Simultaneously preperiodic integers for quadratic polynomials
本文研究了二次多项式$f_{c}(z) = z^{2} +c$的参数集$c \in \mathbb{C}$，使得两个给定的复数$a$和$b$同时是预周期的.结合复解析和算术论证，Baker和DeMarco证明了这组参数是无限的当且仅当$a^{2} = b^{2}$。最近，Buff回答了他们的一个问题，证明了$0$和$1$都是$f_{c}$的预周期的参数集$c \in \mathbb{C}$等于$\lbrace -2, -1, 0 \rbrace$。按照他的方法，我们完成了这些集的描述时，$a$和$b$是两个给定的整数与$\lvert a \rvert \neq \lvert b \rvert$。
2019-06-11 math.DS
Dynamical modular curves for quadratic polynomial maps
受Morton和Silverman的动力学一致有界性猜想的启发，特别是在二次多项式的情况下，我们给出了经典模曲线的一类动力学模拟的形式构造.二次多项式映射的预周期点可以被赋予满足一定严格条件的有向图的结构，我们称这样的图为容许图。给定一个可接受的图$G$，我们构造一条曲线$X_1(G)$，其点参数化二次多项式映射-其中，直到等价，形成一个单参数家庭-连同一个集合的标记preperiodic点，形成一个图同构到$G$。在Bousch和Morton工作的基础上，我们证明了这些曲线在特征零点是不可约的，并给出了不可约性在数域中的一个应用。最后，我们讨论了与二次多项式的前周期点相关的伽罗瓦论，包括在这种情况下自然产生的某种伽罗瓦表示。
2017-07-07 math.AG math.DS math.NT
Subdivision rule constructions on critically preperiodic quadratic matings
配对是识别多项式对的域以便在所得商空间上获得新映射的操作。交配的动力学则取决于两个多项式和商空间的定义方式，这可能很难可视化。本研究以Hubbard树与有限剖分法则为工具，探讨具有预周期临界点的二次配对。在许多情况下，这种二次对的离散参数信息可以转化为它们交配动态的拓扑信息。在这项工作中的中心定理提供的方法，明确构建细分规则，非双曲配对模型。下面我们将介绍几个例子，并与当前的文献进行联系。
2016-01-26 math.DS
Preperiodic points for quadratic polynomials with small cycles over quadratic fields
给定数域$K$和多项式$f(z) \in K[z]$，可以自然地构造一个有限有向图$G(f,K)$，其顶点是$f$的$K$ -有理预周期点，有边$α\to β$当且仅当$f(α) = β$ . Morton和Silverman的动力学一致有界性猜想表明，对于固定整数$n \ge 1$和$d \ge 2$，有向图$G(f,K)$的同构类只有1000个，因为一个图的范围覆盖了所有次数为$n$的数域$K$和次数为$d$的多项式$f(z) \in K[z]$.在$(n,d) = (1,2)$的情况下，Poonen给出了所有有向图的完全分类，这些有向图对于某些二次多项式$f(z) \in \mathbb{Q}[z]$可以实现为$G(f,\mathbb{Q})$，假设$f$不允许大周期的有理点。本文的目的是继续作者Faber和Krumm在$(n,d) = (2,2)$案件中开始的工作。通过将前一篇文章的结果与一些新的结果相结合，我们得出了一个类似Poonen定理的部分结果-在大周期的点上有类似的假设-但在$\mathbb{Q}$的所有二次扩展上。
2017-07-10 math.DS math.NT
Preperiodicity and systematic extraction of periodic orbits of the quadratic map
二次映射的迭代产生多项式序列，其次数{ \sl explode}随着轨道周期越来越大。混合所有335个周期为12的轨道的多项式具有次数$4020$，而对于$52,377$周期为20的轨道，次数已经上升到$1,047,540$。在这里，我们展示了如何使用预周期点系统地提取精确的运动方程，一个接一个，而不需要迭代。精确的轨道方程提供了有价值的洞察力的算术结构和嵌套性质的塔代数数定义的轨道点和分支级联的地图。
2020-10-07 math.DS nlin.CD
Small dynamical heights for quadratic polynomials and rational functions
设$f \in Q(z)$为二次多项式或有理函数。Morton和Silverman的动力一致有界猜想的一个特例是$f$的有理预周期点的个数被一个绝对常数上界。Silverman的一个相关猜想指出，非预周期有理点$x$的规范高度$\hat{h}_f(x)$的下界是$f$本身高度的均匀倍数。我们提供支持，通过计算一组的preperiodic和小的高度有理点为一组度2的地图远远超出了以前的搜索范围，这些approachtures。
2015-01-01 math.DS math.NT
Quadratic rational functions with a rational periodic critical point of period 3
本文给出了定义在周期为3的有理周期临界点的有理数上的二次有理函数的有理预周期点的可能图的一个完整的分类，其中有两个假设：这些函数没有周期至少为5的周期点，以及在某亏格为6的仿射平面曲线上的点的枚举.我们证明了恰好有六个这样的可能图，并且满足上述条件的有理函数最多有十一个有理预周期点。
2017-11-16 math.DS math.NT
Preperiodic points of polynomials over global fields
给定一个整体域K和一个定义在K上的至少二次多项式f，Morton和Silverman在1994年证明了f的K-有理预周期点的个数仅根据K的次数和f的次数有界。1997年，对于K=Q上的二次多项式，Call和Goldstine证明了f的坏约化素数个数s的指数界.通过对每个素数上的满朱利亚集的分析，给出了一个改进的slog（s）阶的界.我们的界适用于任何整体域K上的任何次数（至少为2次）的多项式。
2005-06-23 math.DS math.NT
Quadratic points on dynamical modular curves
在所有与二次多项式映射相关的动力模曲线中，我们确定了哪些曲线具有无穷多个二次点。这产生了一个分类声明的preperiodic点的二次多项式在二次域，扩展以前的工作Poonen，费伯，和作者。
2023-01-23 math.AG math.DS math.NT
Distribution of preperiodic points in one-parameter families of rational maps
针对数域$K$上的有理映射单参数族$f_t$，证明了除自然密度零集外的$t$对应的$K$-有理预周期点是$f$的$K(T)$-有理预周期点的特殊化，假设弱一致有界性猜想计算了平均预周期点数，并以二次族为例给出新估计。
2025-08-20 math.DS math.NT
Entire maps with rational preperiodic points and multipliers
本文证明了对于非实数域的数域，存在预周期点和乘数均位于其中的整映射稠密集，并发现了一个乘数全为有理数且不共轭于仿射映射的逃逸类二次映射。
2025-01-15 math.DS
Rational maps with a preperiodic critical point
本文证明了具有预周期$k\geq 1$的三次多项式的共轭类的集合是一条不可约的代数曲线，该共轭类具有一个前缀临界点.对于二次有理映射，我们也建立了一个类似的结果。然后，我们研究了一个密切相关的问题，关于不可约（$\mathbb Q$）的一组共轭类的单临界多项式，度$D\geq 2$，与preperiodic临界点。我们的证明是纯代数的。
2018-12-31 math.DS
Quadratic maps with a periodic critical point of period 2
我们提供了一个完整的分类可能的图的有理预周期点的自同态的投影线的度2定义在有理数与周期2的有理周期临界点，假设这些地图没有周期点的周期至少为7。我们解释如何扩展Poonen的结果二次多项式。我们发现，有13个可能的图，这样的地图有最多9个合理的preperiodic点。我们提供的数据与类似的分类图的自同态度2与合理的周期临界点的周期3或4。
2015-12-15 math.DS math.NT
Cubic points on dynamical modular curves
Oklahoma State University（俄克拉荷马州立大学）；University of Washington（华盛顿大学）
本文针对与二次多项式映射关联的动力模曲线族，判定含无穷多三次点的曲线类型，据此给出三次域上二次多项式预周期点的分类结论，拓展了相关已有研究成果。
2025-11-14 math.AG math.DS math.NT
Quadratic matings and ray connections
拓扑配对是通过将两个二次多项式的填充朱利亚集粘合在一起而定义的映射。的标识可视化和理解捏射线等价类的正式交配。对于Mandelbrot集的非共轭分支上的后临界有限多项式，经典的结果从形式配对构造出几何配对。在这里家庭的例子进行了讨论，使所有的射线等价类是一致有界的树。从而在几何有限和无限情况下直接得到拓扑配对。另一方面，重整化提供了无界循环射线连接的例子，使得拓扑配对不是在T2空间上定义的。当至少有一个多项式是预周期的时，有一种替代的交配构造：将另一个多项式的无穷大临界值移动到预周期点。以同伦射线为例，它给出了共享配对的简单例子。在Chebychev族和Airplane配对中得到了具有无界共享重数和缓慢增长的前周期和周期的序列。利用两个临界轨道之间的识别的预周期多项式，交配不连续的一个例子，以及描述。
2017-07-03 math.DS
On quadratic periodic points of quadratic polynomials
有理系数二次多项式的预周期点个数的界是算术动力学中一致有界猜想的一种情形。在这里，我们提供了一个一般的框架，可以减少寻找周期点，这样的多项式在伽罗瓦扩展$\mathbb{Q}$找到周期点的有理数。此外，我们提出的证据表明，有没有这样的多项式（线性共轭）与周期点的确切周期5在二次域通过搜索点的代数曲线，分类二次周期点的确切周期5，并建议应用的方法Chabauty和科尔曼进一步的进展。
2015-04-16 math.DS math.NT
Scarcity of finite orbits for rational functions over a number field
设$ϕ$是定义在数域$K$上的射影直线的度为$d\geq{2}$的自同态.令$S$是$K$的有限位置集，包括阿基米德位置，使得$ϕ$在$S$之外具有好约化。本文给出了两个主要结果：第一个结果是关于$ϕ$的$K$ -有理预周期点的个数的一个界，它是由集合$S$的基数和自同态$ϕ$的度$d$决定的.这个界限是二次的$d$，这是一个显着的改进，所有以前的界限上的次数$d$的预周期点的数量。对于第二个结果，如果我们假设存在周期至少为2的$K$ -有理周期点，则存在关于$ϕ$的$K$ -有理预周期点的数目的界，该界关于次数$d$是线性的。
2017-11-09 math.DS math.NT
Moduli spaces of quadratic rational maps with a marked periodic point of small order
研究了具有$n$阶标记周期点的$\mathbb{P}^1$的二次自同态的模空间所对应的曲面.证明了当$n\le 5$时，曲面在$\mathbb{Q}$上是有理的，而当$n=6$时，曲面是一般型的.一个明确的描述的$n=6$表面，让我们找到几个无限家庭的二次自同态$f: \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$定义在$\mathbb{Q}$与一个合理的周期点的顺序$6$。在其中一个族中，$f$也有一个有理不动点，总共至少有$7$周期点和$7$预周期点。这与多项式的情况相反，在多项式的情况下，证明了在$\mathbb{Q}$上定义的多项式自同态不允许$n>3$阶的有理周期点。
2014-05-05 math.AG math.DS math.NT
Julia sets with a wandering branching point
根据Thurston无游荡三角形定理，局部连通二次朱利亚集的分支点要么是预周期的，要么是预临界的。Blokh和Oversteegen证明了这个定理对于高次朱利亚集不成立：存在三次多项式，其朱利亚集是一个局部连通的枝晶，其分支点既不是预周期的也不是预临界的。在这篇文章中，我们重新证明了这一结果，构造这样的三次多项式作为极限的三次多项式，其中一个临界点最终映射到另一个临界点，最终映射到一个排斥不动点。
2018-03-07 math.DS
On the number of quadratic polynomials with a given portrait
本研究在Morton-Silverman猜想下，针对数域上的二次多项式，给出了按高度计数具有指定有理预周期点画像的参数c的渐近公式，并将结果推广至二次扩域情形。
2024-10-04 math.AG math.DS math.NT
Uniform bounds for pre-periodic points in families of twists
设φ是定义在数域K上的射影N-空间的态射。我们证明了存在一个仅依赖于φ的界B，使得φ的每一个扭曲都不超过B K-有理预周期点。(This结果与Silverman关于阿贝尔簇的结果类似。对于Q上的两个特殊的二次有理映射族，我们明确地找到了B的界。
2012-05-08 math.DS math.NT
On $k$-free numbers in cyclotomic fields: entropy, symmetries and topological invariants
本研究将二次域上的$k$-无幂数相关动力系统研究拓展至分圆域，探讨其熵与扩展对称性，揭示动力学与数论概念的相互作用，丰富了数论点集的拓扑动力系统研究。
2025-04-17 math.DS math.NT
Iterated monodromy groups of rational functions and periodic points over finite fields
设$q$是有限域$\mathbb{F}_q$中的素幂，$ϕ$是有限域中的有理函数.对于$n \geq 1$，$\mathbb{P}^1(\F_{q^n})$的每个元素在$ϕ$的迭代下是周期的或严格预周期的。用$a_n$表示周期元素的比例。关于$a_n$如何随着$n$的增长而变化，我们知之甚少，除非$ϕ$是幂映射或切比雪夫多项式。我们给这个问题的第一个结果更广泛的一类有理函数：$a_n$有liminf $0$时，$q$是奇数和$ϕ$是二次和既不拉泰斯也不共轭的单参数家庭的例外地图。当$ϕ$是具有严格预周期有限临界点的非Chebyshev二次多项式，且$q$是奇方时，证明了$a_n$有极限$0$.我们的方法产生额外的结果周期点减少后临界有限（PCF）有理函数定义在数域。一般来说，理解$a_n$的困难在于$\mathbb{P}^1(\F_{q^n})$是一个没有环境几何的有限集。事实上，$ϕ$可以提升到一个PCF的有理映射的黎曼球面上，我们表明，$a_n$是由计数元素的迭代monodromy组（IMG）的作用与不动点的树的所有级别的原像。利用鞅收敛定理，我们将问题转化为确定是否存在某些IMG元素。这反过来又可以决定性地解决使用的PCF合理的地图在orbifold度量的扩展。
2022-03-03 math.DS math.NT
Dynamics of quadratic polynomials and rational points on a curve of genus $4$
本文在Flynn-Poonen-Schaefer猜想下，通过确定亏格4曲线上的有理点，证明二次多项式族中预周期点的有理参数集合大小的一致界，并给出Jacobian秩为1的解析与代数证明及强BSD猜想的数值验证。
2022-06-24 math.AG math.DS math.NT
On the scaling ratios for Siegel disks
研究了具有无理无差别不动点且旋转数为预周期连分数展开的二次多项式的Siegel圆盘的边界在一定尺度下的自相似性.已知二次多项式的动力学对Siegel圆盘边界的限制是与具有相同旋转数的刚性旋转准对称共轭的。这种自相似性的几何对于一大类全纯映射是普适的。在文献中已经提出了这种普遍性的重整化解释。在本文中，我们提供了一个估计的准对称常数的共轭性，并使用它来证明的范围上的缩放比$λ$的形式$$α^γ\le |λ| \le C δ^s,$$其中$s$是连分数的周期，和$α\in (0,1)$取决于旋转数在一个显式的方式，而$C>1$，$δ\in (0,1)$和$γ\in (0,1)$仅取决于最大的整数在连分数展开的旋转数。
2014-10-10 math.DS
The Thurston Algorithm for quadratic matings
交配是从两个多项式构造有理映射f的操作，这两个多项式不在Mandelbrot集的共轭分支中。在后临界识别的情况下，当迭代用于未修改的正式交配的Thurston算法时，由于标记点碰撞，它将发散到Teichmüller空间的边界。这里证明了碰撞点收敛到f的后临界点，并且相关的有理映射序列也收敛到f，除非f的轨道是（2，2，2，2）型。因此，为了计算f，不需要对修改的交配的后临界射线等价类的拓扑进行编码，但是实现正式交配的拉回映射就足够了。该证明结合了Selinger扩展到增广Teichmüller空间与局部估计。此外，Thurston算法是通过在模空间中拉回一条路径来实现的。这种方法是由于巴托尔迪-Nekrasevych在有关一维模空间地图，并Buff-Chéritat缓慢交配。这里它表明，缓慢交配是等效的瑟斯顿算法的正式交配。初始化的路径获得排斥preperiodic捕获以及，这提供了一种替代的建设交配。
2017-06-13 math.DS
