A Non-Linear Roth Theorem for Sets of Positive Density
假设$A \subset \mathbb{R}$有正的上密度，\[ \limsup_{|I| \to \infty} \frac{|A \cap I|}{|I|} = δ> 0,\]和$P(t) \in \mathbb{R}[t]$是一个没有常数或线性项的多项式，或者更一般地说是一条非平坦曲线：一条在$0$或$\infty$附近不“像一条线”的局部可微曲线。那么对于任何足够大的$R_0 \leq R$，存在一些$x_R \in A$，使得对于某个绝对常数$c_P > 0$，\[ \inf_{R_0 \leq T \leq R} \frac{|\{ 0 \leq t < T : x_R - t \in A, \ x_R - P(t) \in A \}|}{T} \geq c_P \cdot δ^2 \]只依赖于$P$。
2019-01-05 math.CA math.CO
The inverse theorem for the nonlinear Roth configuration: an exposition
本文给出了Peluse和作者以前建立的与非线性Roth组态有关的割范数的逆定理。
2020-03-09 math.CO math.NT
A new proof of Roth's theorem on arithmetic progressions
我们提出了一个证明罗斯定理，遵循一个稍微不同的结构，以通常的证明，在没有太多的迭代。虽然我们的证明使用了一种密度增量参数（这是Roth定理的大多数证明的典型），但我们没有传递到与我们集合的大傅里叶系数相关的级数（就像Roth的大多数其他证明一样）。此外，在我们的证明中，密度增量是通过应用Varnavides定理的定量版本来实现的，这也许是出乎意料的。
2008-04-01 math.CO math.NT
Roth-type theorems in additive combinatroics
本文探讨加性组合学中罗思型定理的发展，介绍了其起源、核心问题及主要研究成果。
2025-12-10 math.CO math.NT
Logarithmic bounds for Roth's theorem via almost-periodicity
给出了Roth等差数列定理对数界的一个新证明，即若$A \subset \{1,2,\ldots,N\}$不含三项级数，则$\lvert A\rvert \leq N/(\log N)^{1-o(1)}$ .与以前的证明不同，这几乎完全是在物理空间中使用几乎周期性完成的。
2019-05-09 math.CO math.NT
A polylogarithmic bound in the nonlinear Roth theorem
我们发现，缺乏配置$x$，$x+y$，$x+y^2$的整数集最多有多对数密度。
2021-09-14 math.CO math.NT
A quantitative improvement for Roth's theorem on arithmetic progressions
本文改进了三项等差数列的Roth定理的定量估计，证明了若$A\subset\{1,\ldots,N\}$不含非平凡三项等差数列，则$\lvert A\rvert\ll N(\log\log N)^4/\log N$ .用同样的方法，我们也改进了$\mathbb{F}_q[t]$上类似问题的界，以及在和集中求长等差数列的界。
2014-06-18 math.CO math.NT
On a generalisation of Roth's theorem for arithmetic progressions and applications to sum-free subsets
我们证明了Roth定理对于等差数列到d-构形的推广，d-构形是形式为{n_i+n_j+a}_{1 \leq i \leq j \leq d}的集合，其中a，n_1，.，n_d是非负整数，使用Roth的原始密度增量策略和Gowers一致范数。然后我们利用这个推广改进了Sudakov，Szemerédi和Vu关于无和子集的一个结果，并证明了任何n个整数的集合包含一个大小至少为log n（log log log n）^{1/32772 - o（1）}的无和子集。
2012-11-14 math.CO math.NT
Breaking the logarithmic barrier in Roth's theorem on arithmetic progressions
证明了如果$A\subset \{1,\ldots,N\}$不含非平凡的三项等差数列，则对于某个绝对常数$c>0$，有$\lvert A\rvert \ll N/(\log N)^{1+c}$.特别是，这证明了第一个非平凡的情况下，猜想的Erdans对等差数列。
2021-09-01 math.CO math.NT
Bounds in a popular multidimensional nonlinear Roth theorem
本研究得到非线性Roth定理的多维版本，为相关多维多项式Szemerédi定理情形的有效化迈出第一步，还证明了其有效热门版本，且该结果的量化依赖为指数型，异于线性情形的塔型界。
2024-07-11 math.CO math.NT
An uncountable ergodic Roth theorem and applications
该研究建立了不要求作用群可数、空间可分的不可数顺从遍历Roth定理，推广了已有结论，并以此为关键证明了两项相关成果：任意顺从群笛卡尔平方子集的三角模式组合应用、任意一致顺从群Γ-系统双重递归定理的新一致性层面。
2023-11-10 math.CO math.DS
On a Ramsey--Turán variant of Roth's theorem
该研究围绕有限域上齐次线性方程的无解方程集问题，结合Erdős与Sárközy提出的结构化集合概念，证明了Roth定理的Ramsey--Turán变体，给出了两类命题等价的结论，丰富了加法组合领域的相关理论。
2025-07-30 math.CO
Quantitative bounds in the nonlinear Roth theorem
我们证明了存在$c>0$，使得密度至少为$(\log\log{N})^{-c}$的$\{1, \dots, N\}$的任何子集包含$x,x+y,x+y^2$形式的非平凡级数。这是第一个定量有效版本的伯格森-莱布曼多项式Szemerédi定理的进展涉及多项式的不同程度。我们的关键创新是一个逆定理特征集的配置$x,x+y,x+y^2$的数量大大偏离期望值。在证明这一点，我们开发的第一个有效的例子的级联定理的陶和齐格勒，多项式的界限。
2022-01-07 math.CO math.NT
On Improving Roth's Theorem in the Primes
设$A\subset\left\{ 1,\dots,N\right\} $是一组不含非平凡等差数列的素数。假设$A$具有相对密度$α=|A|/π(N)$，其中$π(N)$表示集合$\left\{ 1,\dots,N\right\} $中素数的数量。通过修改Helfgott和De Roton的工作，我们改进了他们的界，并证明了$$α\ll\frac{\left(\log\log\log N\right)^{6}}{\log\log N}.$$
2014-01-25 math.CO math.NT
Tower-type bounds for Roth's theorem with popular differences
格林提出了一个算术正则引理来证明Roth定理在稠密集上的等差数列。它指出，对于每个$ε> 0$，都有一些$N_0(ε)$，使得对于每个$N \ge N_0(ε)$和具有$|A| = αN$的$A \subset [N]$，都有一些非零的$d$，使得$A$至少包含$(α^3 - ε) N$三项等差数列，具有公差$d$。本文证明了格林定理中的最小$N_0(ε)$是一个高度为2 s的指数塔，其阶为$\log(1/ε)$。下限和上限都是新的。它表明，塔型边界所产生的使用的正则引理在这个应用程序中是定量必要的。
2020-04-28 math.CO math.NT
A transference approach to a Roth-type theorem in the squares
我们发现，任何子集的平方正相对上密度包含非平凡的解决方案，在五个或更多的变量，与明确的定量界的一个非平凡不变的线性方程。因此，我们建立了任何对角二次曲面在五个或更多的变量，其系数之和为零的分区正则性。与以前的方法，这是有限的方程在七个或更多的变量，我们采用转移技术的绿色进口边界的线性设置。
2015-12-14 math.CO math.NT
Ergodic-theoretic implementations of the Roth density-increment argument
我们展示证明两个遍历理论的结果在研究多重递归使用类似的密度增量参数的罗斯和Gowers：Furstenberg的多重递归定理（这意味着Szemerédi定理），和一个二维的特殊情况下Furstenberg和Katznelson的多维版本这个定理。其中第二个也需要一个模拟的一些最近有限的工作Shkredov。许多证明这些多重递归定理是现在已知的，但我们的主要目标是进一步阐明启发式对应原则，已成长之间的遍历理论和组合方面的多重递归和Szemerédi定理。重点放在密度增量策略突出了这些设置之间的几个密切联系点。
2013-07-21 math.CO math.DS
New bound for Roth's theorem with generalized coefficients
本文证明了Shkredov和Solymosi的猜想：任何子集$A \subset \mathbf{Z}^2$使得$\sum_{a\in A\setminus\{0\}} 1/\left\|a\right\|^{2} = +\infty$包含等腰直角三角形的三个顶点.为了做到这一点，我们适应证明最近的突破布卢姆和Sisask对集没有三项等差数列，以处理更一般方程的形式$T_1a_1+T_2a_2+T_3a_3 = 0$在一个有限的阿贝尔群$G$，其中的$T_i$的自同构的$G$。
2022-12-01 math.CO math.NT
Lower bound in the Roth theorem for amenable groups
设$T_1$，$T_2$是可数服从群的两个交换的保持概率测度的动作，使得这些动作所跨越的群遍历地动作.证明了对于任意可测集$A$和任意$ε>0$，在一个联合集上的$μ(A\cap T_1^g A\cap T_1^g T_2^g A) > μ(A)^4-ε$.这个证明使用了Austin提出的一个满足系统的概念。
2014-02-05 math.CO math.DS
Effective bounds for Roth's theorem with shifted square common difference
本文研究了带平移平方公差的Roth定理，证明了不含特定非平凡数列的子集大小具有 $N/\log_m{N}$ 的有效上界，从而回答了Green提出的问题。
2023-09-15 math.CO math.NT
A Roth type theorem for dense subsets of $\mathbb{R}^d$
令$1 < p < \infty$，$p\neq 2$。证明了如果$d\geq d_p$足够大，且$A\subs\R^d$是正上密度的可测集，则存在$\la_0=\la_0(A)$，使得对于所有的$\la\geq\la_0$，存在$x,y\in\R^d$，使得$\{x,x+y,x+2y\}\subs A$和$|y|_p=\la$，其中$||y||_p=(\sum_i |y_i|^p)^{1/p}$是点$y=(y_1,\ldots,y_d)\in\R^d$的$l^p(\mathbb R^d)$ -范数.这意味着当在$l^p$度量中测量间隙大小时，$\R^d$的密集子集包含所有足够大的间隙的3项进展。已知该陈述在欧几里德$l^2$度量中以及在$l^1$和$\ell^{\infty}$度量中是假的。本说明的目的之一就是了解这一现象。证明的一个显着特点是使用多线性奇异积分算子，广泛研究了经典的时间-频率分析，在估计的形式计数配置。
2016-05-31 math.CA math.CO math.NT
Roth's theorem for four variables and additive structures in sums of sparse sets
我们证明，如果{1，.，N}不包含方程x+y+z= 3 w的任何解，其中变量不都相等，则A的大小至多为exp（-c（log N）^{1/7}）N，其中c > 0是某个绝对常数。根据贝伦德的构造，这个界限是正确的：指数1/7不能被任何大于1/2的常数所取代。我们还建立了一个相关的结果，即如果A是{1，..的子集，则和集A+A+A包含长等差数列，N}，或者如果A是有限域上的向量空间的子集，则是高维子空间，即使A具有上述形状的密度。
2014-08-11 math.CO math.NT
An improved non-linear Roth-type theorem in finite fields
本文在有限域中证明了任一大小为|A|≥C|F|^{5/6}的集合包含非平凡二次进展，改进了此前7/8的指数，并利用单变量Weil型估计而非Katz的多变量指数和估计。
2026-04-30 math.CO math.NT
A Density Increment Approach to Roth's Theorem in the Primes
证明了若$A$是满足\[ \sum_{a\in A}\frac{1}{a}=\infty, \]的素数集合，则$A$必包含一个$3$ -项等差数列.这是通过结合迁移原理与密度增量参数，利用素数的结构，以获得在迭代的每一步大的密度增加。该论证表明，对于任何$B>0$和$N>N_{0}(B)$，如果$A$是包含在$\{1,\dots,N\}$中的素数的子集，且相对密度$α(N)=(|A|\log N)/N$至少为\[ α(N)\gg_{B}\left(\log\log N\right)^{-B} \]，则$A$包含$3$ -项等差数列。
2015-06-11 math.CO math.NT
On the Quantitative Bounds of Nonlinear Roth Theorem
该研究针对不含非平凡多项式进展$(x, x + y, x + y^2)$的子集$A \subseteq \{1, \dots, N\}$，推导了其大小的定量上界，通过发展密度增量框架、多线性转移原理等技术完成证明，为非线性Roth定理提供了严格的定量界。
2026-10-14 math.CO math.NT
Roth-type theorems in $K_{s,t}$-free sets
the Ohio State University（俄亥俄州立大学）；Emory University（埃默里大学）；Courant Institute of Mathematical Sciences（库朗数学科学研究所）
该研究证明了在无 $K_{s,t}$ 子集中的 Roth 型定理，并在有限域向量空间中获得了更强的定量界。
2026-01-26 math.CO math.NT
Ergodic theorems for bilinear averages, Roth's Theorem and Corners along fractional powers
本文证明沿分数幂的双线性平均的L²极限等于线性平均极限，并推广到Roth型及角结构，覆盖更一般的稀疏轨道，部分解决了开放问题。
2025-04-25 math.CO math.DS
Yet another proof of Szemeredi's theorem
利用Roth和Gowers的密度增量策略，我们从作者和Ziegler最近建立的Gowers范数的逆矩阵GI（s）导出了关于等差数列的Szemeredi定理.
2010-06-20 math.CO math.NT
On colorings of variable words
本文证明了Graham-Rothschild定理的基本情形，即，一个认为着色的（$1$维）变量的话，承认界类$\mathcal{E}^5$的Grzegorczyk的层次结构。
2014-09-04 math.CO
Translation invariant equations and the method of Sanders
我们延长了最近的改进Roth定理的三项等差数列桑德斯获得类似的结果定位非平凡的解决方案的问题，平移不变线性方程在多个变量在$\bbz/N\bbz$和$\bbf_q[t]$。
2012-01-30 math.CO math.NT
Finding linear patterns of complexity one
本文研究三项等差数列的Roth定理的如下推广。对于s>1，定义一个非平凡的s-配置为一组s（s+1）/2整数，由s个不同的整数x_1，...，x_s以及所有的平均值（x_i+x_j）/2。我们的主要结果表明，如果一个集合A包含在{1，2，. N}的密度至少为（log N）^{-c（s）}，对于某个依赖于s的正常数c（s）>0，则A包含非平凡s-组态。我们还推导出，作为推论，一个改进的问题，涉及sumfree子集。
2013-09-03 math.CO
Polynomial central set theorem near zero
N.印地曼和我。Leader引入了（0，1）上的超滤子集0+，刻画了（0+，+）上的最小理想，证明了零附近的中心集定理.多项式中心集定理最近已由V.Bergelson，J.H.小约翰逊和J·莫雷拉本文将证明多项式中心集定理在零点附近。
2019-12-19 math.CO
A short proof of the canonical polynomial van der Waerden theorem
我们提出了一个简短的新证明的规范多项式范德瓦尔登定理，最近建立的Girao [arXiv：2004.07766]。
2020-05-08 math.CO math.NT
A Polynomial Identity Implying Schur's Partition Theorem
我们提出并证明了一个新的多项式恒等式，隐含舒尔分割定理。我们给我们的一些表达式的组合解释的精神Kurhungöz。我们也给出了一些相关的多项式和$q$ -级数恒等式。
2019-03-04 math.CO math.NT
