Modules over axial algebras
引入轴代数上的轴表示和模作为研究轴代数的新工具。所有已知的有趣的例子轴代数属于这个设置，特别是格里斯代数的自同构群是怪物群。我们的结果变得特别有趣的Matsuo代数。通过将Matsuo代数上的模与3-转置群的表示联系起来，活跃了Matsuo代数与3-转置群之间的联系。作为副产品，我们定义，给定一个菲舍尔空间，一个群，可以履行一个通用的3-转置群的作用。
2018-01-25 math.GR math.RA
On the structure of axial algebras
轴代数是最近引入的一类非结合代数，其动机是在群和顶点算子代数中的应用。我们发展了轴代数的结构理论，主要集中在两个方面：（1）根与单;（2）和分解。
2019-02-05 math.GR math.RA
Axial algebras of Jordan and Monster type
轴代数是一类非结合交换代数，其性质是根据融合律定义的。当这个融合律是分次的，代数有一个自然关联的自同构自同构群，因此轴代数是内在相关的群论。例子包括大多数的Jordan代数和怪物散在单群的Griess代数。在这篇综述中，我们介绍了轴代数，讨论了它们的结构性质，然后集中在两个特定的类：代数的约旦和怪物型，这是丰富的例子有关的单群。
2022-09-16 math.GR math.RA
Primitive axial algebras are of Jordan type
轴代数的概念与$3$ -转置群、Monster群和顶点算子代数密切相关。在这项工作中，我们继续我们以前的作品和竞争的证明，所有代数所产生的一组原始轴不一定是同一类型的（见定义的身体文件），是原始的轴代数的约旦型。
2021-12-01 math.GR math.RA
Enumerating 3-generated axial algebras of Monster type
轴代数是由轴生成的交换非结合代数，也就是说，其特征向量按照一定的融合律相乘的本原半单幂等元。Griess代数，其自同构群是Monster，是轴代数的一个例子。我们说一个轴代数是Monster型的，如果它与Griess代数具有相同的融合律。Monster型的$2$ -生成轴代数称为Norton-Sakuma代数，已被完全分类，是九种同构类型之一。本文利用Monster型轴代数的群和形，给出了Monster型轴代数的一个$3$生成子类.事实证明，这种代数的绝大多数可能形状都是坍缩的;也就是说，它们不会导致非平凡的例子。这与以前的想法形成鲜明对比。因此，我们开发了一种最小禁止配置的方法，使我们能够有效地识别和消除崩溃的形状。
2020-09-24 math.GR math.RA
Primitive 4-generated axial algebras of Jordan type
本文证明了 Jordan 型本原 4-生成轴代数的维数上界为 81 维，给出了该类代数的维数限制。
2023-01-06 math.GR math.RA
Skew Axial Algebras of Monster Type II
该研究延续此前关于2生成Monster型本原轴代数的工作，对带有更大斜轴集的这类代数进行分类，推进了该类代数的完整分类进程。
2024-08-16 math.GR math.RA
An infinite family of axial algebras
轴代数是由半单幂等元生成的非结合代数，称为轴，它们都服从融合规则。轴代数是由霍尔、赫伦和什佩克托罗夫作为马约拉纳理论公理的推广而引入的，而马约拉纳理论又由伊万诺夫作为格里斯代数2A-轴的某些性质的公理化而引入。Monster型轴代数是其轴服从Monster或Majorana融合规则的轴代数。本文在多项式环$\mathbb{R}[t]$上构造了Monster型$M_{4A}$轴代数，该环由六个轴生成，其Miyamoto对合生成一个$4$阶初等阿贝尔群.这种结构自动提供了一个无限参数家庭$\{M(t)\}_{t \in \mathbb{R}}$轴代数的怪物型，其中每个承认一个唯一的Frobenius形式。证明了$M(t)$上的这一形式是正定的当且仅当$0 < t < \frac{1}{6}$，并且满足Norton不等式当且仅当$0 \leq t \leq \frac{1}{6}$ .最后，我们证明了$M_{4A}$的$4A$轴服从一个$C_2 \times C_2$ -分级融合规则，给出了一个新的无限族融合规则。
2018-10-01 math.GR math.RA
$3$-generated axial algebras with a minimal Miyamoto group
轴代数是最近引入的一类非结合代数，具有自然结合群，它推广了Griess代数和月光VOA的一些关键特征。佐久间定理将八个$2$生成的Monster型轴代数进行了分类。本文计算了几乎所有的$3$ -生成轴代数，它们的Miyamoto群是极小$3$ -生成的（包括极小$3$ -生成代数）.我们注意到，这项工作是独立进行的Mamontov，Staroletov和Whybrow和扩展他们的结果计算更多的代数，而不是假设双线性，或相关的双线性型。
2020-11-30 math.GR math.RA
An expansion algorithm for constructing axial algebras
轴代数$A$是由称为轴的本原幂等元生成的交换非结合代数，其在$A$上的伴随作用是半单的，并且特征向量的相乘受某种融合律控制。不同的融合律定义了不同的轴代数类。轴代数与群有着内在的联系。也就是说，当融合律被阿贝尔群$T$分级时，每个轴$a$导致$A$的自同构$T_a$的子群。所有$T_a$生成的群称为代数的Miyamoto群。给出了一个构造具有给定Miyamoto群的轴代数的新算法。该算法的一个关键特征是扩展步骤，这使我们能够克服Seress算法计算Majorana代数的$2$ -封闭性限制。在最后，我们提供了一个列表的怪物融合法的例子，使用我们的算法的MAGMA实现计算。
2019-04-02 math.GR math.RA
Decomposition algebras and axial algebras
我们引入分解代数作为轴代数、Majorana代数和Griess代数的自然推广。它们弥补了轴代数的三个局限性：（1）它们将融合律与域中的特定值分开，从而允许特征值的重复;（2）它们允许不是由幂等元乘法产生的分解;（3）它们承认同态的自然概念，使它们成为一个很好的范畴。我们利用这些事实来加强轴代数和群之间的联系。特别是，我们提供了一个通用的Miyamoto组，使这种连接函在一些温和的假设下的定义。我们说明我们的理论解释如何表示论和协会计划可以帮助建立一个分解代数一个给定的（置换）组。这种结构导致了大量的例子。我们也借此机会，在这个迅速扩大的主题中固定一些术语。
2020-08-25 math.GR math.RA
Universal decomposition algebras and the classification of 2-generated non-primitive axial algebras of Jordan type
分解代数和轴分解代数是交换非结合代数类，它们是轴代数的推广。分解代数、轴分解代数和非本原轴代数类也有泛代数。利用泛代数的存在性，对Jordan型2-生成非本原轴代数进行了分类。
2022-07-04 math.RA
Automorphism groups of axial algebras
本文针对轴向代数中因维数重复出现而可能存在的意外同构问题，提出计算完全自同构群的方法，并在最高151维的若干例子上进行应用验证。
2023-11-30 math.GR math.RA
Primitive axial algebras of Jordan type
域$\mathbb F$上的轴代数是由伴随作用具有无重性极小多项式的幂等元生成的交换代数。对于半单结合代数，这导致$\mathbb F$的副本的和。在这里，我们考虑第一个nonassociative的情况下，伴随最小多项式除$(x-1)x(x-η)$固定$0\neqη\neq 1$。当$η=\frac{1}{2}$出现时，Jordan代数出现了，但我们的激励例子是顶点算子代数的某些Griess代数和相关的Majorana代数。我们研究一类代数，包括这些，轴自同构，如宫本定义的存在，并有分类的$2$生成的例子。对于$η\neq \frac{1}{2}$，这意味着Miyamoto对合是$3$ -转置，从而导致分类。
2014-03-07 math.GR math.RA
On primitive $3$-generated axial algebras of Jordan type
Jordan型$η$轴代数是由幂等元生成的交换代数，其伴随算子具有除$(x-1)x(x-η)$的极小多项式，其中$η\not\in\{0,1\}$是固定的，具有限制性乘法法则.这些性质推广了Jordan代数中幂等元的Pierce分解，其中用$η$代替了$\frac{1}{2}$.特别地，由幂等元生成的Jordan代数是Jordan型$\frac{1}{2}$的轴代数。若$η\neq\frac{1}{2}$成立，则Jordan型轴代数$η$是对应于3-转置群的Matsuo代数的因子.我们称生成幂等元为{ \it axes}，并说一个轴是{ \it primitive}，如果它的伴随算子有1维1-本征空间。已知由两个本原轴生成的子代数的维数至多为3。3生成的案例目前已打开。证明了由三个本原轴生成的Jordan型轴代数的维数至多为9。如果维度是9和$η=\frac{1}{2}$然后我们展示如何找到一个适当的理想在这个代数或证明，代数是同构的某些约旦矩阵代数。
2020-05-28 math.GR math.RA
Miyamoto involutions in axial algebras of Jordan type half
由幂等元$e$生成的非结合交换代数$A$，其伴随算子${\rm ad}_e\colon A \rightarrow A$，由$x \mapsto xe$给出，是可对角化的，特征值很少，是最近的研究热点.当在相关的特征空间之间施加某些融合（乘法）规则时，这些代数的结构仍然丰富而相当刚性。例如，顶点算子代数产生这样的代数。Monster代数和Monster群之间的联系扩展到许多轴代数，然后有有趣的自同构群。Jordan型$η$的轴代数是由幂等元生成的交换代数，其伴随算子有一个极小多项式整除$(x-1)x(x-η)$，其中$η\notin \{0,1\}$是固定的，具有定义明确的限制性融合规则.在最近的一篇论文中，Hall、Risperen和Shpectorov对$η\neq \frac{1}{2}$的情况进行了彻底的分析，在这篇论文中引入了轴代数。在这里，我们专注于$η=\frac{1}{2}$的情况下，这是少得多的理解，是一个不同的性质。
2016-10-05 math.GR math.RA
Axial algebras of Monster type $(2η, η)$ for $D$ diagrams. I
轴代数是一类由幂等元生成的交换代数，伴随作用是半单的，满足给定的融合律。轴代数是由Hall、Shiperren和Shpectorov在2015年引入的，作为Ivanov的Majorana代数的广泛推广，其公理是从Monster群的Griess代数的性质导出的。松尾代数的类是由松尾引入的，后来由Hall、Sheperren和Shpectorov推广。一个Matsuo代数$M$是由一组3-转置$D$构成的. $D$的元素是$M$中的幂等元，称为轴。特别地，$M$是轴代数的示例。已知双轴，即，Matsuo代数中两正交轴的和满足Monster型融合律。这个观察表明，一个由轴和双轴组成的集合可以在Matsuo代数中生成Monster型的子代数。各种3-转置群系列所对应的子代数被许多作者广泛研究。本文研究了单轴生成的本原子代数和两个双轴生成的本原子代数。我们分类所有这样的子代数在七个出九个可能的情况下，一个图上的3-换位，涉及的生成元素。我们还构造了几个Monster型轴代数的无穷级数，推广了我们的3-生成代数。
2022-12-30 math.GR math.RA
The Classification of the 2-generated Primitive Axial Algebras of Monster Type
Università Cattolica del Sacro Cuore（天主教撒罗库尔圣母大学）；Università degli Studi di Udine（乌迪内大学）；The Alan Turing Institute（艾伦·图灵研究所）；University of Bristol（布里斯托大学）
本文研究了怪兽类型轴代数的2生成代数的分类问题，通过分情况讨论参数、子代数、轴集和轴维数，完成了对这些代数的完整分类，并提供了基底、乘法和相关信息。
2026-08-24 math.GR math.RA
2-generated axial algebras of Monster type $(2β, β)$
本文证明了环$R$上的Monster型$(2β, β)$的$2$ -生成本原轴代数可由$8$向量生成为$R$ -模，其中$2$和$β$是可逆的.然后，我们完全分类$2$生成的原始轴代数的怪物型$(2β, β)$在任何领域的特征以外的$2$。
2022-11-18 math.GR math.RA
Skew Axial Algebras of Monster Type
本文首次构造出具有轴集 $X'(1+2)$ 的怪物型斜轴代数实例，并完成该类 2-生成本原轴代数的分类，同时为更大斜轴集的分类扩展提出建议。
2024-02-28 math.GR math.RA
Solid lines in axial algebras of Jordan type $\tfrac{1}{2}$ and Jordan algebras
本文证明Jordan型1/2原始轴代数为Jordan代数当且仅当其所有二元生成子代数都是实心的，并刻画了实心性与结合子为导子的等价条件及非实心情形的轴数量。
2024-10-21 math.GR math.RA
On the classification of 2-generated axial algebras of Majorana type
引入了一类由特征值为0，1，$η$和$ξ$的两轴生成的轴代数，当它们是2-生成的，在特征值既不是2也不是5的域上，且存在一个切换生成轴的自同构时，称之为Majorana型轴代数.这个类包括九个Norton-Sakuma代数的变形。在特征为5的域上，对轴维数不超过5的Majorana型轴代数进行了分类。
2021-04-15 math.RA
Central extensions of axial algebras
在这篇文章中，我们进一步改进了Skjelbred-Sund的方法来构造轴代数的中心扩张。我们使用我们的方法证明了所有的轴向中心扩张（相对于一个最大的一组轴）的复杂的有限维Jordan代数是分裂的和所有的非分裂轴向中心扩张的尺寸$n\leq 4$在一个代数闭域的特征不$2$是Jordan。此外，我们还给出了$2$维轴代数的一个分类，并描述了这些代数的一些重要性质。
2022-11-01 math.RA
Axial view on pseudo-composition algebras and train algebras of rank 3
本文证明由幂等元生成的秩为3伪合成代数与列车代数可刻画为$\mathcal{PC}(η)$-轴代数，并描述了其2生成与3生成子代数作为分类的初步步骤。
2024-02-15 math.RA
On primitive axial decomposition algebras of Majorana type with degenerate eigenvalues
引入了一类由两个Miyamoto自同构和三个特征值$0,1$和$η$生成的Miyamoto群的轴分解代数，并在有$η\notin\{0,1,\frac{1}{2}\}$的情况下对其进行了分类.这个类包含了Majorana型$(ξ,η)$的2-生成轴代数到$ξ=η$的特殊化。
2021-06-14 math.RA
A note on 2-generated symmetric axial algebras of Monster type
最近Takahiro Yabe给出了Monster型本原对称$2$生成轴代数的一个几乎完全的分类.本文构造了一个新的特征域$5$上Monster型$(2, \frac{1}{2})$的无限维本原$2$生成的对称轴代数，并利用这个代数完成了最后一个未解决的问题.
2021-01-23 math.RA
Radicals in primitive axial algebras
Mathematical Center in Akademgorodok（阿卡德戈罗德克数学中心）；Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation（俄罗斯联邦科学与高等教育部）；Sobolev Institute of Mathematics（索博列夫数学研究所）
本文研究了原始轴代数中弗罗贝尼乌斯形式的根与相关理想的关系。
2026-02-12 math.RA
On the additivity of n-multiplicative isomorphisms, derivations, and related maps in axial algebras
本文证明在包含Jordan代数及轴向代数的一类代数上，n-乘法同构、导子及相关映射在Martindale型条件下具有可加性，并解决了先前文献中的开放问题。
2025-02-17 math.RA
On axial algebras with $3$ eigenvalues
本文研究满足融合律的半单伴随作用生成的轴向代数，针对伴随作用有3个特征值且融合律最宽松的情况，刻画了2生成与3生成的轴向代数并证明其一般性质。
2026-08-18 math.RA
On $3$-generated axial algebras of Jordan type $\frac{1}{2}$
本文针对二次闭域上的3-生成Jordan型1/2轴代数，在已有带4参数的泛代数构造基础上，完整刻画了所有这类半单代数，推进了非结合轴代数的分类研究。
2024-10-01 math.GR math.RA
From forbidden configurations to a classification of some axial algebras of Monster type
伊万诺夫介绍了形状的马约拉纳代数作为记录的$2$ -产生的子代数所产生的代数。作为一个广泛的概括这个概念，并免费从周围的代数，我们介绍的概念，轴和形状的轴。一个形状可以被看作是一个代数版本的一组汞齐。就像一个汞合金，一个形状导致一个唯一的代数完成，它可能是非平凡的，也可能是崩溃的。然后，对于一个自然家庭的形状广义怪物型，我们分类所有完成代数，并发现其中绝大多数崩溃，证实了意见，在以前的文件。
2023-03-13 math.GR math.RA
An infinite-dimensional 2-generated primitive axial algebra of Monster type
证明了Monster型$(α,β)$的本原2-生成轴代数的维数至多为8，如果$α\notin\{2β,4β\}$ .本文构造了任意域$F$上Monster型$(2,\frac{1}{2})$的无限维2-生成本原轴代数，其中$char(F)\neq 2,3$ .这表明第二种特殊情况，$α=4β$，是一个真正的例外，以贝伦的界限。
2020-07-13 math.RA
Double axes and subalgebras of Monster type in Matsuo algebras
轴代数是一类由幂等元生成的交换非结合代数代数，称为轴代数，伴随作用是半单的，满足一个指定的融合律。轴代数是由Hall、Frederen和Shpectorov \cite{hrs,hrs1}作为Ivanov的Majorana代数的广泛推广而引入的，其公理是从Monster散在单群的Griess代数的性质导出的。Monster型的轴代数类包括Monster和许多其它散在单群的Majorana代数，经典单群和一些例外单群的Jordan代数，以及对应于$3$ -转置群的Matsuo代数。因此，Monster型的轴代数统一了有限单群理论中的几个分支。这里示出了双轴，即，Matsuo代数中两正交轴的和满足Monster型融合律$(2η,η)$ .对由两个单轴或双轴生成的本原子代数进行了完全分类，并将$3$生成的本原子代数分类到这三种情况之一.这些分类进一步导致了一般的翻转构造输出了丰富多样的Monster型轴代数。将翻转构造应用于与对称群相关的Matsuo代数的情形，得到了此类代数的三个新的显式无穷级数。
2021-04-08 math.GR math.RA
Axial Algebras: Questions and Conjectures
本文综述轴向代数领域，提出一系列开放问题与猜想，探讨其与群论的深刻联系。
2026-06-29 math.RA
2-generated axial algebras of Monster type
University of Birmingham（伯明翰大学）
该研究为Monster型2生成轴代数的分类项目搭建基础框架，证明一般情形下这类代数维数不超8，完成了参数代数无关时的分类，并推广了Norton-Sakuma定理。
2024-10-11 math.GR math.RA
Quasi-definite axial algebras of Jordan type half
该研究针对半Jordan型轴代数，从弗罗贝尼乌斯形式和幂等元性质出发，找到了其为幺正的充分条件，推进了轴代数结构的相关理论研究。
2023-08-31 math.RA
Frobenius forms on weakly primitive axial algebras of Jordan type
本文延续对弱本原轴代数的研究，描述此前得到的2-生成代数，并证明其在某些情形下具有Frobenius形式，为后续研究提供关键工具。
2025-09-21 math.RA
Axial identities
Bar-Ilan University（巴伊兰大学）
本文引入轴心代数中的轴心恒等式，以研究固态子代数的性质，并给出了一个既非约当代数也非Matsuo代数同态像的轴心代数例子。
2026-09-03 math.RA
A guide to the $2$-generated axial algebras of Monster type
University of Chester（切斯特大学）；University of Bristol（布里斯托大学）
本文对Monster型2生成轴代数的性质、结构和同构进行了系统研究，并提供了新的基和代码以更好地理解其轴特性。
2025-12-31 math.RA
Full automorphism groups of the axial algebra for $M_{11}$ and related algebras
University of Birmingham（伯明翰大学）；Sobolev Institute of Mathematics（索博列夫数学研究所）
本文通过混合方法计算M_{11}轴代数及其相关代数的全自同构群，结合自动计算与手工证明以处理不同规模的代数结构。
2026-02-07 math.RA
Weakly primitive axial algebras
该研究弱化Jordan型本原轴代数的本原性条件，引入满足更一般融合律的弱本原轴代数，拓展研究2生成弱本原轴代数的结构，刻画双轴弱PAJ并明确二维轴代数，发现存在维数大于3的双轴生成弱PAJ。
2024-09-12 math.RA
A Two-Dimensional Counterexample to Radical Equality in Primitive Axial Algebras
Institute of Mathematical Sciences, ShanghaiTech University（上海科技大学数学科学研究所）
针对本原轴代数中R(A,X)是否总等于J(A)的问题，本文构造特征非2域上的二维本原轴代数，证明二者不等，给出该问题的反例。
2026-09-01 math.RA
Axes of Jordan type in non-commutative algebras
若当代数关于幂等元的皮尔士分解是众所周知的。Hall，Risperen和Shpectorov最近进一步推广了这种分解，引入了{ \it轴代数}，特别是{ \it本原轴Jordan型代数}（简称PJ）.这些概念与$3$ -转置群和顶点算子代数密切相关。De Medts、Peacock、Shpectorov和M. Van Couwenberghe推广轴代数到{ \it分解代数}，特别是，不一定交换。本文研究PJ的非交换分解代数。
2021-08-16 math.RA
Quotients of the Highwater algebra and its cover
轴代数是一类与有限群（特别是单群）有强联系的非结合代数，近年来受到广泛关注。主要的兴趣是Monster类型$(α, β)$的轴代数，其中Griess代数（Monster作为其自同构群）是一个重要的激励例子。本文完成了Monster型$(α, β)$的对称$2$生成本原轴代数的分类.根据Yabe、Franchi和Mainardis以前的工作，任何这样的代数要么是显式已知的，要么是无限维Highwater代数$\mathcal{H}$的商，或者是它的特征$5$覆盖$\hat{\mathcal{H}}$。本文对$\mathcal{H}$和$\hat{\mathcal{H}}$的理想进行了分类，从而得到了它们的等价物.此外，我们给出了明确的理想的基础。事实上，我们继续在一个统一的方式，通过定义一个覆盖$\hat{\mathcal{H}}$的$\mathcal{H}$的所有特征和分类的理想。我们的新代数$\hat{\mathcal{H}}$有一个以前看不见的融合法，并提供了一个洞察，为什么高水代数有一个封面，这是怪物类型的特点$5$。
2022-05-04 math.GR math.RA
Fusion rules from root systems I: case ${\rm A}_n$
轴代数是由幂等元生成的交换代数;它们通过允许幂等元具有由融合规则控制的额外特征向量来推广结合代数。如果融合规则是$\mathbb{Z}/2$ -分次的，则轴代数提供转置群的表示.我们考虑简单的花边根系的外尔群的轴向表示，这是正则$3$ -换位群的例子。我们引入陪集轴，一类特殊的幂等元的基础上嵌入的转置群，并使用它们来研究轴代数的根系${\rm A}_n$的融合规则的传播。这是有关建设格顶点算子代数，我们表明它反映了融合模块的Virasoro代数时，我们专门建设。
2014-03-13 math.QA math.RA
Axes in non-associative algebras
“融合规则”是幂等元的本征空间之间的乘法定律。这个术语是相对较新的，是密切相关的轴代数，介绍了最近霍尔，Shiperren和Shpectorov。轴代数又与$3$ -转置群和顶点算子代数密切相关。在本文中，我们考虑融合规则的半单幂等元，阿尔伯特在功率联想的情况下。我们研究的概念，一个轴的非交换设置，并表明，尺寸$d$的任何代数$A$所产生的一对$a,b$（不一定约旦）轴各自的类型$(λ,δ)$和$(λ',δ')$必须在最$5$ ; $d$不能$4.$如果$d\le 3$，我们列出所有的可能性$A$同构。我们证明了各种额外的结果，并在最后提到一些研究问题。
2021-11-16 math.GR math.RA
