Principal Kinematic Formulas for Germs of Closed Definable Sets
证明了$\mathbb{R}^n$中闭可定义集芽的两个主要运动公式，推广了孔德的Cauchy-Crofton密度公式和作者的无穷小线性运动公式.在这种情况下，我们不集成的空间欧几里德运动，但在流形$SO(n) \times S^{n-1}$。
2020-12-29 math.AG math.DG
Vanishing homology
在本文中，我们介绍了一个新的同调论，致力于研究家庭，如半代数或亚解析家庭，并在一般情况下，任何家庭可定义的o-最小结构（如Denjoy Carleman可定义或$ln-exp$可定义的集）。这个想法是研究当我们接近一个特殊的纤维时消失的循环。这也使我们能够获得当地的度量不变量的芽的可定义集。证明了同调群是单生成的。
2008-01-14 math.AG
Approximation of definable sets by compact families, and upper bounds on homotopy and homology
证明了o-极小集的同伦群和同调群在紧o-极小集逼近下的新的上界。特别地，我们改进了由无量词公式定义的半代数集的贝蒂数的已知上界，并首次得到了子Pfiran集的贝蒂数的一个单指数界.
2007-10-16 math.AG math.LO
Trees of definable sets over the p-adics
对于Z_p^n的一个可定义子集（或对于Z_p上的一个有限型有限型概形），人们可以用一种自然的方式把一棵树联系起来。已知相应的Poincare级数P（X）= \sum_i N_i X^i是有理数，其中N_i是树在深度i处的节点数.这表明这些树本身远非任意的。我们对可能树的类作了一个纯粹的组合描述，并提供了一些证据，证明了我们类中的任何树都是从可定义集合中产生的，并证明了可定义集合（或方案）的树在三种特殊情况下属于我们类：在弱光滑性假设下，对于Z_p^2的可定义子集，以及对于一维集合。
2008-06-27 math.AG math.LO
Volumes of definable sets in o-minimal expansions and affine GAGA theorems
在这个主要是简要说明，我给一个非常快速的证明可定义的周定理的Peterzil和Starchenko使用主教斯托尔定理和体积估计可定义的集由于阮和Valette。体积估计说，在实数的序域的o-最小展开中，$S\subseteq\mathbb{R}^n$的任何$d$维可定义子集满足不等式$\mathcal{H}^d(\{x\in S:\lVert x\rVert<r\})\leq Cr^d$，其中$\mathcal{H}^d$表示$\mathbb{R}^n$上的$d$维Hausdorff测度，并且$C$是依赖于$S$的常数。一个密切相关的亚分析集的体积估计可以追溯到Kurdyka和Raby。由于这说明是为了帮助代数几何不精通O-最小结构和可定义集，我回顾这些概念，也证明了主要的体积估计从头开始。
2022-05-28 math.AG math.LO
Local metric properties and regular stratifications of p-adic definable sets
本文从度量几何、微分几何和测度几何的角度研究了$p$-adic域上可定义（半代数或次解析）集芽的几何。我们证明了这样的集合在它们的每一个点上的局部密度确实存在。然后，我们引入了关于域的乘法群中某个有限指数开子群的特殊切锥的概念，并证明了，与实情形一样，在一定的重数下，局部密度可以在这个特殊切锥上计算，同时我们还证明了这些特殊切锥对于足够小的子群是稳定的.我们最终得到了密度的Cauchy-Crofton公式的$p$-adic对应。为了证明这些结果，我们使用arXiv：0904.3853v1的可定义$p$-进集的Lipschitz分解，并在这里证明分层的正则性条件的通用性，例如$(w_f)$、$(w)$、$(a_f)$、$(b)$和$(a)$条件。
2009-10-05 math.AG math.LO
Bounding Betti Numbers of Sets Definable in O-Minimal Structures Over the Reals
给出了O-极小结构中可定义集合的贝蒂数的一个界。一个公理化的复杂性措施的定义，允许各种具体的复杂性措施，可定义的功能被覆盖。这包括常见的具体措施，如多项式的次数，和复杂性的普夫朗函数。一个概括的E-Milnor界的方程和非严格不等式的结合定义的集合，在新的上下文中定义的O-最小结构使用公理化的复杂性措施。其次，通过考虑由符号条件定义的集合，然后利用符号条件得到闭集合的结果，再利用构造方法将由方程和不等式的布尔组合定义的集合近似为一个闭集，从而得到由方程和不等式的布尔组合定义的集合的界.最后，现有的结果，定义使用量词的开放或闭集的一般化，使用一个建设从Gabrielov和Vorobjov近似任何一组的紧凑集。这导致在一个方法中找到一个一般的界限，任何一组定义在一个O-最小结构的公理复杂性措施。作为结果，首次给出了由带量词的任意公式定义的子Pfronan集的一个上界。如果量词交替的数目是固定的，则这个界是单指数的。
2012-05-18 math.AG math.AT math.LO
Differentiable approximation of continuous locally definable maps that preserves the image
Università di Ferrara（费拉拉大学）
本文将紧可定义集上连续可定义映射的像保持型$\boldsymbol{\textit{C}}^p$逼近结果，推广至局部紧局部可定义集上的连续局部可定义映射，结合o-极小与PL几何，运用去奇异性技术完成论证。
2026-08-20 math.AG math.LO
About closed subsets definable in Hensel minimal structures
本文研究了Hensel最小结构中闭0可定义子集的性质，证明了此类子集可由连续0可定义函数的零点集定义，并给出了非阿基米德版本的蒂泽-乌里松扩展定理。
2026-04-12 math.AG math.LO
Éz fields
设$K$为字段。在我们以前的工作中引入了一个$V$簇$K$的$K$ -点$V(K)$上的凸开拓扑.如果$K$是大的，那么这个开拓扑是非离散的。如果$K$是可分的、实的、$p$ -根闭的，则étale开拓扑分别与Zerkiki、序、赋值拓扑一致。我们表明，存在可定义的完美的大领域的行为良好，就这个拓扑结构：这样的集合是有限工会的étale开子集的Zagliki闭集。这意味着，存在可定义的集合在任意完美的大域享有一些著名的拓扑性质的可定义的集合在代数，实，和$p$ -adically封闭的领域。本文引入并研究了éz域类：$K$是éz域，如果$K$是大的，且每个可定义集是Zebriki闭集的étale开子集的有限并.这应该被看作是一个广义的概念，模型完全性的大型领域。代数闭域、实封闭的、$p$ -adically闭域和有界$\mathrm{PAC}$域都是éz域。(In特殊的伪有限域和有限域的无限代数扩张是ε z。）我们发展的基础理论的可定义集在éz领域。这给出了一个统一的方法，在所有的特征零局部域上的可定义集的理论和一个新的拓扑理论的可定义集的有界$\mathrm{PAC}$领域。我们还表明，一些突出的例子，可能非模型完整的模型理论驯服领域（特征零亨泽尔领域和Frobenius领域）是éz。
2022-10-14 math.AG math.LO
Differentiable approximation of continuous definable maps that preserves the image
本文通过 o-最小几何与 PL 几何的结合，证明连续可定义映射可被可微映射近似且保持图像不变。
2024-06-04 math.AG math.LO
On a link criterion for Lipschitz normal embeddings among definable sets
由Mendes和Sampaio的一个结果可知，子解析芽的Lipschitz正规嵌入完全由其链的Lipschitz正规嵌入刻画。本文证明了对于$(\mathbb{R}, + , .)$上的任意o-极小结构的可定义芽，上述结果仍然成立.我们还给出了一个例子表明，对于由恒等映射诱导的MD-同调之间的同态，同构不足以确保给定的芽是Lipschitz正常嵌入的。这是对Bobadilla等人在他们关于适度不连续同源性的论文中提出的问题的否定回答。
2022-03-01 math.AG math.GT
Almost o-minimal structures and $\mathfrak X$-structures
我们提出了新的结构称为几乎O-极小结构和$\mathfrak X$ -结构。前者是一个稠密的线性序的一阶展开，没有端点，使得一个可定义的集合与一个有界开区间的交集是一个有限的点和开区间的并集。后者是van den Dries和Miller的解析几何范畴以及Shiota的$\mathfrak X$ -集和$\mathfrak Y$ -集的变体。在它们中，可定义集的族只在适当的投影下是封闭的，不像一阶结构。我们证明了一个有序可分阿贝尔群的$\mathfrak X$ -展开总是包含一个有序群的o-极小展开，使得所有有界$\mathfrak X$ -可定义集在结构中都是可定义的.本文的另一个贡献是给出了序群$\mathcal M=(M,<,0,+,\ldots)$的几乎O-极小展开的一致局部可定义胞腔分解定理。设$\{A_λ\}_{λ\inΛ}$是$M^{m+n}$的可定义子集的有限族.取任意正元素$R \in M$并设置$B=]-R,R[^n$。然后，存在到可定义集合\begin{equation*} M^m \times B = X_1 \cup \ldots \cup X_k \end{equation*}中的有限划分，使得$B=(X_1)_b \cup \ldots \cup (X_k)_b$是对于任何$b \in M^m$的$B$和对于任何$1 \leq i \leq k$和$λ…
2021-04-03 math.AG math.LO
Analytically generated sharply o-minimal structures
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
本文研究了由解析复细胞确定的严格o-最小结构，提出多项式有效参数定理，推导出Yomdin-Gromov引理的多项式有效版本，验证了Wilkie关于代数点数量的猜想。
2026-04-07 math.AG math.LO math.NT
On the equivariant Betti numbers of symmetric definable sets: vanishing, bounds and algorithms
设$\mathrm{R}$为实闭域。我们证明了对于任何固定的$d$，由$d$限定的次数多项式定义的$\mathrm{R}^k$的闭对称半代数子集的等变有理上同调群在$d$和更大的维度中为零。这个消失的结果是紧的。使用一种新的几何方法，我们还证明了$d^{O(d)} s^d k^{\lfloor d/2 \rfloor-1} $上的$\mathrm{R}^k$的闭对称半代数子集的等变贝蒂数的上界定义的无量词公式涉及$s$对称多项式的次数有界的$d$，其中$1 < d \ll s,k$。该界限紧到仅取决于$d$的因子。这些结果显着改善了以前得到的那些使用不同的技术证明。我们的新方法是相当普遍的，也产生的等变贝蒂数的某些特殊类的对称可定义集（可定义集对称下拉回固定度的对称多项式映射）在任意o-极小结构$\mathrm{R}$。最后，我们利用我们的新方法来获得一个算法与多项式有界的复杂性计算这些等变贝蒂数。相比之下，计算（不一定是对称的）半代数集的普通贝蒂数的问题被认为是一个棘手的问题，并且所有已知的算法都具有双指数复杂度。
2018-02-14 cs.CC math.AG math.AT
Ellis enveloping semigroups in real closed fields
本文引入 d-半代数集的布尔代数，证明其 Stone 空间与半代数集布尔代数的 Stone 空间的 Ellis 包络半群自然同构，并研究其与外部可定义集族的关系及表示函数。
2024-01-15 math.AG math.LO
Smooth parameterizations of power-subanalytic sets and compositions of Gevrey functions
证明了若$X$是$\mathbb{R}^\text{pow}_\text{an}$中的一个$m$ -维可定义集，则对任意正整数r，X存在一个$C^r$ -参数化，该参数化由对某个常数$c$的$cr^{m^3}$映射组成.此外，这些映射是实解析的，并且对于可定义的映射族，这个界是一致的。
2021-03-01 math.AG math.LO
Uniform parameterization of subanalytic sets and diophantine applications
我们证明了新的参数化定理，可定义的结构$\mathbb{R}_{an}$（即全球次解析集），这是统一的可定义的家庭等集。我们对待这两个$C^r$参数化和（轻度）分析参数化。在前一种情况下，我们建立了一个多项式（在$r$）界（仅取决于给定的家庭）的参数化功能的数量。然而，由于一致性是不可能的，在后一种情况下（如所示的Yomdin通过一个非常简单的家庭的代数集），我们引入了一个新的概念，解析准参数化（多值复杂的解析函数使用），这使我们能够恢复一个统一的结果。然后，我们给出了一些丢番图的应用动机的问题，是否$H^{o(1)}$界的Pila-Wilkie计数定理可以得到改善，至少对于某些减少$\mathbb{R}_{an}$。这两个参数化的结果给出了统一的$(\log H)^{O(1)}$界限的有理点的高度在最$H$上$\mathbb{R}_{an}$可定义的Pfidian表面的数量。准参数化技术产生更清晰的结果，但统一$C^r$参数化定理的优点也适用于$\mathbb{R}_{an}^{pow}$可定义的家庭。
2018-05-16 math.AG math.CV math.LO
Wilkie's conjecture for restricted elementary functions
我们考虑由$({\mathbb R},<,+,\cdot)$通过邻接受限指数函数和正弦函数得到的结构${\mathbb R}^{\mathrm{RE}}$。我们证明了威尔基的猜想集定义在这种结构：有理点的高度$H$的超越部分的任何可定义的集合的数量是有界的多项式在$\log H$。我们还证明了两个精致的apturtures由于皮拉关于密度的代数点从一个固定的数域，或与一个固定的代数度，为${\mathbb R}^{\mathrm{RE}}$ -可定义的集。
2016-05-16 math.AG math.LO math.NT
Strong stratifications and uniform Yomdin-Gromov parametrizations in valued fields with analytic structure
本文通过建立可定义集的强解析分层，将Cluckers-Forey-Loeser定理推广到任意等特征零且具有解析结构的赋值域，并给出了参数化数量的估计。
2026-05-24 math.AG math.LO
Expanding polynomials over finite fields of large characteristic, and a regularity lemma for definable sets
设$P: \F \times \F \to \F$是大特征有限域$\F$上的有界次数多项式.在本文中，我们建立了以下二分法：要么$P$是一个适度的不对称扩展的意义下，$|P(A,B)| \gg |\F|$，只要$A, B \subset \F$是这样的$|A| |B| \geq C |\F|^{2-1/8}$的足够大的$C$，否则$P$采取的形式$P(x,y) = Q(F(x)+G(y))$或$P(x,y) = Q(F(x) G(y))$的一些多项式$Q,F,G$。这是一个相当令人满意的分类多项式的两个变量，适度扩大（对称或不对称）。我们得到一个类似的分类弱膨胀（其中一个有$|P(A,A)| \gg |A|^{1/2} |\F|^{1/2}$时，$|A| \geq C |\F|^{1-1/16}$），和一个部分令人满意的分类几乎强的非对称膨胀（其中$|P(A,B)| = (1-O(|\F|^{-c})) |\F|$时，$|A|, |B| \geq |\F|^{1-c}$的一些小的绝对常数$c>0$）。用于建立这些结果的主要新工具是一个代数正则引理，它描述了在有限域上的大特征的可定义子集所产生的稠密图的结构。这个引理加强了Szémeredi正则性引理在代数情况下的作用，因为后一个引理将一个图分解为有界数量的分量，其中大多数对于一些小但固定的$ε$是$\eps$ -正则的，后一个引理确…
2013-01-03 math.AG math.CO
Motives for perfect PAC fields with pro-cyclic Galois group
Denef和Loeser定义了一个映射从Grothendieck环的集合定义在伪有限域的Grothendieck环的周动机，从而使任何上同调不变量适用于这些集。我们推广到完善的，伪代数闭域的亲循环伽罗瓦群。此外，我们定义了一些不同的Grothendieck环之间的映射的可定义集提供额外的信息，不包含在相关的动机。特别是，我们推断Denef-Loeser的地图是不是内射。
2008-01-21 math.AG math.LO
On smoothness, tangent cones, and the metric geometry of definable sets
Universidade Federal do Ceará（塞阿拉联邦大学）
本文研究了可定义集的 $C^1$ 光滑性，通过切锥和度量性质建立了多个等价条件。
2026-01-26 math.AG math.DG math.LO
Complex cells in sharply o-minimal structures
The Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
本文扩展了Binyamini和Novikov提出的复杂细胞理论，在严格o-极小结构中获得多项式有效性的细胞准备和参数化定理，且构造可定义。
2026-03-26 math.AG math.CV math.LO
A note on o-minimal tropicalizations
MPI of Molecular Cell Biology and Genetics & Center for Systems Biology, Dresden（德累斯顿分子细胞生物学与遗传学马普研究所及系统生物学中心）；Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）
本文在实闭域的多项式有界o-极小扩张中，给出了可定义集热带化的多种等价描述，并推广到精细热带化情形。
2026-06-15 math.AG math.LO
Non-archimedean Yomdin-Gromov parametrizations and points of bounded height
我们证明了一个类似的Yomdin-格罗莫夫引理$p$进可定义集和更广泛的非阿基米德，可定义的上下文中。这种模拟跟踪泰勒多项式的分段逼近，这是全不连通的情况下的一个重要方面。我们应用这一结果来约束的超越部分$p$ -进次解析集上的有限高度的有理点的数量，并约束的维度的一组复多项式的有限程度躺在一个代数簇定义在$\mathbb{C} ((t))$，在类似的结果由皮拉和威尔基，分别。由巴切利和皮拉。一路上，我们证明，在非阿基米德几何的一般情况下，可定义的功能，局部Lipschitz连续性意味着分段全球Lipschitz连续性。
2015-03-12 math.AG math.LO math.NT
Monotone functions and maps
在[S. Basu，A. Gabrielov，N. Vorobjov，Semi-monotone sets. arXiv：1004.5047v2（2011）]我们定义半单调集，作为开有界集，可定义在实数上的o-极小结构中，并且与R^n中的所有平移坐标锥有连通的交点。本文通过定义单调函数和映射，并研究它们的基本几何性质，进一步发展了这一理论。证明了有界连续可定义函数或映射单调的几个等价条件。证明了一类单调映射图在与仿射坐标子空间相交和投影到坐标子空间时是闭的。证明了单调映射的图是拓扑正则胞腔。这些结果推广和发展了Basu等人关于半单调集的相应结果。
2013-04-09 math.AG math.GT math.LO
