Approximation Schemes for Edit Distance and LCS in Quasi-Strongly Subquadratic Time
Stanford University（斯坦福大学）
本文提出新的随机近似方案，针对编辑距离和最长公共子序列问题，在准多项式时间内实现近似解，改进了传统二次时间动态规划算法。
2026-03-31 cs.DS
Conditionally optimal approximation algorithms for the girth of a directed graph
众所周知，一个比$2$ -近似算法更好的稠密有向无权图的围长需要$n^{3-o(1)}$时间，除非使用快速矩阵乘法。同时，在$O(mn^{1-ε})$时间中运行的组合算法的最佳已知近似因子（由Alfrehik et al.）是$3$。正确答案是$2$还是$3$？本文的主要结果是有向图的一个（条件）紧逼近算法。首先，我们表明，根据一个流行的硬度假设，任何算法，即使是一个利用快速矩阵乘法，将需要至少$mn^{1-o(1)}$时间的一些稀疏$m$，如果它实现了$(2-ε)$ -近似任何$ε>0$。其次，我们给出了运行在$\tilde{O}(mn^{3/4})$时间内的无权图围长的$2$ -近似算法，以及运行在$\tilde{O}(m\sqrt n)$时间内的加权图围长的$(2+ε)$ -近似算法（对于任何$ε>0$）。我们的算法是组合的。我们还得到了周长运行在$\tilde{O}(mn^{\sqrt{2}-1})$时间的$(4+ε)$ -近似，提高了以前最好的$\tilde{O}(m\sqrt n)$运行时间的Escherhik等人。最后，我们考虑了往返spectrum的计算。在$\tilde{O}(m\sqrt n/ε^2)$时间内，我们得到了$\tilde{O}(n^{1.5}/ε^2)$边上的$(5+ε)$ -近似往返图.对于相同的运行时间，这改进了先前的近似因子$(8+ε)$。
2020-04-27 cs.DS
Approximating Cycles in Directed Graphs: Fast Algorithms for Girth and Roundtrip Spanners
图的围长，即其最短圈的长度，是图的一个基本参数。不幸的是，所有已知的用于计算（甚至近似地）有向加权$m$ -边和$n$ -节点图中的围长和围长相关结构的算法都需要$Ω(\min\{n^ω, mn\})$时间（对于$2\leqω<2.373$）。在本文中，我们大大改善这些运行时间如下：* 乘法近似在近线性时间：我们给出了一个算法，在$\widetilde{O}(m)$时间计算$\widetilde{O}(1)$ -乘法近似的周长以及$\widetilde{O}(1)$ -乘法往返行程的周长与$\widetilde{O}(n)$边缘高概率（w.h.p）。* 几乎紧的加法近似：对于未加权图和任何$α\in (0,1)$，我们给出了一个算法，在$\widetilde{O}(mn^{1 - α})$时间计算围长w.h.p的$O(n^α)$ -加法近似，并部分去随机化它。我们表明，如果没有组合布尔矩阵乘法的突破，我们的算法的运行时间不能显着提高。我们的主要技术贡献，以实现这些结果是第一个近线性时间算法计算往返覆盖，有向图分解概念的关键，以前的往返crossover建设。以前不知道如何计算这些显著快于$Ω(\min\{n^ω, mn\})$时间。鉴于传统的困难，有效地处理有向图，我们希望我们的技术可以找到进一步的应用。
2018-08-10 cs.DS
Dynamic Approximate Shortest Paths and Beyond: Subquadratic and Worst-Case Update Time
考虑以下针对经历边插入和删除的$n$ -节点图$G$的距离查询：给定两组节点$I$和$J$，返回$I\times J$中每对节点之间的距离。这个查询是相当通用的，并且捕获了动态最短路径问题的几个版本。在本文中，我们开发了一个有效的$(1+ε)$近似算法，这种查询使用快速矩阵乘法。我们的算法导致单源和所有对最短路径（SSSP和APSP），以及直径，半径和偏心率的一些开放的问题的答案。下面是一些亮点。请注意，我们所有的算法保证最坏情况下的更新时间和随机（蒙特卡罗），但不需要遗忘对手的假设。SSSP、直径、中心度等的次二次更新时间：当我们想要显式地保持与单个节点的距离时（没有查询），一个基本的问题是在每次更新后击败平凡地调用Dijkstra的静态算法，在密集图上花费$Θ(n^2)$更新时间。已知精确算法和组合任意近似算法不可能多项式地超过$Ω(n^2)$界（在某些假设下）[Roditty，Zwick，ESA'04; Abboud，V. Williams，FOCS'14]。我们的算法与$I=\{s\}$和$J=V(G)$意味着一个$(1+ε)$ -近似算法，保证$\tilde O(n^{1.823}/ε^2)$最坏情况下的更新时间为有向图与正实权重$[1, W]$。从[Roditty，V. Williams，STOC'13]的想法，我们还获得了第一次二次最坏情况下的更新时间为$(5/3+ε…
2019-10-16 cs.DS
Constant Approximation of Fréchet Distance in Strongly Subquadratic Time
针对两条多边形曲线的 Fréchet 距离与离散 Fréchet 距离，本文提出强次二次随机算法，首次实现 $7+\varepsilon$ 常数因子近似并给出成功概率保证。
2025-03-17 cs.CG cs.DS
Approximation Algorithms for LCS and LIS with Truly Improved Running Times
最长公共子序列（$\mathsf{LCS}$）是组合优化中的一个经典和核心问题。虽然$\mathsf{LCS}$承认一个二次时间的解决方案，最近的证据表明，解决这个问题可能是不可能的，在真正的次二次时间。$\mathsf{LCS}$的一个特殊情况，其中每个字符在每个字符串中最多出现一次，等价于最长递增子序列问题（$\mathsf{LIS}$），它可以在拟线性时间内求解。在这项工作中，我们提出了新的算法近似$\mathsf{LCS}$在真正的次二次时间和$\mathsf{LIS}$在真正的次线性时间。我们的近似因子取决于最优解大小与输入大小的比值。我们用$λ$表示这个比率，并且在没有任何关于$λ$的先验知识的情况下，得到了关于$\mathsf{LCS}$和$\mathsf{LIS}$的以下结果。$\bullet$一个真正的次二次时间算法，用于$\mathsf{LCS}$，具有近似因子$Ω(λ^3)$。$\bullet$一个真正的次线性时间算法，用于$\mathsf{LIS}$，具有近似因子$Ω(λ^3)$。三角不等式最近被[Boroujeni，Ehsani，Ghodsi，HajiAghayi和Seddighin SODA 2018]和[Charkraborty，Das，Goldenberg，Koucky和Saks FOCS 2018]用于提出编辑距离的新近似算法。我们的技术$\mat…
2021-11-20 cs.DS
Faster approximation algorithms for computing shortest cycles on weighted graphs
给定一个具有非负边权的$n$ -点$m$ -边图$G$，$G$的围长是$G$中最短圈的权.对于任何图$G$多项式有界的整数权重，我们提出了一个确定性的算法，计算，在$\tilde{\cal O}(n^{5/3}+m)$时间，一个循环的重量至多两倍的周长$G$。我们的方法结合了一些新的见解，以前的近似算法这个问题（Lingas和Lundell，IPL'09; Roditty和Tov，TALG'13）与命中集为基础的方法，用于近似距离预言和追溯到（Thorup和Zwick，JACM'05）。然后，我们把我们的算法变成一个确定性的$(2+\varepsilon)$ -近似图与任意非负的边权重，在一个稍差的运行时间在$\tilde{\cal O}(n^{5/3}\log^{{\cal O}(1)}{(1/\varepsilon)}+m)$的价格。最后，如果我们坚持去除边数$m$的依赖性，我们可以将我们的算法转化为具有非负边权的图的$\tilde{\cal O}(n^{5/3})$ -时间随机$4$ -近似-假设邻接列表是排序的。结合上述基于命中集的方法，该算法可以去随机化，从而产生对于具有多项式有界整数权重的图的$\tilde{\cal O}(n^{5/3})$ -时间确定性$4$ -近似，以及对于具有非负边权重的图的$\tilde{\cal O}(n^{5/3}\log^{{\cal O…
2018-10-24 cs.DS
A Subquadratic Time Approximation Algorithm for Individually Fair k-Center
针对个体公平约束下的k-中心问题，提出确定性和随机性两种双准则近似算法，其中随机算法通过次二次时间的随机采样实现r_x的常数因子近似，兼具理论效率与独立研究价值。
2025-03-25 cs.CG cs.DS
Improved Approximation for Longest Common Subsequence over Small Alphabets
研究了最长公共子序列（LCS）问题的可逼近性。求解LCS问题的最快算法在输入长度上的基本二次时间内运行，并且已知在强指数时间假设下，二次运行时间无法被击败。然而，除了在一些有限的情况下，LCS的近似计算没有这样的限制。近似算法也很缺乏。当两个给定的字符串在大小为$k$的字母表上时，返回由两个字符串中出现最频繁的符号形成的子序列实现LCS的$1/k$近似。这是一个开放的问题，是否可以在真正的次二次时间（$O(n^{2-δ})$时间常数$δ>0$）实现更好的$1/k$近似。最近的一个结果[Rubinstein and Song SODA'2020]表明，只要输入字符串具有相同的长度，在真正的次二次时间中，在二进制字母表上对LCS的$1/2+ε$近似是可能的。在本文中，我们表明，如果一个$1/2+ε$近似（$ε>0$）是可实现的二进制LCS在真正的次二次时间时，输入字符串可以是不平等的，然后为每个常数$k$，有一个真正的次二次时间算法，实现了$1/k+δ$近似$k$ -ary字母表LCS的一些$δ>0$。二进制是最难的。我们还表明，对于每个常数$k$，如果给定$k$进制字母表上的两个长度为\emph{equal}的字符串，则可以在真正的次二次时间内获得某个常数$ε>0$的$1/k+ε$逼近，从而将Rubinstein和Song的结果扩展到所有常数大小的字母表。
2021-05-07 cs.CC cs.DS
A Fine-Grained Perspective on Approximating Subset Sum and Partition
子集和的近似问题是计算机科学和数学优化中的一个经典和基本问题。用于子集和的现有技术的近似方案计算时间上的$(1-\varepsilon)$ -近似$\tilde{O}(\min\{n/\varepsilon, n+1/\varepsilon^2\})$ [Gens，Levner'78，Kellerer et al. '97]。特别地，可以在时间$O(n^2)$中计算$(1-1/n)$近似。我们建立了一个连接到最小加卷积，一个问题，是特别感兴趣的细粒度复杂性理论，可以解决天真的时间$O(n^2)$。我们的主要结果是计算子集和的$(1-1/n)$ -近似是次二次等价于Min-Plus-Convolution。因此，假设来自细粒度复杂性理论的Min-Plus-Convolution猜想，不存在对$n$和$1/\varepsilon$具有强次二次依赖的子集和的近似方案。在另一个方向上，我们的减少允许我们转移已知的低阶改进从Min-Plus-Convolution到Subset Sum，这产生了一个温和的次二次随机近似方案。这将第一近似问题添加到与Min-Plus-Convolution等效的问题列表中。对于相关的划分问题，子集和的一个重要的特殊情况，现有技术是在时间上运行的随机近似方案$\tilde{O}(n+1/\varepsilon^{5/3})$ [Mucha~et~al. '19]…
2020-10-26 cs.DS
Improved girth approximation in weighted undirected graphs
本文针对加权无向图围长近似问题，提出一个期望时间复杂度为 O(kn^{1+1/k}log n + m(k+log n)) 的算法，可将近似比从 2k 改进到 4k/3，并推广和改进了已有无权图及加权图结果。
2025-07-18 cs.DS
A Linear-Time $n^{0.4}$-Approximation for Longest Common Subsequence
我们考虑计算两个长度为$n$的字符串的最长公共子序列（LCS）的经典问题。虽然一个简单的二次算法已经知道的问题超过40年，没有更快的算法已被发现，尽管广泛的努力。缺乏进展的问题最近解释了阿布德，Backurs，和Vassilevska威廉姆斯[FOCS'15]和Bringmann和Künnemann [FOCS'15]谁证明了没有次二次算法，除非强指数时间假设失败。这使得社区寻找次二次近似算法的问题。然而，不像编辑距离问题，其中一个常数因子近似在几乎线性的时间是已知的，非常小的进展已经取得了LCS，使其成为一个众所周知的困难的问题，也在近似领域。对于一般的设置，对于任何常数$0 < \varepsilon \le 1$，只有一个运行时间为$\tilde{O}(n^{2-\varepsilon})$的朴素$O(n^{\varepsilon/2})$ -近似算法是已知的。最近，Hajiaghayi、Seddighin、Seddighin和Sun [SODA'19]的突破性结果提供了一种线性时间算法，该算法在预期中产生$O(n^{0.497956})$近似;首次改进了朴素的$O(\sqrt{n})$近似。在本文中，我们提供了一个算法，在时间$O(n^{2-\varepsilon})$计算$\tilde{O}(n^{2\varepsilon/5})$ -近似的概率很高，任何$0 < \va…
2021-06-15 cs.DS
Improved Roundtrip Spanners, Emulators, and Directed Girth Approximation
本文研究有向图往返距离生成子、模拟器及围长近似的高效构造，分别给出近线性于边数的3-伸缩生成子、稠密图近最优模拟器，以及稀疏图更快的4-近似围长算法。
2023-10-31 cs.DS
Dynamic Time Warping in Strongly Subquadratic Time: Algorithms for the Low-Distance Regime and Approximate Evaluation
动态时间规整距离（DTW）是一种广泛使用的时间序列间距离度量。最著名的算法计算DTW运行在近二次时间，和条件下限禁止存在显着更快的算法。然而，对于DTW很小的特殊情况，下限并不妨碍更快的算法。对于任意度量空间$Σ$，将距离归一化，使得最小非零距离为1，本文给出了一个计算$Σ$上两个字符串$x$和$y$在时间$O(n \cdot \operatorname{dtw}(x, y))$上的$\operatorname{dtw}(x, y)$的算法.我们还提出了一个近似算法，计算$\operatorname{dtw}(x, y)$内的一个因素的$O(n^ε)$在时间$\tilde{O}(n^{2 - ε})$为$0 < ε< 1$。该算法允许字符串$x$和$y$被带到一个任意的良好分离的树度量与对数深度和最多指数纵横比。进一步扩展我们的技术，我们还获得了第一近似算法的编辑距离与字符从任意度量空间，提供了一个$n^ε$近似的时间$\tilde{O}(n^{2 - ε})$，具有很高的概率。此外，我们提出了一个简单的减少从计算编辑距离计算DTW。将我们的约化应用于关于$\{0, 1\}$上的编辑距离的Bringmann和Künnemann的条件下界，我们获得了计算DTW的条件下界超过三个字母的字母表（距离为0和1）。这改进了Abboud，Backurs和Williams之前的结果。使用类似的方…
2019-05-23 cs.DS
Approximate Earth Mover's Distance in Truly-Subquadratic Time
提出一种真正次二次时间内的加性近似算法，用于估计最小权重二分匹配成本，并推广到带背包约束的最大基数匹配，无需度量假设。
2023-11-10 cs.CG cs.DS
Optimal girth-dependent bounds for the Bethe approximation of the permanent
California Institute of Technology（加州理工学院）；University of Illinois Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
针对非负矩阵永久值的Bethe近似，研究人员证实Anari的猜想，给出了基于二分支撑图围长g（g≥4）的最优界，细化了原有通用比较关系，该上界在g-环不交并邻接矩阵上达到。
2026-09-03 cs.DS math.CO
Deterministic Girth Approximation in Weighted Undirected Graphs
Bar-Ilan University（巴伊兰大学）
该研究针对带权无向图提出确定性围长近似算法，在匹配同类随机算法性能的同时优化了拉伸比，核心是改进Thorup-Zwick层次结构的构造方式，实现了更优的确定性近似效果。
2026-10-12 cs.DS
An explicit vector algorithm for high-girth MaxCut
我们给出了MaxCut的一个近似算法，并保证了周长为$\geq 2k$的$d$ -正则图的平均边割分数。对于每一个$d \geq 3$和$k \geq 4$，我们的近似保证优于所有其他的经典和量子算法已知的作者。我们的算法构造了一个明确的向量解的标准半定松弛的MaxCut和超平面舍入。它可以被看作是一个简化的以前最好的已知的技术，它近似高斯波过程的无限$d$ -正则树。
2021-08-27 cs.DS quant-ph
Tighter bounds for weighted and unweighted shortest cycle approximation
Bar Ilan University（巴伊兰大学）；MIT（麻省理工学院）
提出加权图最短环（周长）的近似算法，实现与无权图相同的逼近比与运行时间权衡，并证明无权图周长逼近的细粒度下界。
2026-07-22 cs.DS
Subquadratic Submodular Maximization with a General Matroid Constraint
本文针对一般拟阵约束下的单调次模最大化问题，提出基于新舍入算法的随机化近似算法，将查询复杂度从 $\tilde{O}_ε(r^2 + \sqrt{r}n)$ 改进至 $\tilde{O}_ε(\sqrt{r} n)$，核心创新是利用辅助图中任意长度有向环进行舍入。
2024-05-01 cs.DS
Subquadratic-time algorithm for the diameter and all eccentricities on median graphs
在稀疏图上，Roditty和Williams [2013]证明了没有$O(n^{2-\varepsilon})$ -时间算法实现小于直径问题的$\frac{3}{2}$的近似因子，除非SETH失败。在这篇文章中，我们解决了一个公开的问题，制定在文献中：我们可以使用中位数图的结构特性，以打破这一全球二次障碍？我们提出了第一个组合算法，在真正的次二次时间内精确计算中值图的所有偏心率。中值图构成了度量图论中研究最多的图族，因为它们的结构代表了许多其他离散和几何概念，例如CAT（0）立方体复形。我们的结果推广了最近的一个结果，指出有界维数为$d$（即最大诱导超立方体的维数）的中值图的所有偏心率都存在一个线性时间算法。$d$的这个先决条件不再是确定次二次时间中所有偏心率的必要条件。我们的算法的执行时间是$O(n^{1.6408}\log^{O(1)} n)$。我们还提供了一些卫星的结果与此相关的一般结果。特别是，仅限于单纯形图，该算法列举了所有的偏心率与准线性运行时间。此外，提出了一种算法来精确计算所有到达中心的时间$O(2^{3d}n\log^{O(1)}n)$。
2023-01-23 cs.CC cs.DS
Approximately Counting Knapsack Solutions in Subquadratic Time
本文改进 Dyer 的 #Knapsack 近似计数框架，融合结构引理、FFT、分治、哈希与有界单调(max,+)卷积等技术，首次将运行时间降至 $\tilde{O}(n^{1.5}\varepsilon^{-2})$。
2024-10-29 cs.DS
Tight Bounds for Constant-Round Domination on Graphs of High Girth and Low Expansion
本文研究了高周长低扩展图中的$k$跳支配问题，在端口号模型和本地算法中分别给出了紧致的常数轮近似比上界与下界，证明了常数时间近似比可达到次线性。
2024-08-23 cs.DC cs.DS
Approximating Min-Diameter: Standard and Bichromatic
本文研究有向图及双色图的最小直径近似，给出 DAG 中条件最优的 $3/2$-近似算法，并证明一般有向图在 SETH 下低于 2 不可次平方实现。
2023-08-16 cs.DS
Approximating Edit Distance in Truly Subquadratic Time: Quantum and MapReduce
两个字符串之间的编辑距离定义为将一个字符串转换为另一个字符串所需的最小插入、删除和替换次数。在次二次时间内近似编辑距离是“组合模式匹配领域最大的未解决问题之一“。我们的主要结果是一个量子常数近似算法计算的编辑距离在真正的次二次时间。更准确地说，我们给出了一个$O(n^{1.858})$量子算法，近似的编辑距离内的一个因素$7$。我们进一步扩展这一结果的$O(n^{1.781})$量子算法，在一个较大的常数因子内近似的编辑距离。我们的解决方案是基于一个框架，在并行设置近似编辑距离。这个框架需要一个黑盒算法，它可以同时计算几个较小字符串的距离。对于一个量子算法，我们减少了黑盒\textit{metric estimation}，并提供有效的算法来近似它。我们进一步表明，这个框架使我们能够近似编辑距离在分布式设置。为此，我们提供了一个MapReduce算法近似编辑距离内的一个因素$3$，次线性许多机器和次线性内存。此外，我们的算法运行在对数轮数。
2018-04-25 cs.DC cs.DS quant-ph
Diameter computation on $H$-minor free graphs and graphs of bounded (distance) VC-dimension
我们建议研究常距离VC维的未加权图，作为许多图类的广泛推广，我们可以在真正的次二次时间内计算直径。特别地，对于任何固定的$H$，$H$ -子自由图类的距离VC-维数至多为$|V(H)|-1$ .我们的第一个主要结果是，在距离VC-维数最多$d$的图上，对于任何固定的$k$，我们可以计算直径或得出结论，它在时间上大于$k$ $\tilde{\cal O}(k\cdot mn^{1-\varepsilon_d})$，其中$\varepsilon_d \in (0;1)$只依赖于$d$。然后，作为我们的方法的副产品，我们得到了第一个真正的次二次时间算法的恒定直径计算的所有无处密集的图类。最后，我们将展示如何删除$k$的任何图形类，排除固定图$H$作为一个小的依赖。更一般地说，我们的技术适用于任何图形与恒定距离VC-维和多项式扩展。结果，对于所有这样的图，人们得到一个真正的次二次时间算法来计算它们的直径。我们的方法是基于Chazelle和Welzl的工作，他们证明了对于每个常VC维超图，存在具有强次线性穿刺数的生成路。我们展示了如何有效地计算这样的路径相结合的最佳已知的近似算法算法刺数问题的巧妙使用$\varepsilon$ -网，区域分解和其他分区技术。
2019-10-30 cs.DS
Approximating Dynamic Time Warping and Edit Distance for a Pair of Point Sequences
对于任意固定的$d \ge 1$，我们给出了$\mathbb{R}^d$中几个自然点序列族的动态时间弯曲（DTW）和编辑距离（ED）的第一次二次时间近似格式.特别是，我们的算法计算$(1+\varepsilon)$ -近似DTW和ED在时间近线性的点序列从k-包装或k-有界曲线，和次二次骨干序列。粗略地说，如果曲线与半径为$r$的任何球的交点的长度至多为$κ\cdot r$，则曲线是$κ$填充的，并且如果两个曲线点之间的子曲线与两点之间的距离相比不远离两点，则曲线是$κ$有界的。在主链序列中，连续的点以近似相等的距离间隔开，并且没有两个点非常靠近。最近的结果表明，DTW或ED的次二次算法是不可能的任意对点序列，即使是$d=1$。我们的算法的工作原理是通过构建一个小的矩形区域，覆盖这些距离措施常用的动态规划表的条目。每个矩形内的条目的权重大致相同，因此我们能够使用有效的过程来近似计算通过这些矩形的最便宜路径。
2016-01-07 cs.CG cs.DS
Fast Distributed Algorithms for Girth, Cycles and Small Subgraphs
在本文中，我们给快速分布式图算法检测和上市的小子图，并计算或近似的围长。我们的算法通过多项式因子改进了现有技术，对于围长，我们得到了拥塞集团中加性+1近似的常数时间算法，以及CONGEST中精确计算的第一个参数化算法。在拥挤的集团，我们开发了一种技术，学习小的邻域，并将其应用到获得一个$O(1)$轮算法，计算周长只有一个加性+1错误。接下来，我们介绍了一种新的技术（分区树技术），允许有效地和确定性地列出任何子图的所有副本，改进了非稠密图的最新技术。我们给出了这种技术的两个应用：首先，我们表明，对于恒定的$k$，$C_{2k}$ -检测可以解决在$O(1)$轮拥塞集团，改善以前的工作，使用矩阵乘法和多项式轮复杂度。第二，我们证明了在无三角形图中，围长可以在时间上以多项式的速度精确计算，比一般图的最佳已知界要快。在CONGEST中，我们描述了一种新的方法来寻找周期，并将其应用在两个方面：首先，我们展示了一个快速的参数化算法周长与轮复杂度$\tilde{O}(\min(g\cdot n^{1-1/Θ(g)},n))$的任何周长$g$;第二，我们展示了如何找到小的偶数长度周期$C_{2k}$的$k = 3,4,5$在$O(n^{1-1/k})$轮，这是一个多项式的改善以前的运行时间。最后，利用我们改进的$C_6$ -freeness算法和Eden等人关于证明三角形-freeness下界的障…
2021-01-19 cs.DC cs.DS
Subquadratic Kronecker Regression with Applications to Tensor Decomposition
Google Research（谷歌研究院）；Georgia Tech（佐治亚理工学院）
本文提出首个亚二次时间算法求解克罗内克回归的(1+ε)近似，结合杠杆分数采样与迭代方法，并扩展至块设计矩阵，改进Tucker ALS所有步骤的运行时间，在合成数据和真实图像张量上验证了速度与精度。
2023-05-12 cs.DS cs.LG math.ST
Approximating the Longest Common Subsequence problem within a sub-polynomial factor in linear time
两个字符串的最长公共子序列（LCS）是一个基本的字符串相似性度量，经典的动态规划解决方案需要二次时间。尽管做出了重大努力，但在改进运行时方面几乎没有取得进展。即使在近似领域，除了平凡的$\sqrt{n}$ -近似之外，对线性时间算法也知之甚少。最近的突破性结果提供了一种$n^{0.497}$ -因子近似算法[HSSS 19]，最近将其改进为$n^{0.4}$ -因子1 [BCD 21]。后一篇论文还展示了一个$n^{2-2.5α}$时间算法，该算法输出LCS的$n^α$近似，但到目前为止，还没有真正的次二次时间的次多项式近似。在这项工作中，我们展示了一个算法，它运行在$O(n)$时间，并输出一个$n^{o(1)}$因子近似LCS $(x,y)$，具有很高的概率，对于任何一对长度$n$输入字符串。我们的整个算法仅仅是最近在[ANSS 21]中引入的Block-LIS问题的有效黑盒简化，并直接解决Block-LIS问题。
2021-12-15 cs.DS
Approximating LCS in Linear Time: Beating the $\sqrt{n}$ Barrier
最长公共子序列是组合优化中最基本的问题之一。除了理论上的重要性，LCS在生物信息学、修订控制系统和数据比较程序中有着巨大的应用。虽然一个简单的动态程序计算LCS在二次时间，它最近已被证明，这个问题承认一个条件下限，并可能无法解决在真正的次二次时间。除此之外，LCS在近似算法方面是出了名的困难。除了在时间上获得$n^{x}$近似解的平凡采样技术$O(n^{2-2x})$之外，LCS没有其他已知的。这是在形成鲜明对比，它的双重问题编辑距离，在过去的二十年中获得了几个线性时间的解决方案。
2020-03-16 cs.DS
Approximate Distance Sensitivity Oracles in Subquadratic Space
本文研究亚二次空间的f-边容错距离敏感预言机，提出了拉伸因子为3+ε的随机化构造，显著降低了空间与查询时间，并改进了小直径图上的构造及已有方案的预处理时间。
2024-06-04 cs.DS
Coresets Meet EDCS: Algorithms for Matching and Vertex Cover on Massive Graphs
随着大规模图变得越来越普遍，对解决大型数据集上的经典图问题（如最大匹配和最小顶点覆盖）的可扩展算法的需求迅速增长。对于大量输入，已经引入了几种不同的计算模型，包括流式模型、分布式通信模型和作为MapReduce风格计算的常见抽象的大规模并行计算（MPC）模型。在每个模型中，除了更传统的近似比之外，还根据资源（例如所使用的空间或所需的通信轮次）来分析算法。在本文中，我们给出了一个统一的方法，产生更好的近似算法的匹配和顶点覆盖在所有这些模型。重点包括：* 使用次二次空间的随机到达流中的匹配的第一个通过，显著优于2近似，即使用$O(n^{1.5})$空间用于常数$ε> 0$的$(1.5+ε)$近似流算法。* MPC模型中的第一个2轮、优于2的近似匹配，每个机器使用次二次空间，即对于常数$ε> 0$，每个机器具有$O(\sqrt{mn} + n)$存储器的$(1.5+ε)$近似算法。通过建立在我们的统一的方法，我们进一步开发并行算法的MPC模型，给出了一个$(1 + ε)$ -近似匹配和$O(1)$ -近似顶点覆盖只有$O(\log\log{n})$ MPC轮和$O(n/poly\log{(n)})$内存每台机器。这些结果解决了Czumaj等人最近的论文[STOC 2018]中提出的多个未决问题。
2018-12-27 cs.DC cs.DS
Improved Phylogeny Comparisons: Non-Shared Edges Nearest Neighbor Interchanges, and Subtree Transfers
两个同构的非共享边的个数是衡量同构之间相异性的一个基本尺度。非共享边也是近似称为最近邻交换（NNI）距离的更复杂度量的构建块。本文首先给出了一种求非共享边的次二次时间算法，然后利用该算法将已有的NNI距离近似算法从$O(n^2)$时间加速到$O(n \log n)$时间.另一个流行的距离度量是子树传输（STT）距离。以前计算STT距离的工作只考虑3度树。本文给出了具有任意$d$和广义STT运算的度- $d$树的STT距离的一个近似算法。
2002-11-11 cs.DS
Faster exact and approximation algorithms for packing and covering matroids via push-relabel
拟阵是组合优化的一个基本研究对象。涉及拟阵的三个密切相关的重要问题是最大化$k$独立集的并（即$k$ -fold拟阵并），计算$k$不相交基（又称不相交基），以及如何计算不相交基。拟阵基包装），以及用$k$基覆盖元素（a.k.a.拟阵基覆盖）。这些问题自然地推广到元素上的积分和实值容量。这项工作开发更快的精确和/或近似问题，这些和其他一些密切相关的问题，如最佳加固和拟阵成员。我们得到改进的运行时间一般拟阵的独立预言模型和图形拟阵。我们改进的主要动力来自于为这些问题的整数容量版本开发一个更快和统一的push-relabel算法，建立在Frank和Miklós以前的工作基础上[FM 12]。然后，我们在两个方向上建立这个算法。首先，我们开发了一个更快的增广路径子程序$k$折叠拟阵联盟，当附加到一个近似版本的推重新标记算法，给出了一个更快的精确算法的一些参数的$k$。特别是，我们得到了一个子二次查询运行时间在无容量限制的设置为上面列出的三个基本问题。我们还获得了更快的近似算法，这些问题的实值容量减少到小的整数容量，通过随机舍入。为此，我们开发了一个新的随机舍入技术的基础覆盖问题拟阵，也可能是独立的利益。
2023-03-02 cs.DS
Hardness of Approximation in P via Short Cycle Removal: Cycle Detection, Distance Oracles, and Beyond
我们提出了一种新的技术，有效地消除几乎所有的短周期图，而无意中删除其三角形。因此，三角形寻找问题并不容易，即使在几乎$k$ -圈自由图，任何常数$k\geq 4$。三角形的发现是许多条件下界的基础，在P，主要是距离计算问题，并存在许多$4$ -或$5$ -循环在最坏的情况下，已解决主要的开放问题的障碍。近似硬度：是否存在具有$m^{1+o(1)}$预处理时间和$m^{o(1)}$查询时间的距离预言机可以实现常数近似？具有这种理想时间界限的现有算法仅实现超常数近似因子，而只有$3-ε$因子被有条件地排除（Pintrachecu，Roditty和Thorup; FOCS 2012）。我们证明，没有$O(1)$近似是可能的，假设$3$-SUM或APSP结构。特别是，我们证明了$k$ -近似需要$Ω(m^{1+1/ck})$时间，这是紧到常数$c$。即使对于离线版本，我们提前给出查询，下限也是成立的，并扩展到其他问题，如动态最短路径。$4$ -循环问题：细粒度复杂性中一个臭名昭著的公开问题是，从次二次甚至线性时间算法中建立任何令人惊讶的结果来检测图中的$4$ -圈。我们证明，$Ω(m^{1.1194})$的时间是需要$k$ -周期检测所有$k\geq 4$，除非我们可以检测到一个三角形的$\sqrt{n}$度图中的$O(n^{2-δ})$的时间，一个突破，是不知道遵循甚至从最佳矩阵乘法算法…
2022-10-15 cs.DS
Approximating the (Continuous) Fréchet Distance
我们描述了近似计算两条多边形链之间Fréchet距离的第一个具有次指数逼近比的强次二次时间算法。具体地说，令$P$和$Q$是$d$维欧氏空间中具有$n$顶点的两个多边形链，令$α\in [\sqrt{n}, n]$ .我们的算法确定性地发现一个$O(α)$近似Fréchet对应的时间$O((n^3 / α^2) \log n)$。特别是，我们得到了一个$O(n)$ -近似在近线性$O(n \log n)$时间，一个巨大的改进，以前最好的已知结果，一个线性时间$2^{O(n)}$ -近似。作为我们算法的一部分，我们还描述了如何把任何近似的决定程序的Fréchet距离近似优化算法的近似比是相同的任意小的常数因子。转换成近似优化算法仅以$O(\log n)$因子增加了决策过程的运行时间。
2021-03-28 cs.CG cs.DS
Approximation Algorithms and Hardness for $n$-Pairs Shortest Paths and All-Nodes Shortest Cycles
我们研究了两个相关的问题，$n$节点和$m$边图的可逼近性：$n$ -对最短路径（$n$ -PSP），其中的目标是找到一个最短路径之间的$O(n)$预先指定的对，和所有节点最短周期（ANSC），其中的目标是找到最短的周期通过每个节点。近似$n$ -PSP以前已经研究过，主要是在距离预言的背景下。我们问的问题，是否近似$n$-PSP可以解决速度比使用距离神谕或所有对最短路径（APSP）。ANSC以前也被研究过，但只是在精确算法方面，而不是近似。我们提供了一个彻底的研究$n$ -PSP和ANSC的近似性，提供了广泛的算法和条件下界，运行时间和近似比之间的权衡。我们的条件下界结果的一个亮点是，对于任何整数$k\ge 1$，在组合$4k$ -团的假设下，没有组合算法的加权无向$n$-PSP的逼近比$1+1/k$，运行在$O(m^{2-2/(k+1)}n^{1/(k+1)-ε})$时间。这几乎与Agarwal（2014）的结果所暗示的上限相匹配。我们的算法结果的一个亮点是，对于任何常数$ε>0$，可以用近似因子$2+ε$（和作为$ε$的函数的附加误差）在$\tilde O(m+ n^{3/2+ε})$时间内求解$n$-PSP和ANSC。对于$n$-PSP，我们的条件下界意味着这个近似比对于任何次二次时间组合算法几乎是最优的。我们进一步扩展了$n$-PSP和ANSC的这些算法，以获得时间/准确…
2022-09-20 cs.DS
Breaking Quadratic Time for Small Vertex Connectivity and an Approximation Scheme
点连通性是一个经典的被广泛研究的问题。给定一个整数$k$，它的目标是决定一个$n$ -节点$m$ -边图是否可以通过移除$k$的顶点而断开。尽管自1974年以来就提出了线性时间算法[Aho，Hopcroft和Ullman]，尽管其边缘连通性的兄弟问题在二十多年前就得到了解决[Karger STOC'96]，但到目前为止，即使对于$k=4$和$m=O(n)$，也没有顶点连通性算法比$O(n^2)$时间更快。在$m=O(n)$和$k=O(1)$的最简单的情况下，$O(n^2)$界可以追溯到五十年前[Kleitman IEEE Trans. Circuit Theory'69]。对于一般的$k$和$m$，最佳界限是$\tilde{O}(\min(kn^2, n^ω+nk^ω))$。本文对任意$k=O(\sqrt{n})$给出了一个带$\tilde{O}(m+k^{7/3}n^{4/3})$时间的随机Monte Carlo算法。这给出了任何$4\leq k \leq o(n^{2/7})$的{ \em第一次二次时间}界，并改进了所有$k\le n^{0.44}$的所有上述经典界。我们还提出了一个新的随机蒙特卡罗$(1+ε)$近似算法，严格快于以前的Henzinger的2-近似算法[J.算法'97]和所有以前的精确算法。我们的结果的关键是避免计算单源连接，这是需要由所有以前的精确算法，并不知…
2021-02-17 cs.DS
Approximate Tree Completion and Learning-Augmented Algorithms for Metric Minimum Spanning Trees
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
针对任意度量空间中 MST 近似需 Ω(n^2) 时间的问题，提出森林构造加树补全框架及学习增强重叠分析，实现亚二次 2.62-近似，并在实践中快速得到近优树。
2025-02-18 cs.DM cs.DS cs.LG
Sub-quadratic Algorithms for Kernel Matrices via Kernel Density Estimation
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；MIT（麻省理工学院）；CMU（卡内基梅隆大学）；UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；Rice University（莱斯大学）
核矩阵以及由它们表示的加权图是机器学习、统计学和其他相关领域中普遍存在的对象。使用内核方法（使用内核矩阵进行学习和推理）的主要缺点是效率--给定$n$输入点，大多数基于内核的算法需要在执行任何后续计算之前具体化完整的$n \times n$内核矩阵，从而导致$Ω(n^2)$运行时。因此，打破这个二次障碍的各种问题，一直是一个广泛的研究工作的主题。我们打破了二次障碍，并获得$\textit{subquadratic}$时间算法的几个基本的线性代数和图形处理原语，包括近似的顶部特征值和特征向量，谱稀疏，解决线性系统，局部聚类，低秩近似，荫度估计和计数加权三角形。我们建立在最近的核密度估计框架上，该框架（在$n$中的时间次二次预处理后）可以返回核矩阵的行/列和的估计。特别是，我们开发了有效的减少从$\textit{weighted vertex}$和$\textit{weighted edge sampling}$的内核图，$\textit{simulating random walks}$的内核图，和$\textit{importance sampling}$的矩阵核密度估计，并表明，我们可以生成样本从这些分布在$\textit{sublinear}$（在支持的分布）的时间。我们的还原是我们每个应用程序的核心成分，我们相信它们可能是独立的利益。我们凭经验证明了我们的算法对低秩近似（LR…
2022-12-01 cs.DS cs.LG
How Compression and Approximation Affect Efficiency in String Distance Measures
真实世界的数据通常以压缩形式出现。直接分析压缩数据（而不解压缩）可以节省大量的空间和时间。在这项工作中，我们专注于基本的序列比较问题，并试图量化的增益时，底层数据是高度可压缩的时间复杂度。我们考虑语法压缩，它统一了许多实际相关的压缩方案。对于总长度$N$和总压缩大小$n$的两个串，已知编辑距离和最长公共子序列（LCS）可以在时间上精确地计算$\tilde{O}(nN)$，这与未压缩设置的$O(N^2)$相反。许多应用需要同时比对多个序列，并且用于$k$字符串的中值编辑距离和LCS的已知最快精确算法在$O(N^k)$时间内运行。这自然提出了一个问题：压缩是否有助于显著减少$k \geq 3$的运行时间，可能是减少到$O(N^{k/2}n^{k/2})$或$O(Nn^{k-1})$。不幸的是，我们显示的下界，排除了任何改善超过$Ω(N^{k-1}n)$时间的任何这些问题假设强指数时间假设。同时，我们表明，近似和压缩在一起可以是令人惊讶的有效。我们开发了一个$\tilde{O}(N^{k/2}n^{k/2})$时间FPTAS的$k$序列的中值编辑距离。相比之下，没有$O(N^{k-Ω(1)})$时间PTAS已知的中值编辑距离的问题，在未压缩的设置。对于两个字符串，我们得到编辑距离和LCS的$\tilde{O}(N^{2/3}n^{4/3})$时间FPTAS。相比之下，对于未压缩的字符串，…
2021-12-10 cs.DS
A Nearly Quadratic-Time FPTAS for Knapsack
本文针对经典背包问题提出运行时间为 $\widetilde{O}(n+(1/\varepsilon)^2)$ 的 FPTAS，改进已有 $11/5$ 次指数结果，并在 $(\min,+)$-convolution 猜想下证明其近二次时间最优。
2025-01-07 cs.DS
Is Input Sparsity Time Possible for Kernel Low-Rank Approximation?
MIT（麻省理工学院）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
低秩近似是用于加速核方法的常用工具：$n \times n$核矩阵$K$通过秩- $k$矩阵$\tilde K$来近似，该秩-$k$矩阵可以存储在更少的空间中并且更快地处理。在这项工作中，我们研究了计算效率低秩核近似的限制。我们表明，对于广泛的一类内核，包括流行的高斯和多项式内核，计算相对误差$k$秩近似$K$是至少一样困难的输入数据矩阵$A \in \mathbb{R}^{n \times d}$乘以任意矩阵$C \in \mathbb{R}^{d \times k}$。除非在快速矩阵乘法方面有所突破，否则当$k$不是太大时，这需要$Ω(nnz(A)k)$时间，其中$nnz(A)$是$A$中非零的数目。这个下限匹配，在许多参数制度，最近的工作次二次时间算法的低秩近似的一般内核[MM 16，MW 17]，表明这些算法不太可能得到显着改善，特别是$O(nnz(A))$输入稀疏运行时。同时也有希望：我们首次证明了$O(nnz(A))$时间近似对于一般径向基函数核是可能的（例如，高斯核）的核化数据集的低秩近似的密切相关的问题。
2017-11-05 cs.DS cs.LG
New Hardness Results for Planar Graph Problems in P and an Algorithm for Sparsest Cut
稀疏割是一个基本的优化问题，已被广泛研究。对于平面输入，问题在$P$中，并且如果所有顶点权重都是$1$，则可以在$\tilde{O}(n^3)$时间内求解。尽管付出了大量的努力，但最好的算法可以追溯到90年代早期，并且只能在$\tilde{O}(n)$时间内实现$O(\log n)$近似或在$\tilde{O}(n^2)$时间内实现常数因子近似[Rao，STOC 92]。我们的主要结果是一个$Ω(n^{2-ε})$下界的Sparling-Cut，即使在平面图的单位顶点权重，下的$(min,+)$ -卷积猜想，表明近似是不可避免的，在近线性的时间制度。为了补充下界，我们提供了一个常数因子近似在近线性时间，提高了25岁的结果饶在时间和精度。我们的下限完成了一个反复提出的挑战，是第一个细粒度的下界自然平面图的问题在P.此外，我们证明了近二次下界SETH下的变体的最接近的对问题的平面图，并使用它们来表明，流行的平均链接过程层次聚类不能模拟在真正的次二次时间。我们证明了一个$Ω(n/\log{n})$下界的通信轮数计算网络的加权直径的CONGEST模型中，即使底层图是平面的，所有节点都是$D=4$跳远离对方。这是平面分布设置中的第一个poly（$n$）+ $ω(D)$下限，并且它补充了Li和Parter [STOC 2019]最近的poly $(D, \log{n})$上限，用于（精确）未加…
2020-07-05 cs.DS
Fast Geometric Spanners via Approximate Nearest Neighbor Search
Columbia University（哥伦比亚大学）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）
本文利用批量近似最近邻搜索黑盒，在一般度量空间中实现了次二次时间构造低失真稀疏生成器，并应用于快速近似Wasserstein距离，首次在$\ell_p$空间（$p>2$）取得突破。
2026-09-24 cs.CG cs.DS
Approximating Edit Distance in the Fully Dynamic Model
针对字符可动态插入、删除和替换的动态编辑距离问题，本文借助 precision sampling tree 框架，提出近似比与摊还期望更新时间均为 $n^{o(1)}$ 的动态近似算法。
2023-07-14 cs.DS
Efficient Computation of Sequence Mappability
在$(k,m)$-可映射性问题中，对于给定的长度为$n$的序列$T$，目标是计算一个表，其$i$的第一个条目是索引$j \ne i$的数量，使得从位置$i$和$j$开始的$T$的长度为$m$的子串最多具有$k$不匹配.以前的工作集中在这个问题上的计算结果的粗略近似或$k=1$的情况下的数学。我们提出了几个有效的算法的一般情况下的问题。我们的主要结果是一个算法，$k=\mathcal{O}(1)$，工作在$\mathcal{O}(n)$空间，并以高概率，在$\mathcal{O}(n \cdot \min\{m^k,\log^k n\})$时间。我们的算法需要仔细适应的$k$-勘误树科尔等人。[STOC 2004]，以避免多对子串计数。我们的技术也可以用于解决Crochemore等人引入的所有对汉明距离问题。[WABI 2017]。我们进一步开发$\mathcal{O}(n^2)$-时间算法来计算固定$m$和所有$k\in \{0,\ldots,m\}$或固定$k$和所有$m\in\{k,\ldots,n\}$的所有$(k,m)$-可映射性表。最后，我们表明，对于$k,m = Θ(\log n)$，$(k,m)$映射问题不能解决强次二次时间，除非强指数时间假设失败。这是在SPIRE 2018上发表的一篇论文的改进和扩展版本。
2021-06-16 cs.DS
Better Learning-Augmented Spanning Tree Algorithms via Metric Forest Completion
Texas A&M University（德克萨斯大学）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本文提出了一种改进的学习增强生成树算法，通过度量森林补全框架，在任意度量空间中实现更优的近似最小生成树算法。
2026-02-27 cs.DS cs.LG
Approximating binary longest common subsequence in almost-linear time
最长公共子序列（LCS）是一个基本的字符串相似性度量，计算两个字符串的LCS是一个经典的算法问题。教科书上的动态规划算法给出了二次时间的精确算法，这在合理的细粒度复杂性假设下基本上是最好的，所以一个自然的问题是找到更快的近似算法。当输入是两个二进制字符串时，在线性时间中有一个简单的$\frac{1}{2}$近似：计算最长的公共全0或全1子序列。即使在真正的次二次时间中，是否有可能得到更好的近似值，这一点一直是开放的。Rubinstein和Song证明，在两个输入字符串长度相等的假设下，答案是肯定的。我们解决这个问题，推广他们的结果不等长的字符串，证明，对于任何$\varepsilon>0$，存在$δ>0$和$(\frac{1}{2}+δ)$ -近似算法的二进制LCS运行在$n^{1+\varepsilon}$时间。作为我们的结果和Akmal和Vassilevska-Williams的结果的结果，对于任何$\varepsilon>0$，存在在$n^{1+\varepsilon}$时间上的$q$ -ary字符串上LCS的$(\frac{1}{q}+δ)$ -近似。我们的技术建立在最近的工作Guruswami，他和李谁证明了新的界限容忍删除错误的纠错码。他们证明了一个组合的“结构引理”的字符串分类，他们根据自己的振荡模式。我们证明和使用的算法推广这个结构引理，这可能是独立的利益。
2023-02-09 cs.DM cs.DS math.CO
On Diameter Approximation in Directed Graphs
本文研究有向图单向直径与往返直径的近似差距，提出稀疏有向图中优于2近似的 n^(1.5−ε) 算法，并给出不依赖SETH的往返直径条件下界。
2023-07-14 cs.CC cs.DS
New Tradeoffs for Decremental Approximate All-Pairs Shortest Paths
针对减量全对最短路径问题，提出了四种新的近似算法，在近似比与更新时间之间取得新权衡，显著改进了现有算法的总更新时间。
2024-04-29 cs.DS
Sublinear Algorithms for Gap Edit Distance
编辑距离是一种通过计算将一个字符串转换为另一个字符串所需的最小字符插入、删除和替换次数来量化两个字符串彼此相似程度的方法。一个简单的动态编程计算两个长度为$n$的字符串之间的编辑距离，时间为$O(n^2)$，而一个更复杂的算法在编辑距离为$t$时，时间为$O(n+t^2)$ [Landau，Myers和Schmidt，SICOMP 1998]。为了追求更快的运行时间，过去几十年来，人们对近似编辑距离进行了大量研究，包括近线性时间的多对数近似[Andoni，Krauthgamer和Onak，FOCS 2010]，以及次二次时间的常数因子近似[Chakrabarty，Das，Goldenberg，Kouckelman和Saks，FOCS 2018]。我们研究了小编辑距离的次线性时间算法，由于其众多的应用而被广泛研究。我们的主要结果是一个算法，用于区分编辑距离是最多$t$或至少$t^2$（二次间隙问题）在时间$\tilde{O}(\frac{n}{t}+t^3)$。该时间界限对于$[ω(1), o(n^{1/3})]$中的所有$t$大致是次线性的，这在以前是未知的。先前最好的算法仅在$t=ω(n^{1/3})$的次线性时间内解决了该问题[Andoni和Onak，STOC 2009]。我们的算法是基于一种新的方法，自适应切换均匀采样和读取连续块的输入字符串。与此相反，所有以前的算法选择哪些…
2019-10-02 cs.CC cs.DS
Query Complexity of Densest Sub(hyper)graph Problems
Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）；School of Computing, University of Utah（犹他大学计算机学院）；Department of Computer Science and Engineering, Texas A&M University（德克萨斯农工大学计算机科学工程系）
本文研究割查询模型下最密子（超）图问题的查询复杂度，推广稀疏化方法至带权图获近似算法，确定最密k子图精确复杂度，突破超图近似障碍并证实相关猜想。
2026-10-14 cs.CC cs.DS
