Subcritical Contact Process Seen from the Edge: Convergence to Quasi-Equilibrium
从最右侧感染部位观察到的亚临界接触过程没有不变测度。我们证明，然而，它收敛于分布的准静态措施支持有限的配置。
2015-12-17 math.PR
The Minkowski content measure for the Liouville quantum gravity metric
本文证明LQG测度可作为LQG度量的Minkowski测度恢复，由此推出γ-LQG曲面的度量结构决定其共形结构，主要工具为空间填充SLE的连续配对树理论，并建立了相关Hölder连续性结果。
2023-10-12 math-ph math.MP math.PR
Liouville Brownian motion
我们构造了一个随机过程，称为刘维布朗运动，这是布朗运动与度量$e^{γX(z)}\,dz^2$，$γ<γ_c=2$和$X$是一个高斯自由场。这样一个过程被证明与随机游动在大平面地图上的标度极限有关，最终由统计物理模型加权，该模型以共形的方式嵌入在欧几里得平面或球面中。该构造相当于根据Liouville测度“$M_γ(dz)=e^{γX(z)}\,dz$“的局部行为来改变标准二维布朗运动$B_t$的速度。证明了对所有的$γ<γ_c=2$，相应的Markov过程都是Feller扩散，且对所有的$γ<γ_c$，Liouville测度$M_γ$在$P_{\mathbf{t}}$下不变.这一刘维尔布朗运动使我们能够在刘维尔量子引力中引入一整套随机分析工具，这将有望对刘维尔量子引力的几何分析有所帮助。
2016-09-02 math-ph math.MP math.PR
Subsequential scaling limits for Liouville graph distance
对于$0<γ<2$和$δ>0$，我们考虑Liouville图距离，它是$γ$ -Liouville量子引力测度中最多$δ$的并包含两个端点之间的连续路径的最小欧氏球数.在本文中，我们证明了重整化距离是紧的，因此在$δ\to 0$具有连续标度极限。特别是，我们表明，对于所有的$δ>0$的直径相对于刘维图的距离具有相同的顺序作为两个端点之间的典型距离。
2019-10-03 math-ph math.MP math.PR
Uniqueness of the critical and supercritical Liouville quantum gravity metrics
本研究将刘维尔量子引力度量的唯一性刻画从亚临界参数范围推广至临界与超临界范围，通过刘维尔首次通过渗流极限构造度量，用公理证明子序列极限唯一，且论证更简洁，未使用测地线汇流性质。
2022-09-02 math-ph math.MG math.MP
Lecture notes on Gaussian multiplicative chaos and Liouville Quantum Gravity
这些笔记的目的是根据第二作者在Les Houches暑期学校的课程，使用高斯乘性混沌理论解释Polyakov的Liouville量子引力的概率构造。特别是，这些说明包含了一个详细的描述，所谓的刘维尔措施的理论和它们的关系，以缩放限制的大型平面地图适当嵌入的领域。这些笔记相当简短，不需要事先了解该主题。
2016-02-23 math-ph math.MP math.PR
Liouville Quantum Gravity and KPZ
考虑一个有界平面域D，它是D上高斯自由场的一个实例h（狄利克雷能量归一化为1/（2π）），常数0 < gamma < 2。D上的Liouville量子引力测度是测度ε^{γ^2/2} e^{γh_ε（z）}dz的弱极限，其中dz是D上的勒贝格测度，h_ε（z）表示h在以z为中心的半径为ε的圆上的平均值。给定D的随机（或确定性）子集X，可以使用勒贝格测度或该随机测度来定义X的标度维数。我们推导出这两个维度之间的一般二次关系，我们认为这是共形域论的KPZ关系的概率公式。我们还提出了一个边界模拟KPZ（为子集的边界D）。我们讨论了离散和连续量子引力之间的联系，并提供了一个框架，通过量子引力理解欧几里德标度指数。
2010-12-02 math-ph math.MP math.PR
Path integral approach to analytic continuation of Liouville theory: the pencil region
利用David，Kupiainen，Rhodes和Vargas [DKRV 16]基于高斯乘性混沌理论的概率方法，研究了Liouville共形域论的解析延拓问题.其核心思想是将随机分析技术应用于与高斯自由场相关的布朗运动。我们加强了文献[KRV 17]中的结果，并且能够在一个无限三角形区域（我们称之为铅笔区域）上对Liouville理论的解析延拓提供严格的证明.这与物理学文献[HMW 11]一致。沿着这条线，我们开发了新的工具和估计的高斯措施和刘维相关函数使用这种概率的方法。
2018-09-23 math-ph math.MP math.PR
Subcritical multiplicative chaos for regularized counting statistics from random matrix theory
对于一个$N \times N$随机酉矩阵$U_N$，我们考虑通过计算$U_N$在单位圆的介观弧中的特征值的数目来定义的随机场，在$N$依赖的尺度$ε_N>0$上进行正则化。我们证明了该场的重整化指数在整个亚临界相以$N \to \infty$的形式收敛于高斯乘性混沌测度。此外，我们表明，总质量的时刻收敛到一个Selberg积分，并采取进一步的限制作为弧的大小发散，我们建立部分的结构在\cite{Ost16}。通过一个类似的构造，我们证明了由正弦过程产生的乘性混沌测度具有相同的分布，这有力地表明这个极限对象应该是普适的。证明是基于渐近分析的某些Toeplitz或Fredholm行列式使用Borodin-Okounkov公式或黎曼-希尔伯特问题的可积算子。我们的方法的$L^{1}$阶段是基于一个推广的建设Berestycki \cite{Berestycki15}随机场，这只是\textit{asymptotically}高斯。特别是，我们的方法可以应用到其他随机场来自随机矩阵理论或不同的背景。
2018-04-11 math-ph math.MP math.PR
The $λ$-invariant measures of subcritical Bienaymé--Galton--Watson processes
子马尔可夫链的$λ$不变测度是其特征值$λ$的转移阵的左特征向量.在这篇文章中，我们给出了$λ$的显式整表示--亚临界Bienaymé-Galton-Watson过程在灭绝时被杀死的不变测度，即\在撞击原点时。特别地，这表征了这些过程的所有准平稳分布。我们的公式推广了Kesten-Spitzer公式，并可解释为识别所有$λ$的最小$λ$-Martin入口边界。在拟平稳分布的特殊情况下，我们也提出了一个等价的半稳定从属的特征。与Kesten和Spitzer的论点不同，我们的证明是基本的，不依赖于马丁边界理论。
2016-06-13 math.PR
Diffusion in planar Liouville quantum gravity
我们构造了平面刘维尔量子引力随机几何中的自然扩散。形式上，这是复平面的区域$D$中的布朗运动，其中点$z \in D$处的黎曼度量张量由$\exp (γh(z) - \frac12 γ^2 \E (h(z)^2))$给出。这里$h$是$D$上高斯自由场的一个实例，而$γ\in (0,2)$是一个参数。我们证明了该过程几乎必然是连续的，并具有一定的共形不变性。我们还估计了Hausdorff维数的时间，扩散花在厚点的高斯自由场，并表明，它花勒贝格几乎所有的时间在一组$γ$厚点，几乎肯定。扩散是由高斯自由场正则化后的限制程序。证据的灵感来自参数的Duplantier-谢菲尔德的收敛的刘维量子引力措施，以前的工作多重分形随机措施，并依赖于估计的占领措施的平面布朗运动Dembo，佩雷斯，罗森和Zeitouni。一个类似但更深刻的结果已经被加尔班、罗兹和巴尔加斯同时独立地证明。
2013-01-15 math-ph math.MP math.PR
Essential Self-Adjointness of Liouville Operator for 2D Euler Point Vortices
本文用Koopman-Von Neumann方法分析了二维Euler点涡的动力学。经典的结果提供了适定性的动力学涉及奇异相互作用的有限数量的旋涡，在一个完整的措施集相对于体积测量$dx^N$的相空间，这是保存的可测量的流量感谢系统的哈密顿性质。我们确定了一个核心的生成器的单参数组的Koopman-Von Neumann酉$L^2(dx^N)$相关的流，核心是由一个合适的集，奇点可以发生的可观测光滑外。
2019-10-29 math-ph math.MP math.PR
Weak convergence of the empirical measure for the Keller-Segel model in both subcritical and critical cases
该研究针对Keller-Segel粒子系统，证明了一般初始条件下次临界与临界情形下经验测度的子序列弱收敛性，次临界情形用双粒子矩论证得到一致非聚集结果，临界情形需更复杂分析。
2023-10-09 math.PR
Convergence in distribution for subcritical 2D oriented percolation seen from its rightmost point
我们研究亚临界二维定向渗流从其最右边的一点上的无限的配置，这是有界以上。这是一个状态空间不紧且没有不变测度的Feller过程.我们证明了它收敛于分布的措施，收费只有有限的配置。
2014-03-27 math.PR
Infinitely supported Liouville measures of Schreier graphs
给出了群作用的Liouville性质的等价条件。作为应用，我们证明了Thompson群$F$对并元有理数的作用存在Liouville测度.这个结果应该与Kaimanovich最近的一个结果相比较，他在那里证明了Thompson群F在并矢有理数上的作用对于所有有界测度都不是刘维尔的。作为另一个应用程序，我们表明，有一个刘维尔措施点灯行动。这给出了更多不服从刘维尔行动的例子。
2016-08-11 math.GR math.PR
Stability of regularized Hastings-Levitov aggregation in the subcritical regime
本文证明了连续平面聚集模型的双参数ALE类$(α,η)$的体标度极限和涨落标度极限。该类包括正规化版本的黑斯廷斯-莱维托夫家庭HL $(α)$和连续版本的家庭的介电击穿模型，其中的局部附着强度为新的粒子被指定为一个负功率$-η$的弧长密度相对于调和测度。极限动态遵循一定的Loewner-Kufarev方程的解决方案，其中的驱动措施取决于解决方案和参数$ζ=α+η$。我们的研究结果受到亚临界条件$ζ\le1$：这包括HL $(α)$的$α\le1$和情况下$α=2,η=-1$对应于连续伊甸园模型。Hastings和Levitov预测HL $(α)$在$α=1$时的行为变化，与我们的结果一致。在正则化制度考虑，缩放限制周围的波动被证明是高斯，独立的Ornstein-Uhlenbeck过程驱动每个傅立叶模式，这被认为是稳定的，当且仅当$ζ\le1$。
2021-05-19 math-ph math.CV math.MP
On the empty balls of a critical or subcritical branching random walk
设$\{Z_n\}_{n\geq 0 }$是从Poisson随机测度开始的临界或次临界$d$维分支随机游动，其强度测度是$\mathbb{R}^d$上的Lebesugue测度.用$R_n:=\sup\{u>0:Z_n(\{x\in\mathbb{R}^d:|x|<u\})=0\}$表示以$Z_n$原点为中心的最大空球的半径。本文证明了在适当的重整化后，$R_n$按规律收敛到某种非退化分布，如$n\to\infty$ .进一步证明了重整化尺度依赖于分支随机游动的后代律和维数，从而完善了\cite{reves02}关于临界二元分支Wiener过程的结果.
2022-12-25 math.PR
A quasispecies continuous contact model in a subcritical regime
本文研究了一个非平衡动力学模型：$d$维空间中的一个连续接触模型，$d \ge 1$。与临界状态下的连续接触模型相比，参见\cite{KKP}、\cite{KPZ}，所考虑的模型处于亚临界状态，并且包含来自外部源的额外的自发空间均匀诞生。我们证明了这个系统有一个不变测度。我们还证明了从任何初始分布开始的过程收敛到这个不变测度。
2022-04-28 math.PR
Schramm Loewner Evolution and Liouville Quantum Gravity
我们共形焊接（通过“量子拉链”）两个边界弧的刘维量子引力随机表面生成一个随机曲线称为Schramm-Loewner演化（SLE）。我们开发了一个理论的量子分形措施（符合Knizhnik-Polyakov-Zamolochikov关系），并分析其演变焊接通过SLE鞅。作为应用，我们在SLE曲线上构造了自然量子长度和边界相交测度。
2010-12-21 cond-mat.stat-mech math-ph math.CV
Stochastic quantization of Liouville conformal field theory
研究了闭曲面上受时空白噪声强迫的非线性随机热方程，方程的非线性项为$e^{βu}$。这个方程对应于刘维尔量子引力（LQG）测度的随机量子化。(i)我们首先回顾了$L^2$体系$0<β<\sqrt{2}$中的刘维共形域论（LCFT）中LQG测度的构造。这统一了David-Kupiainen-Rhodes-Vargas（2016），David-Rhodes-Vargas（2016）和Guillarmou-Rhodes-Vargas（2019）的方法，这些方法分别处理亏格为0，1和$> 1$的闭曲面的情况。此外，我们的论点表明，这一措施是独立的近似程序的一大类光滑近似。(ii)我们证明了抛物型随机动力学的几乎必然的整体适定性，以及测度在这种随机流下的不变性。特别地，我们的结果改进了Garban（2020）在球和环面的正则度量情况下的先前结果，并且在具有更高亏格的闭曲面的情况下是新的。
2020-05-29 math-ph math.AP math.MP
Subcritical regimes in the Poisson Boolean percolation on Ahlfors regular spaces
本研究将Gouéré关于欧氏空间上Poisson Boolean渗流次临界区域存在性与半径分布矩条件等价的结论，推广至Ahlfors正则度量测度空间，拓展了渗流理论的适用范围。
2024-10-31 math.MG math.PR
Liouville Quantum Duality and Random Planar Maps II
Université Paris-Saclay, CEA, CNRS, Institut de Physique Théorique（巴黎萨克雷大学，法国原子能和替代能源委员会，法国国家科学研究中心，理论物理研究所）
本文研究平面图的块加权性质及利ouville量子对偶临界点的标度行为，推导了根块大小与总大小的条件分布，并展示其与利ouville量子引力的结果一致，同时分析了双根图的块距离谱及多标度性质。
2026-04-27 math-ph math.CO math.MP
Fredholm and Sturm--Liouville Type Characterizations of the Limit Measure for the Kac Killing Penalization for Lévy Processes
Graduate School of Science, The University of Osaka（大阪大学大学院理学研究科）
研究一维常返Lévy过程的Kac惩罚杀，证明其极限过程可通过Fredholm方程与Sturm-Liouville方程两种等价方式刻画
2026-08-28 math.PR
Construction of Liouville Brownian motion via Dirichlet form theory
在\cite{GRV}中引入的Liouville布朗运动是二维Liouville量子引力中与随机度规相联系的自然扩散过程。利用Dirichlet型理论构造了Liouville布朗运动.通过证明Liouville测度在严格意义上是光滑的，得到了Liouville测度在严格意义上的正连续可加泛函$(F_t)_{t \ge 0}$.得到了平面布朗运动$(B_t)_{t \ge 0}$。然后将Liouville布朗运动定义为平面布朗运动的时变过程$B_{F_t^{-1}}$。
2019-01-23 math.PR
Coupling for one-dimensional subcritical and critical CBI processes with jumps
本文通过簇表示和耦合方法，研究一维带跳跃CBI过程的全变差收敛，在次临界和临界情形下分别给出收敛速率和显式界。
2026-09-11 math.PR
Multifractal analysis of Gaussian multiplicative chaos and applications
设$M_γ$是定义在有界域$D \subset \mathbb{R}^d$，$d \geq 1$上的一般对数相关高斯场的次临界高斯乘性混沌测度.通过证明$M_γ$几乎必然满足多重分形形式主义，我们找到了其奇异谱的一个显式公式，即，证明了它的奇异谱几乎必然等于它的$L^q$ -谱的Legendre-Fenchel变换。然后，应用这个结果，我们计算了多重分形随机游动和刘维布朗运动的下奇异谱。
2023-01-05 math.PR
Semiclassical limit of Polyakov-Liouville measure and Q-Curvature Uniformization on even-dimensional manifolds
University of Rochester（罗切斯特大学）
研究偶数维流形上Polyakov-Liouville测度在γ→0时的半经典极限，证明归一化测度集中于使共形度量具有常Q-曲率的唯一光滑权函数。
2026-06-16 math.PR
Scaling limits for planar aggregation with subcritical fluctuations
我们研究了一类平面随机生长过程的标度极限，在这个过程中，团簇是由小粒子的连续聚集而生长的。在这些模型中，集群被编码为一个组成的共形映射和每个连续的粒子的位置分布根据集群边界上的调和测度的密度，提高到一定的权力。我们表明，当这个权力位于一个特定的范围内，宏观形状的集群收敛到一个磁盘，但作为权力接近这个范围的边缘的波动接近一个临界点，这是一个极限的稳定性。在本文中开发的方法提供了一个蓝图，用于分析更一般的随机增长模型，如Hastings-Levitov家庭。
2021-07-06 math-ph math.CV math.MP
Steady state of the KPZ equation on an interval and Liouville quantum mechanics
在一般Neumann型边界条件和任意区间大小下，得到了区间$[0,L]$上Kardar-Parisi-Zhang方程发展的高度场的平稳测度的简单公式.这是利用Corwin和Knizel（arXiv：2103.12253）的最新结果以及Liouville量子力学实现的。我们的公式可以很容易地确定在各种限制的平稳措施：KPZ不动点的间隔，半线KPZ方程，KPZ不动点的半线，以及爱德华-威尔金森方程的间隔。
2021-09-09 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
Non-stability of Liouville measures under convex combinations
College of Charleston（查尔斯顿学院）；University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
该研究证明了Liouville测度在凸组合下不闭合，并给出了相关群的例子。
2026-02-01 math.DS math.GR math.PR
Subcritical contact processes seen from a typical infected site
一个接触过程从一个感染点开始，按照格子上的计数测度分布，其规律的长期行为是什么？这个问题是有关的配置，从一个典型的感染网站，并产生了所谓的特征测度的定义，这可能是无限的措施，对一组非空的配置下保存的动态乘法常数。本文研究了亚临界区一般可数群上接触过程的特征测度。我们证明，在这个政权，该过程有一个独特的空间齐次本征测度。作为应用，我们证明了指数增长性是连续可微的，且是恢复率的严格递减函数，并给出了接触过程及其对偶的特征测度的导数公式.
2013-05-29 math.PR
Towards Liouville Quantum Gravity on fractals
Friedrich-Schiller Universität Jena（耶拿弗里德里希·席勒大学）；Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn（波恩莱茵弗里德里希·威廉大学）
受谢尔宾斯基地毯上分数高斯场构造启发，基于Kahane高斯乘性混沌方法构造分形上类似刘维尔量子引力的随机测度族，证明其反射不变性与标度自相似性，并构造对应刘维尔布朗运动类似物。
2026-08-26 math.PR
Koenigs functions in the subcritical and critical Markov branching processes with Poisson probability reproduction of particles
Institute of Mathematics and Informatics, Bulgarian Academy of Sciences（保加利亚科学院数学与信息学研究所）；Centre of Excellence in Informatics and Information and Communication Technologies（信息与信息技术卓越中心）
本文研究了子临界和临界马尔可夫分支过程中的Koenigs函数，通过Kolmogorov方程分析粒子的泊松繁殖，并利用图形表示扩展了Koenigs函数理论，探讨了子临界情况下的极限条件分布和临界情况下的不变测度。
2025-12-23 math.PR stat.CO
Equivalence of Liouville measure and Gaussian free field
给定平面域上的高斯自由场的实例$D$和常数$γ\in (0,2)$，可以使用各种正则化过程来理解Liouville量子引力面积测度$μ:= e^{γh(z)} dz.$。确定测量值$μ_h$。我们发现，反之亦然：即，$h$可测量地确定由$μ_h$。更一般地说，给定一个随机闭分形子集$\mathcal A$，赋予一个支持度为$\mathcal A$（与$h$无关）的Frostman测度$σ$，可以构造一个高斯乘性混沌测度$μ_{σ,h}$。我们给出了一个温和的条件下，$(\mathcal A,σ)$的$μ_{σ,h}$决定$h$限制到$\mathcal A$，在这个意义上，它确定其调和扩张的$\mathcal A$。自然参数化下的平面布朗运动和SLE曲线的占有测度满足我们的条件。在此过程中，我们得到了高斯乘性混沌的一般正矩界。与以前的结果相反，这不需要对基本度量$σ$（例如尺度不变性）进行任何假设，因此可能具有独立的兴趣。
2020-09-07 math.PR
Instability of set recurrence and Green's function on groups with the Liouville property
设$μ$和$ν$是群Γ上的概率测度，G_μ和G_ν表示关于μ和ν的格林函数.称群Γ允许格林函数的不稳定性，如果存在对称的、有支撑的测度$μ$和ν以及序列\{x_n\}使得G_μ（e，x_n）/G_ν（e，x_n）\to 0，并且如果存在关于ν是递归的但关于μ是瞬变的集合S，则Γ允许递归的不稳定性。我们给出了一些具有刘维尔性质但同时具有两种不稳定性的群的例子。以前已知的具有这些不稳定性的基团不具有刘维尔性质。
2003-10-17 math.GR math.PR
The Liouville property for groups acting on rooted trees
我们证明了在有界活动自动机生成的群上，每个对称的、有界支持的概率测度都具有Liouville性质。更一般地，我们证明了这对每一个自同构群的有界型的有根树。对于自动机群，我们也给出了每个对称的，可支持测度的卷积熵的一致上界。
2015-07-09 math.GR math.PR
On Gaussian multiplicative chaos
提出了一种新的高斯乘性混沌（GMC）的定义，并基于亚临界GMC与高斯测度随机移位的关系提出了一种新的方法。利用这个关系，我们证明了一般的唯一性和收敛性的亚临界GMC结果，持有高斯场与任意协方差核。
2016-05-27 math.PR
Convergence of bi-spatial pullback random attractors and stochastic Liouville type equations for nonautonomous stochastic p-Laplacian lattice system
本文研究带乘性噪声的非自治随机p-Laplacian格点方程长期行为关于随机项系数的收敛性，证明了双空间拉回随机吸引子上半连续性、不变样本测度收敛性，验证了随机Liouville型方程及样本统计解的收敛结论。
2024-12-13 math.AP math.PR
Convergence of processes time-changed by Gaussian multiplicative chaos
本文在$L^2$区域中证明了由高斯乘性混沌进行时间变换的过程的收敛性，并给出Liouville简单随机游走和Liouville $α$-稳定过程的收敛实例。
2024-10-01 math.PR
