A remark on elastic graphs with the symmetric cone obstacle
本文研究了对称图上弹性能在单边约束下的变分问题。假设障碍函数满足对称锥条件，证明了极小解的唯一性，极小解正则性的丧失，并给出了极小解存在性和不存在性的完全分类.作为应用，我们将障碍问题的解刻画为相应动力学问题的平衡。
2022-08-09 math.AP
A PDE Framework of Consensus-Based Optimization for Objectives with Multiple Global Minimizers
本文提出一种简单的CBO变体以解决具有多个全局极小值的非凸优化问题，证明相应非线性Fokker--Planck方程解的存在性及向多分量极小值集合的指数集中，并表明对应的Euler-Maruyama离散化算法趋于收敛到多个全局极小值。
2024-09-28 math.AP
A remark on the radial minimizer of the Ginzburg-Landau functional
用$E_ε$表示平面上的Ginzburg-Landau泛函，并令$\tilde u_\varepsilon$为与问题$\min \left\{E_\varepsilon(u,B_1): \>\left. u\right\vert _{\partial B_{1}}=(\cos \vartheta,\sin \vartheta)\right\}$相关的欧拉方程的径向解。设$Ω\subset \R^2$是一个光滑的有界区域，其面积与$B_1$相同。用$$\mathcal{K}=\left\{v=(v_1,v_2) \in H^1(Ω;\R^2):\> \int_Ωv_1\,dx=\int_Ωv_2\,dx=0,\> \int_Ω|v|^2\,dx\ge \int_{B_1} |\tilde u_\varepsilon|^2\,dx\right\},$$表示，我们证明了$$ \min_{v \in \mathcal{K}} E_\varepsilon (v,Ω)\le E_\varepsilon (\tilde u_\varepsilon,B_1). $$
2013-05-17 math.AP
Singular subelliptic equations and Sobolev inequalities on nilpotent Lie groups
本文研究了幂零李群上奇异次椭圆$p$方程和Sobolev不等式中的最佳常数.我们证明了这些次椭圆型$p$ -Laplace方程的可解性和相应的变分问题极小解的存在性。从而得到相应的$(q,p)$ -Sobolev不等式、$0<q<1$、$1<p<ν$中最佳常数的存在性.
2021-10-24 math.AP
Some remarks on critical sets of Laplace eigenfunctions
我们研究了一组临界点的解决方案，$Δu = λ\cdot u$，特别是组件的临界集，有余维1。例如，我们表明，如果第二个Neumann特征函数的单连通多边形$P$有无穷多个临界点，那么$P$是一个矩形。
2022-04-25 math.AP math.DG
Remarks on the validity on the maximum principle for the $\infty$-Laplacian
本文给出了三个反例，证明了最大值原理对系统的经典解和与$\infty$ -Laplacian算子有关的单个方程的经典解一般是不成立的。第一个是$\infty$ -Laplace系统的切向部分，第二个是受线性梯度项扰动的标量$\infty$ -Laplace方程。系统的最大值原理的解释是凸包性质的解释，也是解的模的最大值原理的解释。
2015-07-12 math.AP
A remark on infinite initial values for quasilinear parabolic equations
本文研究了在快速扩散情形下演化$p$ -Laplace方程解的无穷初值的可能性，即$p>2$。这一简要说明摘自我们以前的工作。当在整个初始曲面上指定无穷大值时，只有当区域是时空柱时，这样的解才存在。
2018-11-28 math.AP
Remarks on blow-up phenomena in p-Laplacian heat equation with inhomogeneous nonlinearity
研究了有界光滑区域$p-$上的Laplace热方程$u_t-Δ_p u=ζ(t)f(u)$.利用微分不等式的方法，证明了在适当的条件下，在$ζ, f$和初始数据$u_0$上的爆破结果.我们也给出了每种情况下爆破时间的上界。
2020-06-19 math.AP
Existence and regularity of optimal shapes for spectral functionals with Robin boundary conditions
本文证明了$Ω$上在测度约束下使$ F(λ_1(Ω;β),\dots,λ_k(Ω;β))$形式的泛函最小化的开集的存在性，并找到了一些定性性质，其中$λ_i(Ω;β)$表示$Ω$上Laplace算子的第$i$个特征值，参数为$β>0$的Robin边界条件.此外，我们证明了$k\geq 2$的PDMATHAMR极小验证了猜想$λ_k(Ω;β)=λ_{k-1}(Ω;β)$在三维和更多。
2022-06-20 math.AP
Global branching for semilinear fractional Laplace with sublinear nonlinearity
本文研究次线性分数阶椭圆问题$(P_λ^s)$正解的存在性、不存在性和多重性，通过先验估计、上下解方法及经典连接定理证明至少存在两个不同正弱解，扩展了已有结果至非局部情形。
2025-11-11 math.AP
Existence and regularity of Faber Krahn minimizers in a Riemannian manifold
本文研究了黎曼流形$(M,g)$中Laplace-Beltrami算子的第一Dirichlet特征值$λ_{1}(Ω)$在定体积开集类$Ω$中的极小化问题.在欧几里德设置（当$(M,g)=(\mathbb{R}^n,e)$），著名的Faber-Krahn不等式断言，这样的问题的解决方案是任何球的适当的体积。即使已知或期望具有对称性的黎曼流形有类似的结果，我们也不能期望找到一般流形$(M,g)$的显式解。在本文中，我们研究存在性和正则性的频谱形状最优化问题的黎曼设置，在类似的方式为等周问题。我们首先在紧黎曼流形的背景下给出一个存在性结果，然后通过给出一个反例讨论非紧流形的情形。然后，我们专注于这个问题的正则性理论，并使用来自理论的自由边界问题的工具，我们表明，解决方案是顺利的可能剩余集的余维5或更高。
2019-07-18 math.AP math.OC
Some remarks on a shape optimization problem
给定$Ω$有界开集的$\mathbb R^{n}$和$α\in \mathbb R$，让我们考虑\[ μ(Ω,α)=\min_{\substack{v\in W_{0}^{1,2}(Ω)\\v\not\equiv 0}} \frac{\displaystyle\int_Ω |\nabla v|^{2}dx+α\left|\displaystyle\int_Ω|v|v\,dx \right|}{\displaystyle\int_Ω |v|^{2}dx}. \]我们研究了$μ(Ω,α)$和它的极小的一些性质，并根据$α$，我们确定的集合$Ω_α$之间的固定措施，使$μ(Ω_α,α)$是最小的可能.
2014-03-24 math.AP
A natural approach to the asymptotic mean value property for the $p$-Laplacian
令$1\le p\le\infty$。证明了函数$u\in C(\mathbb R^N)$是规范化$p$ -Laplace方程$Δ_p^n u(x)=0$的粘性解当且仅当渐近公式$$ u(x)=μ_p(\ve,u)(x)+o(\ve^2) $$在粘性意义下成立为$\ve\to 0$.这里，$μ_p(\ve,u)(x)$是$p$-$u$在$B_\ve(x)$上的平均值，其被表征为$$ \inf_{\la\in\RR}\nr u-\la\nr_{L^p(B_\ve(x))}. $$的唯一最小值。这种渐近平均值性质（AMVP）扩展到当$μ_p(\ve,u)(x)$被其他种类的平均值替换时获得的$p=1$先前（AMVP）的情况。$μ_p(\ve,u)(x)$的自然定义确保这是$u$的单调和连续（在适当的拓扑中）泛函。这两个性质有助于建立（AMVP）的一个相当一般的证明，也可以扩展到（归一化）抛物$p$-Laplace方程。
2016-04-02 math.AP
On Rayleigh quotients connected to $p$-Laplace equations with polynomial nonlinearities
研究p-拉普拉斯方程与多项式非线性相关的瑞利商的双射关系及其性质，探讨不同参数关系下的解存在性与特征。
2025-11-13 math.AP
Some remarks on nonexistence in the Gamow liquid drop model
Università di Pavia（帕维亚大学）；Università di Pisa（比萨大学）；Università di Bologna（博洛尼亚大学）
本文针对Gamow液滴模型，研究其极小值问题，证明渐近状态下极小值需满足最优厚度性质，且在立方体拼接的简化情形中，大质量时全参数范围均不存在极小值。
2026-10-14 math.AP math.FA math.OC
Some remarks on segregation of k species in strongly competing system
当$k$物种以高度竞争的方式相互作用时，在种群动态中发生空间分离。作为研究这一现象的一个模型，我们考虑了具有适当边界条件的区域$D$中的$k$微分方程\[ -Δu_i(x)=-μu_i (x)\displaystyle{\sum_{j\neq i}} u_j (x) \quad i=1,...,k \]的竞争扩散系统.任何$u_i$代表种群密度，参数$μ$决定种群之间的相互作用强度。本文研究了平面区域上任意物种数的极限组态$μ\longrightarrow+\infty$的几何性质。如果$k$是甚至我们表明，一些限制配置严格连接到一个狄利克雷问题的拉普拉斯方程的解决方案。
2021-03-11 math.AP
New explicit solutions to the $p$-Laplace equation based on isoparametric foliations
与G.Aronsson在80年代后期获得的二维$p$ -调和函数的显式例子的无限族相反，对高维情况知之甚少。在本文中，我们展示了如何使用等参多项式产生不同的例子$p$ -调和和双调和函数。值得注意的是，对于$p$和周围维度$n$的某些特殊值，这产生了有理和代数$p$ -调和函数的第一个例子。此外，我们表明，没有$p$ -调和多项式的等参型。这支持了对1980年J. Lewis提出的一个问题的否定回答。
2018-02-27 math.AP math.DG
A remark on quantitative unique continuation from subsets of the boundary of positive measure
调和函数在具有边界$\partial$ $Ω$，满足Dirichlet边界条件且法向导数在边界的子集$ω$上为零的区域$Ω$ $\subset$ R d上的唯一延拓问题是一个经典问题.当$ω$包含边界的开子集时，它是Carleman估计的结果（超曲面上二阶椭圆算子的唯一性）。$ω$是一组正（d - 1）维测度的情况已经吸引了很多注意力，参见例如[10，3，15]，其中在各种情况下已经获得了定性结果。主要的开放问题（关于唯一性）关注现在Lipschitz域和变系数。在这里，使用Loglichlet和Malinchova [13，14]的结果，我们考虑了W 2，$\infty$域的简单情况，但证明了Dirichlet和Neumann边界条件的定量唯一性。作为应用，我们给出了具有边界的W2，$\infty$域上Dirichlet和NeumannLaplace本征函数的定量估计.
2021-10-27 math.AP
Some remarks on the Allen-Cahn equation in $\mathbb{R}^n$
针对 Allen-Cahn 方程的高维 De Giorgi 猜想，在 $n\ge 9$ 时给出新结果：对能量极小解假设 $n-7$ 个单调方向可推出一维对称性，并推广至非局部相变及自由边界问题，同时建立无需能量有界性的 Ambrosio-Cabré 定理对应版本。
2026-06-17 math.AP
On a class of special Euler-Lagrange equations
本文对能量泛函$I(u)=\int_Ωf(\det Du)\,dx,$的Euler-Lagrange方程作了一些评论，其中$f\in C^1(\mathbb R).$对于某些弱解$u$，我们证明了函数$f'(\det Du)$在区域$Ω$上必须是常数，因此，当$f$是凸的时，所有这样的解都是$I(u).$的能量极小元。我们还证明了关于同胚解、非拟单调性、径向解以及二维情形下的一些特殊性质和问题。
2022-12-26 math.AP
Existence of solutions to a class of Kazdan-Warner equations on compact Riemannian surface
设$(Σ,g)$是无边界紧致黎曼曲面，$λ_1(Σ)$是Laplace-Beltrami算子$Δ_g$的第一特征值.设$h$是$Σ$上的正光滑函数。在函数空间$\mathcal{H}=\left\{u\in W^{1,2}(Σ): \int_Σudv_g=0\right\}$上定义函数$$J_{α,β}(u)=\frac{1}{2}\int_Σ(|\nabla_gu|^2-αu^2)dv_g-β\log\int_Σhe^udv_g$$。若$α<λ_1(Σ)$和$J_{α,8π}$在$\mathcal{H}$上没有极小元，则利用blow-up分析方法计算$J_{α,8π}$在$\mathcal{H}$上的下确界.因此，我们给出了一个Kazdan-Warner方程有解的充分条件。如果为$α\geq λ_1(Σ)$，则为$\inf_{u\in\mathcal{H}}J_{α,8π}(u)=-\infty$。如果是$β>8π$，那么对于任何$α\in\mathbb{R}$，都有$\inf_{u\in\mathcal{H}}J_{α,β}(u)=-\infty$。此外，我们考虑同样的问题的情况下，$α$是大的，其中涉及高阶特征值。
2017-10-19 math.AP
Numerical Optimization of Eigenvalues of the magnetic Dirichlet Laplacian with constant magnetic field
本文提出结合梯度下降法和基本解方法，对常数磁场下磁 Dirichlet Laplacian 前七个特征值进行数值优化，发现当磁通量超过目标特征值指标时极小化子始终为圆盘。
2025-07-17 math-ph math.AP math.MP
Asymptotically Hölder gradient regularity for degenerate or singular parabolic normalized $ p$-Laplace equations
Southeast University（东南大学）；University of Bristol（布里斯托大学）；Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences（上海数学与交叉学科研究院）
本文研究退化或奇异抛物型归一化 p-Laplace 方程，证明当 (p,γ) 接近 (2,0) 时，粘性解具有任意接近 1 的 Hölder 梯度正则性，推广了已有结果并回答了开放问题。
2026-09-29 math.AP
A further remark on the density estimate for degenerate Allen-Cahn equations: $Δ_{p}$-type equations for $1<p<\frac{n}{n-1}$ with rough coefficients
本文移除 Ginzburg-Landau 能量的正则性假设，在低 p 指数及双势阱单调性条件下，为退化 Allen-Cahn 方程非平凡极小元水平集建立密度估计。
2025-10-17 math-ph math.AP math.MP
A remark on Schatten-von Neumann properties of resolvent differences of generalized Robin Laplacians on bounded domains
本文研究了具有光滑边界$\partialΩ$的有界区域$Ω$上两个广义自伴极大耗散或极大累积Robin Laplacian的预解式差的$s$ -数的渐近性质.为此，我们应用最近推出的抽象概念的拟边界三元组和Weyl函数的扩展理论的对称算子连同Krein型预解公式和著名的特征值渐近的拉普拉斯-Beltrami算子$\partialΩ$。证明了两个广义Robin Laplacian的预解式差属于任意阶$p$的Schatten-von Neumann类，其中$p>(dimΩ-1)/3$ .此外，我们还给出了两个广义Robin Laplacian的预解式差属于任意小阶Schatten-von Neumann类的一个简单的充分条件。我们的结果扩展和补充经典定理由于M.Sh.Birman关于Schatten-von Neumann性质的Dirichlet，Neumann和自伴Robin Laplacian的预解式差异。
2009-11-12 math.AP math.FA math.SP
Entanglement principle for the fractional Laplacian with applications to inverse problems
本文证明了分数阶拉普拉斯算子的纠缠原理，将其推广到非紧致欧几里得空间，并应用于恢复分数阶多调和方程中的各向异性主项和零阶系数等新反问题。
2024-12-17 math.AP math.CV
