Improving Roth's theorem in the primes
设A是素数的子集。设δ_P（N）= \frac{|\{n\in A: n\leq N\}|}{|\{\text{$n$ prime}: n\leq N\}|}。证明了：若δ_P（N）\geq C \frac{\log \log \log N}{(\log \log N)^{1/3}} for N \geq N_0，其中C和N_0是绝对常数，则A \cap [1，N]包含一个非平凡的三项等差数列.这比B更好。Green的结果，它需要δ_P（N）\geq C' \sqrt{\frac{\log \log \log \log \log N}{\log \log \log \log N}} .
2009-12-09 math.NT
Roth's theorem in the primes
我们证明了任何含有正比例素数的集合都含有一个3项等差数列。一个重要的因素是证明素数享有所谓的Hardy-Littlewood优数性质。我们得出这一点给予一个新的证明，而更一般的结果布尔甘，因为一个密切的类比与经典的论点托马斯和斯坦从欧几里德调和分析，可能被称为限制定理的素数。
2004-09-07 math.CA math.NT
On the Quantitative Bounds of Nonlinear Roth Theorem
该研究针对不含非平凡多项式进展$(x, x + y, x + y^2)$的子集$A \subseteq \{1, \dots, N\}$，推导了其大小的定量上界，通过发展密度增量框架、多线性转移原理等技术完成证明，为非线性Roth定理提供了严格的定量界。
2026-10-14 math.CO math.NT
An improved non-linear Roth-type theorem in finite fields
本文在有限域中证明了任一大小为|A|≥C|F|^{5/6}的集合包含非平凡二次进展，改进了此前7/8的指数，并利用单变量Weil型估计而非Katz的多变量指数和估计。
2026-04-30 math.CO math.NT
Nonlinear Roth type theorems in finite fields
我们得到了素域上某些非线性卷积算子的光滑估计，从而得到了定量的非线性Roth型定理.与通常的线性设置（即等差数列）相比，算子的非线性性质导致不同的现象，定性和定量。
2016-08-18 math.NT
Translation invariant quadratic forms in dense sets
将Roth关于三项等差数列的定理推广到至少17个变量的平移不变二次型.我们使用傅立叶分析，限制理论，一致性规范和罗斯的密度增量方法来显示没有任何非平凡的解决方案的整数子集的定量估计。
2013-08-30 math.NT
Roth-type Theorem for high-power system in Piatetski-Shapiro primes (II)
本文研究了Piatetski-Shapiro素数中高幂非线性系统的Roth型定理，证明了在特定参数条件下，若该系统在素数子集中仅有K-平凡解，则该子集的密度上界受到对数项的严格限制。
2024-01-04 math.NT
A Polynomial Roth Theorem for Corners in Finite Fields
证明了有限域上多项式角点的Roth型定理。设$ϕ_1$和$ϕ_2$是两个不同次数的多项式。对于足够大的素数$p$，任何具有$ \lvert A\rvert > p ^{2 - \frac1{16}} $的子集$ A \subset \mathbb F_p \times \mathbb F_p$都包含三个点$ (x_1, x_2) , (x_1 + ϕ_1 (y), x_2), (x_1, x_2 + ϕ_2 (y))$。关于$ \mathbb F_p$的这些问题的研究是由Bourgain和Chang开始的。我们的定理改进了Dong，Li和Sawin的论证，特别是依赖于N.卡茨
2021-06-17 math.CA math.CO math.NT
Valuations, arithmetic progressions, and prime numbers
本文利用赋值论给出了素数无穷大的两个证明，并利用等差数列的Roth定理和Euler-Legendre定理给出了素数倒数和发散的一个新的证明.
2018-02-12 math.NT
Yet another proof of Szemeredi's theorem
利用Roth和Gowers的密度增量策略，我们从作者和Ziegler最近建立的Gowers范数的逆矩阵GI（s）导出了关于等差数列的Szemeredi定理.
2010-06-20 math.CO math.NT
Fermat's Last Theorem Implies Euclid's Infinitude of Primes
该研究借助费马大定理与舒尔组合定理给出小指数情形下欧几里得素数无穷性定理的新证明，还探讨了多个组合数论结果对该定理的蕴含，揭示其为诸多数学结果的必要条件。
2020-09-16 math.CO math.NT
Two Compact Incremental Prime Sieves
素数筛是一种算法，它可以找到一个界限$n$以内的素数。我们说一个素数筛子是递增的，如果它能在找到直到$n$的所有素数之后快速确定$n+1$是否是素数。本文给出了两个新的结果：（1）我们描述了滚动筛，一个实用的，增量的素筛，它需要$\sqrt{n}$时间和$O(\sqrt{n}\log n)$空间位，（2）我们展示了如何修改Atkin和Bernstein（2004）的筛，以获得一个同时是次线性的，紧的和增量的筛。第二个结果解决了Paul Pritchard在1994年提出的一个公开问题。
2015-03-09 cs.DS math.NT
On arithmetic progressions in A + B + C
我们的主要结果表明，当A，B，C是Z/NZ的子集，分别具有密度α，β，γ时，和集A + B + C包含一个长度至少为e^{c（\log N）^c}的等差数列，其中密度α>（\log N）^{-2 + ε}，β，γ> e^{-c（\log N）^c}，其中c依赖于ε.这种类型的先前结果要求一个集合具有至少（\log N）^{-1 + o（1）}的密度。我们的论证依赖于Croot，Laba和Sisask的方法来建立和集A + B的类似估计，以及Sanders对Roth定理的最新进展。对于崔、李、薛研究的素数中的类似问题，我们也得到了新的估计。
2013-10-09 math.CO math.NT
Arithmetic Progressions in Midpoint Colourings
该研究针对Roth整数着色中点问题提出非对称变体，采用傅里叶分析方法，结合相关定理在有限域与整数环境中推导算术级数的渐近紧界并改进颜色数量的依赖关系。
2026-10-09 math.CO math.NT
Primes in LCM recurrences
本文研究了一种基于LCM的素数生成递推，提出了一种Companion-Sieve框架，将猜想转化为素数等分布问题，并证明在渐近密度为1的情况下猜想成立。
2026-04-21 math.NT
Popular progression differences in vector spaces
格林证明了一个算术模拟Szemerédi的著名规律性引理，并用它来验证一个猜想的伯格森，主机，和克拉锐化罗斯定理的三项等差数列在稠密集。它表明，对于$\mathbb{F}_p^n$的每个子集，如果$n$足够大，则具有某些非零公差的三项等差数列的密度至少是直到加性$ε$的随机界（集合密度的立方）。对于固定的奇素数$p$，我们证明了所需的维数作为$p$的高度为$Θ(\log(1/ε))$的指数塔增长。这提高了下限和上界，是第一个例子的结果，塔型的界限来自应用正则引理被证明是必要的。
2017-08-28 math.CO math.NT
Restriction theory of the Selberg sieve, with applications
塞尔伯格筛为某些等差数列提供了优数，例如素数和孪生素数。我们证明了一个L^2-L^p限制定理。一个直接的应用是估计指数和素数k元组。令a_1，.，a_k和b_1，...，b_k是正整数。对于单位圆上的t，写作h（t）：= \sum_{n \in X} e（nt）$，其中X是所有n <= N的集合，使得数字a_1 n + b_1，.，a_kn + b_k都是素数。我们得到了h，p > 2的L^p范数的上界，这些上界（在素元组猜想的条件下）具有正确的数量级。作为第二个应用，我们从Chen定理、Roth定理和一个转移原理推出：存在无穷多个素数的等差数列p_1 < p_2 < p_3，使得对于每个i= 1，2，3，p_i + 2要么是素数，要么是两个素数的乘积。
2005-05-10 math.CA math.NT
Jacob's ladders, point of contact of the remainder in the prime-number law with the Fermat-Wiles theorem and multiplicative puzzles on some sets of integrals
Comenius University（布拉迪斯拉发康斯坦丁神学家大学）
本文在黎曼假设下证明了关于费马-威尔斯定理的新函数等价关系，并探讨了素数定律与积分集上的乘法谜题。
2026-01-21 math.NT
Quantitative bounds for sets lacking polynomial progressions with shifted prime difference
University of Bristol（布里斯托大学）；University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）；University of Cambridge（剑桥大学）
该研究证明了移位参数限制在移位素数集合的多项式进展的定量Szemerédi型定理，改进了线性情形结果，不同次数非线性构型的定量界为首创，结合了整数多项式构型与素数Gowers一致性界等方法。
2026-08-21 math.CO math.NT
Popular progression differences in vector spaces II
格林使用了Szemerédi著名的正则引理的算术模拟来证明以下加强罗斯定理在向量空间。对于每个$α>0$、$β<α^3$和素数$p$，存在一个最小正整数$n_p(α,β)$，使得如果$n \geq n_p(α,β)$，则对于密度至少为$α$的$\mathbb{F}_p^n$的每个子集，存在一个非零的$d$，对于该非零的$d$，具有公差的三项算术级数$d$的密度至少为$β$。对于$p \geq 19$，我们确定$n_p(α,β)$的塔高，直到一个绝对常数因子和一个仅取决于$p$的加法项。特别是，如果我们想要随机边界的一半（即$β=α^3/2$），那么所需的维度$n$是高度为$Θ\left((\log p) \log \log (1/α)\right)$的二塔。事实证明，在$α$和$β$的几个不同区域中，塔的高度通常采用不同的形式，并且在上界和下界中使用不同的参数来处理这些情况。
2019-11-21 math.CO math.NT
Discrepancy in modular arithmetic progressions
本文研究模 $n$ 剩余类环中算术级数的偏差问题，对所有正整数 $n$ 渐近确定其偏差的对数，并对素数幂等许多 $n$ 给出偏差的精确阶，解决了 Hebbinghaus 和 Srivastav 提出的问题。
2021-04-08 math.CO math.NT
The Prime Clockwork: A Dynamic Representation of Modular and Multiplicative Arithmetic
Faculty of Information Technology, University of Jyväskylä（于韦斯屈莱勒信息技术学院）
该研究提出素数发条这一离散动力系统，无需显式模除等运算即可生成素数并表示整数，其大循环对应中国剩余定理，还可用于计算多种数论函数。
2026-09-04 cs.DM math.DS math.HO
Nontrivial rational points on Erdős-Selfridge curves
本文研究 Erdős-Selfridge 曲线上的有理点，证明当 $\ell\geq 5$ 为素数且 $k$ 足够大并与 $\ell$ 互素时，曲线仅含平凡有理点，从而验证了 Sander 猜想的多个新情形，方法结合 Erdős 组合思想与新颖的质量增量论证。
2024-11-07 math.NT
Dirichlet Series and Asymptotics for Generalized Legendre Factorials
本文通过狄利克雷级数框架研究广义阶乘函数的渐进行为，推导出广义阶乘的渐近公式，并解释了勒让德型阶乘构造的渐近性。
2026-07-22 math.NT
