Group gradings on filiform Lie algebras
我们分类，同构，分次由阿贝尔群幂零丝状李代数的非零秩。在秩为0的情况下，我们描述了获得非平凡的$\Z_k$ -分级的条件。
2013-08-11 math.RA
On cohomology of filiform Lie superalgebras
设基域$\mathbb{F}$是特征不同于2，3的代数闭域。确定了模型丝状李超代数的上同调结合超代数的贝蒂数，并对该结合超代数进行了分解.我们还描述了某些低维丝状李超代数的（除幂）上同调的结合超代数结构。
2018-09-03 math.RA
Completable filiform Lie algebras
确定了零根同构于丝状李代数的可解完备李代数。证明了对任意正整数$n$，存在可解完备李代数，其值在伴随模中的第二上同调群的维数至少为$n$ .
2002-02-27 math.RA
Naturally graded 2-filiform Leibniz algebras
莱布尼茨代数是李代数\cite{loday}的推广。自然分次$p$ -丝状李代数的分类是已知的\cite{C-G-JM}，\cite{J.Lie.Theory}，\cite{AJM}，\cite{Ve} .本文研究了2-filiform Leibniz代数的分类问题。研究了$p$ -丝状Leibniz非李代数的$p=0$（平凡）和$p=1$ \cite{Omirov1} .本文给出了自然分次非Lie 2-filiform Leibniz代数的分类.
2006-11-21 math.RA
Transposed Poisson structures on quasi-filiform Lie algebras of maximum length
该研究聚焦最大长度拟丝状李代数的$\frac{1}{2}$-导子，通过建立交换结合乘法，构造出以这类李代数为伴随代数的非平凡转置泊松代数，为相关代数结构研究提供新构造。
2024-04-22 math.RA
Isomorphism classes and invariants of low dimensional filiform Leibniz algebras
在这项研究中，我们扩展的结果在低维filiform莱布尼兹代数的子类的分类到7维和8维的基础上所使用的技术由Rakhimov和Bekbaev的子类分类自然分级非李filiform莱布尼兹代数。这里考虑的子类源于自然分次丝状李代数。这个子类包含丝状李代数的类，因此，通过对这个子类的分类，我们再次重新审视丝状李代数的分类。我们得到的filifom李代数的列表进行了比较Ancochéa-Mendez和Goze在1988年和Gómez，Jimenez-Merchan和Khakimdjanov在1998年。
2013-12-14 math.RA
On one dimensional Leibniz central extensions of a naturally graded filiform Lie algebra
本文讨论了自然分次丝状李代数的Leibniz中心扩张的分类问题。我们选择一个基础，因为乘法表有一个简单的形式。在低维的情况下，同构类的中心扩张。在参数族轨道的情况下，提供不变函数（轨道函数）。
2010-01-11 math.RA
On deformations of the filiform Lie superalgebra $L_{n,m}$
在本文中，我们回顾了每个丝状李超代数都是超代数$L_{n,m}$的变形。我们研究的偶上循环，使这种幂零变形。一族独立的双线性映射将帮助我们描述这种上循环。最后，建立空间$Z_0^2(L_{n,m},L_{n,m})$的维数的评估。
2001-05-07 math.RA
Classification of (n-5)-filiform Lie algebras
本文考虑$(n-5)$ -丝状李代数的分类问题.这是第一个指数的无限参数化家庭出现，可以看出，在尺寸$7.$此外，我们获得大家庭的特征幂零李代数与幂零指数5，并表明，至少在10维有一个特征幂零李代数与幂零指数4这是代数的导子的幂零李代数。
2000-12-26 math.RA
Solvable Leibniz algebras with naturally graded non-Lie $p$-filiform nilradicals
本文描述了具有自然分次非Lie $p$ -丝状$(n-p\geq4)$诣零根和诣零根的一维可补空间的可解Leibniz代数。此外，还研究了具有交换诣零根和可补空间诣零根的极（最小，最大）维数的可解Leibniz代数。证明了具有交换诣零根的可解Leibniz代数的刚性及其补空间的最大维数。
2016-05-03 math.RA
Leibniz algebras associated with representations of filiform Lie algebras
本文研究了商李代数是自然分次丝状李代数$n_{n,1}.$的Leibniz代数.引入了代数$n_{n,1}$的Fock模，并给出了相应的李代数$L/I$是代数$n_{n,1}$的Leibniz代数$L$的分类，条件是理想$I$是Fock $n_{n,1}$ -模，其中$I$是由$L$的元素平方生成的理想.
2014-12-05 math.RA
On k-abelian, p-filiform Lie algebras
对具有非交换导子代数附加性质的（n-5）-丝状李代数进行了分类。我们证明了这一性质与导子的李代数的结构密切相关;明确地证明了如果一个（n-5）-filiform代数是特征幂零的，那么它一定是2-交换的。我们还给出了k-交换李代数的应用，可解的rigis代数的建设，以及理论的nil代数的抛物子代数的例外简单模型E_{6}的例子。
2001-08-31 math.RA
Index of Graded Filiform and Quasi Filiform Lie Algebras
丝状和拟丝状李代数是一类特殊的幂零李代数。本文的目的是计算这两类幂零李代数的指数并给出正则向量。本文研究了分次丝状李代数$L_{n}$，$Q_{n}$，$n$的$n$维丝状李代数$<8$，分次拟丝状李代数以及零根为$Q_{2n}$的李代数.
2012-12-07 math.RA math.RT
On filiform Lie algebras. Geometric and algebraic studies
有限维丝状K-李代数是幂零的李代数g，它的幂零指数极大，即等于dim g-1.本文给出了特征为0的代数闭域上的丝状代数具有接触线性型（奇维）或辛结构（偶维）的充要条件.如果我们固定一个Vergne基，则丝状n维李代数的集合是由与该固定基相关联的结构常数生成的仿射空间的闭Zebraki子集。然后这个子集是一个代数簇，我们描述在小尺寸的代数组件。
2017-12-01 math.RA
Solvable Leibniz algebras with filiform nilradical
本文继续刻画了零根为丝状代数的可解Leibniz代数。事实上，可解Leibniz代数的零根是一个自然分次filiform Leibniz代数描述在\cite{Campo}和\cite{SolGFil}。在这里，我们扩展到可解的莱布尼茨代数的零根是一个filiform代数的描述。证明了具有丝状李零根的可解Leibniz代数是李代数.
2013-07-05 math.RA
Extensions of solvable Lie algebras with naturally graded filiform nilradical
本文研究了具有自然分次丝状零根的可解李代数的扩张。本文证明了存在两个自然分次丝状李代数$n_{n, 1}$和$Q_{2n}.$.我们找到了代数$n_{n, 1}$的所有一维中心扩张，并证明了$Q_{2n}$的任何扩张都是可裂的.然后，我们找到了具有零根$n_{n, 1}$的可解李代数的一维扩张。证明了具有最大余维的诣零根$n_{n, 1}$的可解李代数存在唯一的非分裂中心扩张.此外，还找到了余维为1的具有零根$n_{n, 1}$的可解李代数的所有一维扩张，并将这些可解代数与具有零根的可解代数进行了比较，证明了这些可解代数都是代数$n_{n, 1}$的一维中心扩张.
2022-02-22 math.RA
Solvable Leibniz algebras with naturally graded non-Lie $p$-filiform nilradicals and maximal complemented space of its nilradical
本文是研究具有给定诣零根的可解Leibniz代数的一部分。本文将可解Leibniz代数刻画为同构，其中诣零根是自然分次$p$ -丝状非Lie Leibniz代数$(n-p\geq4)$，且诣零根的补空间具有最大维数.此外，在所得到的代数中，我们指出了刚性代数和完备代数
2019-02-11 math.RA
Classification of solvable Leibniz algebras with naturally graded filiform nilradical
本文证明了用幂零根的非幂零外导子来描述具有给定幂零根的可解李代数的方法同样适用于Leibniz代数的情形。利用这种方法，我们将自然分次丝状李代数的可解李代数的分类推广到了Leibniz代数的情形。也就是说，给出了诣零根为自然分次丝状Leibniz代数的可解Leibniz代数的分类。
2012-03-21 math.RA
Bracket ideals and Hilbert polynomial of filiform Lie algebras
Departamento de Álgebra e IMUS. Facultad de Matemáticas, Universidad de Sevilla（塞维利亚大学数学学院）；Dpto. de Ingeniería. Universidad Loyola Andalucía（安大略洛约拉大学工程学院）
本文研究了filiform李代数的括号理想和Hilbert多项式，证明该多项式能区分无法被传统不变量区分开的同构类。
2026-03-06 math.RA
Cohomologically rigid solvable Lie superalgebras with model filiform and model nilpotent nilradical
本文给出了一类任意维数的上同调刚性可解李超代数$SL^{n,m}$，它的根是模丝状李超代数$L^{n,m}$的零根.此外，我们还得到了一类具有幂零根的上同调刚性可解李超代数，即一般特征序列的模型幂零李超代数。这两种情况都对应于给定诣零根的最大维数的可解李超代数。另外，我们将证明李超代数族$SL^{n,m}$如果定义在一个奇特征域上是可以变形的。
2021-08-31 math.RA math.RT
Solvable Infinite Filiform Lie Algebras
无限丝状李代数L是剩余幂零的，它关于下中心序列的分次在每一次上都有最小可能维数，但仍然是无限的.这意味着gr（L）在一次中是二维的，在所有更高次中是一维的。我们证明，如果L是可解的，那么[L，L]已经是阿贝尔的。在这种情况下的同构类在Bratzlavsky的一篇论文中给出，但证明不完整。当基域为复数时，我们作了必要的附加计算，并重述了Bratzlavsky的结果。
2009-11-24 math.RA
Isomorphism and isotopism classes of filiform Lie algebras of dimension up to seven
自从阿尔伯特在1942年引入代数的合痕概念以来，关于这个问题的大量文献已经为不同类型的代数发展起来。然而，关于将李代数分布到合痕类中的问题几乎没有任何结果。本文件是处理这一问题的第一步。具体地说，我们定义了一系列新的同伦不变量，我们明确地确定分布到$n$维丝状李代数的同伦类，为$n\leq 7$。我们还讨论了这类代数在同构类中的分布，证实了一些已知的结果，并证明了有限域$\mathbb{F}_p$上存在7维丝状李代数的$p+8$同构类，如果$p\neq 2$ .
2015-10-23 math.RA
Affine structures on filiform Lie algebras
本文证明了每个非特征丝状李代数都具有仿射结构。
2003-01-21 math.DG math.RA
Complex structures on quasi-filiform nilpotent Lie algebras
给出了具有复结构的实幂零拟丝状李代数的分类。若幂零李代数g的幂零指数等于dim（n）-2，则称g为拟丝状.我们记得，丝状情况（nilindex =dim（g）-1）已经研究过了。
2008-05-13 math.DG math.RA
Transposed Poisson structures on solvable Lie algebras with filiform nilradical
该研究利用具有线状幂零根基的可解李代数的 1/2-导子，建立交换结合乘法，从而构造出关联给定李代数的非平凡转置 Poisson 代数。
2024-09-06 math.RA
On classification of Filiform Hom-Lie algebras
本文的目的是引入和研究幂零和丝状Hom-李代数。此外，我们将Vergne和Khakimdjanov的方法推广到Hom-type代数，并给出了维数为$n,n\leq7$的丝状Hom-李代数的一个分类.
2018-07-22 math.RA math.RT
Affine cohomology classes for filiform Lie algebras
本文研究了filiform Lie代数的仿射上同调类，证明了存在仿射上同调类与代数的仿射结构之间的关系，并探讨了特定代数的仿射结构不存在性。
2026-01-14 math.RA
A distinguished example of filiform deformation
我们展示了一个例子的filiform（复）李代数的13维余维1的所有理想是特征幂零的，我们构建了一个非平凡的filiform变形。
2018-02-26 math.RA
Central extensions of null-filiform and naturally graded filiform non-Lie Leibniz algebras
本文描述了一类幂零Leibniz代数的中心扩张。即对具有极大幂零指数的Leibniz代数的中心扩张进行了分类。此外，自然分次丝状非李Leibniz代数的非分裂中心扩张被刻画到同构。证明了这些代数的$k$维中心扩张（$k\geq 5$）是可裂的.
2016-02-15 math.KT math.RA
Solvable Leibniz algebra with non-Lie and non-split naturally graded filiform nilradical and its rigidity
零根是自然分次丝状代数的复可解Leibniz代数的描述是已知的。不幸的是，在描述中犯了一个错误。也就是说，在具有零根$F_n^1$的可解莱布尼茨代数的维数等于$n+2$的情况下，断言不存在这样的代数。然而，我们有可能找到一个唯一的具有零根$F_n^1$的$(n+2)$维可解Leibniz代数.此外，我们还证明了该代数的第二类上同调群的平凡性，这意味着它是刚性的。
2016-04-14 math.AG math.RA
Non-Existence of Complex Structures on Filiform Lie Algebras
本文的目的是证明极大类（也称为丝状）的幂零李代数上不存在复结构。
2003-08-02 math.DG math.RA
Filiform Lie algebras with low derived length
对任意大于等于5的整数n，构造了一类导长不超过3且维数为n的复丝状李代数.给出了导长大于3的n维丝状李代数的例子。
2020-10-31 math.RA math.RT
Quasi-filiform Leibniz algebras of maximum length
用$0\leq p\leq 2$研究了$n$维最大长度的$p$ -丝状Leibniz代数.对于零指数等于$n-2$的李代数，只有一个特征序列$(n-2,1,1)$，而在Leibniz理论中我们得到了两种可能性：$(n-2,1,1)$和$(n-2,2)$ .第一种情况（2丝状的情况）是已知的。本文讨论第二种情况，即，最大长度的拟丝状非李莱布尼兹代数因此，本文用$0 \leq p \leq 2$完成了对零指标$n-p$的Leibniz代数的最大长度的研究.
2010-09-11 math.RA
Solvable Leibniz algebras with quasi-filiform Lie algebras of maximum length nilradicals
本文对诣零根为最大长度的拟丝状李代数的可解Leibniz代数进行了分类。证明了具有二维可补空间的Leibniz代数对零根的刚性。
2018-01-26 math.AG math.RA
Non Complete Affine Connections on Filiform Lie Groups
我们给出了幂零和丝状李群上的非完全不变仿射联络的一些例子。这允许描述非幂零的忠实表示模型的丝状n维李代数，特别是在3维海森堡代数。
2000-07-11 math.DG math.RA math.RT
On isomorphism classes and invariants of low dimensional complex filiform Leibniz algebras (part 2)
本文是在低维情况下的分类方法之前提出的Rakhimov和Bekbaev的实施。给出了由自然分次非李丝状Leibniz代数得到的复丝状Leibniz代数的一个子类的完全分类。给出了同构类适应数的一个假设公式。
2008-06-11 math.RA
The classification of non-characteristically nilpotent filiform Leibniz algebras
本文研究了丝状Leibniz代数的导子。回想一下，固定维数的丝状莱布尼兹代数的集合被分解为三个非线性族。我们得到了第一类丝状Leibniz代数特征幂零的充分条件。此外，对于第一类非特征幂零代数代数，我们利用Catalan数对它们进行了分类。另外，对于其余两类丝状Leibniz代数，我们描述了非特征幂零代数，即，这些丝状Leibniz代数位于那些特征幂零代数的补集中。
2012-05-09 math.RA
Graded filiform Lie algebras and symplectic nilmanifolds
我们研究了幂零流形上的辛（接触）结构，它对应于下降中心序列的最大长度的丝状李代数-幂零李代数。给出了具有基e_1，.的丝状李代数的完全分类，e_n，[e_i，e_j]= c_{ij} e_{i{+}j}（N-分次李代数）。特别是我们描述的空间的辛上同调类的所有偶数维代数的列表。证明了辛丝状李代数是N阶辛丝状李代数的滤子变形。但这个条件是不够的。构造了一个谱序列，以回答N-分次辛丝状李代数的给定变形是否具有辛结构的问题.其他应用和例子进行了讨论。
2002-05-06 math.DG math.RA math.SG
The center and invariants of standard filiform Lie algebras
本文研究了标准线状李代数的泛包络代数中心与不变量环，确定了商域的显式生成元及不变量环生成元的紧致形式，并证明了关于其Hilbert级数的组合结果。
2023-04-02 math.AC math.RA
On Isomorphism Classes and Invariants of Low Dimensional Complex Filiform Leibniz Algebras (PART 1)
研究了低维复非李丝状Leibniz代数的分类问题。丝状Leibniz代数的分类有两个来源。第一类是自然分次非Lie丝状Leibniz代数，第二类是自然分次丝状李代数。在这里，我们考虑莱布尼兹代数出现的自然分次非李丝状莱布尼兹代数。这个类可以分成两个子类。然而，每个类内的同构没有调查。在U.D.Bekbaev和I.S.Rakhimov之前，他们提出了一种用不变量来解决同构问题的方法。本文给出了他们的结果在低维情况下的一个实现。本文从上述结果的第一类出发，给出了维数不超过8的复非Lie filiform Leibniz代数的完全分类，并给出了有限维情形下同构类个数的一个假设公式.
2007-10-01 math.AG math.RA
Cohomology and deformations of the infinite dimensional filiform Lie algebra m_0
设m_0为无限维N-分次李代数，由基ei，i ≥ 1和关系[e_1，e_i] = ei +1定义，其中i ≥ 2.本文计算了H_1（m_0，m_0），H_2（m_0，m_0）上的括号结构，并由此通过显式构造它们，证明了在每个非正权下，m_0的真变形只有1000个。结果是，在权重为0时，我们得到的是另外两个丝状李代数。
2007-08-30 math.RA math.RT
Almost inner derivations of some nilpotent Leibniz algebras
研究了有限维幂零Leibniz代数的几乎内导子.证明了Leibniz丝状非李代数的几乎内导子的存在性不同于内导子，并证明了某些包含丝状李代数的丝状Leibniz代数的几乎内导子与内导子不重合.
2020-10-06 math.RA
On Description of Isomorphism Classes of filiform Leibniz algebras in dimensions 7 and 8
研究了7维和8维复丝状Leibniz代数的一个子类的分类问题。这个子类起源于自然分次丝状李代数。给出了包括李情形在内的代数同构类的完整列表。在参数族情形下，给出了相应的轨道函数（不变量）。在离散轨道的情况下，我们显示的轨道的代表。
2010-04-16 math.AG math.RA
On the Betti numbers of filiform Lie algebras over fields of characteristic two
特征为2的域$\mathbb{F}$上的$n$维李代数$\mathfrak{g}$称为Vergne型，如果存在基$e_1,\dots,e_n$使得对所有$2\leq i \leq n-1$有$[e_1,e_i]=e_{i+1}$，对某些$c_{i,j} \in \mathbb{F}$有$[e_i,e_j] = c_{i,j}e_{i+j}$，对所有$i,j \ge 2$有$i+j \le n$ .我们通过它的非平凡括号关系定义了代数$\mathfrak{m}_0$：$[e_1,e_i]=e_{i+1}, 2\leq i \leq n-1$，以及代数$\mathfrak{m}_2$：$[e_1, e_i ]=e_{i+1}, 2 \le i \le n-1$，$[e_2, e_j ]=e_{j+2}, 3 \le j \le n-2$。我们发现，在相应的真实和复杂的情况下，$\mathfrak{m}_0(n)$和$\mathfrak{m}_2(n)$有相同的贝蒂数。证明了对于维数至少为$5$的Vergne型李代数，存在具有相同贝蒂数的Vergne型非同构代数.
2015-11-10 math.RA
On Classification of Finite Dimensional Complex Filiform Leibniz Algebras (Part 2)
研究了有限维复非李丝状Leibniz代数的分类问题.实际上，观察表明，有两个资源得到filiform Leibniz代数的分类。第一类是自然分次非李丝状Leibniz代数，第二类是自然分次丝状李代数。利用第一个资源，我们得到了两类不相交的丝状Leibniz代数。本文讨论的是上述两类中的第二类，第一类在我们以前的文章中已经考虑过。这里的代数分类意味着指定轨道的代表，而几何分类是在代数几何意义上寻找通用结构常数的问题。本文的主要工作是代数分类。我们建议在这里的代数方法的基础上不变量。对任何给定的低维情形，利用这种方法都可以对所有的丝状Leibniz代数进行分类。此外，所得结果还可用于这类代数轨道的几何分类。
2007-04-30 math.AG math.RA
On classification of complex filiform Leibniz algebras
本文证明了在对自然分次代数为非李代数的复丝状Leibniz代数进行分类时，只要考虑一些特殊的基变换就足够了。此外，我们建立了一个判据是否给定的两个这样的莱布尼兹代数同构的这种转换。对自然分次代数在任意维数上都是非Lie的丝状Leibniz代数的分类问题，归结为对所得条件的研究.
2012-07-12 math.CT math.RA
Almost inner derivations of Lie algebras II
本文继续对特征为零的域上的李代数的几乎内导子进行了代数研究，确定了自由幂零李代数、几乎阿贝尔李代数、可解根为阿贝尔的李代数和几类丝状幂零李代数的几乎内导子.我们发现一类$n$维特征幂零丝状李代数$\mathfrak{f}_n$，对所有的$n\ge 13$，其导子几乎都是内导子.最后，我们比较了有限维域扩张下两个不同域$K\supseteq k$上的李代数的几乎内导子。
2019-05-20 math.RA
Infinitesimal deformations of naturally graded filiform Leibniz algebras
我们描述了复自然分次丝状Leibniz代数的无穷小变形。已知任何$n$维丝状李代数都可以通过自然分次代数$F_n^3(0)$的线性可积变形得到。我们建立，以同样的方式，任何$n$维丝状Leibniz代数都可以通过丝状Leibniz代数$F_{n}^1,$、$F_{n}^2$和$F_{n}^3(α)$的无穷小变形得到.此外，我们还刻画了在所有$n$维Leibniz代数的集合中具有固定基$HL^2$的上述代数的线性可积变形.在这些变形中，我们发现了一个新的刚性代数。
2013-05-13 math.AG math.RA
Cohomology and deformations of the infinite dimensional filiform Lie algebra m_2
将$\fm_2$表示为无限维$\N$ -分次李代数，该分次李代数由$i\geq 1$的基$e_i$和所有$i\geq 2$的关系$[e_1,e_i]=e_{i+1}$，所有$j\geq 3$的关系$[e_2,e_j]=e_{j+2}$定义。我们在这篇文章中计算的括号结构上$H^1(\fm_2,\fm_2)$，$H^2(\fm_2,\fm_2)$和与此相关的，我们建立了只有100多个真正的变形$\fm_2$在每个重量通过构建他们显式。事实证明，在权重为0时，只有一个正式的非收敛变形作为非平凡变形。
2008-08-27 math.RA math.RT
On low-dimensional filiform Leibniz algebras and their invariants
本文研究了5维和6维复丝状Leibniz代数的一个子类的完全分类。这个子类起源于自然分次丝状李代数。我们给出一个完整的代数列表。在参数族情形下，给出了相应的轨道函数（不变量）。在离散轨道的情况下，我们显示了一个代表性的轨道。
2010-01-05 math.AG math.RA
Automorphisms of some solvable Leibniz algebras
本文描述了具有零丝状零根的可解Leibniz代数的自同构。此外，我们还刻画了具有自然分次非李丝状诣零根的可解Leibniz代数的自同构，其补空间的维数是极大的。
2021-05-18 math.RA
On Classification of Finite Dimensional Complex Filiform Leibniz Algebras (PartI)
研究了有限维复非李丝状Leibniz代数的分类问题.本文的写作动机是J.R.Gomez，B.A.Omirov关于两个有限维复丝状Leibniz代数同构的充要条件的一个尚未发表的结果。我们建议另一种方法来解决这个问题。我们用于分类的方法是根据不变量。事实上，利用这种方法对任何给定的低维情况下，所有的丝状莱布尼兹代数可以分类。此外，这些结果还可用于这类代数轨道的几何分类。关键词：丝状莱布尼兹代数，不变量，函数，同构。
2006-12-28 math.AG math.RA
A class of Solvable Lie algebras
研究了以丝状李代数Q_（2m+1）为零根的有限维不可分解可解李代数g，并对其进行了分类.证明了g的维数至多为dimQ_（2m+1）+2。
2010-05-26 math.RA
Local and 2 local $\frac{1}{2}$-derivation of $n$-dimensional totally graded filiform Lie algebras
V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences（乌兹别克斯坦科学院V.I.罗曼诺夫斯基数学研究所）；Andijan State University（安集延国立大学）；Bukhara State University（布哈拉国立大学）
本文完整刻画了最大长度完全分次纤维型李代数上的$\frac{1}{2}$-导子，证明了局部$\frac{1}{2}$-导子的线性刚性，并利用边界行参数构造了非线性的2-局部$\frac{1}{2}$-导子，确定了刚性失效的边界。
2026-10-02 math.RA
