冲突染色。图的染色是无冲突的，如果每个顶点在其邻域内都有唯一着色的顶点。无冲突着色问题是用最少的颜色数对图的顶点进行着色，使得着色是无冲突的。我们考虑封闭的邻域，其中一个顶点的邻域包括自己，和开放的邻域，其中一个顶点不包括在其邻域。研究了无冲突闭邻域染色和无冲突开邻域染色问题的参数化复杂性。我们发现，这两个问题是固定参数易处理（FPT）时，参数化的输入图的集群顶点删除数。这推广了Gargano等人的结果。（2015）无冲突着色是由顶点覆盖数参数化的固定参数易处理的。此外，我们发现，这两个问题承认一个添加剂常数近似算法时，参数化的距离阈值图。我们还研究了特殊图类上问题的复杂性。我们证明了这两个问题都可以在上图的多项式时间内得到解决。对于分裂图，我们给出了闭邻域无冲突染色问题的多项式时间算法，而我们证明了开邻域无冲突染色是NP-完全的。我们发现，区间图可以是无冲突着色使用最多四种颜色。
2017-09-30 cs.DS
Sampling Colorings with Fixed Color Class Sizes
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
本文提出了一种多项式时间算法，用于近似均匀随机生成具有固定颜色类大小的公平着色，适用于q>2Δ的情况，并扩展到接近公平着色的证明。
2026-03-09 cs.DS math.CO
Coloring for dispersion: A polynomial-time algorithm for cardinality-constrained 2-anticlustering
Heinrich Heine University Düsseldorf（杜塞尔多夫海因里希·海涅大学）；Center for Digital Medicine, Düsseldorf（杜塞尔多夫数字医学中心）
本文提出了一种多项式时间算法，通过将2-反聚类问题转化为带基数约束的2色问题实例，解决了带基数约束的2-反聚类问题。
2026-04-27 cs.DS
Polynomial Cases for the Vertex Coloring Problem
顶点着色问题的计算复杂性是已知的所有遗传类的图定义禁止两个连通的五顶点诱导子图，除了七种情况。我们证明了其中四个问题的多项式时间可解性：（$P_5$，飞镖）-免费的图形，（$P_5$，横幅）-免费的图形，（$P_5$，公牛）-免费的图形，（叉，公牛）-免费的图形。
2018-06-01 cs.DM cs.DS math.CO
Efficiently Coloring the Intersection of a General Matroid and Combinatorial Matroids
University of Pittsburgh（匹兹堡大学）；Pomona College（波莫纳学院）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
研究针对一般拟阵\(M_1\)与\(k - 1\)个划分拟阵的交集染色问题，提出多项式时间\(O(k)\)近似算法，能对其交集进行染色，在特定情况下表现更优，改进了此前\(k = 2\)时\(O(\log n)\)的最佳近似比。
2026-10-01 cs.DS
Maximum Partial List H-Coloring on P_5-free graphs in polynomial time
University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）；Warsaw University of Technology（华沙理工大学）；Institute of Informatics, University of Warsaw（华沙大学信息学研究所）；Institute of Mathematical Sciences, Chennai（金奈数学科学研究所）；University of Bergen（卑尔根大学）；Discrete Mathematics Group, Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院离散数学组）；Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
本文提出在P_5-free图上最大部分列表H着色问题的多项式时间解法，解决了相关开放性问题并改进了现有算法复杂度。
2026-03-05 cs.CC cs.DS
Approximation Algorithms for Matroid-Intersection Coloring with Applications to Rota's Basis Conjecture
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；University of Pittsburgh（匹兹堡大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）；Pomona College（波莫纳学院）
本文提出多项式时间算法，对多Matroid交集着色问题进行近似，改进了Matroid交集着色的上界，并为罗塔基础猜想提供了构造性证明。
2026-10-30 cs.DS math.CO
Faster Edge Coloring by Partition Sieving
本文提出基于分区筛选的精确边着色算法，在多项式空间内将时间改进至 2^{m-3n/5} poly(n)，并推广到平均度图与列表边着色。
2025-01-09 cs.DS
Explicit 3-colorings for exponential graphs
对于图$H$和整数$k \geq 1$，从$V(H)$到$\{1, \dots, k\}$的两个函数$f, g$是相邻的，如果对于$H$的所有边$uv$，$f(u) \neq g(v)$。所有这些函数的图是指数图$K_k^H$。El-Zahar和Sauer证明了如果$χ(H) \geq 4$，则$K_3^H$是3色的。Tardif表明，隐含在他们的证明，是一个算法3着色$K_3^H$的时间复杂度是多项式的大小$K_3^H$。Tardif然后问是否有一个“显式”算法来找到这样的着色：本质上，给定一个函数$f$属于$K_3^H$的3色分量，我们可以在时间多项式中以$H$的大小为这个顶点分配颜色吗？本文的主要结果是提出了这样一个算法，肯定地回答了Tardif的问题。我们的算法产生了另一种证明的定理的El-Zahar和Sauer，两个4-色图的范畴产品是4-色的。
2019-03-13 cs.DS
Approximate Minimum Sum Colorings and Maximum $k$-Colorable Subgraphs of Chordal Graphs
本文改进了弦图上最小和染色问题的近似比至$(1.796+ε)$，并首次为弦图的最大$k$-可着色子图问题设计了多项式时间近似方案。
2024-06-27 cs.DS
Coloring Reconfiguration under Color Swapping
本文研究颜色交换规则下的着色重配置问题，证明k≤2时多项式可解、k≥3时PSPACE完全，并给出路径、分裂图和余图上的多项式算法。
2025-11-09 cs.DS
Improved linearly ordered colorings of hypergraphs via SDP rounding
针对2-LO可着色的3-均匀超图着色问题，本文提出基于SDP取整的方法，通过将问题归约为平衡超图并应用经典取整工具，将多项式时间内的颜色数界限从$\widetilde{O}(n^{1/3})$改进至$\widetilde{O}(n^{1/5})$。
2024-09-23 cs.DS
Quasi-polynomial Algorithms for List-coloring of Nearly Intersecting Hypergraphs
一个在$n$顶点和$m$边上的超图$\mathcal{H}$称为{ \it近交}，如果$\mathcal{H}$的每条边与所有但至多多对数地（在$m$和$n$中）多条边相交。给定颜色列表$\mathcal{L}(v)$，对于每个顶点$v\in V$，如果每个顶点可以从其列表中分配一种颜色，使得$\mathcal{H}$中没有边是单色的，则称$\mathcal{H}$是$\mathcal{L}$ -（列表）可着色的。我们证明，任何几乎相交超图以及从一组恒定大小的列表中绘制的列表的列表可着色性都可以在$m$和$n$中在准多项式时间内检查。
2019-04-04 cs.CC cs.DS
Optimal Data Reduction for Graph Coloring Using Low-Degree Polynomials
核化理论可用于严格分析图着色问题的数据约简。在这里，我们的目标是将一个q-着色输入减少到一个等价的但更小的输入，其大小在结构属性方面是有界的，例如最小顶点覆盖的大小。本文解决了q-染色数据约简的两个公开问题。首先，我们得到一个比特大小为$O(k^{q-1}\log{k})$的核，用于顶点覆盖参数化的q-着色，对于任何q >= 3。假设NP不是coNP/poly的子集，该大小界限对于$k^{o(1)}$因子是最优的，并且改进了大小为$O(k^q)$的先前最佳内核。我们将这个结果推广到判定图G的q-可染性，也就是判定G到任意固定图H的同态的存在性。此外，我们可以用限制较少的参数twin-cover来代替参数顶点覆盖。证明了Twin-Cover参数化的H-染色有一个大小为$O(k^{Δ(H)}\log k)$的核.我们的第二个结果表明，3-着色不允许非平凡的稀疏化：假设NP不是一个子集的coNP/poly，参数化的顶点数n承认没有（广义）核的大小$O(n^{2-e})$为任何e > 0。以前，这样的下界只知道对于q >= 4色的着色。
2018-02-06 cs.CC cs.DS
A Quasi-Polynomial Time Algorithm for 3-Coloring Circle Graphs
针对圈图3着色问题，提出一种拟多项式时间（$n^{O(\text{log}n)}$）算法，可判定合法着色并解决3页书嵌入问题，部分解决了圈图3着色多项式时间算法的开放问题。
2025-11-12 cs.CG cs.DS
A Polynomial-Time Algorithm for Coloring Perfect Graphs Based on Walk Counting
Princeton University（普林斯顿大学）
该研究提出基于图论操作的多项式时间算法，核心是通过迭代计算加权路径判定完美图是否含给定大小团，权重先统一初始化再依上次迭代路径计数更新，用于对完美图进行最优着色。
2026-07-13 cs.DM cs.DS math.CO
Data Reduction for Graph Coloring Problems
本文研究了图着色问题的核化复杂性。我们感兴趣的是如何以及多项式时间的数据减少可以证明缩小着色问题的实例，在所选择的参数。众所周知，决定3-可着色性已经是NP完全的，因此通过所请求的颜色数量进行参数化是没有成果的。相反，我们选择了Cai（DAM，2003）发起的一个研究线程，他研究了通过输入图到一个图类的修改距离参数化的着色问题，在这个图类上着色是多项式时间可解的;例如，通过使图弦所需的顶点删除数k参数化。我们得到各种上限和下限的内核的参数化的q-着色，补充蔡的研究的时间复杂度相对于这些参数。我们的研究结果表明，多项式核的存在性由顶点删除距离到一个图类F参数化的q-着色是强相关的函数f（q）的存在性，它的边界的顶点的数量，需要保持否答案的一个例子的q-列表着色F。
2013-09-27 cs.CC cs.DS
b-Coloring Parameterized by Clique-Width
本文给出了一个多项式时间算法来求解常宽度图的b-着色问题。这统一并扩展了几乎所有先前已知的关于图类的多项式时间结果，并回答了Campos和Silva [Elmica，2018]和Bonomo等人[Graphs Combin.，2009年]。这构成了这个问题的结构参数化的第一个结果。我们表明，这个问题是FPT时，参数化的顶点覆盖数一般图，和弦图时，参数化的颜色数。此外，我们观察到，我们的算法的有界candle宽度的图形可以适应解决秋季着色问题在相同的运行时间范围内。在指数时间假设下，b-着色和Fall着色的基于宽度的算法的运行时间是紧的。
2022-07-19 cs.DM cs.DS
Exponential-time quantum algorithms for graph coloring problems
已知判定$n$ -顶点图的$k$ -可着色性的最快经典算法对于$k\ge 5$需要运行时间$Ω(2^n)$.在这项工作中，我们提出了一个指数空间量子算法计算色数与运行时间$O(1.9140^n)$使用量子随机存取存储器（QRAM）。我们的方法是基于Ambainis等人的量子动态规划与应用Grover的搜索分支算法。我们还提出了一个多项式空间量子算法不使用QRAM的图$20$ -着色问题的运行时间$O(1.9575^n)$。在多项式空间量子算法，我们基本上显示$(4-ε)^n$ -时间经典算法，可以提高二次格罗弗的搜索。
2019-07-01 cs.DS quant-ph
Counting hypergraph colorings in the local lemma regime
本文给出了一个计算最大度$Δ$的$k$ -一致超图的$q$ -染色数的完全多项式时间近似方案（FPTAS），如果$k\ge 28$和$q >357Δ^{\frac{14}{k-14}}$是相同的.当$q>931Δ^{\frac{16}{k-16/3}}$为零时，我们还得到了一个多项式时间的几乎均匀采样器.这些是$q\llΔ$体系中的第一近似计数和采样算法（对于大$Δ$和$k$），无需任何附加假设。我们的方法基于Moitra最近的工作（STOC，2017）。我们的一个重要贡献是消除了Moitra方法中对$k$和$Δ$的依赖性。
2019-05-31 cs.DM cs.DS math.CO
Better coloring of 3-colorable graphs
本文针对3-可着色图着色问题，基于Blum的进展概念开发新组合算法，并结合SDP方法，将所需颜色数界限降至$\tO(n^{0.19747})$，改进了2017年的最佳界限。
2024-06-01 cs.DS math.CO
List 3-Coloring on Comb-Convex and Caterpillar-Convex Bipartite Graphs
针对梳状凸二部图上列表3着色复杂度的开放问题，提出了求解其超类毛虫凸二部图列表3着色的多项式时间算法，同时给出该类图的多项式时间识别算法。
2023-12-13 cs.DS math.CO
Polynomial-time algorithm for vertex k-colorability of P_5-free graphs
本文给出了第一个用k种颜色对P_5-free图的顶点着色的多项式时间算法。这解决了一个开放的问题，并推广了几个以前已知的结果。
2006-07-26 cs.DM cs.DS
Solving Multi-Coloring Combinatorial Optimization Problems Using Hybrid Quantum Algorithms
设计一个好的算法来解决NP难的组合逼近问题需要特定的领域知识的问题，往往需要一个试错的问题解决方法。图着色是为组合应用提供有效解决方案的重要领域之一，例如航班调度，网络中的频率分配和寄存器分配。特别是，已经提出了一些优化算法来解决多着色图问题，但大多数情况下，一个简单的搜索方法将是最好的方法来找到一个最佳的解决方案，图着色问题。然而，这种简单的方法会随着图形大小和颜色数量的增加而指数级地增加计算成本。为了减轻这种无法忍受的开销，我们研究了利用量子计算特性在多项式时间内找到多色图问题的解决方案的方法。我们利用变分量子本征求解器（VQE）技术和量子近似优化算法（QAOA），通过将每个问题模型转化为相应的伊辛模型，并利用计算出的哈密顿矩阵，求解了三个组合应用问题.我们的研究结果表明，VQE和QAOA算法可以找到一个最好的解决方案，为每个应用程序。因此，我们的建模方法与混合量子算法可以适用于在各个领域的组合问题，找到一个最佳的解决方案在多项式时间。
2019-12-02 cs.DS quant-ph
Parameterized Complexity of Conflict-free Graph Coloring
给定一个图G，q-开邻域无冲突染色或q-ONCF-染色是顶点染色$c:V(G) \rightarrow \{1,2,\ldots,q\}$，使得对于每个顶点$v \in V(G)$，$N(v)$中有一个顶点与$N(v)$中的其余顶点唯一着色。当我们用闭邻域$N[v]$代替$N(v)$时，我们称这样的染色为q-闭邻域无冲突染色或简称为q-CNCF-染色。本文研究了当q为常数时输入图是q-ONCF-染色还是q-CNCF-染色的NP-难判定问题。我们将在参数化设置下研究这两个问题。首先，我们研究了这些问题的FPT算法的运行时间界限，当参数树宽。我们改进了现有的上界，并提供了ETH和SETH下运行时间的下界。其次，我们研究了这两个问题的核化复杂性，使用顶点覆盖作为参数。我们证明了$(q \geq 2)$ -着色和$(q \geq 3)$ -着色都不能有多项式核，除非$NP \in coNP/poly$。然而，我们得到了一个多项式核的2-CNCF-染色的顶点覆盖参数化。我们得出一些组合的结果。将$χ_{ON}(G)$和$χ_{CN}(G)$分别表示为ONCF-颜色和CNCF-颜色G所需的最小颜色数。关于$χ_{CN}(G)$的结构参数，如最小顶点覆盖大小，最小反馈顶点集大小和树宽的上界是已知的。据我们所知，只有一个上限$χ_{ON}(G)$的最小顶点覆盖大小是已知的。我们提供了紧界$χ_{O…
2019-05-01 cs.CC cs.DS
Weighted and locally bounded list-colorings in split graphs, cographs, and partial k-trees
对于一个固定数量的颜色，我们表明，在节点加权分裂图，cographs，和有界树宽的图，可以确定在多项式时间是否一个适当的列表着色图的顶点，使每种颜色的顶点的总重量等于一个给定的值，在每个部分的一个固定的分区的顶点存在。我们还表明，这一结果在某种意义上是紧的，通过提供硬度的情况下，任何一个假设不成立的结果。还研究了边着色变体，以及上图和分裂图的特殊情况。
2017-09-23 cs.DM cs.DS
Rapid Mixing for Colorings via Spectral Independence
Anari等人（2020）的谱独立方法利用了Alev和Lau（2020）的高维扩展器的最新结果，并为定义在加权独立集上的硬核模型建立了Glauber动力学的快速混合。我们开发的频谱独立的着色方法，并获得相应的计数/采样问题的新的算法结果。令$α^*\approx 1.763$表示$\exp(1/x)=x$的解，令$α>α^*$。证明了对任意具有最大度$Δ$的无三角形图$G=(V,E)$，对所有的$q\geqαΔ+1$，$q$ -着色的Glauber动力学的混合时间是$n=|V|$中的多项式，多项式的指数与$Δ$和$q$无关.相比之下，先前的近似着色计数结果适用于类似的$q$范围（在$Δ$中渐近），但具有更大的围长要求或具有多项式指数取决于$Δ$和$q$（指数）的运行时间。使用谱独立方法来研究着色的另一个特征是，它避免了以前方法中由耦合参数或传递到复平面引起的许多技术复杂性;运行时间的关键改进是基于相对简单的组合参数，然后将其转换为谱边界。
2020-07-16 cs.DM cs.DS math-ph
Combinatorial coloring of 3-colorable graphs
本文研究了在多项式时间内用尽可能少的颜色对一个3-可着色图进行着色的问题。我们提出了一个组合算法得到的$\tO(n^{4/11})$颜色。这是Blum的$\tO(n^{3/8})$结合FOCS'90的第一个组合改进。像Blum的算法一样，我们的新算法与最近的半定方法很好地结合起来。当前最佳边界是来自FOCS'07的Chlamtac的$O(n^{0.2072})$颜色。我们现在将其降低到$O(n^{0.2038})$颜色。
2012-05-06 cs.DM cs.DS math.CO
Efficiently list-edge coloring multigraphs asymptotically optimally
我们给出了多项式时间算法的开创性结果的卡恩，谁表明Goldberg-Seymour和列表着色的（列表-）边着色多重图渐近保持。卡恩的论点是基于概率的方法，是非建设性的。我们的主要见解是表明Achlioptas，Iliopoulos和Kolmogorov分析局部搜索算法的主要结果可以用来建设性地应用一个强大的版本的所谓的Lopsided Lovasz局部引理。特别是，我们用它来设计算法，利用卡恩使用的匹配的概率空间中的相关性随距离衰减的事实。
2021-12-07 cs.DM cs.DS math.CO
3-Coloring $C_4$ or $C_3$-free Diameter Two Graphs
研究直径为2的图的3-着色问题，扩展了Martin等人的结果，证明对于任意常数s，该问题在$(C_4,C_s)$-free图和$(C_3,C_7)$-free图上均存在多项式时间算法，且适用于更广义的List 3-Colouring问题。
2023-07-27 cs.DM cs.DS math.CO
