Roth's theorem in Z_4^n
Tom Sanders
本文证明了：如果A是Z_4 ^n的一个不含三项等差数列且所有元素都不同的子集，则|A| =o（4 ^n/n）.
We show that if A is a subset of Z_4^n containing no three-term arithmetic progression in which all the elements are distinct then |A|=o(4^n/n).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A quantitative improvement for Roth's theorem on arithmetic progressions
本文改进了三项等差数列的Roth定理的定量估计，证明了若$A\subset\{1,\ldots,N\}$不含非平凡三项等差数列，则$\lvert A\rvert\ll N(\log\log N)^4/\log N$ .用同样的方法，我们也改进了$\mathbb{F}_q[t]$上类似问题的界，以及在和集中求长等差数列的界。
Breaking the logarithmic barrier in Roth's theorem on arithmetic progressions
证明了如果$A\subset \{1,\ldots,N\}$不含非平凡的三项等差数列，则对于某个绝对常数$c>0$，有$\lvert A\rvert \ll N/(\log N)^{1+c}$.特别是，这证明了第一个非平凡的情况下，猜想的Erdans对等差数列。
A new proof of Roth's theorem on arithmetic progressions
我们提出了一个证明罗斯定理，遵循一个稍微不同的结构，以通常的证明，在没有太多的迭代。虽然我们的证明使用了一种密度增量参数（这是Roth定理的大多数证明的典型），但我们没有传递到与我们集合的大傅里叶系数相关的级数（就像Roth的大多数其他证明一样）。此外，在我们的证明中，密度增量是通过应用Varnavides定理的定量版本来实现的，这也许是出乎意料的。
On a generalisation of Roth's theorem for arithmetic progressions and applications to sum-free subsets
我们证明了Roth定理对于等差数列到d-构形的推广，d-构形是形式为{n_i+n_j+a}_{1 \leq i \leq j \leq d}的集合，其中a，n_1，.，n_d是非负整数，使用Roth的原始密度增量策略和Gowers一致范数。然后我们利用这个推广改进了Sudakov，Szemerédi和Vu关于无和子集的一个结果，并证明了任何n个整数的集合包含一个大小至少为log n（log log log n）^{1/32772 - o（1）}的无和子集。
Logarithmic bounds for Roth's theorem via almost-periodicity
给出了Roth等差数列定理对数界的一个新证明，即若$A \subset \{1,2,\ldots,N\}$不含三项级数，则$\lvert A\rvert \leq N/(\log N)^{1-o(1)}$ .与以前的证明不同，这几乎完全是在物理空间中使用几乎周期性完成的。
A Fourier-Free Density-Increment Proof of Roth's Theorem
本文通过密度增量策略，用直接的组合论证代替传统的傅里叶分析方法，给出了罗西定理的简单证明。
A Non-Linear Roth Theorem for Fractals of Sufficiently Large Dimension
假设$d \geq 2$，并且$A \subset [0,1]$具有足够大的维数$1 - ε_d < \dim_H(A) < 1$。则对任何不含常数项的$d$次多项式$P$，存在一个点构型$\{ x, x-t,x-P(t) \} \subset A$，其中有$t \approx_P 1$ .
Quantitative bounds in the nonlinear Roth theorem
我们证明了存在$c>0$，使得密度至少为$(\log\log{N})^{-c}$的$\{1, \dots, N\}$的任何子集包含$x,x+y,x+y^2$形式的非平凡级数。这是第一个定量有效版本的伯格森-莱布曼多项式Szemerédi定理的进展涉及多项式的不同程度。我们的关键创新是一个逆定理特征集的配置$x,x+y,x+y^2$的数量大大偏离期望值。在证明这一点，我们开发的第一个有效的例子的级联定理的陶和齐格勒，多项式的界限。
Tower-type bounds for Roth's theorem with popular differences
格林提出了一个算术正则引理来证明Roth定理在稠密集上的等差数列。它指出，对于每个$ε> 0$，都有一些$N_0(ε)$，使得对于每个$N \ge N_0(ε)$和具有$|A| = αN$的$A \subset [N]$，都有一些非零的$d$，使得$A$至少包含$(α^3 - ε) N$三项等差数列，具有公差$d$。本文证明了格林定理中的最小$N_0(ε)$是一个高度为2 s的指数塔，其阶为$\log(1/ε)$。下限和上限都是新的。它表明，塔型边界所产生的使用的正则引理在这个应用程序中是定量必要的。
Roth type theorems in finite groups
证明了有限群中的Roth型定理。我们的主要工具是Ruzsa和Szemerédi的三角形移除引理。
A polynomial Roth theorem on the real line
对于次数大于1的多项式$P$，我们证明了在实数的正密度子集中存在$(x,x+t,x+P(t))$形式的模式，并对$t$进行了间隙估计。这是Bourgain的一个较早结果的推广。我们的证明是一个组合的Bourgain的方法和最近的方法，最初开发的双线性希尔伯特变换沿曲线的研究。
On sets of integers which contain no three terms in geometric progression
寻找不含三项等差数列的自然数子集的问题有着悠久的历史。罗斯定理著名地表明，任何这样的子集都不可能有正的上密度。与此相反，兰金在1960年建议研究没有三项等比数列的子集，并构建了这样一个密度约为0.719的子集。最近，一些作者已经找到了这样的集合的上密度的上界。我们显着改善这些界限，并展示了一种方法，构建一个更大的上密度比Rankin的集。这种结构是最佳的意义上说，我们的方法给出了一种有效地计算最大可能的上密度的几何级数自由集。我们还表明，等比数列在Z/nZ的行为更像罗斯定理中，不能采取任何固定的正比例的整数模足够大的值n，同时避免等比数列。
Polynomial Roth theorems on sets of fractional dimensions
设$E\subset \mathbb{R}$是豪斯多夫维数$α\in (0, 1)$的闭集。设$P: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$是一个不含次数大于1的常数项的多项式。证明了如果$E$支持一个满足一定维数条件和Fourier衰减条件的概率测度，则对于某个$t>0$，$E$包含三个点$x, x+t, x+P(t)$.在同样的假设下，我们的结果将Laba和第三作者的结果推广到了多项式情形。对Henriot、Laba和第三作者的一个问题也作了肯定的回答。
A Non-Linear Roth Theorem for Sets of Positive Density
假设$A \subset \mathbb{R}$有正的上密度，\[ \limsup_{|I| \to \infty} \frac{|A \cap I|}{|I|} = δ> 0,\]和$P(t) \in \mathbb{R}[t]$是一个没有常数或线性项的多项式，或者更一般地说是一条非平坦曲线：一条在$0$或$\infty$附近不“像一条线”的局部可微曲线。那么对于任何足够大的$R_0 \leq R$，存在一些$x_R \in A$，使得对于某个绝对常数$c_P > 0$，\[ \inf_{R_0 \leq T \leq R} \frac{|\{ 0 \leq t < T : x_R - t \in A, \ x_R - P(t) \in A \}|}{T} \geq c_P \cdot δ^2 \]只依赖于$P$。
On Improving Roth's Theorem in the Primes
设$A\subset\left\{ 1,\dots,N\right\} $是一组不含非平凡等差数列的素数。假设$A$具有相对密度$α=|A|/π(N)$，其中$π(N)$表示集合$\left\{ 1,\dots,N\right\} $中素数的数量。通过修改Helfgott和De Roton的工作，我们改进了他们的界，并证明了$$α\ll\frac{\left(\log\log\log N\right)^{6}}{\log\log N}.$$
An improved non-linear Roth-type theorem in finite fields
本文在有限域中证明了任一大小为|A|≥C|F|^{5/6}的集合包含非平凡二次进展，改进了此前7/8的指数，并利用单变量Weil型估计而非Katz的多变量指数和估计。
The inverse theorem for the nonlinear Roth configuration: an exposition
本文给出了Peluse和作者以前建立的与非线性Roth组态有关的割范数的逆定理。
A Polynomial Roth Theorem for Corners in Finite Fields
证明了有限域上多项式角点的Roth型定理。设$ϕ_1$和$ϕ_2$是两个不同次数的多项式。对于足够大的素数$p$，任何具有$ \lvert A\rvert > p ^{2 - \frac1{16}} $的子集$ A \subset \mathbb F_p \times \mathbb F_p$都包含三个点$ (x_1, x_2) , (x_1 + ϕ_1 (y), x_2), (x_1, x_2 + ϕ_2 (y))$。关于$ \mathbb F_p$的这些问题的研究是由Bourgain和Chang开始的。我们的定理改进了Dong，Li和Sawin的论证，特别是依赖于N.卡茨
A Density Increment Approach to Roth's Theorem in the Primes
证明了若$A$是满足\[ \sum_{a\in A}\frac{1}{a}=\infty, \]的素数集合，则$A$必包含一个$3$ -项等差数列.这是通过结合迁移原理与密度增量参数，利用素数的结构，以获得在迭代的每一步大的密度增加。该论证表明，对于任何$B>0$和$N>N_{0}(B)$，如果$A$是包含在$\{1,\dots,N\}$中的素数的子集，且相对密度$α(N)=(|A|\log N)/N$至少为\[ α(N)\gg_{B}\left(\log\log N\right)^{-B} \]，则$A$包含$3$ -项等差数列。
Roth-type theorems in additive combinatroics
本文探讨加性组合学中罗思型定理的发展，介绍了其起源、核心问题及主要研究成果。
Integer colorings with no rainbow 3-term arithmetic progression
本文研究了三项等差数列的彩虹Erdens-Rothschild问题。我们得到了无彩虹3项等差数列的$[n]$的$r$ -着色的渐近数，并证明了具有此性质的典型着色是2-着色.我们还证明了在$[n]$的所有子集中，$[n]$达到彩虹3项无等差数列的$r$ -着色的最大数目.此外，还得到了$\mathbb{Z}_p$的彩虹3项无等差数列的$r$ -染色的确切个数，其中$p$是任意素数，$\mathbb{Z}_p$是$p$阶循环群.
New bound for Roth's theorem with generalized coefficients
本文证明了Shkredov和Solymosi的猜想：任何子集$A \subset \mathbf{Z}^2$使得$\sum_{a\in A\setminus\{0\}} 1/\left\|a\right\|^{2} = +\infty$包含等腰直角三角形的三个顶点.为了做到这一点，我们适应证明最近的突破布卢姆和Sisask对集没有三项等差数列，以处理更一般方程的形式$T_1a_1+T_2a_2+T_3a_3 = 0$在一个有限的阿贝尔群$G$，其中的$T_i$的自同构的$G$。
A polylogarithmic bound in the nonlinear Roth theorem
我们发现，缺乏配置$x$，$x+y$，$x+y^2$的整数集最多有多对数密度。
Discrepancy of arithmetic progressions in grids
我们证明了$d$维网格$\{1, \dots, N\}^d$中的等差数列的差异在一个仅取决于$N^{\frac{d}{2d+2}}$的$d$的常数因子内。这扩展了$d=1$的情况，这是Roth和Matoušek和Spencer的著名结果，并从大约20年前的Valkó的前上界中删除了多对数因子。在许多情况下，我们进一步证明了类似的紧边界不同的边长的网格。
Effective bounds for Roth's theorem with shifted square common difference
本文研究了带平移平方公差的Roth定理，证明了不含特定非平凡数列的子集大小具有 $N/\log_m{N}$ 的有效上界，从而回答了Green提出的问题。
Any two-coloring of the plane contains monochromatic 3-term arithmetic progressions
本文证实了Erdős等人关于平面二着色猜想的一个自然开放情形，证明了平面的任何二着色都包含任意3项等差数列的单色全等副本。
Bounds in a popular multidimensional nonlinear Roth theorem
本研究得到非线性Roth定理的多维版本，为相关多维多项式Szemerédi定理情形的有效化迈出第一步，还证明了其有效热门版本，且该结果的量化依赖为指数型，异于线性情形的塔型界。
On a Ramsey--Turán variant of Roth's theorem
该研究围绕有限域上齐次线性方程的无解方程集问题，结合Erdős与Sárközy提出的结构化集合概念，证明了Roth定理的Ramsey--Turán变体，给出了两类命题等价的结论，丰富了加法组合领域的相关理论。
An uncountable ergodic Roth theorem and applications
该研究建立了不要求作用群可数、空间可分的不可数顺从遍历Roth定理，推广了已有结论，并以此为关键证明了两项相关成果：任意顺从群笛卡尔平方子集的三角模式组合应用、任意一致顺从群Γ-系统双重递归定理的新一致性层面。
Roth's theorem for four variables and additive structures in sums of sparse sets
我们证明，如果{1，.，N}不包含方程x+y+z= 3 w的任何解，其中变量不都相等，则A的大小至多为exp（-c（log N）^{1/7}）N，其中c > 0是某个绝对常数。根据贝伦德的构造，这个界限是正确的：指数1/7不能被任何大于1/2的常数所取代。我们还建立了一个相关的结果，即如果A是{1，..的子集，则和集A+A+A包含长等差数列，N}，或者如果A是有限域上的向量空间的子集，则是高维子空间，即使A具有上述形状的密度。
Integer colorings with no rainbow $k$-term arithmetic progression
本文研究了$k$项等差数列的彩虹Erdens-Rothschild问题。对于一个正整数集合$S \subseteq [n]$，$S$的一个$r$ -着色是\emph{rainbow $k$-AP-free}，如果它不包含彩虹$k$ -项等差数列.令$g_{r,k}(S)$表示$S$的彩虹$k$ -无AP $r$ -着色的数目。对于足够大的$n$和固定整数$r\ge k\ge 3$，我们证明了$g_{r,k}(S)<g_{r,k}([n])$对于任何真子集$S\subset [n]$。进一步证明了$\lim_{n\to \infty}g_{r,k}([n])/(k-1)^n= \binom{r}{k-1}$ .我们的结果是渐近最佳可能的，并意味着，几乎所有的彩虹$k$ -AP-免费$r$ -着色的$[n]$只使用$k-1$颜色。
A transference approach to a Roth-type theorem in the squares
我们发现，任何子集的平方正相对上密度包含非平凡的解决方案，在五个或更多的变量，与明确的定量界的一个非平凡不变的线性方程。因此，我们建立了任何对角二次曲面在五个或更多的变量，其系数之和为零的分区正则性。与以前的方法，这是有限的方程在七个或更多的变量，我们采用转移技术的绿色进口边界的线性设置。
A Roth type theorem for dense subsets of $\mathbb{R}^d$
令$1 < p < \infty$，$p\neq 2$。证明了如果$d\geq d_p$足够大，且$A\subs\R^d$是正上密度的可测集，则存在$\la_0=\la_0(A)$，使得对于所有的$\la\geq\la_0$，存在$x,y\in\R^d$，使得$\{x,x+y,x+2y\}\subs A$和$|y|_p=\la$，其中$||y||_p=(\sum_i |y_i|^p)^{1/p}$是点$y=(y_1,\ldots,y_d)\in\R^d$的$l^p(\mathbb R^d)$ -范数.这意味着当在$l^p$度量中测量间隙大小时，$\R^d$的密集子集包含所有足够大的间隙的3项进展。已知该陈述在欧几里德$l^2$度量中以及在$l^1$和$\ell^{\infty}$度量中是假的。本说明的目的之一就是了解这一现象。证明的一个显着特点是使用多线性奇异积分算子，广泛研究了经典的时间-频率分析，在估计的形式计数配置。
Ergodic-theoretic implementations of the Roth density-increment argument
我们展示证明两个遍历理论的结果在研究多重递归使用类似的密度增量参数的罗斯和Gowers：Furstenberg的多重递归定理（这意味着Szemerédi定理），和一个二维的特殊情况下Furstenberg和Katznelson的多维版本这个定理。其中第二个也需要一个模拟的一些最近有限的工作Shkredov。许多证明这些多重递归定理是现在已知的，但我们的主要目标是进一步阐明启发式对应原则，已成长之间的遍历理论和组合方面的多重递归和Szemerédi定理。重点放在密度增量策略突出了这些设置之间的几个密切联系点。
Lower bound in the Roth theorem for amenable groups
设$T_1$，$T_2$是可数服从群的两个交换的保持概率测度的动作，使得这些动作所跨越的群遍历地动作.证明了对于任意可测集$A$和任意$ε>0$，在一个联合集上的$μ(A\cap T_1^g A\cap T_1^g T_2^g A) > μ(A)^4-ε$.这个证明使用了Austin提出的一个满足系统的概念。
On arithmetic progressions in A + B + C
我们的主要结果表明，当A，B，C是Z/NZ的子集，分别具有密度α，β，γ时，和集A + B + C包含一个长度至少为e^{c（\log N）^c}的等差数列，其中密度α>（\log N）^{-2 + ε}，β，γ> e^{-c（\log N）^c}，其中c依赖于ε.这种类型的先前结果要求一个集合具有至少（\log N）^{-1 + o（1）}的密度。我们的论证依赖于Croot，Laba和Sisask的方法来建立和集A + B的类似估计，以及Sanders对Roth定理的最新进展。对于崔、李、薛研究的素数中的类似问题，我们也得到了新的估计。
Popular progression differences in vector spaces
格林证明了一个算术模拟Szemerédi的著名规律性引理，并用它来验证一个猜想的伯格森，主机，和克拉锐化罗斯定理的三项等差数列在稠密集。它表明，对于$\mathbb{F}_p^n$的每个子集，如果$n$足够大，则具有某些非零公差的三项等差数列的密度至少是直到加性$ε$的随机界（集合密度的立方）。对于固定的奇素数$p$，我们证明了所需的维数作为$p$的高度为$Θ(\log(1/ε))$的指数塔增长。这提高了下限和上界，是第一个例子的结果，塔型的界限来自应用正则引理被证明是必要的。
Translation invariant equations and the method of Sanders
我们延长了最近的改进Roth定理的三项等差数列桑德斯获得类似的结果定位非平凡的解决方案的问题，平移不变线性方程在多个变量在$\bbz/N\bbz$和$\bbf_q[t]$。
On The Discrepancy of Quasi-progressions
等差数列的2-着色不等式是组合不等式理论中的一个著名问题。在1964年，罗斯证明了，如果从0到N的每个整数都是红色或蓝色，则存在一些等差数列，其中红色的数量和蓝色的数量至少相差（1/20）N^{1/4}。在1996年，Matousek和Spencer证明了这个估计值是一个常数。齐次等差数列的类似问题（即，包含0的那些）是由鄂尔多斯在20世纪30年代提出的，并且仍然不知道该差异是否是无界的。然而，很容易构造密度任意接近1的偏着色，使得所有齐次等差数列都有有界的差异。一个相关的问题涉及拟级数的差异。准级数由一个实数的连续倍数组成，每个倍数向下舍入到最接近的整数。在1986年，贝克表明，任何2-着色，准级数对应于几乎所有的实数在（1，\infty）有差异至少log* N，反塔功能。我们将其下界改进为（log N）^{1/4 - o（1）}，并证明了存在偏差至少为（1/50）N^{1/6}的拟级数.即使用正密度的部分着色代替2-着色，我们的结果仍然有效。
On the Quantitative Bounds of Nonlinear Roth Theorem
该研究针对不含非平凡多项式进展$(x, x + y, x + y^2)$的子集$A \subseteq \{1, \dots, N\}$，推导了其大小的定量上界，通过发展密度增量框架、多线性转移原理等技术完成证明，为非线性Roth定理提供了严格的定量界。
Four-term progression free sets with three-term progressions in all large subsets
本文主要研究不包含四项算术级数的集合，但在三项算术级数中仍然非常丰富，在这个意义上，所有足够大的子集至少包含一个这样的级数。证明了存在正常数$c$和不含四项等差数列的集合$A \subset \mathbb F_q^n$，并证明了对每个具有$|A'| \geq |A|^{1-c}$的子集$A' \subset A$，$A'$含有非平凡的三项等差数列.我们从$\mathbb{F}_{q}^{n}$的随机子集中的更一般的定量Roth型定理导出这一结果，改进了Kohayakawa-Luczak-Rödl/Tao-Vu的结果。我们还讨论了一个类似的现象的整数，在那里我们表明，所有$ε>0$，和所有足够大的$N \in \mathbb N$，存在一个四项的进步自由集$A$的大小$N$的属性，对于每一个子集$A' \subset A$与$|A'| \gg \frac{1}{(\log N)^{1-ε}} \cdot N$包含一个非平凡的三项算术级数。最后，我们包括我们的方法的另一个应用程序，显示在$\mathbb{F}_{q}^{n}$或$\mathbb{Z}$的属性“具有非平凡的三项进展在所有大的子集”的属性“具有大的附加能量”几乎完全不相关的设置。
Arithmetic Progressions in Midpoint Colourings
该研究针对Roth整数着色中点问题提出非对称变体，采用傅里叶分析方法，结合相关定理在有限域与整数环境中推导算术级数的渐近紧界并改进颜色数量的依赖关系。
Yet another proof of Szemeredi's theorem
利用Roth和Gowers的密度增量策略，我们从作者和Ziegler最近建立的Gowers范数的逆矩阵GI（s）导出了关于等差数列的Szemeredi定理.
An inverse theorem for generalized arithmetic progression with mild multiplicative property
本文证明了 $\F_p$ 中包含另外两个数列大乘积集的广义等差数列的结构定理。
Roth-type theorems in $K_{s,t}$-free sets
该研究证明了在无 $K_{s,t}$ 子集中的 Roth 型定理，并在有限域向量空间中获得了更强的定量界。
Discrepancy in modular arithmetic progressions
本文研究模 $n$ 剩余类环中算术级数的偏差问题，对所有正整数 $n$ 渐近确定其偏差的对数，并对素数幂等许多 $n$ 给出偏差的精确阶，解决了 Hebbinghaus 和 Srivastav 提出的问题。
John-type theorems for generalized arithmetic progressions and iterated sumsets
弗里茨·约翰的一个经典定理允许人们把直到常数的凸体描述为椭球。在这篇文章中，我们建立了类似的描述广义（即多维）等差数列在适当的（即无碰撞）广义等差数列，在无挠和挠设置。我们还得到了任意阿贝尔群中迭代和集的一个类似的性质，从而加强和推广了Szemerédi和Vu的结果。
Popular progression differences in vector spaces II
格林使用了Szemerédi著名的正则引理的算术模拟来证明以下加强罗斯定理在向量空间。对于每个$α>0$、$β<α^3$和素数$p$，存在一个最小正整数$n_p(α,β)$，使得如果$n \geq n_p(α,β)$，则对于密度至少为$α$的$\mathbb{F}_p^n$的每个子集，存在一个非零的$d$，对于该非零的$d$，具有公差的三项算术级数$d$的密度至少为$β$。对于$p \geq 19$，我们确定$n_p(α,β)$的塔高，直到一个绝对常数因子和一个仅取决于$p$的加法项。特别是，如果我们想要随机边界的一半（即$β=α^3/2$），那么所需的维度$n$是高度为$Θ\left((\log p) \log \log (1/α)\right)$的二塔。事实证明，在$α$和$β$的几个不同区域中，塔的高度通常采用不同的形式，并且在上界和下界中使用不同的参数来处理这些情况。
Finite sums of arithmetic progressions
本文给出了van der Waerden-Brauer定理和Hindman定理的双重推广的一个纯组合证明。我们也给出了它的有限版本的塔界。
Enumeration of three term arithmetic progressions in fixed density sets
加法组合学是建立在著名的定理Szemerédi断言存在的等差数列之间的任何长度的整数。有几个不同的证明定理的基础上非常不同的技术。Szemerédi定理是一个存在性陈述，而组合学的最终目标总是进行枚举陈述。本文利用实代数几何的方法，给出了固定密度集上等差数列个数的几种定量表述。我们进一步讨论的可能性推广Szemerédi定理使用的方法从真正的代数几何。
Ergodic theorems for bilinear averages, Roth's Theorem and Corners along fractional powers
本文证明沿分数幂的双线性平均的L²极限等于线性平均极限，并推广到Roth型及角结构，覆盖更一般的稀疏轨道，部分解决了开放问题。
A Quantitative Bound For Szemerédi's Theorem for a Complexity One Polynomial Progression over $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$
本文针对 $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ 上一类复杂度一的四项多项式级数，改造 Peluse 的次数降低方法并结合二次 Fourier 分析，给出缺失该级数集合大小的迭代对数定量界。
Zero-sum Analogues of van der Waerden's Theorem on Arithmetic Progressions
令$r$和$k$是正整数，其中$r \mid k$。用$w_{\mathrm{\mathfrak{z}}}(k;r)$表示最小整数，使得每个着色$χ:[1,w_{\mathrm{\mathfrak{z}}}(k;r)] \rightarrow \{0,1,\dots,r-1\}$允许一个$k$项等差数列$a,a+d,\dots,a+(k-1)d$，其中$\sum_{j=0}^{k-1} χ(a+jd) \equiv 0 \,(\mathrm{mod }\,r)$。我们调查这些数字以及一个“混合”单色/零和模拟。我们还提出了一个有趣的vanderWaerden数和$w_{\mathrm{\mathfrak{z}}}(k;r)$之间的互惠关系。
Finding linear patterns of complexity one
本文研究三项等差数列的Roth定理的如下推广。对于s>1，定义一个非平凡的s-配置为一组s（s+1）/2整数，由s个不同的整数x_1，...，x_s以及所有的平均值（x_i+x_j）/2。我们的主要结果表明，如果一个集合A包含在{1，2，. N}的密度至少为（log N）^{-c（s）}，对于某个依赖于s的正常数c（s）>0，则A包含非平凡s-组态。我们还推导出，作为推论，一个改进的问题，涉及sumfree子集。
Number of arithmetic progressions in dense random subsets of $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
我们研究了在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$的随机子集中$k$ -项等差数列的数目的行为。我们证明，如果一组选择包括每个元素的$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$独立的恒定概率$p$，那么由此产生的分布的$k$ -长期等差数列在该集合中，而服从中心极限定理，不服从当地的中心极限定理。该方法涉及将随机变量分解成关于Walsh/Fourier基的齐次$d$多项式。证明一个合适的多元中心极限定理的每个组件的扩展给出了所需的结果。
New bounds for Szemeredi's Theorem, I: Progressions of length 4 in finite field geometries
设F是特征至少为5的固定有限域。设G = F^n是F上的n维向量空间，记为N：= |G|。本文证明了：如果A是G的一个子集，其大小至少为c_FN（log N）^{-c}，对某个绝对常数c > 0和某个c_F > 0，则A在等差数列中包含四个不同的元素.在加法组合学的通常符号中，这等价于断言r_4（G）<<_FN（log N）^{-c}。
Small subsets without $k$-term arithmetic progressions
Szemerédi定理意味着有$[n]$的$2^{o(n)}$子集不包含$k$ -项算术级数。Balogh、Morris和Samotij使用超图容器方法得到了这个陈述的稀疏类似物：对于任何$β> 0$，存在$C > 0$，使得如果$m \ge Cn^{1 - 1/(k-1)}$，则至多存在$β^m \binom{n}{m}$ $m$ -没有$k$ -项算术级数的$\{1, \ldots, n\}$的元素子集。我们给出了一个简短的，归纳证明这一结果。因此，这提供了一个简短的证明塞梅雷迪定理在随机子集的整数。
New bounds for Szemeredi's theorem, Ia: Progressions of length 4 in finite field geometries revisited
设p > 4为素数。我们证明了F_p^n中不含4项等差数列的最大子集具有基数<< N（log N）^{-c}，其中c = 2^{-22}且N：= p^n.作者在之前的一篇论文中提出了这种类型的结果，并发表在《伦敦数学学会学报》上。不幸的是，证明有一个缺口，我们在这里发布一个勘误表。我们的新论点是不同的，而且明显更短。事实上，我们证明了一个更强的结果，它可以被看作是Bergelson-Host-Kra和作者以前的一些结果的定量版本。
Van der Waerden's theorem on arithmetic progressions -- a survey of some historical and modern developments
综述范德瓦尔德定理的历史起源及其在Ramsey理论中的影响，探讨其在不同研究领域的联系及引发的重要成果。
Arithmetic Progressions in Abundance by Combinatorial Tools
利用整数的斯通-切赫紧化的代数结构，Furstenberg和Reynner证明了对于任意k，每个分段联会集包含k项等差数列的分段联会集。我们提出了一个纯粹的组合参数，允许直接从范德瓦尔登定理得出这一结果。
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