A fast Petrov-Galerkin spectral method for the multi-dimensional Boltzmann equation using mapped Chebyshev functions
由于玻尔兹曼方程的高维、非线性和非局域碰撞算子，其数值逼近是一个具有挑战性的问题。在确定性方法中，傅里叶-伽辽金谱方法因其相对高的精度和被快速傅里叶变换加速的可能性而脱颖而出。然而，该方法需要非物理的域截断，因为冲突算子在$\mathbb{R}^d$中定义。本文介绍了无界区域上Boltzmann方程的Petrov-Galerkin谱方法。基函数（测试函数和测试函数）是精心选择的映射切比雪夫函数，以获得所需的收敛性和守恒性。此外，由于切比雪夫函数和傅里叶余弦级数的密切关系，我们能够构造一个快速算法的帮助下，非均匀快速傅里叶变换（NUFFT）。我们证明了优越的精度相比，傅立叶谱方法，通过一系列的二维和三维的例子所提出的方法。
2021-05-18 cs.NA math.NA
Evaluating High Order Discontinuous Galerkin Discretization of the Boltzmann Collision Integral in $O(N^2)$ Operations Using the Discrete Fourier Transform
Department of Mathematics, California State University Nortrhidge, Nortrhdige, CA 91330, USA
本文提出一种基于高阶不连续伽辽金离散化的数值算法，利用离散傅里叶变换在O(N²)时间内高效计算玻色-爱因斯坦碰撞积分，提升计算速度并减少数值误差。
2018-01-18 cs.NA math.NA
Fast Fourier-like Mapped Chebyshev Spectral-Galerkin Methods for PDEs with Integral Fractional Laplacian in Unbounded Domains
在本文中，我们提出了一个快速的谱Galerkin方法求解含整数分数拉普拉斯算子的偏微分方程$\mathbb{R}^d$，这是建立在两个基本组成部分：（i）Dunford-Taylor公式的分数拉普拉斯算子;和（ii）Fourier-like双正交映射Chebyshev函数（MCF）作为基函数。因此，分数拉普拉斯算子可以完全对角化，并且求解椭圆分数PDE的复杂度是准最优的，即，$O((N\log_2N)^d)$，其中$N$是每个空间方向上的模式的数量。对各种衰减精确解的充分数值试验表明，快速求解器的收敛性与理论误差估计的阶数完全匹配。通过适当的时间离散，快速求解器可以直接应用于一个大类的非线性分数阶偏微分方程。作为一个例子，我们用四阶时间分裂方法和MCF-spectral-Galerkin方法求解了分数阶非线性Schr{<$}dinger方程.
2019-08-27 cs.NA math.NA
Fourier-Gegenbauer Integral-Galerkin Method for Solving the Advection-Diffusion Equation With Periodic Boundary Conditions
提出融合 Fourier 级数与 Gegenbauer 多项式的 FGIG 积分 Galerkin 方法，通过积分方程避免时间步进，实现周期边界平流-扩散方程的高精度高效求解。
2025-01-04 cs.NA math.NA
Fourier--Galerkin Methods for Subwavelength Resonances in two-dimensional Acoustic Metamaterials
Computing and Mathematical Sciences Department, California Institute of Technology（加州理工学院计算与数学科学系）
提出一种傅里叶-伽辽金框架，通过边界积分公式的傅里叶模态投影和有效矩阵的渐近展开，将亚波长共振问题转化为低维非线性特征值问题，实现高效计算。
2026-06-03 cs.NA math.AP math.NA
Convergence of the Fourier-Galerkin spectral method for the Boltzmann equation with uncertainties
本文将 Fourier-Galerkin 谱方法的谱收敛性从确定性 Boltzmann 方程推广到碰撞核和初始条件均含不确定性的情形，通过新设计的空间与范数同时刻画速度变量和随机变量的高正则性，为后续全离散系统收敛性分析奠定理论基础。
2024-05-07 cs.NA math.AP math.NA
A Fast Fourier-Galerkin Method for Solving Boundary Integral Equations on Torus-Shaped Surfaces
针对环面形曲面上的边界积分方程，提出利用矩阵元素衰减模式进行稀疏截断的快速 Fourier-Galerkin 方法，实现 $\mathcal{O}(N\ln^2 N)$ 非零元、拟最优收敛与稳定性。
2024-10-08 cs.NA math.NA
A convergent Fourier spectral Galerkin method for the fractional Camassa-Holm equation
本文提出并分析了分数阶 Camassa-Holm 方程的 Fourier 谱 Galerkin 方法，证明了半离散格式保持质量与能量，建立了收敛性及最优误差估计，并通过数值实验验证了理论结果。
2025-09-18 cs.NA math.NA
A split step Fourier/discontinuous Galerkin scheme for the Kadomtsev--Petviashvili equation
University of Innsbruck（因斯布鲁克大学）
本文提出一种基于分离线性部分与非线性部分的数值方法，利用FFT处理线性部分，间断有限元处理非线性部分，通过数值模拟验证了该方法的效率和精度，优于现有方法五倍以上。
2018-02-02 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A new stability and convergence proof of the Fourier-Galerkin spectral method for the spatially homogeneous Boltzmann equation
由于玻尔兹曼方程的高维、非局域和非线性碰撞积分，其数值逼近是一个具有挑战性的问题。在过去的十年中，傅里叶-伽辽金谱方法已成为一种流行的确定性方法，用于解决玻尔兹曼方程，表现出其高精度和潜力，被进一步加速的快速傅里叶变换。虽然它的实际成功，稳定的方法是最近才证明Filbet，F。& Mouhot，C.在[ $ Trans. Amer. Math. Soc.$ 363，no.4（2011）：1947-1980]中。通过利用碰撞算子的“扩展”属性。在这项工作中，我们提供了一个新的证明的基础上仔细$L^2$估计的负部分的解决方案。我们还讨论了结果的适用性，各种初始数据，包括连续和不连续的功能。
2020-07-10 cs.NA math-ph math.AP
Choose a Transformer: Fourier or Galerkin
Washington University in St. Louis（圣路易斯华盛顿大学）
在本文中，我们首次将Attention Is All You Need中最先进的Transformer中的自注意力应用于与偏微分方程相关的数据驱动算子学习问题。努力放在一起解释的原理，并提高注意力机制的功效。利用Hilbert空间中的算子逼近理论，首次证明了在标度点积注意力中的softmax归一化是充分的，但不是必要的。在没有softmax的情况下，可以证明线性化的Transformer变体的近似能力与逐层的Petrov-Galerkin投影相当，并且估计与序列长度无关。提出了一种新的层归一化方案，该方案模仿Petrov-Galerkin投影，以允许缩放通过注意层传播，这有助于模型在具有未归一化数据的算子学习任务中实现显着的准确性。最后，我们提出了三个操作学习实验，包括粘性Burgers方程，界面达西流，和反界面系数识别问题。新提出的简单的基于注意力的算子学习器Galerkin Transformer，在训练成本和评估精度方面都比其softmax归一化的同类算法有了显着的改进。
2021-11-01 cs.LG cs.NA math.NA
Adaptive local representations for Helmholtz Trefftz discontinuous Galerkin methods
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
本研究针对Helmholtz方程的Trefftz间断伽辽金方法，提出基于缩放Cauchy迹内积的自适应局部逼近空间选择与稳定实现，通过ESPRIT识别传播与倏逝分量，并验证了精确恢复与误差传递。
2026-09-14 cs.NA math.NA
A performance comparison of continuous and discontinuous Galerkin methods with fast multigrid solvers
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
本文比较了连续有限元方法、对称内罚间断伽辽金方法和混合型间断伽辽金方法的性能，研究了高阶方法结合最新多网格求解器在泊松方程中的实现，包括四边形和六面体元素上的快速矩阵自由实现与求和因子化。对于混合型间断伽辽金方法，开发了一种结合从迹空间到线性有限元空间的网格传输与进一步层次上的代数多网格的多网格方法。尽管矩阵型HDG求解器和矩阵自由几何多网格方案在求解器复杂度上相似，但后者在包含超收敛效应后仍能提供数量级更快的求解时间，这是因为矩阵自由操作符评估相对于稀疏矩阵向量乘积有显著更好的性能。屋顶性能模型验证了矩阵自由实现的优势。
2016-12-09 cs.NA math.NA
A comparison study of deep Galerkin method and deep Ritz method for elliptic problems with different boundary conditions
近年来，人们对利用深度神经网络求解偏微分方程的兴趣越来越大，特别是在高维情况下。与经典的数值方法，如有限差分法和有限元法不同，深度神经网络中边界条件的强制执行是高度非平凡的。一个通用的策略是使用惩罚方法。在工作中，我们进行了比较研究的椭圆问题的四种不同的边界条件，即，Dirichlet，Neumann，Robin，和周期边界条件，采用了两种有代表性的方法：深度Galerkin方法和深度Ritz方法。在前者中，PDE残差在最小二乘意义下最小化，而相应的变分问题在后者中最小化。因此，可以合理地预期，深层伽辽金方法更适合光滑解，而深层里兹方法更适合低正则性解。然而，通过大量的例子，我们观察到，即使对于光滑解，深度Ritz方法也可以优于深度Galerkin方法，并且具有明显的维数依赖性;对于低正则性解，深度Galerkin方法也可以优于深度Ritz方法。此外，在某些情况下，当边界条件可以以精确的方式实现时，我们发现这样的策略不仅提供了更好的近似解，而且便于训练过程。
2020-07-27 cs.NA math.NA
Comparison of semi-Lagrangian discontinuous Galerkin schemes for linear and nonlinear transport simulations
University of Delaware（特拉华大学）；Texas Tech University（德克萨斯理工大学）
本文比较了线性和非线性传输模拟中半拉格朗日间断有限元方案的性能，提供了选择最优求解器的实用指南。
2019-03-29 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Orbit-Level Transfer Matrix for the 3D Fourier-Galerkin Navier-Stokes System on the Periodic Torus: Explicit Orbit-Triad Incidence Bounds and Deterministic Row-Sum Estimates
City University of Hong Kong（香港城市大学）
本文研究了在周期托勒密上利用全八面体对称群Oh对三维不可压缩纳维-斯托克斯方程进行立方傅里叶-伽辽金截断后的非线性相互作用，通过轨道级转移矩阵M_N(u)和壳切片中的轨道三元组发生次数估计，得出N^{4+ε}的界及确定性行和界。
2026-04-14 cs.NA math-ph math.AP
Analysis of new stabilized hp discontinuous Galerkin methods for elasticity problem
Henan University（河南大学）
本文提出三种新的hp不连续伽辽金方法用于弹性问题，并通过超惩罚技术证明了能量范数和L²范数下的最优收敛阶，最后通过数值实验验证了理论结果。
2016-02-09 cs.NA math.NA
A comparison of semi-Lagrangian discontinuous Galerkin and spline based Vlasov solvers in four dimensions
本文的目的是在四维Vlasov-泊松方程的背景下比较两种半拉格朗日方法。更具体地说，我们的目标是比较最近开发的半拉格朗日间断Galerkin计划与欧拉Vlasov模拟（即使用三次样条插值）的事实上的标准的性能。为此，我们进行模拟非线性朗道阻尼和双流不稳定性，并提供基准的SeLaLib和SLDG代码（无论是在工作站上，并使用MPI的集群）。我们发现，半拉格朗日间断Galerkin格式显示出适度的改善，在运行时间的非线性朗道阻尼和双流不稳定性的大幅改善。应该强调的是，这些结果是显着不同的渐近制度（有利于样条插值）获得的结果。因此，我们得出结论，传统的方法来评估数值方法是误导，即使是短时间的模拟。此外，在半拉格朗日间断伽辽金方法中没有任何全对全通信，这使其在扩展到256个以上的核心时具有决定性的优势。
2018-03-06 cs.NA math.NA physics.comp-ph
An unconditionally stable algorithm for generalised thermoelasticity based on operator-splitting and time-discontinuous Galerkin finite element methods
University of Cape Town（开普敦大学）；Centre for Research in Computational and Applied Mechanics (CERECAM)（计算与应用力学研究中心）
本文提出一种基于运算分裂和时空不连续有限元方法的高效时间步进算法，用于非经典热弹性理论问题。算法将问题分为机械和热两个子问题，通过时空不连续有限元方法实现无条件稳定性。
2015-05-04 cs.NA math.NA
Comparison of reduced models for blood flow using Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods
Rice University（莱斯大学）；University of Houston（休斯顿大学）；Baylor College of Medicine（贝勒医学院）；Texas Children’s Hospital（德州儿童医院）
本文系统比较了几种血流简化模型，探讨了生理相关血管参数、网络拓扑和边界数据对模型性能的影响，采用Runge-Kutta间断有限元方法进行离散化。
2016-04-17 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Numerical boundary conditions in Finite Volume and Discontinuous Galerkin schemes for the simulation of rarefied flows along solid boundaries
对稀薄气体动力学BGK方程的两种标准有限体积格式和间断Galerkin方法进行了数值比较。我们特别注意的数值边界条件，以保持收敛速率的方法。我们的大部分分析依赖于一个一维的问题（Couette流），但我们也提出了一些结果的二维空气动力学流。
2020-03-12 cs.NA math.NA
Comparison of the high-order Runge-Kutta discontinuous Galerkin method and gas-kinetic scheme for inviscid compressible flow simulations
本文系统比较了高阶RKDG方法与GKS在无粘可压缩流动模拟中的表现，重点考察数值通量选择、空间重构方式及CFL约束差异，通过大量数值测试分析两种方法在精度、稳定性和强间断捕捉能力上的优劣。
2024-04-30 cs.NA math.NA
Nonlinear model reduction: a comparison between POD-Galerkin and POD-DEIM methods
几种非线性模型的减少技术进行了比较的三种情况下的非平行版本的Kuramoto-Sivashinsky方程，瞬态制度的流动通过一个圆柱体在$Re=100$和充分发展的流动通过一个圆柱体在相同的雷诺数。控制方程的线性项通过Galerkin投影到流动状态的POD基上来减少，而减少的非线性对流项通过Galerkin投影到相同的状态基上、通过Galerkin投影到表示非线性的POD基上或通过将离散经验插值方法（DEIM）应用到非线性的POD基上来获得。降阶模型的质量进行评估，其稳定性，准确性和鲁棒性，并引入和比较适当的定量措施。特别是，减少的线性项的性能进行比较，那些满量程的条款，和非线性二次项的结构进行了分析，以保持动能。结果表明，所有三个减少技术提供了良好的和相似的结果的情况下，Kuramoto-Sivashinsky方程和极限环缸流。对于流过圆柱体的瞬态流态的情况，只有纯Galerkin技术是成功的，而DEIM技术产生在有限时间内发散的降阶模型。
2020-05-06 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Contraction and optimality properties of adaptive Legendre-Galerkin methods: the 1-dimensional case
Politecnico di Torino（都灵理工大学）；University of Maryland（马里兰大学）；Politecnico di Milano（米兰理工大学）
针对椭圆边值问题的自适应谱/$hp$离散化，研究一维自适应勒让德-伽辽金方法的收敛性与最优性，提出带粗化步骤的算法以实现Gevrey类意义下的最优逼近。
2012-06-24 cs.NA math.NA
Superconvergence of discontinuous Galerkin method for scalar and vector linear advection equations
本文利用傅里叶分析研究了一维标量线性平流方程半离散间断Galerkin方法的超收敛性。本文给出了用$L_2$投影、Gauss-Radau投影和Cao等人提出的其它投影进行初始离散时的误差界和渐近误差。为了教学的目的，以两种不同的方式计算误差。在第一种方法中，我们计算的数值解和精确解的特殊插值之间的差异，并表明，它包括一个渐近误差的顺序$2k+1$和一个瞬态误差的较低的顺序。在第二种方法中，由Chalmers和Krivodonova，我们计算的误差直接分解成物理和非物理模式，并获得与第一种方法的协议。然后，我们扩展到矢量守恒律的分析，解决了使用拉克斯-弗里德里希通量。我们证明了超收敛具有相同的阶。通过对标量和矢量平流方程的数值实验，证明了该方法的误差界和渐近误差。
2021-01-31 cs.NA math.NA
On the equivalence of semi-discrete Active Flux and Discontinuous Galerkin methods and a comparison of their performance
Imperial College London（伦敦帝国理工学院）
本文证明半离散主动流法与间断有限元法在一类线性及非线性问题中等价，并通过数值实验展示主动流法在误差相同条件下更经济，同时揭示了DG超收敛性与Radau多项式零点的关系。
2026-03-18 cs.NA math.NA
On the relation between Galerkin approximations and canonical best-approximations of solutions to some non-linear Schrödinger equations
本文针对Gross-Pitaevskii型非线性薛定谔方程，证明其Galerkin解在$L^2$和典范$H^1$范数下收敛到精确解的典范最佳近似的速率更高，结果适用于协调有限元与谱Galerkin方法。
2025-02-11 cs.NA math.NA
On the error propagation of semi-Lagrange and Fourier methods for advection problems
本文研究对流方程数值格式在要求高精度情况下的误差传播。所考虑的数值方法是基于快速傅里叶变换，多项式插值（半拉格朗日方法使用拉格朗日或样条插值），和一个不连续的Galerkin半拉格朗日方法（这是保守的，每个单元格存储一个以上的值）。我们证明，通过进行数值实验，在文献中给出的最坏情况下的误差估计的插值为基础的半拉格朗日方法的误差传播提供了一个很好的解释。对于间断Galerkin半拉格朗日方法，然而，我们发现，半拉格朗日误差估计的特性（即误差成比例地增加的时间步长的数目）是没有观察到的。我们提供了这种行为的解释，并进行数值模拟，证实了不同的定性特征的错误，在两个各自类型的半拉格朗日方法。基于快速傅里叶变换的方法是精确的，但是由于舍入误差，容易受到时间步长数目中的误差的线性增加的影响。我们将展示如何修改的Cooley-Tukey算法，以获得一个误差的增长是成比例的时间步长的数量的平方根。最后，我们表明，对于一个简单的模型，我们的结论是正确的，如果平流求解器被用作分裂计划的一部分。
2014-06-07 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin time integration for second-order differential problems: formulations, analysis, and analogies
本文系统研究了间断伽辽金方法作为二阶振荡系统时间积分器的性能，建立了二阶公式的收敛性理论及与Newmark等经典格式的等价关系，并对比了一阶与二阶公式在精度和计算成本上的表现。
2025-05-09 cs.NA math.NA
An interpolated Galerkin finite element method for the Poisson equation
在用有限元法求解泊松方程时，我们用一个自由度，用给定的拉普拉斯算子--偏微分方程的右端函数进行插值。有限元解是在较小的向量空间中的伽辽金投影。其思想类似于标准有限元法中边界条件的插值。由于采用逐点插值，我们的方法得到了一个更小的方程组和一个更好的条件数。对于$P_k$（$k\ge 3$）有限元，每个单元上的未知数数量从$(k^2+3k+2)/2$显著减少到$3k$。在三角形网格上构造了二维$P_2$协调插值单元和$P_k$（$k\ge3$）协调插值单元。证明了这种插值伽辽金有限元法收敛于最优阶。数值试验和与标准有限元的比较，验证了理论和插值伽辽金有限元法的优点。
2020-10-04 cs.NA math.NA
A posteriori error analysis of a local adaptive discontinuous Galerkin method for convection-diffusion-reaction equations
提出了求解对流扩散反应方程的一种局部自适应间断Galerkin方法。该方法是基于粗网格和迭代提高解决方案的精度，通过解决局部椭圆问题的细化子域。对于纯扩散问题，我们已经证明了该格式在极小正则性假设下收敛[A. Abdulle和G.Rosilho de Souza，ESAIM：M2AN，53（4）：1269- 1303，2019]。在本文中，我们提供了一个算法的自动识别的局部椭圆问题的子域采用通量重建策略。可靠的误差估计器的本地自适应方法。与经典的非局部自适应算法的数值比较表明了该方法的有效性。
2021-12-10 cs.NA math.NA
Capturing near-equilibrium solutions: a comparison between high-order discontinuous Galerkin methods and well-balanced schemes
平衡或定常解通常通过双曲输运项和源项之间的精确平衡来进行。这样的平衡解决方案的影响，截断误差，防止任何经典的数值方案捕获的小振幅波的物理意义的演变。为了克服这个问题，我们比较了两种常用的策略：去非常高的顺序，并大大减少了截断误差的平衡解决方案，或设计一个特定的计划，通过建设的平衡，保持准确，所谓的平衡的方法。我们提出了一个现代的数值实现这两种策略，并比较它们的细节，使用流体静力学，但也动态平衡的几个简单的测试案例的解决方案。最后，我们应用我们的方法来模拟的原行星盘在其恒星周围的离心平衡和模型与嵌入式行星的相互作用，说明在一个现实的应用程序中的强度这两种方法。
2018-08-21 astro-ph.IM cs.NA math.NA
An optimal control deep learning method to design artificial viscosities for Discontinuous Galerkin schemes
本文提出用最优控制框架和神经网络构造人工粘性，通过梯度反向传播训练以减少高阶间断伽辽金格式的非物理振荡，数值实验表明其效果达到或优于文献方法。
2023-09-21 cs.NA math.NA
Solving Heat Conduction Problems by the Direct Meshless Local Petrov-Galerkin (DMLPG) method
University of Isfahan（伊斯法罕大学）；Universität Göttingen（哥廷根大学）
提出直接无网格局部Petrov-Galerkin (DMLPG) 方法，通过直接恢复节点上的测试泛函避免移动最小二乘形函数，从而降低数值积分成本，用于瞬态热传导问题的数值求解。
2013-04-06 cs.NA math.NA
An Enriched Galerkin Method for the Stokes Equations
基于分段线性元和分段常数元，提出了求解斯托克斯方程的一种新的增广Galerkin（EG）格式.所提出的EG方法增加了符合分段线性空间的速度增加了一个额外的自由度，对应于一个不连续的线性基函数的每个元素。因此，自由度的总数显着减少相比，标准的符合，不符合，和不连续的伽辽金计划的斯托克斯方程。我们展示了新的EG方法的适定性，并证明了该计划的最佳收敛。对于由此产生的大规模不确定线性系的解决方案，我们提出了强大的块预条件，产生独立的离散化和物理参数的可扩展的结果。数值结果证实了离散化的收敛速度和各种测试问题的线性求解器的鲁棒性。
2022-04-09 cs.NA math.NA
Spatial and Modal Superconvergence of the Discontinuous Galerkin Method for Linear Equations
本文研究了间断有限元方法在均匀网格上的空间和模态超收敛性，揭示了物理模态的误差积累阶数及非物理模态的指数衰减特性，并展示了超收敛点向Radau点的快速趋近。
2015-01-21 cs.NA math.NA
Numerical approximation of the generalized regularized long wave equation using Petrov-Galerkin finite element method
Nevsehir Haci Bektas Veli University（内夫谢希尔海基拜塔什维利大学）；University of Dhaka（达卡大学）
本文研究了使用Petrov-Galerkin有限元法对非线性广义正则长波方程进行数值近似的有效性，通过三个测试问题验证了该方法的精度和稳定性，结果与已有研究相比更为精确有效。
2019-04-06 cs.NA math.NA
Local Fourier Analysis of a Space-Time Multigrid Method for DG-SEM for the Linear Advection Equation
在本文中，我们提出了一个局部傅里叶分析的时空多重网格求解器的双曲型测试问题。时空离散在时间上采用任意高阶间断Galerkin谱元方法，在空间上采用一阶有限体积法。我们应用块雅可比平滑，并考虑在时空粗化，以及时间粗化。光滑和两个网格方法的粗化策略的渐近收敛因子。对于高CFL数，两种策略的收敛因子对于一阶是$0.5$，对于二阶精确时间近似是$0.375$。在一个和两个空间维度的不同顺序的时空DG-SEM离散的数值实验给出了更好的收敛速度周围的$0.3$和$0.25$足够高的CFL数。
2021-12-06 cs.NA math.NA
Galerkin-Bernstein Approximations for the System of Third-Order Nonlinear Boundary Value Problems
本文提出使用Galerkin加权残差法结合Bernstein多项式基函数求解一维三阶非线性边值问题组，详细推导了矩阵形式公式，实验表明结果单调收敛且可将高阶问题降阶处理。
2024-04-23 cs.NA math.NA
Localized solutions and filtering mechanisms for the discontinuous Galerkin semi-discretizations of the 1-d wave equation
BCAM - Basque Center for Applied Mathematics（巴斯克应用数学中心）；Ikerbasque, Basque Foundation for Science（伊卡拉索克，巴斯克科学基金会）
针对一维波动方程的P1间断Galerkin半离散化，通过傅里叶分析揭示物理分量与虚假分量的相互作用，构建任意小速度的波包，并发展滤波机制恢复均匀传播速度，应用于控制问题的数值逼近。
2010-08-01 cs.NA math.AP math.NA
Comparison of variational discretizations for a convection-diffusion problem
本文针对模型对流-扩散问题，基于测试空间气泡修正提出一种迎风有限元离散化方法，通过最优范数表示分析比较多种离散化方法，发现气泡迎风Petrov-Galerkin方法在一维模型中性能最佳，且结果可扩展至多维情况。
2024-02-15 cs.NA math.NA
On efficient multigrid solvers for mixed-degree local discontinuous Galerkin multiphase Stokes problems
Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）
本文设计了高效的多网格求解器，用于求解混合阶局部间断Galerkin方法离散的多相Stokes问题，通过局部傅里叶分析优化了平滑器，实现了快速收敛。
2026-10-14 cs.NA math.NA
A space-time Trefftz discontinuous Galerkin method for the linear Schrödinger equation
针对分段常数势 Schrödinger 方程，提出以局部满足方程的非多项式复波函数构造的时空 Trefftz 间断 Galerkin 方法，减少自由度，并证明稳定性及一、二维最优高阶 h-收敛。
2021-11-23 cs.NA math.NA
Adaptive enriched Galerkin methods for miscible displacement problems with entropy residual stabilization
The Center for Subsurface Modeling, The Institute for Computational Engineering and Sciences, The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校计算工程与科学研究所地下建模中心）
本文提出了一种自适应增强Galerkin方法结合熵残差稳定化，用于模拟不可混溶置换问题，展示了该方法在处理异质多孔介质和Hele-Shaw细胞中粘性指进不稳定性方面的有效性。
2016-10-23 cs.NA math.NA
A modified convolution quadrature combined with the method of fundamental solutions and Galerkin BEM for acoustic scattering
本文描述了一种基于时域边界整表示的声外散射问题的数值方法。作为所得时域边界积分方程的空间离散，我们使用基本解方法（MFS）或Galerkin边界元方法（BEM）。在时间上，我们应用基于A稳定线性多步法的标准卷积求积（CQ）或修改的CQ方案。众所周知，双曲型问题的标准低阶CQ格式具有很强的耗散性和色散性。修改后的方案旨在避免这些属性。我们仔细描述了修改后的方案及其实施的差异，由于不同的空间离散突出。大量的数值实验表明了改进格式的有效性，与标准格式相比误差减小了两个数量级
2022-03-02 cs.NA math.NA
A-priori error estimation for space-time Galerkin POD for linear evolution problems
Technische Universität Braunschweig（布伦瑞克工业大学）；Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
本文提出了一种针对线性演化问题时空proper orthogonal decomposition（POD）的先验误差估计，分析了时空POD方法在求解线性抛物型偏微分方程时的误差，并通过数值实验验证了理论界限。
2026-06-05 cs.NA math.NA
Non-Intrusive Polynomial Chaos Method Applied to Full-Order and Reduced Problems in Computational Fluid Dynamics: a Comparison and Perspectives
本文将基于非侵入式多项式混沌展开的不确定性量化方法应用于翼型流CFD问题，为降低计算成本引入POD-Galerkin降阶模型，并分析了替代ROM对FOM求解精度及UQ结果的影响。
2019-01-08 cs.NA math.NA
An FFT-based Galerkin Method for Homogenization of Periodic Media
University of West Bohemia（西波希米亚大学）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）；VŠB-TU Ostrava（俄斯特拉发技术大学）
本文通过证明莫林克-苏quet方法等价于基于三角多项式逼近空间的伽辽金离散化，展示了FFT方法在均质化中的理论支持，并改进了原始求解器性能。
2014-11-20 cond-mat.mtrl-sci cs.NA math.AP
A comparison between the Split Step Fourier and Finite-Difference method in analysing the soliton collision of a type of Nonlinear Schrödinger equation found in the context of optical pulses
University of Cape Town（开普敦大学）；Department of Mathematics and Applied Mathematics（数学与应用数学系）
研究光脉冲背景下一种非线性薛定谔方程的求解方法，比较分裂步与有限差分方法的性能，发现参数S的特定值下分裂步方法更优。
2017-09-14 cs.NA math.NA
A comparison of interpolation techniques for non-conformal high-order discontinuous Galerkin methods
在复杂模拟的模型中加入移动几何特征的能力是许多领域的共同要求。例如，航空应用中的流体力学通常以旋转（例如涡轮机，叶轮和风扇叶片）或滑动部件（例如在压缩机或涡轮叶栅模拟中）为特征。随着对这些情况的高保真度建模的趋势越来越明显，特别是结合高阶不连续Galerkin方法的使用，因此需要了解静态网格和滑动/旋转部分之间的界面的不同数值处理如何影响整体解决方案的质量。在这篇文章中，我们比较了两种不同的方法来处理这种非共形接口。第一种是所谓的砂浆方法，其中沿边缘的通量积分根据非共形网格的位置进行分裂。第二种是文献较少的点对点插值方法，其中通量评估的内部和外部量是从位于界面相对侧的元素插值的。虽然砂浆的方法具有显着的优势，在其数值特性方面，因为它保留了DG方法的局部守恒性质，在复杂的三维网格的背景下，它构成了显着的实施困难，点到点的方法更容易处理。在本文中，我们研究每种方法的数值特性，不仅关注于观察光滑解的收敛阶，而且还关注每种方法在线性和非线性双曲问题的欠分辨模拟中的表现，以告知这些方法在隐式大涡模拟中的使用。
2021-02-22 cs.CE cs.NA math.NA
Stochastic Galerkin and Monte-Carlo methods for parabolic problems: Numerical performance of variational matrix-free approximations
Helmut Schmidt University, University of the Federal Armed Forces Hamburg（赫尔穆特·施密特大学，德国联邦国防军汉堡大学）；University of Magdeburg, Institute for Analysis and Numerics（马格德堡大学，分析与数值研究所）
本文研究了随机伽辽金和蒙特卡洛方法在抛物问题中的应用，比较了变分无矩阵近似法的数值性能，展示了随机伽辽金方法的优越性。
2026-05-20 cs.NA math.NA
Adaptive solution of initial value problems by a dynamical Galerkin scheme
研究了演化偏微分方程的动态Galerkin格式，其中投影算子随时间变化。当选择基函数的子集时，投影算子在时间上是不可微的，并且必须使用积分公式。我们分析了投影方程的解的存在性和唯一性，并证明了非光滑投影算子引入耗散，这一结果对偏微分方程的自适应离散化至关重要，例如，自适应小波方法对于Burgers方程，我们数值说明阈值的小波系数，从而改变投影空间，确实会引入能量耗散。我们讨论的后果，所谓的“伪自适应”的模拟，在傅立叶空间的时间演化和去混叠，而阈值进行小波空间。给出了一维无粘Burgers方程和二维及三维不可压Euler方程的数值算例。
2021-11-08 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Pricing European and American Options under Heston Model using Discontinuous Galerkin Finite Elements
本文利用内罚间断伽辽金有限元方法（dGFEM）研究了标的资产价格服从Heston模型的欧式和美式期权的定价问题。以欧式期权、数字看涨期权和美式看跌期权为例，说明了采用Rannacher平滑作为时间积分器的dGFEM空间离散方法在非光滑初始和边界条件下的优越性.对流主导的赫斯顿模型消失的波动率有效地解决了利用自适应dGFEM。为了快速求解美式期权的线性互补问题，提出了一种基于范数预处理dGFEM的投影超松弛（PSOR）方法.通过与其他方法的比较分析和数值实验，证明了dGFEM在期权定价中的有效性和准确性。
2020-03-15 cs.NA math.NA q-fin.CP
Postprocessing Galerkin method applied to a data assimilation algorithm: a uniform in time error estimate
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Texas A&M University at Qatar（卡塔尔德克萨斯农工大学）
本文将后处理伽辽金方法应用于连续数据同化算法，通过合适条件下的松弛参数、粗网格分辨率和数值方案分辨率，获得时间一致的误差估计，适用于二维纳维-斯托克斯方程及其他演化方程。
2016-12-21 cs.NA math.AP math.NA
