On dynamic algorithms for factorization invariants in numerical monoids
研究数值幺半群的因式分解理论依赖于理解几个重要的因式分解不变量，包括长度集、δ集和$ω$ -素性。虽然计算机代数系统的使用加速了这一领域的进展，但许多现有的算法对于具有几个不可约元的数值幺半群在计算上是不可行的。在本文中，我们提出了动态算法的分解集，长度集，δ集，和$ω$ -素性的数值幺半群，并证明这些算法在运行时间和内存使用的显着改善。在描述我们的动态方法来计算$ω$素性，我们通常的定义扩展到这个不变的商群的幺半群，并表明，一些有用的结果自然延伸到这个更广泛的设置。
2016-02-12 math.AC
Radical factorization in finitary ideal systems
本文研究了可消么半群的有限理想系统的根分解的概念。给出了r-几乎Dedekind的r-SP-幺半群的新刻画，并给出了t-几乎Dedekind的t-SP-幺半群和w-SP-幺半群的具体刻画.证明了么半群是w-SP-么半群当且仅当每个非平凡主理想的根是t-可逆的。我们刻画了么半群环是w-SP-整环的条件，并对有限型的星运算 * 刻画了 *-Nagata环是SP-整环的条件.
2019-06-24 math.AC
Supertropical Monoids III: Factorization and splitting covers
本文研究超热带幺半群的因子分解理论，通过纤维收缩及其层级获得不可约元的具体分解，并探讨由此产生的不同商结构及分裂覆盖类型。
2024-08-20 math.AC
Factorization Theory in Commutative Monoids
这是一个关于因子分解理论的综述。我们讨论了n阶生成幺半群（包括仿射幺半群），准素幺半群（包括数值幺半群），具有集合加法的幂集，Krull幺半群及其各种推广，以及域（包括Krull域，整数值多项式环，代数数域中的阶）及其理想的乘法幺半群。我们提供的例子，所有这些类的幺半群，并讨论其主要的算术有限性。这些描述了它们的长度集、长度集的并集和它们的悬链线度的结构。我们还提供了这些有限性属性不成立的例子。
2019-11-29 math.AC math.NT
Factorization invariants of Puiseux monoids generated by geometric sequences
本文研究了由等比数列生成的Puixix幺半群类的一些因子分解不变量，并将它们与由等差数列生成的数值幺半群类的已知结果进行了比较和对比.我们研究的类由所有形式为$S_r := \langle r^n \mid n \in \mathbb{N}_0 \rangle,$的原子幺半群组成，其中$r$是正有理数。由于原子幺半群$S_r$是很好地生成的，我们能够详细描述它们的许多因子分解不变量。$S_r$的一个显著特征是它的所有长度集都是相同距离的等差数列，即$|a-b|$，其中$a,b \in \mathbb{N}$使得$r = a/b$和$\text{gcd}(a,b) = 1$。我们证明了这一点，然后用它来研究$S_r$的弹性和柔顺性。
2019-07-07 math.AC
A weaker notion of the finite factorization property
本文提出长度有限分解这一更弱的有限分解相关概念，识别出一大类满足该性质的正幺半群，并将其与已研究多年的有界、有限分解性质对比，以深化对正幺半群非唯一分解现象的理解。
2024-09-06 math.AC
Factorizations in reciprocal Puiseux monoids
一个Puietrix幺半群是由有理数组成的实数线的加法子幺半群。我们说一个Puietrix幺半群是互逆的，如果它可以由两两严格递增的互素正整数序列的项的倒数生成。我们说一个可交换可消（可加）么半群是原子幺半群，如果每个不可逆元素$x$都可以写成不可约元之和。这个和中不可约的个数称为长度为$x$。在本文中，我们确定和研究广义类的互反Puienix幺半群是原子。此外，对于所确定的类中的原子幺半群，我们还研究了关于主理想的升链条件及其元素的长度集。
2021-12-08 math.AC
The Elasticity of Puiseux Monoids
设$M$是一个原子幺半群，$x$是$M$的一个非单位元素。$x$的弹性（由$ρ(x)$表示）是其最大分解长度与其最短分解长度之比，并且它测量$x$距离具有唯一分解有多远。$M$的弹性$ρ(M)$是$M$的所有非单位元的弹性的上确界。如果$ρ(M) = ρ(m)$对于某些$m \in M$，幺半群$M$具有可接受的弹性。在本文中，我们研究了Puietrix幺半群（即，$\mathbb{Q}_{\ge 0}$的加法子幺半群）。首先，我们刻画了具有有限弹性的Puietrix幺半群$M$，并找到了$ρ(M)$的一个公式。然后，我们分类的Puienix幺半群已接受的弹性方面的原子集。当$M$是一个准素的Puixix么半群时，我们描述了$M$的弹性集的拓扑，包括当$M$是一个有界分解么半群时的一个刻画.最后，我们给出了一个例子，一个Puixix幺半群是分叉的（也就是说，每个非零元素有一个长度至多为$2$的因式分解）。
2017-03-13 math.AC
Factorization Properties of Leamer Monoids
Huneke-Wiegand猜想在交换代数中引起了广泛的研究。在研究这一猜想时，García-Sánchez和Leamer构造了一个幺半群S_Γ^s，其元素对应于步长s的数值幺半群Γ中的等差数列。这些幺半群，我们称之为Leamer幺半群，拥有一个非常有趣的因子分解理论，与它们所衍生的数值幺半群有很大的不同。在本文中，我们提供了大量的基础理论的Leamer幺半群，包括其原子结构的分析，并调查某些因子分解不变量。当S_Γ^s是算术Leamer幺半群时，我们给出了它的原子的精确描述，并利用它给出了它的Delta集和悬链线度的显式公式.
2014-05-07 math.AC math.CO math.NT
Factorization in Additive Monoids of Evaluation Polynomial Semirings
对于正实数$α$，我们可以考虑由$α$的非负幂生成的实数线的加性子幺半群$M$。当$α$是超越的时，$M$是唯一的因子分解幺半群.然而，当$α$是代数的时，$M$可以不是原子的，并且即使当$M$是原子的时，它也可以包含具有多于一个因式分解的元素（即，分解为不可约的和）。本文的主要目的是研究$M$中的多重因子分解现象。当$α$是代数的但不是有理数的时候，$M$中的因式分解的算法是非常有趣和复杂的。为了得出这个结论，我们研究了$M$的各种分解不变量，包括长度集，Betti元素集和悬链线度。我们的调查延续了Chapman等人在2020年以及Correa-Morris和Gotti在2022年进行的最新研究。
2023-02-10 math.AC
PROPs for involutive monoids and involutive bimonoids
对合非交换集范畴编码了与（余）结合（余）乘法相容的对合的结构。本文证明了对称幺半范畴中的对合对偶范畴等价于由对合非交换集范畴构成的PROP上的代数范畴。
2021-02-12 math.AC math.AT math.CT
A characterization of length-factorial Krull monoids
一个原子幺半群是长度阶乘的，如果任何元素的每两个不同的分解有不同的分解长度。给出了长因子Krull幺半群的一个刻划，刻画了它们的类群和素除子在类中的分布.
2021-07-26 math.AC
On the atomicity of power monoids of Puiseux monoids
本文研究 Puiseux 幺半群幂幺半群的原子性与分解性质，证明有界及有限分解性可上承，并给出原子性上承的充分条件及反例。
2024-01-23 math.AC
Factorization in the Monoid of Integrally Closed Ideals
给定一个诺特环$A$，$A$中所有包含非零因子的整闭理想的集合，记为$ic(A)$，在运算$I*J=\overline{IJ}$下形成一个可消幺半群，该运算是乘积的整闭包。幺半群是无挠的和原子的--$A$中的每一个包含非零因子的整闭理想都可以在这个$*$ -积中分解为$*$ -不可约的整闭理想。限制在$A$是多项式环且理想是单项式的情形下，证明了在牛顿多面体平移不变性的条件下，存在从整多面体群到整闭单项式理想的Grothendieck群的满同态.值得注意的是，整数多面体群，在闵可夫斯基加法和平移不变性下具有整数顶点的多面体的格罗滕迪克群，具有显式基，允许在幺半群中显式因式分解。
2022-11-15 math.AC
On the set of molecules of numerical and Puiseux monoids
$\mathbb{Q}_{\ge 0}$的加性子幺半群，也称为Puietrix幺半群，通常不是唯一因子分解幺半群（UFM）。事实上，唯一唯一的因式分解Puienix幺半群是由一个元素生成的。然而，即使一个Puironx幺半群不是UFM，它也可能包含具有恰好一个因子分解的非零元素。我们称这种元素为分子。分子最早是由W. Narkiewicz在代数数论的背景下。最近，F。Gotti和第一作者研究了Puietrix monoids背景下的分子。在这里，我们解决了一些方面的大小有关的套分子的各种子类的Puienix monoid与不同的原子行为。特别是，我们肯定地回答了以下最近实现猜想：对于每个$m \in \mathbb{N}_{\ge 2}$存在一个数值幺半群的一组分子，不是原子具有基数$m$。
2021-06-15 math.AC
Factorizations in evaluation monoids of Laurent semirings
对于正实数$α$，设$\mathbb{N}_0[α,α^{-1}]$是$f(x)$位于$\mathbb{N}_0[x,x^{-1}]$中的所有实数$f(α)$的半环，$\mathbb{N}_0[x,x^{-1}]$是非负整数集合$\mathbb{N}_0$上的所有劳伦多项式的半环。本文研究了$\mathbb{N}_0[α, α^{-1}]$可加结构的各种因式分解性质。当$\mathbb{N}_0[α, α^{-1}]$是原子时，我们描述。然后，我们刻画了当$\mathbb{N}_0[α, α^{-1}]$满足主理想上的升链条件的某些充分研究的分解性质。最后，我们刻画了当$\mathbb{N}_0[α, α^{-1}]$满足唯一的因式分解性质，并表明，当不是这种情况下，$\mathbb{N}_0[α, α^{-1}]$具有无限的弹性。
2021-08-26 math.AC
Irreducibility and factorizations in monoid rings
对于整环$R$和交换可消幺半群$M$，由系数在$R$中，指数在$M$中的所有多项式组成的环称为$R$上的$M$幺半群环.一个整环称为原子的，如果每个非零的非单位元素都可以写成不可约元的乘积。在研究整环的原子性时，构筑块是不可约元。因此，证明不可约性的工具对研究原子性至关重要。本文第一部分将Gauss引理和Eisenstein判别法从多项式环推广到幺半群环。一个整环$R$称为半阶乘（或HFD），如果$R$的一个非零非单位元的任何两个因式具有相同数目的不可约元（计算重复次数）。在本文的第二部分中，我们确定了具有非负有理指数的么半群代数是戴德金整环，欧几里得整环，PID，UFD和HFD。作为一个副作用，我们刻画了$(\mathbb{Q}_{\ge 0},+)$的子幺半群满足半因子性的对偶概念，称为其他半因子性。
2020-03-06 math.AC
Monotone Catenary Degree in Numerical Monoids
最近对数值幺半群悬链线度的研究表明，这个不变量是理解这类幺半群因子分解理论的有力工具。虽然有用，悬链线度在很大程度上对元素的因子分解的长度不敏感。本文研究了数值幺半群的单调悬链线度，它是悬链线度的一种变体，要求链单调通过分解长度。通常，单调悬链线大于或等于悬链线度。我们首先提供一类重要的幺半群（算术数值幺半群），其中单调悬链线度等于悬链线度。相反，我们提供了几类嵌入维3数值幺半群的单调悬链线度严格更大。我们的结论是，这种差异可以任意增长。
2022-01-17 math.AC
Some asymptotic results on $p$-lengths of factorizations for numerical semigroups and arithmetical congruence monoids
本文引入$p$-长度（分解长度的广义概念，基于分解指数序列的$\ell_p$-范数），给出数值半群与算术同余幺半群中大型元素分解极值$p$-长度的渐近结果，揭示其组合特性与一般幺半群的微妙性。
2024-11-26 math.AC math.CO
Betti graphs and atomization of Puiseux monoids
本文通过 Betti 图研究原子 Puiseux 幺半群中的分解结构，利用分解间共享原子的关系构建图，以揭示分解不变量。
2023-11-30 math.AC
On three families of dense Puiseux monoids
本文研究了三族稠密 Puiseux monoid 的原子结构及其算术与分解性质，揭示了其相较于非稠密情形更为有趣的数学特征。
2025-05-03 math.AC
Length-factoriality in commutative monoids and integral domains
一个原子幺半群$M$称为长度阶乘幺半群（或另一半阶乘幺半群），如果对于每个不可逆元素$x \in M$，没有两个不同的$x$的分解具有相同的长度。Coykendall和Smith在2011年引入了长度因子的概念，作为半因子概念的对偶。他们证明了在整环的情况下，长度因子性可以作为唯一因子分解整环的另一种定义。然而，作为长度阶乘幺半群通常比作为阶乘幺半群弱（即，唯一的因子分解幺半群）。在这里，我们进一步研究长度因子。首先给出了长度因子幺半群$M$的两个刻画，并利用这两个刻画了Betti元的集合，得到了$M$的悬链线度的一个公式.然后，我们研究了长度因子性和纯长（分别为，纯短的）不可约的，这是不可约元，出现在较长的（分别是，任何不平衡因子分解关系的一部分。最后，我们证明了整环不能同时包含纯短不可约项和纯长不可约项，并构造了一个包含纯长不可约项的戴德金整环，纯短）不可约但非纯短（分别，纯长的）不可约的。
2021-01-14 math.AC
Arithmetic of additively reduced monoid semidomains
本文研究加法约化幺半群半整环的分解性质，确定了其成为有界、有限及唯一分解半整环的充要条件，并给出了具有完全和无穷弹性的半整环类及实例。
2023-07-03 math.AC
Power monoids: A bridge between Factorization Theory and Arithmetic Combinatorics
我们将Geroldinger和Halter-Koch在2006年关于这个主题的专著中提出的非唯一因子分解的经典理论的一些基本方面扩展到非交换和非可消的设置，与Baeth和Smertnig关于非交换但可消幺半群的因子分解理论的工作相同[J. Algebra 441（2015），475-551]。然后，我们引入幂幺半群，并应用第一部分中开发的抽象机器，我们对它们的算术进行了研究。更具体地说，设$H$是一个乘法写幺半群。$H$的所有非空有限子集的集合$\mathcal P_{\rm fin}(H)$通过赋予其运算$(X,Y) \mapsto \{xy: (x,y) \in X \times Y\}$而自然地成为幺半群，我们称之为$H$的幂幺半群，并且除非$H$是平凡的，否则它是非可消的。幂幺半群是算术组合学中感兴趣的主要对象之一，在这里，我们第一次从因子分解理论的角度来处理它们。证明导致考虑各种性质的有限子集的$\mathbf N$，可以或不能被分割成一个和集在一个非平凡的方式，这引起了丰富的相互作用与加性数论。
2018-07-02 math.AC math.CO math.NT
Factorization in monoids and rings
令$H^\times$是乘法写幺半群$H$的单位群。我们说$H$是非循环的，如果$xyz \ne y$对于所有具有$x \notin H^\times$或$z \notin H^\times$的$x, y, z \in H$;如果$yx \ne x \ne xy$对于所有具有$y \notin H^\times$的$x, y \in H$; f.g.u.如果存在一个有限集合$A \subseteq H$，使得$H$的每个非单位都是$uav$与$u, v \in H^\times$和$a \in A$形式的元素的有限乘积; l.f.g.u.如果对于每个$x \in H$，包含$x$的$H$的最小除数闭子幺半群是f.g.u;如果每个非单位可以写成原子的有限乘积，其中原子是不分解为两个非单位乘积的非单位。我们把它概括为l.f.g.u.或无环L.F.G. U。么半群到目前为止只知道单位可消l.f.g.u.的一些结果。交换幺半群（可消幺半群是单位可消的，交换幺半群是单位可消的当且仅当它是非循环的）。特别是，我们证明了以下几点：$\bullet$如果$H$是一个原子l.f.g.u.如果一个非单位是自由幺半群，那么每个非单位只有100个“最小”和“成对不等价”的因子分解（到原子中）（相对于原子“字母表”上自由幺半群上的一些自然定义的关系）。如果$H$是无环l.f.g.u. monoid，则它是原…
2020-05-04 math.AC math.RA
Factorizations of the same length in abelian monoids
设$\mathcal S \subseteq \mathbb Z^m \oplus T$是一个可生成的约化幺半群.在本文中，我们开发了一个通用的策略来研究$\mathcal S$中的元素集至少有两个相同长度的因子分解，即理想的$\mathcal L_{\mathcal S}$。为此，我们使用与幺半群$\mathcal S$相关的某个（格）理想。我们的研究可以看作是对\cite{chapman:2011}的一种新的推广，它只研究数值半群的情形。当$\mathcal S$是数值半群时，我们给出了三个主要结果：（1）当$\mathcal S$由几乎等差数列极小生成时，我们显式地计算了理想$\mathcal L_{\mathcal S}$的生成元集：（2）我们给出了一个无穷族的数值半群，使得$\mathcal L_{\mathcal S}$是主理想;（3）将确定不在$\mathcal L_{\mathcal S}$中的最大整数的计算问题归类为$\mathcal{NP}$ -困难问题。
2021-01-14 math.AC math.GR
An Abstract Factorization Theorem and Some Applications
我们结合语言的幺半群与语言的前序，以完善一些基本方面的经典理论的因式分解和证明一个抽象的因式分解定理与各种应用。特别地，我们得到了一个关于“原子因子分解”的经典定理的推广，从可消到Dedekind有限（交换或非交换）幺半群，该定理可以追溯到P.M. Cohn在20世纪60年代的工作;恢复了D.D. Anderson和S. Valdes-Leon关于交换环中的“不可约因子分解”;安东尼奥和作者，在某些“集合的幺半群”自然产生的加性数论和算术组合的特点原子性;给出了一个么半群理论证明，（交换或非交换）环$R$是n个不可分解模的直和（这实际上是具有有限乘积的某些范畴的对象的更一般分解定理的特殊情况，其中不可分解的$R$ -模被刻画为合适的“模幺半群”的原子）。
2022-02-25 math.AC math.RA
Factorization in monoids by stratification of atoms and the Elliott Problem
在加法阶乘幺半群中，每个元素可以表示为不可约元（原子）的线性组合，其系数在所有自然数上唯一确定。在本文中，我们开发了一个广泛的类的非阶乘幺半群的概念分层的原子，它允许代表每个元素作为一个线性组合的原子的系数是唯一确定的限制时，以特定的方式。这个广泛的类包括内阶乘幺半群，特别是单纯仿射半群。在后一种情况下，唯一性问题与E. B.艾略特在1903年的一篇论文中写道。对于三元线性丢番图方程的所有非负解的幺半群，Elliott考虑了“简单解集”（幺半群的原子），并寻找一种方法，使“每一组只有一次”。我们表明，单纯仿射半群在两个层面的分层总是可能的，这也回答了埃利奥特的问题，他离开开放的情况下。本文中关于一般么半群的原子分层的结果也可以看作是对一个“广义Elliott问题”的回答。
2021-05-23 math.AC math.NT
On the additive structure of algebraic valuations of polynomial semirings
本文利用D。D.安德森，D。F. Anderson和M. 1990年的Zafrullah。一个可消交换么半群是原子幺半群，如果每个不可逆元素都分解为不可约元素。我们首先确定当$\mathbb{N}_0[α]$是原子的，我们给出了一个明确的描述，其不可约集。一个原子幺半群是一个有限分解幺半群（FFM），如果每个元素只有1000个分解（直到阶和相关），并且它是一个有界分解幺半群（BFM），如果对于每个元素，每个分解中的不可约数（计数重复）都有一个界。证明了对幺半群$\mathbb{N}_0[α]$，BFM的性质和FFM的性质等价于主理想上的升链条件条件（ACCP）.最后，我们给出了$\mathbb{N}_0[α]$是唯一分解么半群（UFM）的各种刻画，其中两个刻画是关于$α$的极小多项式的。同时，我们也研究了它的非线性生成、半阶乘和长度阶乘的性质。
2023-01-20 math.AC math.NT
Non-unique factorization of polynomials over residue class rings of the integers
本文研究了Z_{p^n} [x]中多项式的非唯一分解为不可约项.作为零因子包含在Jacobson根中的诺特环，Z_{p^n} [x]是原子环.我们把任意非零多项式分解为不可约项的问题归结为将首一多项式分解为一元不可约项的问题。Z_{p^n} [x]的首一多项式的乘法幺半群是Z_p[x]中对应于不可约多项式的幺半群的直和，我们证明了这些幺半群中的每一个都具有无穷弹性.此外，对于每一个正整数m，在这些幺半群中的每一个中存在2个不可约数的乘积，该乘积也可以表示为m个不可约数的乘积。
2011-03-18 math.AC math.NT
On the arithmetic of ultraproducts of commutative cancellative monoids
本文研究交换可消幺半群超乘积中元素的不可约分解，完整刻画了长度多重集，并利用超乘积技术证明分解理论若干性质非一阶可表达、构造实现任意长度多重集的整环，同时给出加法组合学定理的新证明。
2023-11-28 math.AC math.LO
