Disjoint difference families and their applications
差集及其对差族的推广产生于设计的研究和许多其他应用。在这里，我们给一些这些应用程序的简要调查，特别注意到不同的家庭和不同的定义在建设中的优先级的变化。我们提出了一个定义的不相交的差异家庭，包括这些变化，并允许比较的相似性和差异。然后，我们专注于两个建设所产生的跳频序列的不相交的差异家庭，并表明，他们实际上是相同的。最后，我们讨论了跳频序列和不相交的差异家庭的概念的等价性。
2015-10-22 cs.DM math.CO
Structure and Supersaturation for Intersecting Families
关于各种组合对象相交族的最大可能规模的极值问题已被广泛研究。在本文中，我们研究过饱和扩展，在这种情况下，要求最小数量的不相交对，必须出现在家庭大于极值阈值。本文研究了置换族和$k$ -一致集族中不交对的最小数目，并确定了最优族的结构。我们的主要工具是不相交对的移除引理。我们还确定了当$n \ge 2sk + 38s^4$时，$k$ -一致集族的典型结构，并证明了当$n\ge (2+o(1))k$时，顶点集$[n]$上几乎所有的$k$ -一致相交族都是平凡的.
2019-06-08 math.CO
LR characterization of chirotopes of finite planar families of pairwise disjoint convex bodies
我们将有限平面点族的手排的经典LR特征扩展到两两不相交的凸体的有限平面族的手排：有限集I的3-子集集合上的映射\c{hi}是两两不相交的凸体的有限平面族的手形当且仅当对于每个3-，4-，和I的5-子集J，则\c{hi}对J的3-子集集的限制是两两不相交的凸体的有限平面族的手形.我们的主要工具是极性图，即，将缺失其内部的直线集赋给凸体的映射，由此我们导出了本文首次引入的双伪线排列的关键概念。
2014-10-05 cs.CG math.CO math.MG
On graceful difference labelings of disjoint unions of circuits
具有顶点集V的有向图G的优美差标号（简称gdl）是V与{1，.，|V| }，使得当为每个弧uv分配差异标签f（v）-f（u）时，所得到的弧标签是不同的。我们猜想，所有不相交的电路工会有一个gdl，除了在两个特殊情况下。我们证明部分结果支持这一猜想。
2019-08-29 math.CO
Essentially disjoint families, conflict free colorings and Shelah's Revised GCH
利用Shelah修正的GCH定理，我们证明了如果mu<beth_omega <= lambda是基数，则[lambda]^{beth_omega}的每个mu-几乎不相交的子族B本质上是不相交的，即对于B中的每个b，存在大小< |b|的b的子集f（b），使得族{b-f（b）b in B}是不相交的。我们还证明了，如果mu<=kappa<=lambda，且kappa是无限大的，且（x）[lambda]^kappa的每个mu-几乎不相交的子族本质上是不相交的，则（xx）每个λ的子集的mu-几乎不相交的族B（对于B中的所有b，|b| >=kappa）都有kappa色的无冲突着色.把这些结果放在一起，我们得到，如果mu<beth_omega<=lambda，那么每个具有|b| >=beth_omega的lambda子集的mu-几乎不相交族B，对于B中的所有b，都具有与beth_omega颜色的无冲突着色。为了得到上述结果，我们还需要证明一个关于奇异基数的紧性定理。
2022-09-21 math.CO math.LO
Colourings without monochromatic disjoint pairs
典型的极值问题是问一个结构在不包含禁止子结构的情况下可以有多大。1974年由Erdenses和Rothschild在极值图论的背景下提出的Erdens-Rothschild问题是一个着色扩展，要求一个结构可以有最大数量的着色，以避免被禁止的子结构的单色副本。著名的Erdens-Ko-Rado定理是极值集合论中的一个基本结果，它定义了没有一对不相交集合的集合族的大小，并且已经被扩展到其他几个离散设置。这些定理的Erdens-Rothschild扩张在最近几年也被研究，最著名的是Hoppen、Koyakayawa和Lefmann对集合族的研究，以及Hoppen、Lefmann和Odermann对向量空间的研究。在本文中，我们提出了一个统一的方法，交叉结构的Erdens-Rothschild问题，这使我们能够扩展以前的结果，往往与其他参数的地面集的大小上的尖锐的界限。在许多情况下，我们还讨论了哪些向量空间的家庭渐近最大化的Erdens-Rothschild染色的数量，从而解决了一个猜想的Hoppen，Lefmann和Odermann。
2018-01-09 math.CO
Internal and external partial difference families and cyclotomy
我们引入了不相交偏差族（DPDF）和外部偏差族（EPDF）的概念，它们是对不相交差族（DDF）、外部差族（EDF）和偏差集（PDS）结构的自然推广.我们建立的属性和结构，并表明连接到其他最近研究的组合结构。我们展示了如何DPDF和EPDF可能会形成从集合的PDSs，也提出了割圆的方法产生DPDF和EPDF的组件集是不是在一般的PDSs。作为其中的一部分，我们开发了一个统一的框架，包括各种已知的分圆差分结构的建设，这也产生了新的结果DDFs和EDF。
2022-12-20 math.CO
Families with no $s$ pairwise disjoint sets
对于整数$n\ge s\ge 2$，令$e(n,s)$表示$|\mathcal F|,$的最大值，其中$\mathcal F$是$n$元素集的子集族，并且$\mathcal F$不包含$s$成对不相交的成员.半个世纪前，Kleitman解决了Erd \H os的猜想，确定了所有$m,s\ge 1$的$e(sm-1,s)$和$e(sm,s)$。这些年来，在一般情况下取得的进展很少。本文提出了一个关于$1<l<s$的$e(sm-l,m)$的值的一般猜想，并证明了它对$s>s_0(l,m).$的有效性。对于$l=2$，我们确定了所有$s\ge 5.$的$e(sm-2,m)$的值。
2017-10-18 cs.DM math.CO
Sharp results concerning disjoint cross-intersecting families
对于$n$元素集$X$，让$\binom{X}{k}$是它的所有$k$子集的集合.如果$A\cap B \neq \emptyset$对所有$A\in\mathcal A$、$B\in\mathcal B$成立，则两个集合族$\mathcal A$和$\mathcal B$称为交叉相交的。令$f(n,k)$表示$\min\{|\mathcal A|, |\mathcal B|\}$的最大值，其中最大值是在{\em不相交}、交叉相交的族$\mathcal A, \mathcal B\subset\binom{[n]}{k}$的所有对上取得的。让PDMATHAMBMZ。我们证明了$f(n,k)=\left\lfloor\frac12\binom{n-1}{k-1}\right\rfloor$本质上当且仅当$n>ck^2$（cf.定理~1.4对于精确陈述）。令$f^*(n,k)$表示在$\mathcal A$和$\mathcal B$的所有成员的交集为空的附加限制下的相同最大值。对于$k\ge5$和$n\ge k^3$，我们证明了$f^*(n,k)=\left\lfloor\frac12\left(\binom{n-1}{k-1}-\binom{n-2k}{k-1}\right)\right\rfloor+1$和对$n$的限制本质上是尖锐的（参见。定理~5.4）。
2019-05-20 cs.DM math.CO
An improved integrality gap for disjoint cycles in planar graphs
提出新贪心取整算法解决平面图不可交叉环族环包装问题，将自然包装LP整数间隙上界改进至略小于3.5，并得出改进的Erdős-Pósa比率。
2024-04-27 math.CO
Removal and Stability for Erdős-Ko-Rado
一个$k$ -均匀的$[n]$子集族是相交的，如果它不包含不相交的集合对。相交族的研究是极值集理论的核心，可以追溯到1961年的开创性的Erdens-Ko-Rado定理，该定理限制了最大的此类族的大小。最近的一个趋势是研究具有很少不相交对的集合族的结构。Friedgut和Regev证明了一个一般的删除引理，表明当$γn \le k \le (\tfrac12 - γ)n$，一个集合族与少数不相交对可以通过删除少数集相交。我们提供了大家族去除引理的简单证明，表明大小接近$\ell \binom{n-1}{k-1}$且不相交对相对较少的家族必须接近$\ell$星的并。我们的引理适用于广泛的一致性;特别是，当$\ell = 1$时，结果适用于所有$2 \le k < \frac{n}{2}$，并提供了精确的定量估计。我们利用这个移除引理解决了Bollobás，Narayanan和Raigorodskii关于Kneser图$K(n,k)$的随机子图的独立数的一个问题. Erdens-Ko-Rado定理表明了$α(K(n,k)) = \binom{n-1}{k-1}$。对于一些常数$c > 0$和$k \le cn$，我们确定了尖锐的阈值时，这个等式成立的随机子图的$K(n,k)$，并提供强界的临界概率$k \le \tfrac12 (n-3)$。
2016-03-09 math.CO
Extremal Families for Matchings in Permutations
Institute for Mathematical Sciences, Renmin University of China（中国人民大学数学科学研究所）；Department of Mathematical Sciences, Tsinghua University（清华大学数学科学系）
本文在2≤s≤n的全范围刻画了排列族不含s个两两不相交排列时的极值等号情形，证明该情形等价于族为(s-1)个两两不相交1-陪集的并集，并给出相关线性命题的组合证明。
2026-09-04 math.CO
On disjoint crossing families in geometric graphs
几何图是在平面上绘制的图，其顶点由点和边表示为直线段。一个几何图包含一个（k，l）-交叉族，如果存在一对边子集E_1，E_2，使得|E_1| = k，|E_2| = 1，E_1中的边是两两交叉的，E_2中的边是两两交叉的，且E_1中的每条边与E_2中的每条边不相交.我们猜想，对任意固定的k，l，每个n-顶点几何图不含（k，l）-交叉族，至多有c_{k,l} n条边，其中c_{k,l}是只依赖于k和l的常数.本文通过证明几何图F的极值函数与F的两个完全不相交副本的极值函数之间的关系的一个更一般的结果，证明了每个不含（k，k）-交叉族的n-顶点几何图至多有c_kn \log n条边，其中c_k是只依赖于k的常数.我们还解决了不含（2，1）-交叉族的几何图的猜想。作为一个直接应用，这意味着对于任何3个顶点的圆图F，每个不包含其交图是F的匹配的n-顶点几何图至多有O（n）条边。
2011-03-25 cs.DM math.CO
A Sharp Product Bound for Disjoint Cross-Intersecting 3-Graphs with Covering Number Three
Microsoft（微软）；Centro de Informática, Universidade Federal de Pernambuco（巴西联邦伯南布哥大学计算机中心）
本文证明了Lin、Frankl和Wu提出的猜想：两个不相交的交叉相交3-一致超图（覆盖数为三）的大小乘积尖锐界为100，并通过穷举计算和独立验证给出了具体见证。
2026-09-23 math.CO
Divisible difference families from Galois rings GR(4,n) and Hadamard matrices
我们给出了一种新的差分族的构造，它推广了Szekeres的差分族\cite{Sze} .作为直接结果，我们得到了有限域的乘法子群中多块差族的一些新的例子。我们还证明了伽罗瓦环GR（4，n）的单位子群中存在具有两个块的可除差族无限族。利用可分差分族和一个新的矩阵阵列，得到了对称Hadamard矩阵的一种新的构造方法。
2012-12-13 math.CO
Maximal Symmetric Difference-Free Families of Subsets of $[n]$
在\cite{FF}中研究了$[n]=\{1,... n\}$子集的无并集族。本文给出了$[n]$的极大无{ \it对称差}子集族的一个完整刻画.
2010-10-13 math.CO
Generalized laminar families and certain forbidden matrices
回想一下，在层流族中，任何两个集合要么不相交，要么包含在另一个集合中。在这里，这个条件的参数化弱化。让我们说一个集合系统$\mathcal{F} \subseteq 2^X$是$t$ -层状的，如果$A,B \in \mathcal{F}$与$|A \cap B| \ge t$意味着$A \subseteq B$或$B \subseteq A$。我们得到非常接近的渐近界的$n$方面的最大尺寸的$2$ -层流家庭$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$。给出了$3$ -层状族的构造和一般$t$的初步分析.
2014-06-11 math.CO
Difference sets disjoint from a subgroup II: groups of order $4p^2$
研究有限群$G$，它有一个正规子群$H$和$D \subset G \setminus H, D \cap D^{-1}=\emptyset,$，使得多重集$\{ xy^{-1}:x,y \in D\}$的每个非单位元出现的次数相同（这样的$D$称为{ \it DRAD差集}）.我们证明了不存在这样的群的顺序$4p^2$，其中$p$是一个奇素数。
2021-03-17 math.CO math.GR
Digraph-defined external difference families and new circular external difference families
University of St Andrews（圣安德鲁斯大学）；University of Dundee（邓迪大学）
提出基于图和有向图的统一框架研究外部差族（EDFs），利用有限域割圆术和循环群直接构造获得新型循环外部差族（CEDFs）的显式构造，并首次在非循环阿贝尔群和非阿贝尔群中构造出CEDF。
2025-10-31 math.CO
Minimum saturated families of sets
我们称$[n]$的子集的家族$\mathcal{F}$为$s$饱和的，如果它不包含$s$成对不相交的集合，而且没有集合可以添加到$\mathcal{F}$而保持这个属性（这里是$[n] = \{1,\ldots,n\}$）。40多年前，Erdibs和Kleitman证实$[n]$子集的$s$饱和家族的大小至少为$(1 - 2^{-(s-1)})2^n$ .很容易证明每个$s$饱和族的大小至少为$\frac{1}{2}\cdot 2^n$，但是，正如Frankl和Tokushige所提到的，对于某些固定的$\varepsilon > 0$，即使获得$(1/2 + \varepsilon)2^n$的稍微更好的界也似乎很困难。本文证明了这样一个结果，证明了$[n]$的子集的每个$s$饱和族的大小至少为$(1 - 1/s)2^n$。这个下界是一个多部版本的问题，在其中，我们寻求一个下界$|\mathcal{F}_1| + \ldots + |\mathcal{F}_s|$，其中$\mathcal{F}_1, \ldots, \mathcal{F}_s$是家庭的子集$[n]$，这样就没有$s$成对不相交的集，一个从每个家庭$\mathcal{F}_i$，而且没有一套可以添加到任何家庭，同时保持这一属性。我们表明，$|\mathcal{F}_1| + \ldots + |\mathcal{F}…
2018-04-24 math.CO
Strong difference families of special types
引入特殊类型的强差族，从渐近存在性和具体例子两个角度产生新的相对差族。作为应用，讨论了具有$6$的$30^u$型可分群设计，导出了$r\in\{6,10\}$的具有$6$的$r$ -旋转平衡不完全区组设计，并得到了几类具有$5$，$6$，$7$，或$8$的最优光正交码.
2019-08-26 math.CO
New Partial Geometric Difference Sets and Partial Geometric Difference Families
Olmez在“Symmetric $1\frac{1}{2}$ -Designs and $1\frac{1}{2}$ -Difference Sets”（2014）中介绍了部分几何差集（也称为$1\frac{1}{2}$ -design）的概念，并表明部分几何差集给出了部分几何设计。Nowak等人，在“Partial Geometric Difference Families”（2014）中，引入了偏差族的概念，并证明了这些也给出了偏几何设计。Brouwer等人在“Directed strongly regular graphs from $1\frac{1}{2}$ -designs”（2012）中指出，有向强正则图可以从部分几何设计中获得。在这一通信中，我们构造了几个部分几何差集族和带新参数的部分几何差族，从而给出了带新参数的有向强正则图.我们还讨论了部分平衡设计、$2$ -a设计（最近由丁存生在“Codes from Difference Sets”（2015）中提出）和部分几何设计之间的一些联系，并研究了$2$ -a设计何时是部分几何设计。
2015-12-17 math.CO
New Existence and Nonexistence Results for Strong External Difference Families
本文利用特征标理论的技巧给出了$(n,m,k,λ)$ -强外差族（SEDF）的新的不存在性结果。我们还利用分圆类给出了两类新的具有$m=2$的SEDF。
2016-12-30 math.CO
Almost Affinely Disjoint Subspaces
在这项工作中，我们介绍了一个自然的概念，关于有限向量空间。$\mathbb{F}_q^n$的一个$k$维子空间族形成一个部分展布，称为几乎仿射不相交，如果任何包含该族中一个子空间的$(k+1)$维子空间与该族中仅有少数子空间非平凡相交.本文讨论的中心问题是给定参数$k$和$n$的这些族的最大基数的多项式增长（在$q$中）。对于情形$k=1$和$k=2$，构造了最优族。对于其他设置，我们发现多项式增长的下限和上界。此外，还显示了与编码理论中问题的一些联系。
2021-06-27 cs.IT math.CO math.IT
Frame difference families and resolvable balanced incomplete block designs
框架差族在可分解平衡不完全区组设计的直接构造中起着重要的作用，它可以通过对强差族的割圆条件的谨慎使用而得到.我们建立了几类框架差分族的渐近存在性。作为推论，得到了$\mathbb{F}_{p}^+ \times \mathbb{F}_{q}^+$上新的1-转动$(pq+1,p+1,1)$-RBIBD无限族，并讨论了$(125q+1,6,1)$ -RBIBD的存在性.我们为$v\in\{624,1576,2976,5720,5776,10200,14176,24480\}$构建了$(v,8,1)$ -RBIBD，它的存在以前是有疑问的.作为应用，我们建立了无限族最优常数复合码和无限族严格最优跳频序列的渐近存在性。
2018-02-03 math.CO
Intersecting Families of Perfect Matchings
$K_{2n}$的完美匹配族是$t$ - $intersecting$，如果任何两个成员共享$t$或多个边。我们证明了任何$t \in \mathbb{N}$，每一个$t$交叉家庭的完美匹配的大小不大于$(2(n-t) - 1)!!$足够大的$n$，并平等保持当且仅当家庭是由所有完美匹配，包含一个固定的一组$t$不相交的边缘。这是Godsil和Meagher猜想的渐近版本，可以看作是Ellis，Friedgut和Pilpel证明的Deza-Frankl猜想的非二分类似物。
2018-11-15 math.CO
Difference sets disjoint from a subgroup
研究有限群$G$，它有一个子群$H$和$D \subset G \setminus H$，使得多重集$\{ xy^{-1}:x,y \in D\}$的每个非单位元出现的次数相同（这样的$D$称为{ \it差集}）.我们表明，$H$必须是正常的，$|G|=|H|^2$，并为所有$g \notin H$的$|D \cap Hg|=|H|/2$。我们证明了$H$包含在素指数的每个正规子群中，并证明了其它一些性质.我们给出了一个$2$参数族的例子，这样的群体。我们证明了这样的群有四个主集的Schur环。
2017-03-20 math.CO math.GR
Existence and Non-Existence Results for Strong External Difference Families
我们认为强外部差异家庭（SEDF），这些是外部差异家庭满足额外的条件上的模式发生的外部差异，并首先定义在分类的背景下，最佳强代数操作检测代码。我们建立新的必要条件的存在（n; m; k; lambda）-SEDF，特别是给一个接近完整的治疗的lambda = 2的情况下。对于m = 2的情况下，我们得到的分区型SEDF（最大可能的k和λ）的结构表征，表明这些对应于佩利偏差集。我们还证明了我们的主要结果广义SEDF的一个版本，建立非平凡的必要条件，他们的存在。
2016-11-17 math.CO
Cyclic (v;r,s;lambda) difference families with two base blocks and v <= 50
我们构造了许多新的循环（v;r，s;lambda）差族，其中v小于或等于50。特别地，我们构造了带参数的差分族（45; 18，10;9），（45; 22，22;21），（47; 21，12;12），（47; 19，15;12），（47; 22，14;14），（48; 20，10;10），（48; 24，4;12），（50; 25，20;20），其中存在问题是一个开放的问题。（45）22，22; 21）差分族给出了一个参数为v=45，b=90，r=44，k=22和lambda=21的BIBD，而参数为（50; 25，20;20）的BIBD给出了一对长度为50的二进制序列，其周期自相关函数为零（Golay对的周期模拟）。我们还构造了九个新的D最优设计。提出了循环差分族的一个标准形，并有效地用于编制已知和新差分族的列表。
2009-03-30 math.CO
Cyclotomic skew partial difference sets and partial difference families
School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews（圣安德鲁斯大学数学与统计学院）；Institut für Mathematik, Alpen-Adria-Universität Klagenfurt（克拉根福阿尔卑斯-亚得里亚大学数学研究所）
本文研究了循环理论在构造斜部分差集中的应用，提出了新的构造方法，并探讨了斜部分差集与部分差族之间的关系。
2026-05-19 math.CO
A class of cyclic $(v;k_1,k_2,k_3;λ)$ difference families with $v \equiv 3 \pmod{4}$ a prime
我们构造了几个循环的$(v;k_1,k_2,k_3;λ)$差族，其中$v\equiv3 \pmod{4}$是素数，$λ=k_1+k_2+k_3-(3v-1)/4$是循环的.这些族可以与著名的Paley-Todd差集结合使用来构造$4v$阶的斜Hadamard矩阵。我们的主要结果是首次构造了$4\cdot239=956$阶和$4\cdot331=1324$阶的斜Hadamard矩阵的例子。
2016-07-24 math.CO
Graph labellings and external difference families
School of Computing Science, University of Glasgow（格拉斯哥大学计算科学学院）；School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews（圣安德鲁斯大学数学与统计学院）
本文提出了一种利用图顶点标记和图膨胀技术构建图定义外部差族的系统框架，并首次显式构造了无限族的2-CEDFs，同时为图标记提供了新结果。
2026-03-05 math.CO
New $2$-designs from strong difference families
强差族是一类有趣的离散结构，它可以用来导出相对差族。相对差族与$2$ -设计密切相关，并在许多重要码的构造中有应用，如光正交码和光正交签名模式码。本文利用强差族的割圆条件，改进了$k\in\{p,p+1\}$的$(\mathbb{F}_{p}\times \mathbb{F}_{q},\mathbb{F}_{p}\times \{0\},k,λ)$ -DFs渐近存在性的下界.改进了Buratti关于$2$设计和$2$设计的存在性结果，建立了$(v,k,λ)\in\{(694,7,2),(1576,8,1),(2025,9,1),(765,9,2),(1845,9,2),(459,9,4)$，$(783,9,4)\}$的七个新的$2$设计的存在性.
2017-08-11 math.CO
Algorithms for difference families in finite abelian groups
本文证明了循环群差族搜索中的功率密度 PSD-test 与压缩方法可推广到任意有限阿贝尔群。
2018-04-04 math.CO
Partitioned difference families: the storm has not yet passed
两年前，我们警告了科学界关于{ \it零差平衡函数}文献中大量的糟糕论文，其中以不必要的冗长和复杂的方式提出了看似新结果的直接证明。事实上，这些结果在很久以前就被证明了，并且很容易在不同的家庭中得到证明。尽管我们提出了报告，但同类文件继续激增。令人遗憾的是，似乎不可避免地要进一步尝试整理这一专题。虽然有些作者现在遵循我们的建议，使用{ \it分割差分族}的术语，但他们的方法仍然是相同的，他们的结果往往是微不足道的，甚至是错误的。在这份说明中，我们将展示如何一个非常近期的文件，这种类型可以很容易地处理。
2021-02-28 math.CO
Crossing and intersecting families of geometric graphs on point sets
设$S$是平面中一般位置的一组$n$点。如果连接$S$的点对的两条线段有一个公共的内点，则这两条线段相交。两个顶点在$S$中的顶点不相交的几何图相交，如果有两条边相交，每个图有一条边。一组顶点在$S$中的顶点不相交的几何图，如果其中任意两个相交，则称为相交图。我们发现，存在一个常数$c$，使得从任何家庭的$n$相互交叉的三角形，人们总是可以获得一个家庭的至少$n^c$相互交叉的$2$ -路径（其中每一个是删除的结果，从一个三角形的边缘），然后提供一个例子，这意味着$c$不能被视为大于$2/3$。对于每一个$n$，我们确定一个哈密顿圈在一组$n$点上可能具有的最大交叉数。接下来，我们构造一个点集，其最长完美匹配不包含交叉。我们还考虑边缘组成的一个水平和一个垂直线段连接点对$S$，我们称之为肘，并证明在任何点集$S$存在一个家庭的$\lfloor n/4 \rfloor$顶点不相交相互交叉肘。此外，我们展示了一个点集，承认不超过$n/3$相互交叉肘。最后，我们研究了相交图族，这不一定是顶点不相交的。一组顶点在$S$中的边不相交图称为相交族，如果对于其中的任意两个图，我们可以在每个图中选择一条边使它们相交。本文证明了Lara和Rubio-Montiel的一个猜想，即任何$n$点在一般位置上的集合$S$都包含一个元素数为二次的相交三角形族.在整个工作中还得到了一些其他的结果。
2022-11-17 cs.CG math.CO
A note on distinct differences in $t$-intersecting families
对于$\{1,2,\ldots,n\}$的子集的家族$\mathcal{F}$，令$\mathcal{D}(\mathcal{F}) = \{F\setminus G: F, G \in \mathcal{F}\}$是$\mathcal{F}$的所有（按集合）差异的集合。族$\mathcal{F}$称为$t$ -相交族，如果对于某个正整数$t$和任意两个成员$F, G \in \mathcal{F}$，我们有$|F\cap G| \geq t$ .如果$t=1$，则族$\mathcal{F}$简称为相交。最近，Frankl证明了交叉族$\mathcal{F}$的$\mathcal{D}(\mathcal{F})$的规模的一个上界.本文将Frankl的结果推广到$t$ -交族.
2022-11-08 math.CO
Weighted external difference families and R-optimal AMD codes
在本文中，我们提供了一个数学框架，表征AMD码是R-最优的。我们引入了一个新的组合对象，倒数加权外差族（RWEDF），它正好对应于一个R-最优弱AMD码。这个定义包含已知的现有的最佳代码的例子，也包括组合对象不包括以前的定义在文献中。通过发展结构群理论的表征，我们展示了新的RWEDFs的无限家庭，和新的建设方法，如近完整的EDF已知的对象。本文还讨论了非阿贝尔群中RWEDF的例子。
2018-05-03 math.CO
Skew Hadamard difference families and skew Hadamard matrices
本文推广了Szekeres（1969，1971），Whiteman（1971）和Wallis-Whiteman（1972）给出的有限域的加群中具有两个或四个块的斜Hadamard差族的经典构造.特别地，我们证明了对于任意素数幂$q\equiv 2^u+1\,({\mathrm{mod\, \, }2^{u+1}})$，有$u\ge 2$和任意正整数$e$，在$q^e$阶有限域的加法群中存在一个带有$2^{u-1}$块的斜Hadamard差分族.在Szekeres、Whiteman和Wallis-Whiteman的上述工作中，在$({\mathbb F}_{q^e},+)$中具有$2^{u-1}$（$u=2$或$3$）块的偏斜Hadamard差分族的构造取决于指数$e$，当$u=2$时分别具有$e\equiv 1,2,$或$3\,({\mathrm{mod\, \, }4})$，以及当$u=3$时分别具有$e\equiv 1\,({\mathrm{mod\, \, }2})$。特别是，我们更通用的构造消除了对$e$的依赖。作为结果，我们得到了新的斜Hadamard矩阵的无限族。
2018-01-31 math.CO
There are at most $2^{d+1}-2$ neighbourly simplices in dimension $d$
本文给出了离散立方体的不相交子盒族的一个组合定理，它意味着在$\mathbb R^d$中至多存在$2^{d+1}-2$邻域单形。
2019-02-14 math.CO
Some Nonexistence Results for Strong External Difference Families Using Character Theory
本文研究了$(v,m,k,λ)$ -强外差族（SEDF）的存在性.我们使用的特征理论的技术表明，没有SEDF存在时，$v$是素数，$k > 1$和$m > 2$。在$v$是两个不同奇素数的乘积的情况下，导出了一些必要条件，这些条件可以用来排除某些参数集。此外，我们表明，当$m=3$或$4$和$v > m$，一个$(v,m,k,λ)$ -SEDF不存在。
2017-04-23 math.CO
Construction and nonexistence of strong external difference families
强外部差异族（SEDF）是由Paterson和Stinson提出的，是外部差异族的一个更严格的版本。SEDF可以用来产生最优的强代数操作检测码。我们刻画了一个非平凡的SEDF的参数$(v, m, k, λ)$是接近完全的（满足$v=km+1$）。我们构造了具有$m > 2$的$(v, m, k, λ)$ SEDF的第一个已知的非平凡例子。本例的参数为$(243,11,22,20)$，给出了一个接近完整的SEDF，其组为$\mathbb{Z}_3^5$。我们提供了一个全面的框架，使用字符理论和代数数论的SEDF的研究，表明情况$m=2$和$m>2$是根本不同的。我们证明了一系列的不存在的结果，大大缩小了范围可能的参数SEDF。
2017-11-16 math.CO
Nonexistence of Strong External Difference Families in Abelian Groups of Order Being Product of At Most Three Primes
设$v$是至多三个不一定不同的素数的乘积。证明了在$v$阶阿贝尔群群$G$中不存在具有两个以上子集的强外差族，除非$G=C_p^3$和$p$是大于$3 \times 10^{12}$的素数.
2020-06-03 math.CO
Partitioned difference families and harmonious linear spaces
我们说一个线性空间是协调的，如果它是可分解的，并且允许一个自同构群在点上严格传递，在平行类上传递。本文推广了第一作者等人的结果，给出了构造调和线性空间的差分法。我们证明，特别是，对于任何有限的非单例子集$K$的$\mathbb{Z}^+$有无穷多个值的$v$存在一个分区的差异家庭，是一个和谐的线性空间的基本平行类的$v$点的块大小正是元素的$K$。
2023-03-20 math.CO
Six Constructions of Difference Families
本文给出了六种差族的构造方法。这些构造利用了差集、几乎差集和不交差族，并对这些组合对象之间的关系给出了新的观点。大多数构造对所有有限群都有效。虽然这些构造看起来很简单，但它们产生了许多具有新参数的差族。除了这六个新的构造外，还得到了关于交数的新结果。
2014-11-13 cs.IT math.CO math.IT
Some results on generalized strong external difference families
广义强外差分族（简称$(v, m; k_1,\dots,k_m; λ_1,\dots,λ_m)$ -GSEDF）由Paterson和Stinson在2016年引入。本文构造了$m=2$的一些新的GSEDF，并利用它们得到了图分解的一些结果.我们也给出了一些GSEDF的不存在性结果。特别地，我们证明了当$k_1+k_2+k_3< v$时，$(v, 3;k_1,k_2,k_3; λ_1,λ_2,λ_3)$-GSEDF不存在.
2017-11-20 math.CO
Generalized perfect difference families and their application to variable-weight geometric orthogonal codes
受几何正交码（GOC）应用的启发，Wang等人引入了广义完全差分族（PDF）的概念，并建立了GOC与一类广义PDF的等价关系。基于这种关系，本文讨论了广义$(n\times m,K,1)$ -PDF的存在性问题.利用半完美可分群设计等辅助设计和几种递归构造方法，证明了广义$(n\times m, \{3,4\}, 1)$ -PDF存在的充要条件是$nm\equiv1\pmod{6}$ .广义$(n\times m, \{3,4,5\}, 1)$ -PDF的存在性也得到了完全解决，可能除了少数几个值。结果得到了一些变权完美$(n\times m,K,1)$ -GOC。\vspace{0.2cm} { \bf Keywords}：广义完全差族，广义完全差填充，几何正交码，半完满群可除设计
2022-05-02 math.CO
Strong external difference families in abelian and non-abelian groups
强外差族（SEDF）在密码学中有应用，并且本身就是丰富的组合结构;到目前为止，所有的SEDF都是在阿贝尔群中。在本文中，我们考虑了交换群和非阿贝尔群中的SEDF。我们的特点，具有容许参数的非平凡SEDF的组的顺序，发展的不存在性和存在性的结果，其中几个扩展已知的结果，并提出了第一个家庭的非阿贝尔SEDF。我们介绍了EDF和SEDF的等价概念，并开始枚举SEDF的任务。完整的结果为所有团体为了$24$，支持的计算方法。
2020-06-23 math.CO
Intersecting Families of Spanning Trees
本文研究完全图K_n中t-相交生成树族的最大规模，证明在n≥C(log n)t时，极值族为包含固定t条独立边的所有树，t=1时还包括星形族。
2025-07-25 math.CO
No more than $2^{d+1}-2$ nearly neighbourly simplices in $\mathbb R^d$
本文证明了一个关于离散立方体的不相交子盒族的组合定理，它意味着在$\mathbb R^d$中至多存在$2^{d+1}-2$近邻单形。
2019-12-31 math.CO
Goethals--Seidel difference families with symmetric or skew base blocks
本文研究循环群中基块为对称或斜的 Goethals–Seidel 差族，通过扩展已有计算完成奇数 v<50 的分类，并构造多个新矩阵实例。
2018-02-02 math.CO
New Necessary Conditions for Existence of Strong External Difference Families
本文结合分圆域、代数数论与特征标理论，推导强外差族存在的新必要条件，给出指数界、v 的素因子界及参数同余关系。
2025-02-15 math.CO
Remarks on the Erdős Matching Conjecture for Vector Spaces
在1965年，Paul Erdans提出了关于$\{ 1, \ldots, n \}$中$k$ -集的最大家族$Y$的问题，使得$Y$不包含$s+1$成对不交集。这个问题通常被称为Erdans匹配猜想。我们研究了这个问题的$q$ -类比，即我们想确定$\mathbb{F}_q^n$中$k$ -空间的最大族$Y$的大小，使得$Y$不包含$s+1$成对不相交的$k$ -空间.在这里，我们称两个子空间不相交，如果他们相交平凡。我们的主要结果是，稍微简化，如果$16 s \leq \min\{ q^{\frac{n-k}{4}},$ $q^{\frac{n-2k+1}{3}} \}$，那么$Y$是小的或相交的家庭的联合。因此，我们显示了这个范围的Erd \H{os}匹配猜想。证明使用的方法由于Metsch。我们也讨论建筑。特别是，我们表明，对于较大的$s$，有大的例子，这是在大小上接近相交的家庭联盟，但结构不同。作为一个应用，我们讨论了向量空间的Erdums匹配猜想和Cameron-Liebler线类（及其到$k$ -空间的推广）之间的密切关系，这是近30年来有限几何中的一个热门话题.更具体地说，我们提出了Erdés匹配猜想（向量空间）作为一个有趣的变化的经典研究Cameron-Liebler线类。
2020-07-20 math.CO
Hadamard partitioned difference families and their descendants
如果$D$是$G$中的$(4u^2,2u^2-u,u^2-u)$ Hadamard差集（HDS），则$\{G,G\setminus D\}$显然是$(4u^2,[2u^2-u,2u^2+u],2u^2)$分区差族（PDF）。任何$(v,K,λ)$ -PDF将被称为阿达玛型，如果$v=2λ$作为上述之一。我们提出了一个加倍的建设，从任何这样的PDF，导致无限类的PDF。作为一个特殊的结果，当我们有一个$(4u^2,2u^2-u,u^2-u)$ -HDS且$2n+1$的最大素幂因子都大于$4u^2+2u$时，我们得到了一个阶为$4u^2(2n+1)$，三个块大小为$4u^2-2u$，$4u^2$和$4u^2+2u$的群中的PDF.
2018-01-05 math.CO
