发表机构
Southeast University; University of Bristol; Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences（东南大学; 布里斯托大学; 上海数学与交叉学科研究院）
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本文研究退化或奇异抛物型归一化 p-Laplace 方程，证明当 (p,γ) 接近 (2,0) 时，粘性解具有任意接近 1 的 Hölder 梯度正则性，推广了已有结果并回答了开放问题。
AI 中文摘要
我们研究退化或奇异抛物型方程的有界粘性解 \\[ u_t-|Du|^{\gamma}\Delta_p^{\mathrm{N}}u=f \qquad \text{在 } Q_1 \text{ 中}, \\] 其中 \\[ \Delta_p^{\mathrm{N}}u:= \Delta u+(p-2) \left\langle D^2u\frac{Du}{|Du|}, \frac{Du}{|Du|} \right\rangle, \qquad -1<\gamma<\infty,\quad 1<p<\infty, \\] 且 $f\in C^0(Q_1)\cap L^\infty(Q_1)$。对于任意给定的 $\alpha\in(0,1)$，我们证明存在 $\varepsilon=\varepsilon(n,\alpha)>0$ 使得 \\[ |p-2|+|\gamma|\leq\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad u\in C_{\mathrm{loc}}^{1+\alpha,\frac{1+\alpha}{2}}(Q_1). \\] 特别地，当 $(p,\gamma)\to(2,0)$ 时，空间梯度的 Hölder 指数可以任意接近 $1$。这将在 Andrade 和 Santos (Calc. Var. Partial Differential Equations \textbf{61}, Paper No. 196, 2022) 中 $\gamma=0$ 的结果推广到联合区域 $(p,\gamma)\to(2,0)$，并肯定地回答了该文 Remark~1.1 中提出的问题。
英文摘要
We study bounded viscosity solutions of the degenerate or singular parabolic equation \[ u_t-|Du|^γΔ_p^{\mathrm{N}}u=f \qquad \text{in } Q_1, \] where \[ Δ_p^{\mathrm{N}}u := Δu+(p-2) \left\langle D^2u\frac{Du}{|Du|}, \frac{Du}{|Du|} \right\rangle, \qquad -1<γ<\infty,\quad 1<p<\infty, \] and $f\in C^0(Q_1)\cap L^\infty(Q_1)$. Given any prescribed $α\in(0,1)$, we prove that there exists $\varepsilon=\varepsilon(n,α)>0$ such that \[ |p-2|+|γ|\leq\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad u\in C_{\mathrm{loc}}^{1+α,\frac{1+α}{2}}(Q_1). \] In particular, the spatial gradient Hölder exponent can be chosen arbitrarily close to $ 1 $ as $(p,γ)\to(2,0)$. This extends the result of Andrade and Santos (Calc. Var. Partial Differential Equations \textbf{61}, Paper No. 196, 2022) for $γ=0$ to the joint regime $(p,γ)\to(2,0)$ and answers affirmatively the question raised in Remark~1.1 therein.
