$PBW$-deformations of graded rings
Alessandro Ardizzoni, Paolo Saracco, Dragoş Ştefan
本文在一般框架下证明了经典Poincaré-Birkhoff-Witt定理的多个版本，扩展了已有结果，并讨论了相关应用与例子。
我们在一个非常一般的框架下证明了经典 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理的几个版本，扩展了 [BeGi, BrGa, CS, HvOZ, WW] 的结果。论文最后部分讨论了应用与例子。
We prove in a very general framework several versions of the classical Poincaré-Birkhoff-Witt Theorem, which extend results from [BeGi, BrGa, CS, HvOZ, WW]. Applications and examples are discussed in the last part of the paper.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Nakayama automorphism of quasi-commutative skew PBW extensions over AS-regular algebras
分次拟交换斜PBW扩张同构于自同态型的分次迭代Ore扩张，由此，系数在AS-正则代数中的分次拟交换斜PBW扩张是斜Calabi-Yau扩张，并且这些扩张存在Nakayama自同构.考虑到这一点，本文利用系数环的Nakayama自同构给出了这些非交换代数的Nakayama自同构的描述。
PBW deformations of skew polynomial rings and their group extensions
本文研究了斜多项式环的有限群扩张的PBW变形，特别是第一作者定义的量子Drinfeld orbifold代数。本文用Gerstenhaber括号对参数函数定义量子Drinfeld orbifold代数的充要条件作了同调解释，从而澄清了条件.如果作用群是平凡的，我们确定的条件下，这样的PBW变形是一个广义的包络代数的颜色李代数，我们的PBW变形包括这些代数作为一个特殊情况。
On PBW-deformations of braided exterior algebras
对外代数的某些量子化的二次常数型PBW-变形进行了分类。这些对应于量子$\mathfrak{sl}_N$的基本模、它们的模和它们的直和。我们表明，前两种情况下不允许任何变形，而在第三种情况下，我们得到一个本质上唯一的代数具有良好的性能。我们比较这个代数与其他量子Clifford代数出现在文献中。
Interpolating PBW Deformations for the Orthosymplectic Groups
我们建议使用插值范畴来研究PBW变形，并证明了这一想法的正交辛超群。采用组合演算的基础上的伪图和分区，我们来自一个合适的雅可比恒等式，我们分类PBW变形（的）Deligne的插值范畴的正交辛群。作为特殊情况，我们的分类恢复了Etingof-Gan-Ginzburg（2005）对辛群和Tsymbaliuk（2015）对正交群发现的无穷小Hecke代数族，以及它们各自使用完全不同的几何方法的标准表示。我们的结果可以被看作是这些已知的结果的延伸到家庭的所有正交辛群连同其所有的基本表示，通过新的插值技术PBW变形。
PBW deformations of braided products
我们提出了新的例子变形的粉碎产品代数所产生的霍普夫代数行动对模代数。这些例子涉及Koszul的模代数，在这种情况下，我们之前建立的PBW定理适用。我们的结构推广了文献中出现的几个“双”结构，包括Weyl代数和某些类型的Cherednik代数，它补充了Bazlov和Berenstein的辫子双结构。最后，本文还对今后的研究方向提出了一些建议。
The PBW filtration
本文研究仿射Kac-Moody代数$\gh$的不可约可积最高权表示的PBW滤子.该过滤的第$n$空间由向量$x_1... x_s v$跨越，其中$x_i\in\gh$、$s\le n$和$v$是最高权向量.对于真空模，我们用生成元和关系给出了相应的伴随分次空间的拓扑描述。对于$A_1$型的$\g$，我们证明了我们的猜想，并导出了分次特征标的费米子公式.
PBW-type filtration on quantum groups of type $A_n$
我们将在$A_n$型量子群的负部分上引入一个$\mathbb{N}$ -滤子，使得相应的分次代数是一个q-交换多项式代数.这种过滤是根据箭图的表示论给出的，通过将量子群实现为箭图的霍尔代数。我们证明了任何简单有限维模（1型）的诱导关联分次模同构于这个多项式代数的单项式理想的商，并且我们为这个关联的分次模提供了一个单项式基。这种构造可以看作是经典PBW框架的量子模拟，实际上，考虑到经典极限，这种基就是Feigin，Littelmann和第二作者在经典体系中提供的单项式基.
PBW deformations of a Fomin-Kirillov algebra and other examples
本文研究了与 Hopf 代数理论相关的分次代数的 PBW 形变，以 Fomin-Kirillov 代数 FK3 和 García Iglesias-Vay 的例子为对象，确定了形变的半单性条件，并构造了相应的 PBW 基和多项式恒等式。
PBW-deformations of smash products involving Hopf algebra of Kac-Paljutkin type
本文研究了Kac-Paljutkin型Hopf代数的PBW变形，探讨了smash积和辫状张量积代数的变形性质及其条件。
Homogenized skew PBW extensions
本文对非交换环族给出了一个新的更一般的滤子，称为斜PBW扩张。引入了$σ$ -滤斜PBW扩张的概念，并研究了这类代数的一些同调性质。证明了环$R$上的$σ$ -过滤斜PBW扩张$A$的均匀化是$R$的均匀化上的分级斜PBW扩张.利用这一事实，我们证明了：如果$R$的均匀化是Auslander正则的，则$A$的均匀化是Domain Noether，Artin-Schelter正则的，而$A$是Noether，Zebraki和（未分次）斜Calabi-Yau的.
Poincare-Birkhoff-Witt Deformations of Calabi-Yau Algebras
最近，Bocklandt证明了Van den Bergh在其分次版本中提出的一个猜想，指出一个3维Calabi-Yau的分次代数（有关系）是由齐次势W定义的。本文证明了，如果我们给W加上任意一个较小次的势，我们得到A的Poincare-Birkhoff-Witt形变。这种PBW变形是卡-丘变形，并且在A的所有PBW变形中具有特征。提出了各种例子。
PBW bases of irreducible Ising modules
本文研究了伊辛模型中三种不可约模的PBW基，给出了显式单子基及与矩阵(8 3;3 2)相关的精炼特征函数公式。
Deformed preprojective algebras and symplectic reflection algebras for wreath products
本文确定了一个对称群与一个仿射Dynkin群的变形预投射代数的圈积的PBW变形。特别是，我们表明，有一个参数，这不是来自变形的预投射代数。证明了PBW变形与相应的圈积的辛反射代数是Morita等价的。
Koszul duality in deformation quantization, I
设$α$是$\mathbb{C}$上有限维向量空间$V$上的多项式Poisson双向量。然后Kontsevich [K97]给出了代数$S(V)^*$的量子化$f\star g$的公式。利用生成元和关系给出了由$α$定义的具有PBW性质的代数的构造.也就是说，我们定义一个代数作为自由张量代数$T(V^*)$通过关系$x_i\otimes x_j-x_j\otimes x_i=R_{ij}(\hbar)$的商，其中$R_{ij}(\hbar)\in T(V^*)\otimes\hbar \mathbb{C}[[\hbar]]$，$R_{ij}=\hbar \Sym(α_{ij})+\mathcal{O}(\hbar^2)$，每对$i,j=1...\dim V$有一个关系。我们证明了所构造的代数服从PBW性质，这是Poincaré-Birkhoff-Witt定理的推广.在线性Poisson结构的情况下，我们得到PBW定理本身，对于二次Poisson结构，我们得到一个与$V$上的量子$R$ -矩阵密切相关的对象。同时得到了变形代数的自由分解（对于任意的$α$）。这种PBW代数的构造相当简单，PBW性质的证明也相当简单。主要的努力应该进行证明的猜想，这样我们得到一个代数同构的Kontsevich星代数。
On Graded Bialgebra Deformations
我们引入了分次双代数变形，解释了Andruskiewitsch-Schneider的提升方法。我们还将这种分次双代数变形与相应的分次双代数上同调群联系起来，这是Gerstenhaber-Schack的分次版本。
Category O over a deformation of the symplectic oscillator algebra
本文讨论了辛振子代数$sp(2n) \ltimes h_n$的变形$H_f$的表示论，其中$h_n$是（2n+1）维Heisenberg代数.我们首先看一个更一般的设置，涉及一个代数与三角分解。在PBW定理和另一个假设下，我们证明了BGG范畴$\mathcal{O}$是阿贝尔的、有限长的和自对偶的。我们将$\mathcal{O}$分解为块$\calo(\la)$的直和，并表明每个块是一个最高权类别。在第二部分中，我们专注于情况$H_f$为$n=1$，我们证明了所有这些假设，以及PBW定理。
Hopf PBW-deformations of a new type quantum group
本文研究新型量子群$U_{q}(\frak{sl}^{*}_2)$的Hopf PBW形变，证明其有限维模范畴非半单，给出权模范畴的块分解，引入本原对象概念，并建立其主块与Dynkin型$\text{A}$（形变）预投射代数有限维表示范畴的张量等价。
Towards deformation quantization over a Z-graded base
本文的目的是描述辛流形$M$的一类形式变形，当变形问题的基环包含非正度参数时。这种变形的有趣的特征是，这些是“在$A_{\infty}$方向”的变形，并且一般来说，它们的描述涉及度为$\ge 2$的$M$的所有上同调类。
Poincare-Birkhoff-Witt deformations of smash product algebras from Hopf actions on Koszul algebras
设H是霍普夫代数，B是Koszul H-模代数.给出了一个滤过代数是Smash积代数B#H的Poincare-Birkhoff-Witt（PBW）变形的充要条件.给出了许多变形的例子。
Deformation theory via differential graded Lie algebras
介绍微分分次李代数、Maurer-Cartan方程及其变形函子。
Differential Graded Lie Algebras and Deformations of Holomorphic Maps
构造了微分分次李代数的一对态射所对应的形变函子，并利用它研究了紧致复流形的全纯映射的无穷小形变.特别是，在凯勒流形的情况下，我们描述了一个推广的半正则映射。
Deformations of Poisson algebras
研究了定义在$\mathbb Z_2$ -分次交换多项式代数上的$\mathbb Z_2$-分次Poisson结构.在小维的情况下，我们表现出这样的泊松结构的分类，获得相关的泊松$\mathbb Z_2$ -分次上同调，并在某些情况下，这些泊松括号和$P_\infty$ -代数结构的变形。我们突出的差异和类比之间的$\mathbb Z_2$ -分级上下文和非分级上下文，例如通过研究泊松上同调和奇点之间的联系。
Deformation of infinite dimensional differential graded Lie algebras
引入椭圆微分分次李代数的概念。椭圆代数的类包含这样的例子，如代数的微分形式的值在自同态的平坦向量丛在一个紧凑的流形等椭圆微分分次代数，我们构造了一个完整的变形。我们证明了几个变形问题的存在一个正式的幂级数解保证了存在一个解析解。
Differential graded Lie algebras controlling infinitesimal deformations of coherent sheaves
我们利用E-Whitney构造证明了凝聚层F的无穷小形变是由层End（E）的非循环分解的整体瓣的微分分次李代数控制的，其中E是F的任何局部自由分解.特别地，我们恢复了众所周知的事实，即F的变形的切空间是Ext^1（F，F），而障碍物包含在Ext^2（F，F）中。主要的工具是识别的变形函子相关的E-Whitney DGLA的半单DGLA的上同调是集中在非负度与非交换的切赫上同调型函子。
$κ$-Deformation of Poincaré Superalgebra with Classical Lorentz Subalgebra and its Graded Bicrossproduct Structure
利用经典的Lorentz子代数生成元，将Hopf超代数形式的$κ$ -变形$D=4$ Poincar{é}超代数转化为基.证明了在这样的基上，$κ$ -变形的$D=4$ Poincare超代数可以写成分次双交叉积.证明了$κ$ -变形$D=4$超代数协变地作用在$κ$ -变形手征超空间上.
Star products on graded manifolds and $α'$-corrections to Courant algebroids from string theory
变形理论是指在数学和物理学的许多部分中，从无穷小（=一阶）变形到完全变形的一种装置，无论是形式上的还是适当的收敛。如果被变形的代数是观测量的代数，则结果是变形量子化，与希尔伯特空间算子的任何实现无关。有非常重要但很少的情况下，其中一个公式的充分变形是已知的。对于物理学来说，最重要的是Moyal-Weyl星积公式。本文主要研究分次流形上Courant代数体结构通过星积的变形。特别是，我们构建了一个分级版本的Moyal-Weyl星产品。最近，在双场论中，通过分析Neveu-Schwarz B场的变换性质，得到了闭合弦西格玛模型耦合$α'$中C括号和O（d，d）不变双线性型到一阶的变形.通过选择一个特定的Poisson结构的Drinfel'd双相对应的柯朗代数体结构的广义切丛，我们重现这些变形的一个特定的解决方案的强约束DFT作为扩展的分级版本的Moyal-Weyl星产品。
A quantum analog of the Poincare-Birkhoff-Witt theorem
我们减少的基础作图题的霍普夫代数产生的斜本原半不变量的特殊元素的研究，称为"超级字母“，这是定义的Shirshov标准字。通过这种方式，我们证明了上述霍普夫代数总是有PBW生成元集（“硬”超级字母）。它还表明，这些霍普夫代数不超过1000个“硬”超字母共享的泛包络代数的有限维李代数的一些性质。证明的背景是一个过滤的建设，使相关的分次代数是通过迭代的斜多项式建设，可能其次是因式分解。
Noncommutative Grassmannian of codimension two has coherent coordinate ring
Efimov，Luntz，and Orlov在“Deformation theory of objects in homotopy and导出范畴III：阿贝尔范畴”中引入了一个非对易格拉斯曼NGr（m，n），作为一个与P^n上n-m+1个凝聚层的例外集合相关联的非对易代数。它是一个n-m +1维的分次Calabi-Yau Z-代数。我们证明了这个代数是相干的，只要格拉斯曼的余维数d = n-m是2。根据前引书，这给出了非对易格拉斯曼凝聚层的导出范畴上的t-结构。该证明与最近对某些分次3维Calabi-Yau代数的相干性的证明有很大不同，并且基于该代数的PBW-基的性质。
Moyal-Weyl deformations of $\mathrm{DGA}$ and $\mathrm{DGCA}$
我们考虑Moyal-Weyl乘积的一个自然变体，并证明它产生微分分次代数的函子变形，我们可以用类似的方式变形余代数。分次代数的Moyal-Weyl变形已经由Fedosov \cite{Fe}引入，并且也作为$A_\infty$结构的一部分出现在\cite{Ge}中，但是我们不知道微分阶化余代数的类似结果已经出现在文献中，并以复形范畴的Moyal-Weyl为例进行了讨论.
Infinity Algebras, Massey Products, and Deformations
本文给出了由A-无穷代数和L-无穷代数的变形所产生的广义Massey积的一些例子。广义Massey积由一定的分次交换代数结构给出，取决于所考虑的变形问题。我们证明了无穷代数的形式变形会产生与Z2-分次李代数的变形相同的代数结构。然而，将李代数变形为L-无穷代数或将结合代数变形为A-无穷代数的问题产生了一个新的代数。我们还考虑了具有基的无穷代数的变形。在数学QA/9602024中，证明了李代数与分次交换代数张量积上括号的雅可比恒等式等价于Maurer-Cartan公式.在无穷代数的情形下，我们证明了一个推广的结果。
Massey products and deformations
李代数的经典变形理论涉及到上同调类的各种Massey积。甚至一个无穷小变形到一个李代数的形式单参数变形的可拓条件也涉及到二维上同调类的Massey幂，而这些幂不是微分分次李代数上同调的Massey乘积的通常定义中的幂。在变形的情况下，与其他地方的基础，一个处理其他的，更具体的梅西产品。在目前的工作中，给出了广义Massey产品的建设，取决于任意分次交换，结合代数。利用这些乘积，将上述可拓条件推广到具有任意局部基的变形。对偶地，微分分次交换结合代数上同调的广义Massey积的构造依赖于幂零分次李代数。例如，经典的Massey积对应于严格上三角矩阵的李代数，而矩阵Massey积对应于块严格上三角矩阵的李代数。
The Poincare-Birkhoff-Witt theorem for quadratic algebras of Koszul type
本文将经典的PBW-定理推广到Koszul代数上。我们的结果是A.Polischuk和L.Positselsky所得结果的一个轻微推广，但证明是不同的，并使用变形理论。
Classification and versal deformations of L_\infinity algebras on a 2|1-dimensional space
本文研究了2上的\Z_2分次L_PDMATHABMN代数结构|一维向量空间读者应该注意到，我们关于宇称的约定与通常的相反，因为我们在空间的宇称反转的对称余代数上定义了我们的结构，所以我们的2| 1维L_PDMATHABMN代数对应于通常的1|二维代数我们给出了一个完整的分类与非零度1项的所有结构。我们还对所有2度的协微分进行了分类，这与对所有1度的协微分进行分类是相同的。|2维Z_2-分次李代数。对于这些代数结构中的每一个，我们计算的上同调和一个minimums变形。
Tracing cyclic homology pairings under twisting of graded algebras
给出了离散群上分次代数的2-上循环变形的循环上同调及其与K-群的配对。利用群上同调的上积作用，证明了周期循环上同调的Gauss-Manin联络的单值性.
L-infinity Algebras and Deformations of Holomorphic Maps
构造了微分分次李代数的一对态射所对应的变形函子，并利用它研究了紧致复流形的全纯映射的无穷小变形.特别是，使用L-无穷大结构，我们给出了一个明确的描述微分分次李代数，控制这个问题。
Quantized symplectic oscillator algebras of rank one
秩为1的量子化辛振子代数是量子平面与U_q（sl_2）的Smash积的PBW变形。我们研究了它的表示论，特别是它的范畴O。
Derived deformation functors, Koszul duality, and Maurer-Cartan spaces
本文总结了Hinich的导出Maurer-Cartan函子如何建立微分分次李代数与Artinian微分分次交换代数上的导出Schlessinger函子间的等价关系，并探讨了形变问题及更一般Koszul对偶operad对的类似物。
On deformation quantization of quadratic Poisson structures
本文研究了$\mathbb{Z}$ -分次二次Poisson结构的dg轮正解的形变复形，证明了它与偶M是拟同构的。Kontsevich图复形作为第一个应用程序，我们证明了Grothendieck-Teichmüller群忠实地和本质上传递地作用于轮式propriad的亏格完成。作为第二个应用程序，我们分类所有的通用量化的$\mathbb{Z}$ -分级二次泊松结构连同基本的（所谓的）齐次形式映射。特别是，我们证明了两个普适量子化的泊松结构是等价的，如果同意一般的二次泊松结构。
Vertex Poisson algebras associated with Courant algebroids and their deformations; I
这是第一个两个文件的顶点泊松代数与柯朗代数，及其变形。本文研究了顶点Poisson代数与Courant代数胚之间的关系。对任意$\N$ -分次顶点Poisson代数$A=\coprod_{n\in\N} A_{(n)}$，证明了$A_{(1)}$是Courant $A_{(0)}$ -代数胚.另一方面，对于任意的Courant $\mathcal{A}$ -代数胚$\mathcal{B}$，我们构造了一个$\N$ -分次顶点Poisson代数$A=\coprod_{n\in\N}A_{(n)}$，使得$A_{(0)}$是$\mathcal{A}$，并且Courant $\mathcal{A}$ -代数胚$A_{(1)}$与$\mathcal{B}$同构为Courant $\mathcal{A}$ -代数胚.
Monodromy of the Gauss-Manin connection for deformation by group cocycles
研究离散群分次代数的2-上圈变形。Maurer-Cartan形式对循环上同调的作用与群上循环的上积作用是上同调的。这使我们能够在严格的变形设置下计算高斯-马宁联络的单值性。
Formality theorem and bialgebra deformations
本文证明了V+V* 上赋大括号的外代数作为分次Poisson代数的形式性。我们还讨论了这一结果的连接到双代数变形的对称代数的V视为双代数。
Moduli, Deformations and Algebraic K-Theory of Graded PI-Algebras
本文通过PI代数sheaves的范畴研究非交换几何，引入新的非交换几何结构，并证明了Morita-equivariant Betti/Riemann--Hilbert定理。
h-deformation of GL(1|1)
超群GL（1）上（分次）Hopf函数代数的h-变形|本文通过GL_q（1）的收缩引入了一个新的矩阵GL_q（1| 1）。变形参数h是奇数（格拉斯曼）。给出了h-超平面上的相关微分学。
Period mappings for noncommutative algebras
构造了微分分次代数的变形的周期映射，推广了Griffiths的周期映射.它被构造为微分分次李代数之间的一个态射，具有模论解释，其中态射的定义域是移位的Hochschild cohain复形。然后，我们使用这个周期映射给出一些应用，如无障碍的变形。
M. Kontsevich's graph complexes and universal structures on graded symplectic manifolds
本文将 Kontsevich 的图复形构造推广到任意度 $n\geq1$ 的分次辛流形，利用完整图复形 $\mathsf{fGC}_d$ 对泛结构进行分类，并展示了其在生成哈密顿函数新泛形变及 Courant 代数胚形变中的应用。
A three-parametric deformation of GL(1/1)
引入了满足分次Yang-Baxter方程的三参数$R$ -矩阵，该$R$ -矩阵允许我们构造新的量子超群，它们是超群$GL(1/1)$和泛包络代数$U[gl(1/1)]$的变形.
The formal Kuranishi parametrization via the universal homological perturbation theory solution of the deformation equation
利用同调扰动理论，我们发展了一个形式化的微分分次李代数控制的变形问题的微扰变形。我们的方法包括一个正式版本的Kuranishi方法的变形理论的复流形。
Tensor hierarchy from deformation quantisation
通过形式形变量子化，从二阶微分分次辛流形构造出NS-NS超引力及双重场论（DFT）的完整经典运动学与动力学，扩展张量层级为编码场与恒等式的复形，并自然推广对偶群至O(D,D)×R^+。
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