求解环面形曲面上边界积分方程的快速 Fourier-Galerkin 方法
A Fast Fourier-Galerkin Method for Solving Boundary Integral Equations on Torus-Shaped Surfaces
AI总结：
针对环面形曲面上的边界积分方程，提出利用矩阵元素衰减模式进行稀疏截断的快速 Fourier-Galerkin 方法，实现 $\mathcal{O}(N\ln^2 N)$ 非零元、拟最优收敛与稳定性。
摘要：
本文提出一种快速 Fourier-Galerkin 方法，用于求解环面形曲面（即与环面微分同胚的曲面）上的边界积分方程。我们分析积分算子核的性质，以推导表示矩阵中元素的衰减模式。利用该衰减模式，我们设计了一种截断策略，将积分算子的稠密表示矩阵高效压缩为仅含 $\mathcal{O}(N\ln^2 N)$ 个非零元素的更稀疏形式，其中 $N$ 表示离散化方法的自由度。我们证明该截断策略达到 $\mathcal{O}(N^{-p/2}\ln N)$ 的拟最优收敛阶，其中 $p$ 表示边界积分方程精确解的正则度。此外，我们证实该截断策略在整个求解过程中保持稳定性。数值实验验证了我们的理论发现，并展示了所提方法的有效性。
英文摘要：
In this paper, we introduce a fast Fourier-Galerkin method for solving boundary integral equations on torus-shaped surfaces, which are diffeomorphic to a torus. We analyze the properties of the integral operator's kernel to derive the decay pattern of the entries in the representation matrix. Leveraging this decay pattern, we devise a truncation strategy that efficiently compresses the dense representation matrix of the integral operator into a sparser form containing only $\mathcal{O}(N\ln^2 N)$ nonzero entries, where $N$ denotes the degrees of freedom of the discretization method. We prove that this truncation strategy achieves a quasi-optimal convergence order of $\mathcal{O}(N^{-p/2}\ln N)$, with $p$ representing the degree of regularity of the exact solution to the boundary integral equation. Additionally, we confirm that the truncation strategy preserves stability throughout the solution process. Numerical experiments validate our theoretical findings and demonstrate the effectiveness of the proposed method.
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