Takagi lectures on Donaldson-Thomas theory
Andrei Okounkov
这些是我的笔记2017高木讲座DT计数曲线代数三倍。我们讨论的主题，它的起源，开放的问题，和某些最近的进展的基本面。
These are the notes for my 2017 Takagi lectures on DT counts of curves in algebraic threefolds. We discuss the fundamentals of the subject, its origins, open questions, and certain recent advances.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Donaldson-Thomas invariants under blowups and flops
利用Doanldson-Thomas不变量的退化公式，我们证明了爆破点和简单触发器的公式。
Donaldson-Thomas Theory and Resolutions of Toric Transverse A-Singularities
本文证明了具有横向A-奇点的复曲面Calabi-Yau 3-orbifolds的Donaldson-Thomas不变量的可分解猜想。
Donaldson-Thomas Transformation of Grassmannian
Kontsevich和Soibelman定义了具有稳定性条件的3d Calabi-Yau范畴的Donaldson-Thomas不变量的概念。这类范畴的一系列例子可以从任意的簇中构造出来。对应的唐纳森-托马斯不变量由簇的特殊形式自同构编码，称为唐纳森-托马斯变换。用$1<m<m+1<n$修正两个整数$m$和$n$。已知位形空间$\mathrm{Conf}_n(\mathbb{P}^{m-1})$与Grassmannian $\mathrm{Gr}_m(n)$密切相关，是一个簇Poisson簇.本文确定了$\mathrm{Conf}_n(\mathbb{P}^{m-1})$的Donaldson-Thomas变换为$\mathrm{Conf}_n(\mathbb{P}^{m-1})$的一个显式定义的双有理自同构。它的变体通过双有理自同构作用于格拉斯曼。
Donaldson-Thomas theory of $[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_{n+1}]\times \mathbb{P}^1$
研究了$[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_{n+1}]\times \mathbb{P}^1$的相对轨道Donaldson-Thomas理论。我们建立了一个对应的DT理论相对于3纤维量子乘法因子的希尔伯特计划的点在$[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_{n+1}]$。如果进一步假设非简并条件，这就决定了整个理论。这一结果也可以看作是与$\mathcal{A}_n\times \mathbb{P}^1$的DT理论相对应的一种可信的分辨率。
An introduction into (motivic) Donaldson-Thomas theory
本文的目的是提供一个相当温和的介绍到唐纳森-托马斯理论使用颤抖的潜力。读者应该熟悉代数或复几何的一些基本知识。文本包含许多例子和练习，以支持理解主要概念和思想的过程。
Donaldson-Thomas Transformation of Double Bruhat Cells in General Linear Groups
Kontsevich和Soibelman定义了具有稳定性条件的三维Calabi-Yau范畴的Donaldson-Thomas不变量。任何簇都可以产生这样一个范畴的例子，其对应的唐纳森-托马斯不变量由簇的特殊形式自同构编码，称为唐纳森-托马斯变换。本文证明了Goncharov和Shen在$\mathrm{GL}_n$情形下的一个猜想，该猜想描述了双Bruhat胞$H \backslash \mathrm{GL}_n^{u,v}/H$的双商的Donaldson-Thomas变换，其中$H$是一个极大环面，它是与Fomin-Zelevinsky扭曲映射有关的一个明确的簇变换.结合Gross，Hacking，Keel和Kontsevich的工作，我们的结果证明了Fock和Goncharov在$H\backslash \mathrm{GL}_n^{u,v}/H$情形下的对偶猜想.
Remarks on mirror symmetry of Donaldson-Thomas theory for Calabi-Yau 4-folds
受Strominger-Yau-Zaslow的镜像对称假设和Kontsevich的同调镜像对称猜想的启发，我们研究了Donaldson-Thomas理论中关于Calabi-Yau 4-折叠的某些结果的镜像现象（在A模型中）.
Donaldson-Thomas Transformation of Double Bruhat Cells in Semisimple Lie Groups
Fomin和Zelevinsky研究了双Bruhat细胞$G^{u,v}$。他们提供了重要的例子集群代数和集群泊松品种。簇变种产生了具有稳定性条件的3d卡-丘范畴的例子，它们的唐纳森-托马斯不变量由Kontsevich和Soibelman定义，由簇变种上的形式自同构编码，称为唐纳森-托马斯变换。Goncharov和Shen证明了对于任何半单李群$G$，簇Poisson簇$H\backslash G^{u,v}/H$的Donaldson-Thomas变换是Fomin和Zelevinsky扭曲映射的一个微小修改.在本文中，我们证明了这个猜想，关键是使用Fock和Goncharov的集群合奏和融合建设。结合Gross，Hacking，Keel和Kontsevich的工作，我们的结果证明了Fock和Goncharov在$H\backslash G^{u,v}/H$情形下的对偶猜想.
Donaldson-Thomas invariants and wall-crossing formulas
来自多伦多菲尔兹研究所报告的注释。我们介绍了唐纳森-托马斯不变量，并描述了数值唐纳森-托马斯不变量的跨壁公式。
The flow tree formula for Donaldson-Thomas invariants of quivers with potentials
我们证明了由Alexandrov和Pioline提出的流树公式，该公式用一个较小的吸引子不变量集来计算具有势的箭图的Donaldson-Thomas不变量。这一结果是作为一个特殊的情况下，一个更一般的流树公式重建一致的散射图从其初始壁。
Local Donaldson-Thomas invariants of Blowups of surfaces
利用Donaldson-Thomas不变量的退化公式，证明了局部曲面在沿点爆破时Donaldson-Thomas不变量的变化公式。
On higher rank Donaldson-Thomas invariants
利用Joyce-Song的穿墙公式研究了Calabi-Yau 3-fold的高阶Donaldson-Thomas不变量。我们构造了其计数不变量与Donaldson-Thomas不变量相一致的箭盒。作为推论，我们证明了高阶不变量的完整性和一定的对称性。
Motivic Donaldson-Thomas invariants of toric small crepant resolutions
我们计算了复曲面Calabi-Yau 3-folds的运动Donaldson-Thomas小裂缝分辨理论。
A wall crossing formula of Donaldson-Thomas invariants without Chern-Simons functional
证明了一个不含Chern-Simons泛函的Donaldson-Thomas型不变量的过墙公式。
Donaldson-Thomas invariants via microlocal geometry
证明了Donaldson-Thomas型不变量与其模空间的加权欧拉示性数相等.特别是，这种不变量只依赖于模空间的模式结构，而不是用来定义它们的对称阻塞理论。我们还介绍了新的不变量推广Donaldson-Thomas型不变量与开放的模空间的模问题。这些对于计算分层上的Donaldson-Thomas类型不变量是有用的。
The local Donaldson-Thomas theory of curves
局部Donaldson-Thomas曲线理论是用局部化和退化方法求解的。结果完成了一个三角形的等价关系格罗莫夫-威滕理论，唐纳森-托马斯理论，和量子上同调的希尔伯特计划的点的平面。希尔伯特平面点的量子微分方程在局部唐纳森-托马斯曲线理论中有一个自然的解释。该解确定单腿等变顶点。
Wall-crossing of the motivic Donaldson-Thomas invariants
我们研究了在Bewild-Bryan-Szendroi意义下的Motivic Donaldson-Thomas不变量。证明了一类带势箭图在突变下的过壁公式。
Evidence for the Gromov-Witten/Donaldson-Thomas Correspondence
研究了曲线上$\mathbf{P}^2$ -丛的等变Gromov-Witten和Donaldson-Thomas理论.我们证明了等变GW/DT对应对于某些曲线类是一阶的
Super-rigid Donaldson-Thomas invariants
我们解决了Calabi-Yau的Donaldson-Thomas理论中由超刚性有理曲线引起的部分。作为应用，我们证明了超刚性有理曲线的Gromov-Witten/Donaldson-Thomas对应.特别是，我们证明了完整的GW/DT对应的五次三倍的度1和2。
The Gromov-Witten and Donaldson-Thomas correspondence for trivial elliptic fibrations
本文研究了文献[MNOP 1，MNOP 2]中关于平凡椭圆纤维化的Gromov-Witten和Donaldson-Thomas对应.特别地，我们证明了当三重为$E \times S$时，准素场的Gromov-Witten和Donaldson-Thomas对应，其中$E$是光滑椭圆曲线，$S$是具有数值平凡正则类的光滑曲面.
Donaldson-Thomas invariants of Calabi-Yau orbifolds under flops
研究了Calabi-Yau三重Deligne-Mumford栈在触发器下的Donaldson-Thomas型不变量.称两个光滑Calabi-Yau三重Deligne-Mumford栈之间的折双有理态射为轨道翻转，如果翻转轨迹是加权投影线与循环群作用的商.我们证明了Donaldson-Thomas不变量在orbifold flops下保持不变。
Gromov-Witten theory and Donaldson-Thomas theory, II
我们讨论了绝对和相对两种情况下3重的GW/DT对应。证明了Gromov-Witten理论中的子标等价于Donaldson-Thomas理论中万有层的Chern特征标。Gromov-Witten理论中的相对约束在Donaldson-Thomas理论中对应于相对因子点的Hilbert格式的上同调类。独立的结构框架，我们证明度0复曲面品种的绝对和相对Donaldson-Thomas理论的公式。
Zero dimensional Donaldson-Thomas invariants of threefolds
本文利用同伦方法证明了Maulik，Nekrasov，Okounkov和Pandharipande关于光滑复三重的零维Donaldson-Thomas不变量的一个猜想.
Defects in Cohomological Gauge Theory and Donaldson-Thomas Invariants
卡-丘上的唐纳森-托马斯理论可以用某种六维上同调规范理论来描述。我们在这个规范理论中引入了一类缺陷，它把表面缺陷推广到四维空间。这些缺陷与因子有关，并通过为规范场规定某些边界条件来定义。我们讨论了广义瞬子模空间的理论定义与缺陷，并提出了一个推广的Donaldson-Thomas不变量。这些不变量产生的研究扭转自由相干层的卡-丘品种具有一定的抛物线结构沿除数，确定的缺陷。我们讨论的情况下，仿射空间作为一个具体的例子。在这种情况下，抛物层的模空间可以用某个层的表示论来描述。后者可用于通过等变局部化显式地计算不变量。我们也简要地讨论了我们的工作扩展到其他高维场论。
Donaldson-Thomas invariants of certain Calabi-Yau 3-folds
我们计算了两类Calabi-Yau 3-folds的Donaldson-Thomas不变量。这些不变量与秩为2的Gieseker半稳定层的模空间相关联。没有一个层是局部自由的，它们的二重层是局部自由的稳定层，这些层分别由Donaldson和Thomas，Li和Qin研究过。我们证明了这些Gieseker模空间同构于某些Quot-方案。证明了环面作用存在正维不动点集时Behrend函数的一个公式，并利用它得到了相应的Donaldson-Thomas不变量关于McMahon函数的生成级数.我们的研究结果可能对Donaldson-Thomas不变量的越壁现象有一定的启示。
Donaldson-Thomas invariants for complexes on abelian threefolds
本文将标准的完备复形模空间的完备对称阻塞理论推广到具有固定行列式和Fourier-Mukai行列式的阿贝尔三重复形的情形。作为结果，我们附加非平凡的Donaldson-Thomas不变量的模空间复模扭转和平移。
Generalized Donaldson-Thomas invariants on the local projective plane
证明了在不定格上，局部射影平面上任意正秩的广义Donaldson-Thomas不变量的生成列可用模形式和θ型级数描述.特别地，它绝对收敛于给出上半平面上的一个全纯函数。
On Donaldson-Thomas invariants of threefold stacks and gerbes
我们提出了一个三维投影Calabi-Yau Deligne-Mumford栈的Donaldson-Thomas不变量的构造。我们还研究了这些不变量的结构etale gerbes在这样的堆栈。
Donaldson-Thomas invariants of $[\mathbb C^4/\mathbb Z_r]$
本文通过 orbifold 类比的退化公式和 Hilbert 方案的方向确定，计算了商栈 $[\mathbb C^4/\mathbb Z_r]$ 的零维 Donaldson-Thomas 不变量，并验证了 Cao-Kool-Monavari 的猜想。
Degenerate Cohomological Hall algebra and quantized Donaldson-Thomas invariants for m-loop quivers
我们推导出一个组合公式的量子化唐纳森-托马斯不变量的m-循环的。我们的主要工具是组合的非交换希尔伯特计划和退化版本的上同调霍尔代数的这一点。
Reduced Donaldson-Thomas invariants and the ring of dual numbers
设$A$是一个阿贝尔簇.引入了$A$ -等变Grothendieck环和$A$ -等变Motivic Hall代数，并赋予它们到对偶数环的自然积分映射.建设允许减少唐纳森-托马斯不变量的霍尔代数技术的系统治疗。我们计算了$\mathrm{K3} \times E$的简化Donaldson-Thomas不变量和几种非原始曲线类的阿贝尔三重不变量。这验证了Oberdieck-Pandharipande和Bryan-Oberdieck-Pandharipande-Yin的多重覆盖公式（在特殊情况下）。
Donaldson-Thomas invariants of symmetric quivers
回顾对称箭图的动机唐纳森 - 托马斯不变量的代数、组合和几何解释
Relative Donaldson-Thomas theory for Calabi-Yau 4-folds
给定一个复杂的4重$X$与一个（Calabi-Yau 3重）反典范除子$Y$，我们研究了这对的相对Donaldson-Thomas不变量，这是$Y$的Donaldson-Thomas上同调中的元素。我们还讨论了Calabi-Yau 4-folds的相对不变式和$DT_{4}$不变量的胶合公式。
The motivic Donaldson-Thomas invariants of (-2) curves
本文用极小模型程序计算了由三次翻转收缩产生的（-2）-曲线的运动Donaldson-Thomas不变量。我们将这种几何情况转化为Kontsevich和Soibelman开发的机器，并使用作者以前开发的结果和框架，我们描述了这些不变量的单值性。特别是，在对比所有现有的已知的唐纳森-托马斯不变量的小决议Gorenstein奇点这些monodromy行动是不平凡的。
Wall-crossing structures in Donaldson-Thomas invariants, integrable systems and Mirror Symmetry
我们引入了跨壁结构的概念，并在复可积系统、Donaldson-Thomas不变量和镜像对称等几个例子中讨论了它。对于一类大的非紧Calabi-Yau 3-folds，我们构造了以这些3-folds的形变的模空间为基的Hitchin型复可积系统.这样的Calabi-Yau 3-fold的Kazaya范畴的Donaldson-Thomas不变量又可以用两种方式来描述：用相应复可积系统的吸引子流来描述，用可积系统的全空间的镜像对偶的骨架来描述。本文还讨论了与本课题有关的一些材料，如具有非规则奇点的Hitchin系统的Betti模型，依赖于小参数的联络的WKB渐近性，紧Calabi-Yau 3-fold的复结构模空间中的吸引子点，与簇簇的关系等。
Donaldson-Thomas theory of quantum Fermat quintic threefolds II
本文是作者以前工作arXiv：1911.07949的继续，在那里我们定义了量子费马的三重Donaldson-Thomas不变量。在本文中，我们研究一般量子费马三倍。我们给出了明确的局部模型的希尔伯特计划的点作为颤抖与潜在的，并计算零度Donaldson-Thomas不变量。结果表示在某些有色平面分区。
Donaldson-Thomas theory for Calabi-Yau four-folds
设$X$是一个复四维紧致Calabi-Yau流形，它具有一个Kähler形式$ω$和一个全纯四形式$Ω$ .在一定的假设下，通过研究Donaldson-Thomas方程在给定的Calabi-Yau流形上的解的模空间，定义了Donaldson-Thomas型形变不变量.我们还研究了局部Calabi-Yau四重上的层计数。我们将$K_{Y}$上的层计数与相应的紧三重$Y$的Donaldson-Thomas不变量联系起来。在一些非常特殊的情况下，我们证明了$X$的DT/GW对应。最后，当模空间光滑时，我们计算了某些Calabi-Yau四重的Donaldson-Thomas不变量.
K-theoretic Donaldson-Thomas theory and the Hilbert scheme of points on a surface
曲面上点的希尔伯特格式上重言层的特征类的积分经常出现在计数问题中。我们使用K理论的Donaldson-Thomas理论的某些复曲面卡-丘三倍，研究K理论的变种，这样的表达式。研究了复曲面Calabi-Yau三重曲面的K-理论Donaldson-Thomas分拆函数在某些称为斜率的单参数子群下的极限，并给出了两个极限重合的条件.然后，我们显式地计算极限的分拆函数组件下所谓的首选斜率，获得明确的组合表达式有关的改进拓扑顶点的伊克巴尔，Kosçaz和Vafa。将这些结果应用于具体的Calabi-Yau三重性，我们推导出了由$\mathbb{C}^2$上的点的Hilbert方案上的重言式丛建立的生成函数所满足的对偶性。然后利用这种对偶性研究了一般曲面上点的Hilbert格式上重言丛的外幂和对称幂的全纯欧拉示性数。
On certain moduli spaces of ideal sheaves and Donaldson-Thomas invariants
本文推广了第一作者的一个结果，确定了理想层的某些模空间的结构。作为应用，我们计算了这些模空间的（虚）Hodge多项式，并计算了具有平凡标准类的某些3-重的Donaldson-Thomas不变量.
Motivic Donaldson-Thomas invariants and Kac conjecture
本文从对称箭图的Donaldson-Thomas不变量的正性导出了一些组合结果，这些不变量是由Kontsevich和Soibelman提出并由Efimov证明的。这些结果被用来证明Kac猜想的箭图至少有一个回路在每个顶点。
Motivic Donaldson-Thomas invariants and McKay correspondence
设$G\subset SL_2(C)\subset SL_3(C)$是一个有限群.我们计算了$C^3/G$的crepant分辨率$Hilb^G(C^3)$的motivic Pandharipande-Thomas和Donaldson-Thomas不变量，推广了Gholampour和Jiang使用局部化技术计算数值DT/PT不变量的结果。我们的公式依赖于计算motivic唐纳森-托马斯不变量的一类特殊的箭与潜力。我们表明，这些motivic Donaldson-Thomas不变量是密切相关的多项式计数绝对不可分解的表示在有限域的Kac。我们制定了一个猜想的积极性唐纳森-托马斯不变量的广泛类颤抖的潜力。这个猜想，如果真的，意味着卡茨积极性猜想任意颤动。
F-Polynomials of Donaldson-Thomas Transformations
$F$ -多项式是对簇代数内的簇变量的突变进行编码的整数系数多项式。在这篇文章中，我们研究了$F$ -多项式与唐纳森-托马斯变换对集群变量的作用。对于非循环箭图，箭图的表面类型，箭图与三元组的标志，我们给出了明确的描述，他们的唐纳森-托马斯$F$ -多项式的生成函数的理想内的一个标签偏序集。我们还描述了修改这些标记偏序集，以获得唐纳森-托马斯$F$ -多项式的充分subquiver和三角扩展所需的组合过程。
Gromov-Witten/Donaldson-Thomas correspondence for toric 3-folds
证明了具有准素插入的非奇环面3重X的等变Gromov-Witten理论等价于X的等变Donaldson-Thomas理论。作为推论，Agangic，Klemm，Marino和Vafa的局部Calabi-Yau复曲面3-折叠的Gromov-Witten理论的拓扑顶点计算在全3-腿设置下被证明是正确的。
Donaldson-Thomas invariants for 3-Calabi-Yau varieties of dihedral quotient type
利用双维约化和仿射型D箭图的表示论，利用仿射型D根系计算了偶二面体群对仿射三维空间的导数的可分解的运动Donaldson-Thomas不变量.
Relative Orbifold Donaldson-Thomas Theory and the Degeneration Formula
我们推广的概念，扩大退化和对一个简单的退化或光滑对光滑的Deligne-Mumford堆栈的情况下。然后，我们定义了扩展退化和扩展对的分类栈上的稳定子，并证明了它们的模的适当性。在3维光滑投影DM堆栈上，这导致了相对Donaldson-Thomas不变量的定义和相关的退化公式。
On the motivic Donaldson-Thomas invariants of quivers with potentials
我们研究motivic唐纳森-托马斯不变量的一类颤抖的潜力使用的战略Behrend，布赖恩，和Szendroi。这一类包括由相容膜镶嵌产生的具有势的箭图和具有零势的箭图。我们的构造是Kontsevich和Soibelman构造的一种替代。我们构造了一个从等变Hall代数到量子环面的积分映射，并证明了我们的原动机Donaldson-Thomas不变量是等变Hall代数中自然元素的像.我们证明了积分映射是一个代数同态，并利用这一事实证明了运动Donaldson-Thomas不变量的Harder-Narasimhan关系。
Naive motivic Donaldson-Thomas type Hirzebruch classes and some problems
Donaldson-Thomas不变量被表示为所谓的Behrend（可构造）函数的加权欧拉示性数。在\cite{Behrend} Behrend介绍了DT型不变的态射。出于这个不变的动机，我们扩展的动机Hirzebruch类天真的唐纳森-托马斯型类似物。我们还从双变元理论的角度讨论了态射的DT型不变量的分类，并提出了一些有待进一步研究的问题。
Riemann-Hilbert problems from Donaldson-Thomas theory
研究了Donaldson-Thomas理论中自然产生的一类黎曼-希尔伯特问题.在某些特殊情况下，我们表明，这些问题有唯一的解决方案，可以明确地写为产品的Γ函数。我们简要解释与Gromov-Witten理论和精确WKB分析的联系。
Gromov-Witten theory and Donaldson-Thomas theory, I
我们猜想Gromov-Witten三重理论与Donaldson-Thomas的全纯Chern-Simons理论是等价的。对于Calabi-Yau 3-folds，等价性定义为变量的变量变换exp（iu）=-q，其中u是GW理论的亏格参数，q是DT理论的电荷参数.证明了局部Calabi-Yau复曲面的猜想。
Instantons and multibananas: Relating elliptic genus and cohomological Donaldson-Thomas theory
本文利用Descombes双曲局部化公式计算局部多香蕉三维流形的上同调Donaldson-Thomas理论，证明其结果由带标架瞬子层模空间的椭圆亏格精确给出，并推导了无穷楔空间迹公式。
Gromov-Witten, Gopakumar-Vafa, and Donaldson-Thomas invariants of Calabi-Yau threefolds
比较了Calabi-Yau三重不变量的Gromov-Witten、Gopakumar-Vafa和Donaldson-Thomas不变量。在某些情况下，唐纳森-托马斯不变量非常容易处理，有时比其他不变量更容易。这一点是说明在几个方面，特别是通过重新计算Gopakumar-Vafa不变量的卡茨，Klemm，和Vafa在一个严格的数学框架。这篇笔记是基于我在2004年Snowbird弦几何会议上的演讲。
Cohomology of quiver moduli, functional equations, and integrality of Donaldson-Thomas type invariants
导出了一组函数方程，它将箭图稳定表示的模空间的欧拉示性数与箭图模的（Hilbert格式型）框架形式的欧拉示性数联系起来。这适用于M的Donaldson-Thomas型不变量的跨壁公式。Kontsevich和Y. Soibelman，特别是确认其完整性。
Categorification of Donaldson-Thomas invariants by Perverse Sheaves
证明了光滑投射Calabi-Yau 3-fold上半稳定层的模空间上存在一个自然反常层，它是局部Chern-Simons泛函的局部零圈反常层.这给出了一个上同调理论，它的欧拉数是唐纳森-托马斯不变量。
Donaldson-Thomas theory and cluster algebras
给出了突变复合下非交换Donaldson-Thomas不变量的变换公式。因此，我们得到了一个组合的集群变换的描述，在Grassmannian。作为应用，我们给出了Fomin-Zelevinsky关于$F$ -多项式和$g$ -向量的猜想的另一种证明。
Donaldson-Thomas invariants versus intersection cohomology of quiver moduli
本文的主要结果是：零位势和一般稳定性条件下的稳定轨迹的Hodge理论Donaldson-Thomas不变量，与半稳定性表示的粗模空间内的稳定轨迹的闭包的紧支交上同调一致。事实上，我们证明了一个更强大的结果有关的唐纳森-托马斯“功能”的交叉复杂。我们的主要结果的证明依赖于Donaldson-Thomas理论中完整性猜想的一个相对版本。这将是本文第二部分的主题，其中相对完整性猜想将在motivic上下文中得到证明。
Geometry from Donaldson-Thomas invariants
我们引入了三维Calabi-Yau范畴的稳定性条件空间上的几何结构，该空间编码了范畴的Donaldson-Thomas不变量。我们详细解释了这些结构，我们称之为乔伊斯结构，和弗罗贝纽斯结构之间的密切类比。在本文的后半部分，我们给出了明确的计算乔伊斯结构的三个有趣的例子。
On logarithmic Donaldson-Thomas invariants for local Calabi-Yau $4$-folds
本文研究局部对数Calabi-Yau 4-折叠的对数DT不变量，构造相对与族理论并证明退化公式，结合对数配边显式计算零维不变量。
A flop formula for Donaldson-Thomas invariants
设$X$和$X'$是由$(-2)$ -曲线的不相交并的翻转相关的非奇异投影$3$ -折叠.我们证明了一个将$X$的Donaldson-Thomas不变量与$X'$的Donaldson-Thomas不变量联系起来的翻转公式，它暗示了BPS状态计数之间的一些简单关系。作为一个应用程序，我们表明，如果$X$满足GW/DT对应的主要插入和点类的后代，那么$X'$。我们还提出了一个一般触发器的理论触发器公式。
Motivic Donaldson-Thomas invariants: summary of results
这是我们论文arXiv：0811.2435的主要结果的简短总结，其中引入了motivic Donaldson-Thomas不变量的概念。它还包含对loc.cit.中一些开放性问题的讨论，特别是与分裂吸引子流相关的几何形状。
Unweighted Donaldson-Thomas theory of the banana 3-fold with section classes
我们进一步研究了Donaldson-Thomas的香蕉三折理论，该理论是最近在[Bryan'19]中发现和研究的。这些都是光滑的适当的卡-丘三倍，这是由阿贝尔曲面包围，使奇异纤维的奇异轨迹是一个非正常的复曲面曲线称为“香蕉配置”。在[Bryan'19]中，计算了香蕉构型生成的秩3子晶格的Donaldson-Thomas分拆函数。在这篇文章中，我们提供了一个视图的秩4子格产生的一节和香蕉配置的计算。我们的研究结果与Pandharipande-托马斯理论的合理椭圆曲面和香蕉三倍提出新的Gopakumar-Vafa不变量。
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