Mahler Measure of "Almost" Reciprocal Polynomials
J. C. Saunders
在这里，我们给出了一个下界的马勒措施的一组多项式是“几乎”倒数。这里的“几乎”倒数意味着每个多项式的最外面的系数按比例相互镜像，而这种模式在最里面的系数中被打破。
Here we give a lower bound of the Mahler measure on a set of polynomials that are "almost" reciprocal. Here "almost" reciprocal means that the outermost coefficients of each polynomial mirror each other in proportion, while this pattern breaks down for the innermost coefficients.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Smyth's Conjecture on the Mahler Measure of non-reciprocal trinomials of height $1$
本文证明了Smyth关于高度为1的非互反三项式Mahler测度的猜想，精确确定了其与最小极限点$\rho$的大小关系，并猜想该结果可推广至所有非互反多项式。
The distribution of Mahler's measures of reciprocal polynomials
本文研究了复系数有界偶数次互反多项式的Mahler测度的分布。我们发现，与Mahler测度有关的分布函数在[1，\infty）上是一个互反（或反互反）Laurent多项式，在[0，1）上是恒零的.此外，这个劳伦多项式的系数是有理数乘以π的幂。我们是通过计算分布函数的梅林变换得出这一发现的。这种梅林变换是一个偶（或奇）有理函数，其极点位于小整数处，残差是有理数乘以π的幂。我们还使用这种梅林变换表明，一组倒数多项式的体积与复系数，有界度和马勒的措施小于或等于一个是一个有理数倍的幂π。
Mahler measure of a non-reciprocal family of elliptic curves
本文研究单参数椭圆曲线族 $Q_α$ 的对数 Mahler 测度，针对文献未涉及的 $α\in(-1,3)$ 情形建立了超几何公式，并数值验证及部分证明了其与椭圆曲线 $L$ 函数导数的关系。
The reciprocal Mahler ensembles of random polynomials
本文研究了Mahler测度为常数有界的$N$次复多项式和实多项式的根。在变量变换后，这减少到一个概括的Ginibre的复杂和真正的合奏随机矩阵的权函数（矩阵的特征值）被取代的指数平衡潜力的间隔$[-2,2]$的实轴上的复平面。在复杂的（真实的）情况下，随机根形成一个行列式（Pfuman）点过程，在这两种情况下，经验措施的根弱收敛到反正弦分布支持$[-2,2]$。在该区域之外，内核在没有缩放的情况下收敛，这意味着除其他外，存在远离$[-2,2]$的正的预期离群值数量。这些内核，以及在散装$(-2,2)$和端点$\{-2,2\}$的内核的缩放限制。这些内核似乎是新的，我们比较它们的行为与相关的内核所产生的随机多项式的（非互易）马勒措施合奏以及经典的正弦和贝塞尔内核。
Mahler measure of polynomials defining genus 2 and 3 curves
本文研究了500多个亏格为2和亏格为3的倒数多项式曲线族的Mahler测度。数值上我们发现这些多项式的Mahler测度与$L$ -函数的特殊值之间的关系。我们还发现了100多个身份之间的马勒措施，涉及不同的家庭的多项式定义属2和属3曲线。进一步研究了亏格为2的几类非互易多项式的Mahler测度，并通过数值计算找到了这几类非互易多项式的Mahler测度与椭圆曲线的$L$ -函数的特殊值之间的关系.我们还发现这些非互易家庭和回火多项式定义属1曲线的马勒措施之间的身份。我们将通过考虑由这些多项式定义的曲线的$K_2$中的某些元素的推进和拉回，并将Beilinson猜想应用于曲线的$K_2$来解释这些关系。我们证明了亏格2和亏格3曲线族的$K_2$中存在两个和三个显式线性无关元。
Some results on asymptotic versions of Mahler's problems
该研究属于数论领域，证明了两类关于系数几乎全有界的超越函数的结果，推进了Mahler问题渐近版本的相关研究。
The number of unimodular roots of some reciprocal polynomials
本文引入了一个中心系数固定的整系数倒数整系数多项式序列$P_{2n}$。证明了当$d$趋于无穷大时，$P_{2n}$的非幺模根数与其次数$d$之比有极限.我们提出了一个计算极限的算法和一个逼近极限的数值方法。如果$P_{2n}$是一个固定数目的单项式的总和，我们确定的中心系数，使比有最小限度。推广了多元多项式的比极限。一些例子表明一个定理多项式在两个变量这是类似于博伊德的极限公式马勒措施。
Approximation of the number of nonunimodular zeros of a self-reciprocal polynomial
本文研究由二元多项式构造的自互反多项式序列中非幺模零点占比的极限，提出多种逼近方法，并利用已知精确值比较误差与耗时，揭示两种变量代入次序的极限比值通常不同。
On the arithmetic and the geometry of skew-reciprocal polynomials
我们重新制定莱默的问题从1933年和一个问题，由于Schinzel和Zassenhaus从1965年的比较方面的马勒措施和房屋，分别为一元整数倒数和斜倒数多项式的相同程度。这意味着理解方向保持和方向反转映射类之间的区别至少和回答这些问题一样复杂。
Asymptotic expansion of the difference of two Mahler measures
我们证明了对于几乎所有复系数多项式P（x，y），P（x，y）和P（x，x^n）的对数Mahler测度之差可以展开为一种形式级数，类似于1/n的渐近幂级数展开.这推广了Boyd的一个结果。我们还表明，这样的扩展是唯一的，并提供了一个公式，其系数。当P具有代数系数时，展开式中的系数是具有代数系数的代数数的多项式的线性组合。
The number of nonunimodular roots of a reciprocal polynomial
本文引入了一个整系数单倒数整系数多项式序列P_d，它的中心系数和外围系数都是固定的.证明了当d趋于无穷大时，P_d的非幺模根数与其次数d之比存在极限L.我们表明，如果一个多项式的系数可以是任意大的模，那么L可以任意接近0。我们似乎有理由相信，如果系数是有界的，那么类似的莱默猜想是正确的：要么L = 0，要么存在一个间隙，使L不能任意接近0。给出了计算极限比的一种算法及其近似的数值方法。我们估计了一族多项式的极限比。我们计算了与许多具有小马勒测度的二元多项式相关的多项式的极限比。
Relating Mahler measures and Dirichlet $L$-values: new evidence for Chinburg's conjectures
本文通过新的数值例子验证了陈伯格猜想，展示了8个强形式和18个弱形式的实例，基于Boyd和Rodriguez-Villegas的工作，证明了允许环面系数的弱猜想。
Series of Reciprocal Powers of k-almost Primes
将半素数和k-几乎素数的逆s次幂和转化为普通素zeta函数的幂积和。从置换群的循环分解中已知的多项式系数起展开系数的作用。建立在普通素zeta函数的已知收敛加速的基础上，对于指数k=2，.，6和整数幂s=2，...，8.
The range of multiplicative functions on C[x], R[x] and Z[x]
Mahler's measure is generalized to create the class of { \it multiplicative distance functions}. These functions measure the complexity of polynomials based on the location of their zeros in the complex plane . Following work of S.-J. Chern and J. Vaaler in \cite{chern-vaaler} , we associate to each multiplicative distance function two families of analytic functions which encode information about its range on \C [x] and \R [x]. These { \it moment functions} are Mellin transforms of distribution functions associated to the multiplicative distance function and demonstrate a great deal of arithme…
Machine learning the arithmetic of Boyd's Mahler measure conjectures
该研究利用机器学习与统计分析，探究博伊德马勒测度猜想中有理数$r_k$的算术性质，重现关键观测并发现素数2、3下的特殊算术结构。
On the Mahler measure of Jones polynomials under twisting
我们表明，马勒措施的琼斯多项式和有色琼斯多项式收敛下扭曲的任何链接。而且，这些多项式的根在扭转下几乎都趋近于单位圆。在Mahler测度收敛性方面，Jones多项式在Dehn手术下表现出双曲体积的性质.对于椒盐卷饼链接P（a_1，...，a_n），我们证明了Jones多项式的Mahler测度在所有a_i趋于无穷大时收敛，在n趋于无穷大时对a_i =常数逼近无穷大，就像双曲体积一样.我们还表明，经过足够多的扭曲，琼斯多项式和任何有色琼斯多项式的系数向量分解成固定的块根据扭曲的股数。
Irrationality of the reciprocal sum of doubly exponential sequences
本文证明比值受特定范围约束的正整数序列几乎由其倒数之和唯一确定，并由此证明对几乎所有 α>1，渐近于 α^{2^n} 的序列倒数之和为无理数，同时为 Erdős–Graham 公开问题提供启发。
Multiple reciprocal sums and multiple reciprocal star sums of polynomials are almost never integers
令$n$和$k$是整数，使得$1\le k\le n$和$f(x)$是整数系数的非零多项式，使得对于任何正整数$m$，$f(m)\ne 0$。对于任何正整数的$k$元组$\vec{s}=(s_1, ..., s_k)$，我们定义$$H_{k,f}(\vec{s}, n):=\sum\limits_{1\leq i_{1}<\cdots<i_{k}\le n} \prod\limits_{j=1}^{k}\frac{1}{f(i_{j})^{s_j}}$$和$$H_{k,f}^*(\vec{s}, n):=\sum\limits_{1\leq i_{1}\leq \cdots\leq i_{k}\leq n} \prod\limits_{j=1}^{k}\frac{1}{f(i_{j})^{s_j}}.$$如果所有$s_j$都是1，那么令$H_{k,f}(\vec{s}, n):=H_{k,f}(n)$和$H_{k,f}^*(\vec{s}, n):=H_{k,f}^*(n)$ . Hong和Wang改进了Erdös和Niven以及Chen和Tang的结果，证明了如果$n\geq 4$和$f(x)=ax+b$与$a$和$b$是正整数，则$H_{k,f}(n)$不是整数。同时，当$f(x)$为非负整数系数且次数不小于2时，Luo，Hong，Qian和Wang也建立了类似的结果.对于任何…
A proof of the Conjecture of Lehmer
证明了Lehmer猜想是正确的。证明主要依据：（i）与Rényi-Parry算术动力系统的动态zeta函数$ζ_{\houseα}(z)$有关的Parry上函数$f_{\houseα}(z)$的性质（$β$-移位），对于$α$，房子$\houseα$的倒数代数整数大于1，（ii）发现$ζ_{\houseα}(z)$的极点在单位圆的极限"透镜状"弧上的极限处均匀等分布，当$\houseα$趋向于$1^+$时，产生Mahler测度${\rm M}(α)$的连续透镜状次项${\rm M}_{r}(\houseα)$，（iii）这些极点和次项${\rm M}_{r}(\houseα)$作为动力学度的函数的庞加莱渐近展开。Schinzel-Zassenhaus猜想被证明是正确的。得到了Mahler测度MPDMATHABMU的Dobrowolski型缩减.对某个整数$η\geq 259$，得到了M $(α)$的泛子式是$θ_η^{-1} > 1$，其中$θ_η$是$-1+x+x^η$的正实根. Salem数的集合被证明是由Perron数$θ_{31}^{-1} = 1.08545\ldots$（三项式$-1 - z^{30} + z^{31}$的优势根）从下而定界的。Lehmer的数是否是最小的Salem数仍然未知。对于Mahler测度小于最小Pisot数$Θ= 1.3247\ldots$的代…
A height gap in $GL_d(\overline{\mathbb{Q}})$ and almost laws
E. Breuillard证明了在生成非虚可解群的$GL_d(\overline{\mathbb{Q}})$中矩阵的有限子集$F$具有归一化高度$\widehat{h}(F) \ge ε_d$，对于某些正的$ε_d >0$ .归一化高度$\widehat{h}(F)$是$F$的算术大小的度量，并且该结果可以被认为是Lehmer的Mahler度量问题的非阿贝尔模拟。我们给出了这个结果的一个新的较短的证明。我们的核心思想依赖于紧李群中特定词映射的存在（称为几乎律），其像靠近单位元。
On a class of lacunary almost Newman polynomials modulo p and density theorems
研究了一类缺项整数多项式族的模$p$约化问题，该多项式族与$β$移位的动态zeta函数$ζ_β(z)$有关，其中$β> 1$接近于1.我们简要地回顾一下这个家庭是如何与莱默的问题。关于$\mathbb{F}_p$中零的个数及其因子分解，通过克罗内克平均值定理（被视为均匀分布理论的经典定理的模拟）提出了各种各样的问题。这些问题的部分答案使用结果Schinzel，重新访问的Sawin，Shusterman和斯托尔，和密度定理（Frobenius，Chebotarev，塞尔，罗森）。这些问题产生于寻找整数多项式的Mahler措施> 1小于最小的Salem数1.176280的存在。在某些情况下，得到了这些多项式的零点个数在$\mathbb{F}_p$中的模形式（或模表示）的显式关系。一般来说，它是预期的，因为它必须存在，根据朗兰兹纲领。
Higher Mertens constants for almost primes II
对于$k\ge1$，令$R_k(x)$表示具有$k$素因子的数的倒数和直到$x$，以重数计数。在以前的工作中，作者获得了$R_k(x)$的估计，扩展了Mertens的第二定理，以及对任何$N > 0$的$R_2(x)$的更细尺度估计，直到$(\log x)^{-N}$误差。在这篇文章中，我们建立了极限行为的高Mertens常数的$R_2(x)$估计。我们还将这些结果推广到$R_3(x)$，并对一般情况$k\ge4$进行了评述。
Some Nice Sums are Almost as Nice if you turn them Upside Down
我们将和$\sum_{k=0}^{n-1}{n \choose k}^{-2}$、$\sum_{k=0}^m{m\choose k}^{-1}{a\choose n-k}^{-1}$、$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{q^{-k(k-1)}}{{\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{k}}_q}$以及狄克逊恒等式中的被加数的倒数之和表示为{ \it不定超几何和}乘以（封闭形式）{ \it超几何序列}的乘积
Higher Mertens constants for almost primes
对于$k\ge1$，一个$k$ -几乎素数是一个正整数，正好有$k$素因子，用重数计数。本文给出了$k$ -几乎素数的倒数和的精确渐近性的初等证明。我们的结果与经典分析方法的结果相匹配。我们还研究了这些估计中出现的常数的极限行为，这些估计可以被看作是Mertens常数$β=0.2614...$的更高的类似物。此外，在半素数$k=2$的情况下，我们给出了更精细的尺度和明确的估计，以及一个猜想。
Summing the reciprocal of the polynomial appearing in Fermat's Last Theorem
该研究对费马大定理相关多项式的倒数有限和进行拆分分析，发现其近似线性且斜率与黎曼ζ函数相关，还探讨了余项的收敛性及费马近miss带来的偏差。
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