An Efficient Bayesian Framework for Uncertainty Quantification in Nonlinear Imaging Inverse Problems
Case Western Reserve University（凯斯西储大学）；IIT Gandhinagar（甘地纳加尔印度理工学院）
针对定量光声层析成像和电阻抗断层成像这两个非线性成像逆问题，基于两阶段推进方法开发高效贝叶斯框架，通过为辅助变量制定回归问题并避免MCMC采样，以较低计算成本实现准确重建和可靠不确定性估计。
2026-07-14 math.ST stat.TH
A unified theory of the high-dimensional Laplace approximation with application to Bayesian inverse problems
本文提出统一的高维拉普拉斯近似精度理论，引入灵活度以获得更紧的问题特定上界，并在贝叶斯反问题示例中将界限改进一个数量级，且界限无维数依赖。
2025-09-09 math.ST stat.TH
Posterior Contraction Rates for the Bayesian Approach to Linear Ill-Posed Inverse Problems
本文考虑了一类带高斯噪声的可分希尔伯特空间中的线性反问题的贝叶斯非参数方法。我们假设高斯先验，这是共轭的模型，并提出了一种方法来识别后验使用其精度算子。与无界精度算子的工作使我们能够使用偏微分方程（PDE）的方法来获得收缩率的后验分布的狄拉克措施为中心的真正的解决方案。我们的方法假设先验协方差，噪声协方差和前向算子之间的关系相对较弱，允许广泛的应用。
2013-08-02 math.ST stat.TH
Preconditioning the prior to overcome saturation in Bayesian inverse problems
研究了希尔伯特空间中先验信息为高斯噪声的统计线性反问题的贝叶斯推断。我们把我们的兴趣集中在后收缩率在小噪声限制。当数据生成元件与现有技术中固有的平滑度相比过于平滑时，现有的结果遭受某种饱和现象。我们展示了如何克服这种饱和的经验贝叶斯框架，通过使用非中心的数据相关的先验。中心是从预处理正则化步骤中获得的，这为我们提供了在贝叶斯框架中使用的额外信息。我们使用正则化理论中已知的一般技术。为了强调这些发现的重要性，我们提供了几个例子。特别是，我们的方法允许获得，并使用预处理改善饱和后，在以前的研究中建立的最小最大收缩率。我们还建立极小极大收缩率的情况下，还没有考虑到目前为止。
2014-09-23 math.ST stat.TH
Bayesian Posterior Contraction Rates for Linear Severely Ill-posed Inverse Problems
考虑一类由奇异值指数衰减到零的紧算子的逆引起的线性不适定反问题。我们采用贝叶斯方法，假设高斯先验的未知函数。如果假设观测噪声是高斯分布，则该先验与似然共轭，使得后验分布也是高斯分布。研究了小观测噪声下的贝叶斯后验一致性。我们假设前向算子与先验和噪声协方差算子相互交换。我们展示了如何，对于给定的平滑假设的真相，尺度参数的先验可以调整，以优化后验收缩率的真相，我们明确计算的对数率。
2013-12-06 math.ST stat.TH
Posterior Consistency for Bayesian Inverse Problems through Stability and Regression Results
在贝叶斯方法中，关于数学模型的输入的先验知识通过概率测度来描述。然后，使用贝叶斯公式对未知输入和数据的联合分布进行调节，得到未知输入的后验分布。在这种情况下，我们证明非线性反问题的后验一致性：一个序列的数据被认为是一个单一的真理与周围的波动减少，然后它是有趣的，以显示所产生的序列的后验措施所产生的这个序列的数据集中在用于生成数据的真理。后验一致性证明了贝叶斯方法的使用非常相同的方式，误差界和收敛结果的正则化技术。作为一个指导性的例子，我们考虑的逆问题重建的扩散系数从噪声观测的解决方案，椭圆型偏微分方程的散度型。这个问题是通过分裂成基础的连续模型和一个更简单的观察运营商的基础上的模型的输出的前向运营商。一般来说，这些分裂使我们能够得出结论后验一致性提供了一个确定性的稳定性结果的基础逆问题和后验一致性结果的贝叶斯回归问题与前推先验。此外，我们证明后验一致性的贝叶斯回归问题的基础上的规则性，尾部行为和小球概率的先验。
2013-07-16 math.ST stat.TH
Adaptive Bayesian estimation using a Gaussian random field with inverse Gamma bandwidth
我们考虑非参数贝叶斯估计推断使用重新缩放的光滑高斯场作为多维函数的先验。使用Gamma变量实现重新缩放，并且该过程可以被视为选择逆Gamma带宽。从频率论的角度研究的过程中，涉及重复观测（密度估计，回归和分类）的统计设置。我们证明，由此产生的后验分布收缩的分布，产生的数据的速度是最小最优的对数因子，无论规则性水平的数据生成分布。因此，层次贝叶斯过程，与一个固定的先验，是完全自适应的。
2009-08-25 math.ST stat.TH
A brief note on the Bayesian D-optimality criterion
本文针对有限维贝叶斯线性逆问题，简洁推导了D-最优实验设计（最大化期望信息增益）等价于最小化后验协方差对数行列式，并保持通用性以利扩展至无限维。
2023-12-23 math.ST stat.TH
Bayesian inverse problems with non-conjugate priors
本文研究了线性反问题中非参数贝叶斯过程在轻度不适定和严重不适定情形下的频率后验收缩率。在一般的希尔伯特空间中，在先验近似理论的假设下，证明了一个定理.结果适用于非共轭先验，特别是筛和小波级数先验，以及在共轭设置。在轻度不适定的设置极大极小最优率得到，与筛先验率自适应Sobolev类。在严重不适定的情况下，过度平滑先验会产生极大极小化率。使用该方法获得了先前在共轭设置中建立的结果。应用的例子包括反卷积，恢复热方程和Radon变换中的初始条件。
2015-01-22 math.ST stat.TH
Bayesian inverse problems with non-commuting operators
希尔伯特空间中不适定算子方程的贝叶斯方法最近引起了人们的注意。在这种情况下，当先验分布是高斯分布时，两个算子起着重要的作用，一个控制算子方程，另一个描述先验协方差。通常假设这些操作员是交换的。在这里，我们扩展到非交换运营商的分析，取代交换性假设的链接条件。我们讨论了它的关系的通勤情况下，我们表明，这允许使用插值类型的结果，以获得紧边界的收缩后高斯分布对数据生成元素。
2018-12-03 math.ST stat.TH
Efficient Bayesian Inference in Strictly Semi-parametric Linear Inverse Problems
本文提出了一种在严格半参数线性逆问题中高效推断有限维参数的方法，通过贝叶斯方法和伯恩斯坦-冯·米塞斯定理，应用于半盲反卷积和X射线断层成像中的参数恢复。
2026-01-31 math.ST stat.TH
Posterior contraction for empirical Bayesian approach to inverse problems under non-diagonal assumption
研究了一类具有高斯先验和高斯噪声的线性反问题的经验贝叶斯非参数方法。考虑一类高斯先验概率测度的协方差算子由一个量化正则性的超参数索引。通过引入两个辅助问题，构造了一种经验贝叶斯方法，并证明了该方法可以自动选择超参数。此外，我们还表明，在不了解规律性指数的情况下，这种自适应贝叶斯过程可以提供最佳收缩率，直至缓慢变化的项和任意小的常数。该方法不需要先验协方差，噪声协方差和前向算子在奇异值分解中有共同的基，与已有结果相比，扩大了应用范围。
2020-08-25 math.ST stat.TH
Bayesian inference for nonlinear inverse problems
贝叶斯方法被积极用于参数识别和不确定性量化时，解决非线性逆问题的随机噪声。然而，只有很少的理论结果证明贝叶斯方法。最近的论文，例如\cite{Nickl2017,lu2017bernsteinvon}和其中的参考文献，说明了在非参数设置中研究后验分布的性质的主要困难和挑战。本文为研究非参数贝叶斯过程的频率论性质提供了一种新的途径。该方法的思想是通过引入一个辅助函数参数，用罚函数代替非线性结构方程，并在辅助参数上施加一个先验，从而松弛非线性结构方程。对于这样的扩展模型，我们状态的后验浓度和惩罚的MLE和高斯近似的后验的准确性上的界限，以及一些进一步的结果。所有的界限给出的有效尺寸，我们表明，建议的镇定装置不会显着影响这个值。
2020-02-02 math.ST stat.TH
Besov priors for Bayesian inverse problems
我们认为逆问题估计的功能$u$从嘈杂的，可能是非线性的，观察。我们采用贝叶斯方法来解决这个问题。这种方法在反演方面有着悠久的历史，可以追溯到1970年，并且在过去的十年中，作为一种实用工具越来越重要。然而，大多数现有的理论已经开发了高斯先验措施。最近Lassas，Saksman和Siltanen（Inv.概率图像2009）展示了如何基于具有随机系数的小波展开来构造Besov先验测度，并使用这些先验测度来研究线性逆问题。在本文中，我们建立在这个发展的Besov先验，包括非线性测量的情况下。在这样做的一个关键的技术工具，建立在这里，是一个费尼克式定理的贝索夫措施。这一定理使我们能够确定适当的条件，前向解算子，当匹配到先前的Besov措施的属性，意味着良好的definedness和适定性的后验措施。然后，我们考虑应用这些结果的反问题的椭圆型偏微分方程的扩散系数，其解决方案的噪声测量。
2011-11-15 math.ST stat.TH
Bayesian inverse problems with unknown operators
我们考虑的贝叶斯方法的线性逆问题时，潜在的运营商取决于一个未知的参数。考虑到有限维和无限维参数，该理论涵盖了几种不同层次的不确定性的运营商模型。使用产品的先验，我们证明了收缩率的后验分布符合最佳的收敛速度的对数因子。为了适应未知的光滑性，在Lepski方法的基础上构造了一个经验贝叶斯过程。数值例子说明了该过程。
2018-04-06 math.ST stat.ME stat.TH
The Bayesian approach to inverse Robin problems
本文研究逆Robin问题的贝叶斯方法，证明后验均值随观测数增加依概率收敛到真实值，对Sobolev正则系数建立对数收敛速率、对解析系数达到代数速率，并用数值实验验证收敛性质。
2023-11-29 math.AP math.ST stat.TH
Bayesian approach to inverse problems for functions with variable index Besov prior
Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）；Beijing Center for Mathematics and Information Interdisciplinary Sciences (BCMIIS)（北京数学与交叉科学中心）
本文提出了一种非高斯变量指数贝索夫先验测度，用于解决具有变量指数的贝叶斯反问题，首次将贝叶斯理论应用于分数阶反向扩散问题，以量化其不确定性。
2015-08-24 math.AP math.ST stat.TH
A Hadamard fractioal total variation-Gaussian (HFTG) prior for Bayesian inverse problems
研究了基于Hadamard分数全变差-高斯（HFTG）先验的无穷维贝叶斯反问题推理方法。首先，建立了Hadamard分式索伯列夫空间，并在一定条件下证明了它是可分的巴拿赫空间.然后，在该可分分数维空间中构造HFTG先验，该混合先验不仅能捕捉到区域的纹理细节，避免了阶跃效应，而且为无限维贝叶斯反演提供了完整的理论分析.基于HFTG先验，给出了贝叶斯反问题后验测度的适定性和有限维近似，并利用标准pCN算法从后验分布中提取样本.最后，不同模型下的数值结果表明，HFTG先验贝叶斯推理方法是有效的和准确的。
2021-10-29 math-ph math.MP math.ST
A note on the Karhunen-Loève expansions for infinite-dimensional Bayesian inverse problems
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文探讨了截断卡尔文-洛埃夫展开在无限维逆问题中的应用，证明在特定条件下，误差界可无需解知即可估计。
2014-12-30 cs.NA math.NA math.ST
Conditional Generative Models are Provably Robust: Pointwise Guarantees for Bayesian Inverse Problems
Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
本文首次证明适当学习的条件生成模型在贝叶斯反问题中对单个观测值的扰动具有可证明的鲁棒性。
2024-07-19 cs.LG math.ST stat.TH
Probabilistic Numerical Methods for PDE-constrained Bayesian Inverse Problems
本文发展了概率描述偏微分方程数值解中离散误差的无网格方法。这种结构使贝叶斯逆问题的解决方案，同时考虑到正向问题的离散化的影响。特别地，这使得统计推断在存在显著求解器误差的情况下更加保守。理论结果描述的收敛速度的后验的正问题和反问题。该方法是一个具有挑战性的反问题与非线性正演模型进行测试。
2017-01-15 cs.NA math.NA math.ST
Stabilities of Shape Identification Inverse Problems in a Bayesian Framework
在贝叶斯框架下研究了一般形状识别反问题。这个问题需要从有限维观测数据中确定欧几里得空间中一个域的未知形状，这些观测数据带有一些高斯随机噪声。然后，对观测数据的后验稳定性进行了研究。对于空间的每个点，考虑该点被包括在给定观测数据的未知域中的条件概率。并对这种概率分布的稳定性进行了研究。作为我们的反问题的模型问题，热反问题被认为是。这个问题需要从热导体表面的某个部分的温度数据来确定热导体中的空腔的未知形状。为了将上述稳定性结果应用于该模型问题，需要前向算子的可测性和有界性。显示了这些属性。
2020-02-18 math.AP math.ST stat.TH
The Bayesian Formulation and Well-Posedness of Fractional Elliptic Inverse Problems
研究了一类椭圆型分数阶偏微分方程的反问题，即从有限个噪声观测值中恢复方程的阶和扩散系数。我们的工作在贝叶斯框架下，并显示条件下，后验分布是由改变测量从先验。此外，我们证明了反问题的适定性，在这个意义上说，小扰动的观察到的解决方案导致小Hellinger扰动相关的后验措施。因此，我们提供了一个数学基础的贝叶斯学习的顺序-和其他输入-分数模型。
2016-11-16 math.AP math.PR math.ST
Γ-convergence of Onsager-Machlup functionals. Part I: With applications to maximum a posteriori estimation in Bayesian inverse problems
统计逆问题的贝叶斯解可以用后验分布的一种模式来概括，即MAP估计量。MAP估计基本上与逆问题的（正则化）变分解相一致，被视为后验测量的Onsager-Machlup泛函的最小化。反问题稳定性分析中的一个公开问题是建立由变分方法和贝叶斯方法获得的解的收敛性质之间的关系。为了解决这个问题，我们提出了一个通用的收敛理论的模式，是基于$Γ$收敛的Onsager-Machlup泛函，并将此理论应用到贝叶斯逆问题与高斯和边缘保持Besov先验。本文的第二部分考虑更一般的先验分布。
2021-11-29 cs.NA math.NA math.PR
Kernel Methods for Bayesian Elliptic Inverse Problems on Manifolds
研究了流形上偏微分方程（PDE）的贝叶斯反问题的构造和实现。具体地说，我们研究的逆问题，确定扩散系数的二阶椭圆型偏微分方程的闭流形从噪声测量的解决方案。受流形学习技术的启发，我们用一个基于核的积分算子来近似椭圆微分算子，该算子可以通过蒙特卡洛离散化，而不需要参考黎曼度量。由此产生的计算方法是无网格的，易于实现，并且可以在不完全了解底层流形的情况下应用，前提是流形样本的点云可用。我们采用贝叶斯的角度来看，逆问题，并建立一个上限的全变差之间的距离的真实后验和近似后定义的核前向映射。支持的数值结果表明所提出的方法的有效性。
2019-10-23 cs.NA math.NA math.ST
A pedestrian's approach to Bayesian methods for inverse problems
Universität Innsbruck（因斯布鲁克大学）
本文为具备概率与数学分析基础的读者提供无限维贝叶斯逆问题的入门路径，介绍有限维情况、无限维高斯先验与似然的后验测度，给出新稳定性结果并阐述两类应用示例。
2026-10-14 math.PR math.ST stat.TH
On the Local Lipschitz Stability of Bayesian Inverse Problems
在本说明中，我们考虑了贝叶斯推理中后验测量的稳定性。先验测度和对数似然函数的扰动。这扩展了贝叶斯逆问题的适定性分析。特别是，我们证明了一般的局部Lipschitz连续依赖的先验和对数似然w.r.t.的后验。各种常见的概率测度距离。其中包括全变差、Hellinger和Wasserstein距离以及Kullback-Leibler散度。我们只假设有界的似然和测量其扰动的$L^p$ -范数w.r. t。副院长在温和的假设下得到的稳定收益率的贝叶斯反问题的适定性，特别是，适定性w.r.t. Wasserstein距离此外，我们的研究结果表明，随着后验变得更加集中，贝叶斯推断的敏感性也在增加，例如，因为数据越来越准确。这证实并扩展了以前在贝叶斯推断的灵敏度分析中所作的观察。
2020-01-22 cs.NA math.NA math.PR
A Bayesian approach with Gaussian priors to the inverse problem of source identification in elliptic PDEs
本文研究椭圆型偏微分方程中未知源函数的统计线性反问题，采用基于高斯先验的非参数贝叶斯方法进行后验推断，回顾了相关理论保证，并在高斯级数先验和Matérn过程先验下通过数值模拟验证了方法性能。
2024-07-25 math.ST stat.ME stat.TH
Multiplicative noise in Bayesian inverse problems: Well-posedness and consistency of MAP estimators
乘性噪声出现在反问题中，例如，测量的不确定性与测量本身的大小成比例。因此，产生的可能性比来自加性噪声的可能性更复杂。我们考虑两种乘性噪声模型：纯乘性噪声，和乘性噪声和加性噪声的混合。采用贝叶斯方法，我们提供的条件所产生的后验分布在巴拿赫空间上是连续的扰动的数据;除了乘性噪声的加性噪声的列入作为一种形式的正则化，允许温和的条件下的前向映射。此外，我们表明，MAP估计存在的纯乘性和混合噪声模型时，高斯先验，并为后者证明，他们是一致的小噪声限制时，所有的噪声是高斯。
2019-10-31 math.PR math.ST stat.TH
A Bayesian Multiple Testing Paradigm for Model Selection in Inverse Regression Problems
在这篇文章中，我们提出了一种新的贝叶斯多重检验公式，用于逆向设置中的模型和变量选择，明智地将Bhattacharya（2013）提出的逆参考分布的思想嵌入到由竞争模型组成的混合框架中。我们开发的理论和方法，在一般情况下，包括参数和非参数竞争模型，相关数据，以及误指定。我们的研究表明，渐近多重检验程序几乎肯定会选择最好的逆模型，最大限度地减少最小的Kullback-Leibler发散从真实的模型。我们还表明，差错率，即版本的错误发现率和错误的非发现率几乎肯定收敛到零的样本量趋于无穷大。本文还研究了错误发现率版本的渐近α-控制及其对错误非发现率版本收敛的影响。我们的模拟实验涉及基于小样本的选择之间的逆泊松对数回归和逆几何logit和probit回归，其中回归是线性的或基于高斯过程。此外，还考虑变量选择。我们的多个测试结果证明是非常令人鼓舞的意义上选择最好的模型在所有的非错误指定和错误指定的情况下。
2020-07-15 math.ST stat.ME stat.TH
Statistical guarantees for Bayesian uncertainty quantification in non-linear inverse problems with Gaussian process priors
研究了一类非线性逆回归模型的贝叶斯推断和不确定性量化问题。分析条件上的回归模型$\{\mathscr G(θ): θ\in Θ\}$和高斯过程先验$θ$提供这样的半参数有效的推理是可能的一个大类的线性泛函的$θ$。证明了一般半参数Bernstein-von Mises定理，证明了（非高斯）后验分布可用以后验均值为中心的高斯测度近似.因此，基于后验的可信集是有效的，从频率论的角度来看是最优的。该理论的两个应用程序与偏微分方程中出现的非线性层析成像问题：一个椭圆形的反问题的薛定谔方程，和反演的非阿贝尔X射线变换。新的分析技术表明，相关的Fisher信息算子在合适的函数空间之间是可逆的
2021-04-14 math.AP math.ST stat.TH
How many measurements are enough? Bayesian recovery in inverse problems with general distributions
本文研究了在一般分布下的逆问题中贝叶斯恢复的样本复杂性，通过分析先验、正向算子和噪声分布，证明了样本复杂性与潜在维度呈对数线性关系，并揭示了相干性在贝叶斯恢复中的关键作用。
2025-12-01 cs.LG math.ST stat.TH
Bayesian approach for inverse obstacle scattering with Poisson data
我们考虑了一个泊松数据的声障碍重建问题。由于数据的随机性，我们在贝叶斯反演的框架中解决这个问题。未知障碍物以其角度形式参数化。参数化未知量的先验知识在贝叶斯重建算法中起着关键作用。最常用的先验是高斯先验。在高斯先验假设下，我们进一步假设未知量满足全变差先验。在混合先验下，讨论了后验分布的适定性。数值算例验证了算法的有效性。
2019-07-09 cs.NA math.NA math.ST
A Bayesian approach to inverse problems in spaces of measures
本文开发了一个贝叶斯框架，用于求解未知参数属于可分 Hilbert 空间中 Radon 测度空间的反问题，通过引入测度值先验解决不适定性，并证明了后验的存在性、唯一性与稳定性。
2025-04-30 cs.NA math.NA math.ST
Elliptic Bayesian Inverse Problems on Metric Graphs
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；University of Chicago（芝加哥大学）
本文研究了在度量图上贝叶斯反问题的 formulation、well-posedness 及数值解法，重点在于从噪声测量中恢复椭圆方程的扩散系数，采用现代高斯 Whittle-Matérn 过程模型并验证了数值结果的准确性。
2026-03-27 math.AP math.ST stat.CO
A path-integral approach to Bayesian inference for inverse problems using the semiclassical approximation
我们演示了如何路径积分经常使用的理论物理问题，可以适应于提供一个机器在函数空间中执行贝叶斯推断。这样的推论自然是在研究从常微分方程或偏微分方程（ODE，PDE）中恢复连续（无限维）系数函数的反问题中，这是一个典型的不适定问题。使用$L^2$函数空间对这些问题进行正则化（Tikhonov正则化）相当于使用高斯先验的贝叶斯概率推理。逆问题正则化的贝叶斯解释是有用的，因为它允许量化和表征逆问题解决方案中的误差和精度，以及检查在解决问题时所做的假设-即正则化的主观选择是否与先验知识兼容。使用路径积分形式主义，贝叶斯推断可以通过各种微扰技术，如半经典近似，我们在这篇手稿中使用。微扰路径积分方法，同时提供了替代计算方法，如马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC），也提供了自然的出发点MCMC方法，可用于细化近似。在这篇手稿中，我们说明了一个路径积分制定反问题，并证明它在膜生物物理学的反问题，以及潜在的理论，涉及泊松方程的反问题。
2014-07-22 hep-th math.OC math.ST
Random forward models and log-likelihoods in Bayesian inverse problems
我们考虑使用随机正向模型和对数似然内的贝叶斯方法来反问题。当使用更便宜的随机替代来近似计算上昂贵的模型时，如在高斯过程仿真（克里金法）中或在概率数值方法领域中，自然会出现对精确正演模型或对数似然的这种随机近似。我们证明了精确和近似贝叶斯后验之间的Hellinger距离是由真实和近似对数似然之间的差异的矩所限定的。这些稳定性结果的应用实例给出随机失配模型在大数据应用和概率解的常微分方程。
2018-09-28 cs.NA math.NA math.PR
Non-asymptotic error estimates for the Laplace approximation in Bayesian inverse problems
针对非线性贝叶斯反问题，本文证明给定噪声水平下 Laplace 逼近的非渐近误差估计，揭示误差受正演映射非线性、维度及小扰动影响，并与扰动同阶。
2021-10-27 cs.NA math.NA math.ST
Convergence of Gaussian Process Regression with Estimated Hyper-parameters and Applications in Bayesian Inverse Problems
本文研究高斯过程回归的收敛性。特别关注的是分层高斯过程回归，其中出现在高斯过程仿真器的均值和协方差结构中的超参数是先验未知的，并且是从数据中学习的，以及后验均值和协方差。我们在经验贝叶斯的框架下工作，其中使用数据计算超参数的点估计，然后在后验更新之前在标准高斯过程中使用。我们提供了一个收敛性分析，（i）适用于任何要仿真的连续函数$f$;（ii）表明高斯过程回归的收敛性不受从数据中额外学习超参数的影响，并且在广泛的场景中得到保证。由于这项工作的主要动机是使用高斯过程回归近似的数据似然贝叶斯逆问题，我们提供了一个约束的贝叶斯后验分布在这种情况下引入的错误。
2020-07-17 cs.NA math.NA math.ST
Continuum Limit of Posteriors in Graph Bayesian Inverse Problems
我们考虑的问题，恢复一个功能的输入微分方程制定的未知域$M$。我们假设可以访问离散域$M_n=\{x_1, \dots, x_n\} \subset M$，并且可以访问这些点的$p\le n$处的输出解的噪声测量。我们引入了一个基于图的贝叶斯逆问题，并证明了图后验测度在$M_n$中的函数收敛，在大的$n$限制，后验函数在$M$，解决了已知域的贝叶斯逆问题。的证明依赖于变分制定的贝叶斯更新，并在一个新的拓扑结构上的收敛性研究的措施在点云的函数的连续函数的措施。我们的框架，技术和结果可能有助于奠定机器学习中基于图的任务的鲁棒不确定性量化的基础。并以恢复未知流形上热传导方程的初始条件为具体背景，提出了这一思路。
2017-06-22 math.AP math.PR math.SP
Comment on "A variational Bayesian approach for inverse problems with skew-t error distributions" (Guha et al., Journal of Computational Physics 301 (2015) 377-393)
对具有斜t误差分布的逆问题的变分贝叶斯方法（Guha等人，Journal of Computational Physics 301（2015）377-393）。
2016-11-23 math.PR stat.ME
Variational Reformulation of Bayesian Inverse Problems
反问题的经典方法是基于失配函数的优化。尽管其计算吸引力，但这种方法存在许多缺点，例如，非唯一性的解决方案，建模先验知识，等贝叶斯形式主义的逆问题避免了最优化方法遇到的困难，虽然在增加的计算成本。在这项工作中，我们使用信息理论的参数来铸造的贝叶斯推断问题的优化问题。由此产生的计划结合了理论的合理性，充分贝叶斯推断的计算效率的一个简单的优化。
2014-10-21 stat.ML
Inhomogeneous Priors for Bayesian Inverse Problems
University of Oulu（奥卢大学）；LUT University（拉彭兰塔理工大学）
本文提出了一种非均匀先验用于贝叶斯反问题，通过卷积白噪声生成非平稳随机场，提升大规模反问题的重建质量和不确定性量化能力。
2026-02-08 cs.NA math.NA math.PR
Well-posed Bayesian inverse problems and heavy-tailed stable quasi-Banach space priors
Free University of Berlin（柏林自由大学）；Zuse Institute Berlin（齐泽研究所柏林）
本文基于贝叶斯反问题框架，探讨了在准巴拿赫空间上使用厚尾稳定分布作为先验分布的可能性，并证明了在弱正则性假设下后验测度对扰动的Hellinger连续性。
2017-06-30 cs.NA math.NA math.PR
On the well-posedness of Bayesian inverse problems
本文的主题是引入贝叶斯反问题适定性的新概念。（Lipschitz，Hellinger）适定性的传统概念在[Stuart 2010，Acta Numerica 19，pp. #35759;，在实践中很难验证，在某些情况下可能不合适。我们的概念简单地取代了Lipschitz连续性的后验测度在Hellinger距离连续性之间的概率测度适当的距离。除了Hellinger距离，我们调查适定性弱收敛，全变差距离，Wasserstein距离，也Kullback-Leibler分歧。我们证明，削弱连续性是可以容忍的，推广到其他距离是很重要的。这篇文章的主要结果是证明的适定性相对于一些大型类的贝叶斯逆问题的上述距离。在这里，关于底层模型的信息很少或根本不需要，这使得这些结果对于使用黑盒模型的从业者来说特别有趣。我们用来自机器学习和图像处理的数值例子来说明我们的发现。
2019-09-11 cs.NA math.NA math.ST
Inverse Renormalization Group Transformation in Bayesian Image Segmentations
Tohoku University（东北大学）；Yamagata University（山形大学）；Kyoto University（京都大学）
提出了一种新的贝叶斯图像分割算法，该算法将循环置信传播和逆实空间重整化群变换相结合，以减少计算时间。在我们的实验结果中，我们观察到，所提出的方法可以减少计算时间，传统的贝叶斯方法所采取的不到十分之一。
2015-01-05 cond-mat.stat-mech cs.CV stat.ML
Well-posed Bayesian Inverse Problems: Priors with Exponential Tails
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
研究在先验测度具有指数尾部时贝叶斯反问题的良好定义性，探讨凸（对数凹）概率测度的条件，保证后验测度的存在性、唯一性和稳定性，并提出后验近似方法及构造Banach空间上凸先验的通用方法。
2017-02-23 cs.NA math.NA math.PR
Utilizing variational autoencoders in the Bayesian inverse problem of photoacoustic tomography
本研究针对光声层析成像贝叶斯逆问题完整求解研究较少的现状，提出基于变分自编码器的后验分布估计方法，经数值模拟验证并与传统贝叶斯方法对比，为该类逆问题提供机器学习求解思路。
2022-10-24 physics.comp-ph stat.ML
Well-posed Bayesian Inverse Problems with Infinitely-Divisible and Heavy-Tailed Prior Measures
Department of mathematics, Simon Fraser University（西蒙菲莎大学数学系）
本文提出基于广义伽马分布的新的先验测度，用于p∈(0,1)的ℓp正则化技术，展示其厚尾、非凸和无限可分性质，并探讨无限可分先验测度的尾行为与莱维测度的联系，定义新的函数空间先验测度，解决贝叶斯逆问题的良定性。
2017-02-21 cs.NA math.NA math.PR
Probabilistic Numerical Methods for Partial Differential Equations and Bayesian Inverse Problems
本文发展了一种求解偏微分方程的概率数值方法，并研究了该方法在偏微分方程约束反问题中的应用。这种方法使具有挑战性的反问题的解决方案，同时会计，在统计原则的方式，由于PDE的数值解的离散化误差的影响。特别是，该方法赋予数值PDE求解器的故障鲁棒性，在存在大量离散化误差的情况下，统计推断被驱动为更保守。更进一步，选择偏微分方程求解器的问题被视为贝叶斯实验设计中的一个问题，其目的是最大限度地减少求解器误差对统计推断的影响;这里还考虑了非线性偏微分方程的挑战。该方法适用于参数推断问题，其中离散化误差不可忽略，必须考虑到，以达到统计上有效的结论。
2017-07-11 cs.NA math.NA math.ST
A Bayesian Inverse Approach to Proton Therapy Dose Delivery Verification
本研究提出一种一维贝叶斯反演方法，通过传感器检测瞬发γ射线来估计质子束能量沉积剖面，用于质子治疗验证，并在均匀介质和分层肺肿瘤中验证了该方法。
2023-11-15 stat.AP
Introduction To Gaussian Process Regression In Bayesian Inverse Problems, With New ResultsOn Experimental Design For Weighted Error Measures
现代应用中出现的贝叶斯后验分布，包括层析成像和地下水流中偏微分方程模型中的逆问题，由于评估数据可能性的计算成本很大，因此在计算上通常是棘手的。为了缓解这个问题，我们考虑使用高斯过程回归来建立一个代理模型的可能性，从而在近似的后验分布，是服从于实际计算。这项工作作为一个介绍高斯过程回归，特别是在建立代理模型的背景下，逆问题，并提出了新的见解到一个合适的选择训练点。我们发现，真实的和近似的后验分布之间的误差可以有界的真实和近似的可能性之间的误差，测量在$L^2$ -范数加权的真实后验，并有效地界定真实和近似的可能性之间的误差，在这个范数建议选择训练点的高斯过程代理模型的基础上的真实后验。
2023-02-09 cs.NA math.NA math.ST
Consistency of Bayesian inference with Gaussian process priors in an elliptic inverse problem
对于$\mathbb{R}^d$中的有界区域$\mathcal{O}$和给定的光滑函数$g:\mathcal{O}\to\mathbb{R}$，我们考虑了由解$u=u_f$在$\mathcal O$上的$N$离散噪声点估计恢复散度型方程$$ \nabla\cdot(f\nabla u)=g\ \textrm{on}\ \mathcal{O}, \quad u=0\ \textrm{on}\ \partial\mathcal{O}, $$中电导率$f>0$的统计非线性反问题.我们研究了贝叶斯非参数过程的统计性能的基础上灵活的一类高斯（或分层高斯）的过程先验，其实施是可行的MCMC方法。我们发现，随着测量的数量$N$的增加，产生的后验分布集中在真正的参数生成的数据，并推导出收敛速度$N^{-λ}, λ>0,$的重建误差的相关后验手段，在$L^2(\mathcal{O})$距离。
2020-03-06 cs.NA math.AP math.NA
Bayesian approach to inverse scattering with topological priors
我们提出了一个贝叶斯推理框架来估计逆散射问题中的不确定性。给定观测数据、正演模型及其不确定性，我们求出了表示对象的有限参数场上的后验分布。为了构造先验分布，我们使用拓扑灵敏度分析。我们演示了方法的贝叶斯解的二维逆问题的光和声全息与合成数据。通过对后验分布进行采样，提取关于对象的统计信息，例如它们的中心位置、直径大小、方向以及材料属性。假设已知的对象的数量，比较马尔可夫链蒙特卡罗抽样和通过对高斯分布进行抽样得到的结果，通过对最大后验估计进行线性化得到的结果显示出合理的一致性。后一个过程具有较低的计算成本，这使得它在3D中的不确定性研究的一个有趣的工具。然而，MCMC采样提供了一个更完整的图片后验分布，并产生多模态后验分布的问题与更大的测量噪声。当对象的数量是未知的，我们设计了一个随机模型选择框架。
2020-11-16 cs.NA math.NA math.OC
