Rational maps with a preperiodic critical point
本文证明了具有预周期$k\geq 1$的三次多项式的共轭类的集合是一条不可约的代数曲线，该共轭类具有一个前缀临界点.对于二次有理映射，我们也建立了一个类似的结果。然后，我们研究了一个密切相关的问题，关于不可约（$\mathbb Q$）的一组共轭类的单临界多项式，度$D\geq 2$，与preperiodic临界点。我们的证明是纯代数的。
2018-12-31 math.DS
On Poonen's Conjecture Concerning Rational Preperiodic Points of Quadratic Maps
本文的目的是给出Poonen，Morton和Silverman关于二次多项式迭代下有理数的周期的证明.特别是，Poonen指出，有最多9个周期点定义的有理数的任何地图的家庭x^2 + c的c合理。我们在c值高达10^8的情况下验证了这一猜想。对于二次数域，我们证明了Q-有理数周期点的精确周期上界为6。
2010-04-13 math.DS math.NT
Rational Preperiodic Points of Quadratic Rational Maps over $\mathbb{Q}$ with Nonabelian Automorphism Groups
Faculty of Engineering；Natural Sciences, Sabanc University, Tuzla, \. I stanbul, 34956 Turkey；Natural Sciences, Sabanc University, Tuzla, \. I stanbul, 34956 Türkiye
本文研究二次有理映射在有理数域上非交换自同构群下的有理数周期点问题，证明了不存在周期N≥4的有理数周期点，并给出了周期1、2、3的参数化结果，同时证明了预周期点数量不超过6，最终分类出5种预周期点图谱。
2026-10-30 math.DS math.NT
Common preperiodic points for quadratic polynomials
设$f_c(z) = z^2+c$为$c \in \mathbb{C}$。我们证明了在$\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$中存在一个统一的点的数目上的界，该界对于$f_{c_1}$和$f_{c_2}$都可以是预周期的，其中$c_1\not= c_2$在$\mathbb{C}$中。证明结合算术成分与复分析，我们估计一个adelic能量配对时，参数位于$\bar{\mathbb{Q}}$，建立在定量算术等分布定理的Favre和Rivera-Letelier，我们使用失真定理在复分析控制不同的朱利亚集的交集的大小。证明是有效的，我们为每个结果提供了显式常数。
2021-11-28 math.DS math.NT
Preperiodic points for quadratic polynomials with small cycles over quadratic fields
给定数域$K$和多项式$f(z) \in K[z]$，可以自然地构造一个有限有向图$G(f,K)$，其顶点是$f$的$K$ -有理预周期点，有边$α\to β$当且仅当$f(α) = β$ . Morton和Silverman的动力学一致有界性猜想表明，对于固定整数$n \ge 1$和$d \ge 2$，有向图$G(f,K)$的同构类只有1000个，因为一个图的范围覆盖了所有次数为$n$的数域$K$和次数为$d$的多项式$f(z) \in K[z]$.在$(n,d) = (1,2)$的情况下，Poonen给出了所有有向图的完全分类，这些有向图对于某些二次多项式$f(z) \in \mathbb{Q}[z]$可以实现为$G(f,\mathbb{Q})$，假设$f$不允许大周期的有理点。本文的目的是继续作者Faber和Krumm在$(n,d) = (2,2)$案件中开始的工作。通过将前一篇文章的结果与一些新的结果相结合，我们得出了一个类似Poonen定理的部分结果-在大周期的点上有类似的假设-但在$\mathbb{Q}$的所有二次扩展上。
2017-07-10 math.DS math.NT
Preperiodic points for quadratic polynomials over cyclotomic quadratic fields
给定数域$K$和次数至少为2的多项式$f(z) \in K[z]$，可以构造一个有限有向图$G(f,K)$，其顶点是$K$ -$f$的有理预周期点，有边$α\to β$当且仅当$f(α) = β$。限制到二次多项式，莫顿和西尔弗曼的动力学一致有界性猜想表明，对于一个给定的数域$K$，应该只有1000个同构类的有向图，以这种方式出现。Poonen给出了$\mathbb{Q}$上所有此类有向图的完全分类，而作者Faber和Krumm最近的工作为$\mathbb{Q}$的所有二次扩展提供了这个问题的详细研究。在这篇文章中，我们给出了一个类似Poonen的完全分类，但是是在分圆二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$和$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$上的。我们使用的主要工具是动力模曲线和曲线上二次点的结果。
2020-02-25 math.AG math.DS math.NT
Quadratic matings and ray connections
拓扑配对是通过将两个二次多项式的填充朱利亚集粘合在一起而定义的映射。的标识可视化和理解捏射线等价类的正式交配。对于Mandelbrot集的非共轭分支上的后临界有限多项式，经典的结果从形式配对构造出几何配对。在这里家庭的例子进行了讨论，使所有的射线等价类是一致有界的树。从而在几何有限和无限情况下直接得到拓扑配对。另一方面，重整化提供了无界循环射线连接的例子，使得拓扑配对不是在T2空间上定义的。当至少有一个多项式是预周期的时，有一种替代的交配构造：将另一个多项式的无穷大临界值移动到预周期点。以同伦射线为例，它给出了共享配对的简单例子。在Chebychev族和Airplane配对中得到了具有无界共享重数和缓慢增长的前周期和周期的序列。利用两个临界轨道之间的识别的预周期多项式，交配不连续的一个例子，以及描述。
2017-07-03 math.DS
Small dynamical heights for quadratic polynomials and rational functions
设$f \in Q(z)$为二次多项式或有理函数。Morton和Silverman的动力一致有界猜想的一个特例是$f$的有理预周期点的个数被一个绝对常数上界。Silverman的一个相关猜想指出，非预周期有理点$x$的规范高度$\hat{h}_f(x)$的下界是$f$本身高度的均匀倍数。我们提供支持，通过计算一组的preperiodic和小的高度有理点为一组度2的地图远远超出了以前的搜索范围，这些approachtures。
2015-01-01 math.DS math.NT
Quadratic rational functions with a rational periodic critical point of period 3
本文给出了定义在周期为3的有理周期临界点的有理数上的二次有理函数的有理预周期点的可能图的一个完整的分类，其中有两个假设：这些函数没有周期至少为5的周期点，以及在某亏格为6的仿射平面曲线上的点的枚举.我们证明了恰好有六个这样的可能图，并且满足上述条件的有理函数最多有十一个有理预周期点。
2017-11-16 math.DS math.NT
Preperiodic points of polynomials over global fields
给定一个整体域K和一个定义在K上的至少二次多项式f，Morton和Silverman在1994年证明了f的K-有理预周期点的个数仅根据K的次数和f的次数有界。1997年，对于K=Q上的二次多项式，Call和Goldstine证明了f的坏约化素数个数s的指数界.通过对每个素数上的满朱利亚集的分析，给出了一个改进的slog（s）阶的界.我们的界适用于任何整体域K上的任何次数（至少为2次）的多项式。
2005-06-23 math.DS math.NT
Simultaneously preperiodic points and colliding orbits for families of polynomials in characteristic $p$
Ajou University（亚洲大学）；Korea Institute for Advanced Study（韩国高等科学研究院）
针对特征$p$下次数不低于$2$的非加性多项式族，研究代数闭扩域中两点同时预周期的充要条件，并给出对应碰撞轨道集无限的充要判据。
2026-10-14 math.DS math.NT
Distribution of preperiodic points in one-parameter families of rational maps
针对数域$K$上的有理映射单参数族$f_t$，证明了除自然密度零集外的$t$对应的$K$-有理预周期点是$f$的$K(T)$-有理预周期点的特殊化，假设弱一致有界性猜想计算了平均预周期点数，并以二次族为例给出新估计。
2025-08-20 math.DS math.NT
Dynamical modular curves for quadratic polynomial maps
受Morton和Silverman的动力学一致有界性猜想的启发，特别是在二次多项式的情况下，我们给出了经典模曲线的一类动力学模拟的形式构造.二次多项式映射的预周期点可以被赋予满足一定严格条件的有向图的结构，我们称这样的图为容许图。给定一个可接受的图$G$，我们构造一条曲线$X_1(G)$，其点参数化二次多项式映射-其中，直到等价，形成一个单参数家庭-连同一个集合的标记preperiodic点，形成一个图同构到$G$。在Bousch和Morton工作的基础上，我们证明了这些曲线在特征零点是不可约的，并给出了不可约性在数域中的一个应用。最后，我们讨论了与二次多项式的前周期点相关的伽罗瓦论，包括在这种情况下自然产生的某种伽罗瓦表示。
2017-07-07 math.AG math.DS math.NT
Julia sets with a wandering branching point
根据Thurston无游荡三角形定理，局部连通二次朱利亚集的分支点要么是预周期的，要么是预临界的。Blokh和Oversteegen证明了这个定理对于高次朱利亚集不成立：存在三次多项式，其朱利亚集是一个局部连通的枝晶，其分支点既不是预周期的也不是预临界的。在这篇文章中，我们重新证明了这一结果，构造这样的三次多项式作为极限的三次多项式，其中一个临界点最终映射到另一个临界点，最终映射到一个排斥不动点。
2018-03-07 math.DS
Quadratic points on dynamical modular curves
在所有与二次多项式映射相关的动力模曲线中，我们确定了哪些曲线具有无穷多个二次点。这产生了一个分类声明的preperiodic点的二次多项式在二次域，扩展以前的工作Poonen，费伯，和作者。
2023-01-23 math.AG math.DS math.NT
On quadratic periodic points of quadratic polynomials
有理系数二次多项式的预周期点个数的界是算术动力学中一致有界猜想的一种情形。在这里，我们提供了一个一般的框架，可以减少寻找周期点，这样的多项式在伽罗瓦扩展$\mathbb{Q}$找到周期点的有理数。此外，我们提出的证据表明，有没有这样的多项式（线性共轭）与周期点的确切周期5在二次域通过搜索点的代数曲线，分类二次周期点的确切周期5，并建议应用的方法Chabauty和科尔曼进一步的进展。
2015-04-16 math.DS math.NT
On simultaneously preperiodic points for one-parameter families of polynomials in characteristic $p$
本文研究特征 $p$ 域上单参数多项式族 $f(x)+\lambda$ 的同步预周期点，证明在二项式满足特定指数条件时，无限性等价于 $f(\alpha)=f(\beta)$ 或两点在代数闭包中，并推广了碰撞轨道问题的结果。
2025-10-11 math.DS math.NT
Cubic points on dynamical modular curves
本文针对与二次多项式映射关联的动力模曲线族，判定含无穷多三次点的曲线类型，据此给出三次域上二次多项式预周期点的分类结论，拓展了相关已有研究成果。
2025-11-14 math.AG math.DS math.NT
Moduli spaces of quadratic rational maps with a marked periodic point of small order
研究了具有$n$阶标记周期点的$\mathbb{P}^1$的二次自同态的模空间所对应的曲面.证明了当$n\le 5$时，曲面在$\mathbb{Q}$上是有理的，而当$n=6$时，曲面是一般型的.一个明确的描述的$n=6$表面，让我们找到几个无限家庭的二次自同态$f: \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$定义在$\mathbb{Q}$与一个合理的周期点的顺序$6$。在其中一个族中，$f$也有一个有理不动点，总共至少有$7$周期点和$7$预周期点。这与多项式的情况相反，在多项式的情况下，证明了在$\mathbb{Q}$上定义的多项式自同态不允许$n>3$阶的有理周期点。
2014-05-05 math.AG math.DS math.NT
On the number of quadratic polynomials with a given portrait
本研究在Morton-Silverman猜想下，针对数域上的二次多项式，给出了按高度计数具有指定有理预周期点画像的参数c的渐近公式，并将结果推广至二次扩域情形。
2024-10-04 math.AG math.DS math.NT
Integrable geodesic flows with simultaneously diagonalisable quadratic integrals
São Paulo State University-UNESP（圣保罗州立大学）；Friedrich Schiller Universität Jena（耶拿弗里德里希·席勒大学）
研究显示，若n维流形上测地流的n个功能独立二次动量积分在每一点的切空间同时对角化，则这些积分源自Stäckel构造，表明度量允许正交分离变量。
2024-03-21 math-ph math.DG math.DS
Dynamics of quadratic polynomials and rational points on a curve of genus $4$
本文在Flynn-Poonen-Schaefer猜想下，通过确定亏格4曲线上的有理点，证明二次多项式族中预周期点的有理参数集合大小的一致界，并给出Jacobian秩为1的解析与代数证明及强BSD猜想的数值验证。
2022-06-24 math.AG math.DS math.NT
Unlikely intersections in families of polynomial skew products
Burapha University（芭堤雅大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文研究多项式斜积家族中的意外交集问题，通过分类特殊领域、定义良好高度函数以及应用高度函数验证猜想，探讨了动态Manin-Mumford猜想的特殊情况。
2026-04-06 math.AG math.DS math.NT
Asymptotic distribution of values of isotropic quadratic forms at $S$-integral points
我们证明了一个类似的定理Eskin-Margulis-Mozes：假设我们给出了一个有限的集合的地方$S$在$\mathbb{Q}$包含阿基米德的地方，并排除总理$2$，无理各向同性形式${\mathbf q}$的秩$n\geq 4$的$\mathbb{Q}_S$，产品的$p$ -进区间$I_p$，和产品$Ω$的星形集。我们表明，除非$n=4$和${\mathbf q}$是分裂在至少一个地方，$S$ -积分向量${\mathbf v} \in {\mathsf{T}} Ω$满足$p \in S$同时${\mathbf q}( {\mathbf v} ) \in I_p$的数量是渐近给出的$$ λ({\mathbf q}, Ω) | I| \cdot \prod_{p\in S_f} T_p^{n-2},$$作为${\mathsf{T}}$走向无穷大，其中$| I |$是产品的Haar措施的$p$进间隔$I_p$。证明使用动力学的幂幺流$S$ -算术齐性空间;特别是，它依赖于一个equidistribution结果的某些翻译的轨道适用于测试功能与控制增长在无穷远，指定的$S$ -算术变体的$ α$ -功能介绍的工作埃斯金，马古利斯，莫泽斯，和一个$S$ -arithemic版本的一个定理的Dani-Margulis。
2017-09-28 math.DS math.NT
Effects of local mutations in quadratic iterations
本文在复二次映射离散迭代构成的复制系统中引入局部突变机制，通过径向插值构建突变映射，并利用囚徒集拓扑分析突变的位置、时机与大小对细胞分化系统长期演化及基因表达的影响。
2024-06-25 math.DS nlin.CD
